BEBERAPA KONSEP YANG BERKAITAN PADA RUANG FUZZY BERNORMA DAN RUANG FUZZY BERNORMA-n

JMP : Volume 4 Nomor 1, Juni 2012, hal. 1-21 BEBERAPA KONSEP YANG BERKAITAN PADA RUANG FUZZY BERNORMA DAN RUANG FUZZY BERNORMA-n Mashadi Jurusan Matematika FMIPA Univeristas Riau mash-mat@unri.ac.id ABSTRACT. In this paper we will discuss some o the approaches o uzzy normed spaces and development on uzzy n-normed space. The approach discussed is based on the concept o t-norm and-t conorm and directly as well as deining the usual deinition normed space. But it is discussed in more detail in this paper is the deinition that reers to a generalized regular normed spaces on uzzy 2-normed space and space and uzzy n-normed space. Key words :Fuzzy Normed Space, Fuzzy 2-normed Space, Fuzzy n-normed Space, Fuzzy Point ABSTRAK. Pada makalah ini akan dibahas beberapa pendekatan dari ruang uzzy bernorma dan pengembangannya pada ruang uzzy bernorma-n. Pendekatan yang dibahas adalah berdasarkan konsep norma-t dan conorma-t serta pendeinisian langsung seperti pendeinisian ruang bernorma biasa. Akan tetapi yang dibahas lebih detil dalam tulisan ini adalah pendeinisian yang mengacu pada ruang bernormaa biasa yang diperumum pada ruang uzzy bernorma-2 dan ruang uzzy bernorma-n. Kata kunci : Ruang Fuzzy Bernorma, Ruang Fuzzy Bernorma-2, Ruang Fuzzy Bernorma-n. Titik Fuzzy. 1. PENDAHULUAN Teori himpunan uzzy pertama sekali diperkenalkan oleh L. Zadeh tahun 1965. Sampai saat ini berkembang banyak sekali penggunaan dari himpunan dan bilangan uzzy tersebut, Dalam ilmu matematika perkembangannya tidak hanya dalam bidang Analisis saja, akan tetapi dalam semua bidang kajian yang ada dalam matematika, termasuk dalam bidang Numerik, Operasi Riset, Statistik, Aljabar dan aljabar linear (Alotaibi, 2010; Elegan, dkk, 2010; Karakus, dkk, 2008, Mashadi, 2010). Dalam bidang matematika analisis, konsep uzzy juga sangat berkembang, sampai pada masalah uzzy ruang metric-n dan ruang uzzy bernorma-n. Konsep ruang uzzy bernorma dan ruang uzzy bernorma-2 sampai ke ruang uzzy bernorman, sebenarnya didekati dari 2 sisi, yang pertama yaitu ruang uzzy bernorma yang

2 Mashadi didekati secara Intuitionistic yaitu dengan menggunakan konsep konntinu t-norm dan kontinu t-conorm (Alotaibi, 2010; Golet, 2009; Mursaleen dan Danish Lohani, 2008; Samanta dan Mohinta, 2011; Surender, 2011; Vaezpour dan Karini, 2008). Dipihak lain ada juga penulis yang memperkenalkan konsep ruang uzzy bernorma menggunakan pendekatan uzzy point dari himpunan uzzy. 2. RUANG FUZZY BERNORMA Seperti yang disebutkan di atas, salah satu pendekatan ruang uzzy bernorma adalah secara intuitionistic, yaitu konsep ruang uzzy bernorma yang didekati berdasarkan konsep kontinu t-norm dan kontinu t-conorm (Alotaibi, 2010; Golet, 2009; Mursaleen dan Danish Lohani, 2008; Samanta dan Mohinta, 2011). Deinisi 2.1. Misalkan X himpunan tak kosong, Himpunan Fuzzy A di X adalah suatu himpunan yang ungi keanggotaannya, μ A : X [0, 1]. Sehingga A dapat ditulis dalam bentuk A = x, μ A x x X, 0 μ A x 1 Deinisi 2.2. suatu operasi biner [0,1] [0, 1] [0, 1] dikatakan kontinu t-norm jika memenuhi kondisi berikut : i. assiosiati dan komutati ii. kontinu iii. a 1 = a untuk semua a [0, 1] iv. a b c d bila a c dan b d untuk setiap a, b, c,d [0, 1]. Maka jelas jika dideinisikan a b = ab atau a b = {a,b}, maka merupakan kontinu t-norm.

Beberapa Konsep yang Berkaitan pada Ruang Fuzzy 3 Deinisi 2.3. suatu operasi biner : [0, 1] [0, 1] [0, 1] dikatakan kontinu t- conorm jika memenuhi kondisi berikut : i. assosiati dan komutati ii. kontinu iii. a 0 = 0 untuk semua a [0, 1] iv. a b c d bila a c dan b d untuk setiap a, b, c,d [0, 1]. Deinisi 2.4. Lima tupelo (X,,,, ) dikatakan Instutionistic Ruang uzzy bernorma (disingkat IFNS), jika X adalah ruang vektor, kontinu t-norm, kontinu t-conorm dan, adalah himpunan uzzy pada X [0, ] yang memenuhi kondisi, untuk setiap x, y X dan s, t > 0 (a). (x,t) + (x,t) 1 (b). (x,t) > 0 (c). (x,t) = 1 jika dan hanya jika x = 0 (d). μ x, t = μ x, t α untuk setiap 0. (e). (x,t) (y,s) (x + y, t + s) (). (x,.) : [0, ) [0, 1] kontinu (g). lim t μ x, t = 1 dan lim t 0 μ x, t = 0 (h). (x,t) < 1, (i). (x,t) = 0 jika dan hanya jika x = 0 (j). x, t = x, t α untuk setiap 0

4 Mashadi (k). (x,t) (y,s) (x + y, t + s) (l). (x,.) : [0, ) [0, 1] kontinu (m). lim t x, t = 0 dan lim t 0 x, t = 1 Dalam hal ini, dikatakan Intuitionistic Fuzzy Norma. Beberapa penulis (Saadi dan Vaezpour, 2005; Sharma, 2002; Surender, 2011; Vaezpour dan Karini, 2011) justru mendeinisikan ruang uzzy bernorma hanya dengan memberikan syarat yang lebih sederhana yaitu sebagai berikut. Deinisi 2.5. Pasangan 3-tupel (X, V,,) dikatakan Ruang uzzy bernorma, jika X adalah ruang vektor, kontinu t-norm dan V adalah himpunan uzzy pada X [0, ] yang memenuhi kondisi, untuk setiap x, y V dan s, t > 0 berlaku (i). V(x,t) > 0 (ii). V(x,t) = 1 jika dan hanya jika x = 0 (iii). V x, t = V x, t α untuk setiap 0. (iv). V(x,t) V(y,s) V(x + y, t + s) (v). V(x,.) : [0, ) [0, 1] kontinu (vi). lim t μ x, t = 1 Akan tetapi ada juga penulis lain yang mengganti syarat (i). (iv) dan (v) sebagai berikut : (i ). V(x,t) = 0 untuk setiap t 0. (sebenarnya syarat ini ekivalen dengan syarat (i)). (iv ). V(x + y, s + t) min {V(x,s), V(y,t)}. Syarat (iv ) ini sebenarnya juga ekivalen dengan syarat (iv), karena salah satu contoh dari kontinu t-norm adalah a b = {a,b}. (v ). V(x,.) merupakan ungsi tak turun di R, yang sebenarnya juga ekivelan dengan syarat (v),

Beberapa Konsep yang Berkaitan pada Ruang Fuzzy 5 Bila X,. ruang bernorma dan dideinisikan a b = ab atau a b = min {a,b}, kemudian deinisikan V x, t = kt n kt n +m x, bila t > 0 dan k, m, n R+ 0 bila t 0 Maka (X,V, ) adalah ruang bernormaa uzzy. Khususnya jika k = n = m = 1 akan diperoleh V x, t = t t+ x, bila t > 0 0, bila t 0 Yang merupakan norma uzzy standart yang di induksi dari norma.. Bila X,. ruang bernormaa dan dideinisikan a b = ab dengan V x, t = exp x t 1 Untuk semua x X dan t (0, ). Maka (X,V, ) adalah ruang uzzy bernorma. Deinisi 2.6. Misalkan (X,V, ) adalah ruang uzzy bernorma, misalkan {x n } barisan di V, maka barisan {x n } dikatakan konvergen, jika terdapat lim n V x n x, t = 1, untuk setiap t > 0. x V sehingga Deinisi 2.7. Misalkan (X,V, ) adalah ruang uzzy bernorma, misalkan {x n } barisan di V, maka barisan {x n } dikatakan barisan Cauchy, jika lim n V x n+p x n, t = 1, untuk setiap t > 0 dan p = 1, 2, 3,... Dari deinisi di atas juga akan berlaku bahwa dalam ruang uzzy bernorma, setiap barisan yang konvergen juga akan merupakan barisan Cauchy. Deinisi 2.8. Misalkan A X dengan (X,V, ) adalah ruang uzzy bernorma, A dikatakan terbatas jika dan hanya jika terdapat t > 0 dan 0 < r < 1 sehingga V(x,t) > 1 r untuk semua x A.

6 Mashadi Pendekatan lain untuk ruang uzzy bernorma adalah sebagai berikut, dimulai dengan mendeinisikan titik uzzy P x pada X yaitu sebagai berikut (Iqbal dan Hemen, 2010; Karakus, dkk, 2008). Deinisi 2.9. Suatu titik uzzy P x di X adalah himpunan uzzy dengan ungsi keanggotaan, jika y = x μ Px y = 0, untuk lainnya Untuk semua y X dengan 0 < < 1. Kita notasikan titik uzzy dengan x atau (x, ). Misalkan X ruang vektor atas lapangan K, dan misalkan A himpunan uzzy di X, maka A dikatakan sub ruang uzzy di X jika untuk semua x, y X dan K berlaku i. μ A (x + y) min μ A (x), μ A (y) ii. μ A x μ A x. Berdasarkan konsep di atas dideinisikanlah ruang uzzy bernorma yaitu sebagai berikut : Deinisi 2.10. Misalkan X ruang vector atas lapangan K, dan misalkan. : X [0, ), ungsi yang mengaitkan setiap titik x di X, (0, 1] bilangan real tak negatip. sehingga : (FN1). x α = 0 jika dan hanya jika x = 0 (FN2). x α = x α, untuk semua K. (FN3). x α + y β x α + y β (FN4). Jika x α < r, dengan r > 0 maka terdapat 0 < < 1 sehingga x α < r. Maka. disebut uzzy norma dan X. A,. disebut ruang uzzy bernorma.

Beberapa Konsep yang Berkaitan pada Ruang Fuzzy 7 Berdasarkan Deinisi 2.10 di atas, maka didapat hubungan antara rnorma biasa dengan uzzy norm yaitu sebagai berikut. Proposisi 2.11.Misalkan X.. ruang bernorma biasa, deinisikan x α = 1 x untuk semua x X dengan (0, 1], maka X. A,. merupakan ruang uzzy bernorma. Bukti : Misalkan x dan y A dengan, (0, 1] dan K. maka : (FN1). x α = 0 1 x = 0 x = 0 x = 0. (FN2). x α = 1 x = x =. x (FN3). x α + y β = x + y γ, dengan = maks {, } = 1 γ x + y 1 γ x + 1 γ y 1 x + 1 β y = x + y β (FN4). Jika x α < r, dengan r > 0, maka untuk (0, 1] dengan, maka berlaku : x ρ x < r yang bermakna x α < r. Sebaliknya bila x α adalah suatu Ruang uzzy bernorma, deinisikan x = x 1 = x, 1 merupakan ruang bernorma. Jadi bila kita punya ruang bernorma, maka senantiasa bisa kita bentuk ruang uzzy bernorma dan begitu juga sebaliknya, dengan kata lain ruang bernorma adalah ekivalen dengan ruang uzzy bernorma. Sehingga semua siat yang berlaku pada ruang bernorma juga akan berlaku pada ruang uzzy bernorma. Selanjutnya (Kider, 2011a dan 2011b), mendeinisikan himpunan uzzy buka, untuk himpunan uzzy A di X, himpunan uzzy tutup dan uzzy kontinu di A dideinisikan sebagai berikut.

8 Mashadi Deinisi 2.12. Misalkan X. A,. ruang uzzy bernorma. Diberikan x α A dan bilangan real r > 0. Maka B(x α, r) = y β A: x α y β < r dikatakan bola buka dengan jari-jari r. Berdasarkan Deinisi 2.12 di atas, maka dapatlah dideinisikan himpunan buka dan himpunan tutup pada suatu ruang uzzy bernorma. Misalkan A himpunan uzzy pada ruang uzzy bernorma X. A,. dikatakan buka jika setiap x α A terdapat B(x α, r) A dan himpunan uzzy B dikatakan tutup jika komplementnya buka. Deinisi 2.13. Misalkan X. A,. 1 dan Y. B,. 2 masing-masing ruang uzzy bernorma. Pemetaan T : X Y dikatakan uzzy kontinu di x α A jika untuk setiap > 0 terdapat > 0 sehingga T x α T(y) β < ε untuk semua y 2 β B dengan x y β < δ. 1 T dikatakan uzzy kontinu jika T uzzy kontinu disetiap titik x α A. Selanjutnya dengan menggunakan Deinisi 2.13 di atas akan dapat ditunjukkan pemetaan T dari ruang uzzy bernorma X. A,. 1 into ruang uzzy bernorma Y. B,. 2 adalah uzzy kontinu jika dan hanya jika setiap inverse image dari sebarang himpunan uzzy buka di B adalah buka di X. Selanjutnya dideinisikan barisan konvergen, himpunan terbatas pada ruang uzzy bernorma Deinisi 2.14. Barisan uzzy x n, n pada ruang uzzy bernorma X. A,. dikatakan konvergen x A, jika lim n x n, n x = 0, dan x dikatakan limit dari x n, n dan ditulis lim n x n, n = x.

Beberapa Konsep yang Berkaitan pada Ruang Fuzzy 9 Deinisi 2.15. Barisan uzzy x n, n pada ruang uzzy bernorma X. A,. dikatakan barisan Cauchy jika untuk setiap > 0 terdapat N 0 > 0 sehingga x n, n x m, m < ε untuk setiap m, n > N 0. Berdasarkan deinisi-deinisi di atas, maka teorema-teorema yang ada dalam barisan bilangan real akan berlaku untuk barisa pada ruang uzzy bernorma (Kider, 2011a dan 2011b), misalnya setiap barisan convergen pada ruang linear bernorm uzzy adalah barisan Cauchy. Begitu juga jika Pemetaan T : X Y pada ruang uzzy bernorma X. A,. 1 dan Y. B,. 2 adalah uzzy kontinu di x α A jika dan hanya jika x n, n x α menyebabkan T x n, n T(x). Banyak lagi konsep lain yang juga akan berlaku, misalnya keterbatasan, kelengkapan. 3. RUANG FUZZY BERNORMA-2. Sama seperti ruang uzzy bernorma, banyak pendekatan yang dilakukan untuk pendeinisian ruang uzzy bernorma-2, akan tetapi dalam tulisan ini konsep ruang uzzy bernorma-2 hanya akan diperumum dari Deinisi 2.5 dan 2.10. Deinisi 3.1. Pasangan 3-tupel (X, V,,) dikatakan ruang uzzy bernorma-2 jika X adalah ruang vector, adalah kontinu t-norm dan V himpunan uzzy di X X R dan untuk setiap x, y X dan s, t > 0 memenuhi. (FN-3.1). V(x,y;t) = 0 untuk semua t R dan t 0. (FN-3.2). V(x,y;t) = 1, jika dan hanya jikax dan y bergangung linear, dengan t R, t > 0. (FN-3.3). V(x,y;t) = V(y,x;t) untuk semua x, y X.. (FN-3.4). V x, y; t = V x, y; t α untuk setiap 0. (FN-3.5). V(x,z;s) V(y,z;t) V(x + y,z; s + t) (FN-3.6). V(x,y;.) : (0, ) [0, 1] ungsi takturun untuk t R.

10 Mashadi (FN-3.7). lim t V x, y; t = 1, Maka V dikatakan dikatakan norm-2 uzzy pada X dan pasangan ruang uzzy bernorma-2. X, V, dikatakan Mengacu pada contoh ruang uzzy bernorma, maka Bila X,, ruang bernorma-2, deinisikan a b = ab atau a b = min {a,b} dan Maka diperoleh bentuk V x, y; t = kt n kt n +m x,y bila k, m, n, t > 0, dan x, y X 0, bila t 0, dan x, y R X, V, merupakan ruag uzzy bernorm-2. Khusus jika k = n = m = 1, maka V x, y; t = t t+ x,y bila t > 0, dan x, y X 0, bila t 0, dan x, y Yang disebut dengan norma-2 uzzy standart dengan norma,. Berikut ini diberikan contoh ruang uzzy bernorma-2 yang tidak standar lainya, misalkan Bila X,, ruang bernorma-2, deinisikan a b = ab atau a b = min {a,b} dan deinisikan : V x, y; t = t 2 x,y 2 t 2 + x,y 2 bila t > x, y 0, bila t < x, y (FN-3.1). jika t x, y dan jelas dari deinisi V(x,y;t) = 0, untuk setiap x, y X. (FN-3.2). untuk t > 0 dengan t > x, y, misalkan V(x,y;t) = 1. t 2 x,y 2 t 2 + x,y 2 = 1 t 2 x, y 2 = t 2 + x, y 2 x, y = 0 x dan y bergantung linear. (FN-3.3). Jelas berlaku dari deinisi x, y = y, x (FN-3.4). Untuk 0 dan jika t > x, y, maka

Beberapa Konsep yang Berkaitan pada Ruang Fuzzy 11 V( x,y;t) = t 2 x,y 2 t 2 + x,y 2 = t 2 2 x,y 2 t 2 + 2 x,y 2 = t t 2 x,y 2 2 + x,y 2 = V x, y; t Untuk 0 dan jika t x, y, maka t x, y, jadi V( x,y;t) = 0 = V x, y; t (FN-3.5). Misalkan s x, z atau t y, z, maka jelas ketaksamaan dipenuhi. Selanjutnya misalkan s > x, z dan t > y, z, dan tanpa mengurangi keumuman misalkan V(y,z;t) V(x,y;t) maka diperoleh t 2 y,z 2 s2 x,z 2 t 2 + y,z 2 s 2 + x,z 2 t 2 s 2 s 2 y, z 2 + t 2 x, z 2 x, z 2 y, z 2 t 2 s 2 t 2 x, z 2 + s 2 y, z 2 x, z 2 y, z 2 t 2 x, z 2 s 2 y, z 2 0 (i) Selanjutnya dari hubungan s + t x, z + y, z x + y, z, diperoleh V x + y, z; s + t = (s+t)2 x+y,z 2 (s+t)2 x,z + y,z 2 (s+t) 2 + x+y,z 2 (s+t) 2 + x,z + y,z 2 Selanjutnya (s+t) 2 x,z + y,z 2 s2 x,z 2 (s+t) 2 + x,z + y,z 2 s 2 + x,z 2 = x,z 2 s+t 2 s 2 x,z + y,z 2 s 2 x,z + y,z 2 + x,z 2 s+t 2 s+t 2 + x,z + y,z 2. s 2 + x,z 2 Sebut A = s + t 2 + x, z + y, z 2. s 2 + x, z 2, maka = 2 A = 2 A = 2 A x, z 2 s + t 2 s 2 x, z + y, z 2 x, z 2 t 2 + 2st x, z 2 s 2 y, z 2 2s 2 x, z. y, z x, z 2 t 2 s 2 y, z 2 + 2s x, z t x, z s y, z 0, (dari (i)) Jadi

12 Mashadi V(x+y,z;s+t) V(x,z;t) jika V(x,z;t) V(y,z;t) Dengan cara yang sama akan diperoleh V(x+y,z;s+t) V(y,z;t) jika V(y,z;t) V(x,z;t) Dengan demikian V(x+y,z;s+t) min {V(x,z;t), V(y,z;t)}. (FN-3.6). Ambil t 1 < t 2 akan ditunjukkan V(x,y;t 1 ) V(x,y;t 2 ), untuk setiap x, y X. Kasus 1. Misalkan t 2 > t 1 x, y, maka perdeinisi diperolah V(x,y;t 1 ) = V(x,y;t 2 ) = 0. Kasus 2. Misalkan t 1 < t 2 < x, y, maka berlaku : t 2 2 x, y 2 2 2 x, y t 2 2 + x, y 2 t 2 1 + x, y 2 = t 2 x, y 2 2 t 1 x, y 2 t 2 1 + x, y 2. t 2 2 + x, y 2 = x,y 2 t 2 +t 1. t 2 t 1 t 1 2 + x,y 2. t 2 2 + x,y 2 0 Jadi berlaku V(x,y;t 2 ) - V(x,y;t 1 ) 0, (x,y;.) : (0, ) [0, 1] ungsi takturun untuk t R. (FN.3.7). Jelas lim t V x, y; t = lim t t 2 x,y 2 t 2 + x,y 2 = 1, Maka X, V, merupakan ruang linear bernorm-2 uzzy. Juga mengacu pada deinisi-deinisi yang ada pada ruang uzzy bernorma, dideinisikan berbagai deinisi pada ruang uzzy bernorm-2 sebagai berikut Deinisi 3.2. Misalkan X, V, ruang uzzy bernorm-2, untuk t > 0 dan unsur tak nol z X, Himpunan bagian A X dikatakan t-terbatas jika terdapat r (0, 1) sehingga V(x,z;t) > 1 r untuk semua x A. Deinisi 3.3. Untuk t > 0 dan unsur tak nol z X. Barisan {x n } pada ruang uzzy bernorma-2 X, V, dikatakan t-konvergen ke x X, jika untuk setiap 0 < < 1 terdapat n 0 N sehingga untuk semua n > n 0 berlaku V(x n x,z;t) > 1 -, dinotasikan dengan x n t x.

Beberapa Konsep yang Berkaitan pada Ruang Fuzzy 13 Deinisi 3.4. Untuk t > 0 dan unsur tak nol z X. Barisan {x n } pada ruang uzzy bernorma-n X, V, dikatakan t-konvergen ke x X, jika untuk setiap 0 < < 1 terdapat n 0 N sehingga untuk semua n > n 0 berlaku V(x n x k,z;t) > 1 -, Deinisi 3.5. Misalkan X, V, ruang uzzy bernorma-2, untuk t > 0 dan unsur tak nol z X, himpunan bagian A X dikatakan : (i). t-tutup jika untuk setiap barisan {x n } di A konvergen ke suatu titik x A (ii). t-kompak setiap barisan {x n } di A mempunyai barisan bagian x nk yang t- konvergen ke x 0 A. Mengacu pada pendekatan ruang uzzy bernorma dari (Kider, 2011a dan 2011b), maka bila dideinisikan untuk titik uzzy x + y = (x + y) dengan = maks {, }, maka dapat dideinisikan ruang uzzy bernorma-2 sebagai berikut : Deinisi 3.6. Misalkan X ruang vector atas lapangan K, dan misalkan.,. : X [0, ), ungsi yang mengaitkan setiap titik x, y di X,, (0, 1] bilangan real tak negatip.,. sehingga (FN1). x α, y β = 0 jika dan hanya jika x dan y bergantung linear. (FN2). x α, y β = y β, x untuk semua x, y di X (FN3). x α, y β = x α, y β, untuk semua x, y di X dan semua K. (FN4). x α + y β, z γ x α, z γ + y, z γ untuk semua x, y dan z di X (FN5). Jika x α, y β < r, dengan r > 0 maka terdapat 0 <, <, 1 sehingga x, y < r. Maka.,. disebut uzzy norm-2 dan X..,. disebut ruang uzzy bernorma-2. Berdasarkan Deinisi 3.6 di atas, maka didapat hubungan antara rnorm biasa dengan uzzy norm yaitu sebagai berikut.

14 Mashadi Proposisi 3.7. Misalkan X..,. ruang bernorma biasa, deinisikan x α, y β = 1 δ x, y dengan = maks {, },untuk semua x, y, z X dan,, (0, 1], maka X..,. merupakan ruang uzzy bernorma-2. Bukti : Misalkan x,y X dengan, (0, 1] dan K. maka : (FN1). x α, y β = 0 1 δ x, y = 0 x, y = 0 x dan y bergantung linear. (FN2). x α, y β = 1 δ x, y = 1 δ y, x = y β, x (FN3). x α, y β = 1 δ x, y = δ x, y =. x, y β (FN4). x α + y β, z γ x + y τ, z γ, dengan = maks {, } = 1 ρ x + y, z 1 ρ x, z + 1 ρ y, z, dengan = maks {, } 1 μ x, z + 1 θ y, z, dengan = maks {, } dan = maks {, } = x, z γ + y β, z γ (FN5). Jika x α, y β < r, dengan r > 0, karena = maks{, } dan untuk, (0, 1] dengan = maks {, } sehingga, maka berlaku : x,y x,y < r yang bermakna x, y < r. Sebaliknya berdasarkan Deinisi 3.6 bila x α, y β adalah suatu Ruang uzzy bernorma-2, deinisikan x, y = x 1, y β atau x, y = x α, y 1, merupakan ruang bernorma-2. Jadi berdasarkan deinisi 3.6 dan proposisi 3.7 diperoleh bila kita punya ruang bernorma-2, maka senantiasa bisa kita bentuk ruang uzzy bernorma-2 dan begitu juga sebaliknya, dengan kata lain ruang bernorma-2 adalah ekivalen dengan ruang uzzy bernorma-2. Sehingga semua siat yang berlaku pada ruang bernorma juga akan berlaku pada ruang uzzy bernorma. Misalkan X.. ruang uzzy bernorma, deinsikan

Beberapa Konsep yang Berkaitan pada Ruang Fuzzy 15 x, y β = 0, jika x y β = 0 x. y β, lainnya Maka X..,. merupakan ruang uzzy bernorma-2. (FN.1). Jelas dari deinisi, x, y β = 0, jika dan hanya x, y β bergantung linear. (FN.2). jika x, y β bergantung linear, jelas x, y β = y β, x, selanjutnya misalkan tidak bergantung linear. Maka x, y β = x. y β = y β. x. = y β, x (FN.3). x α, y β = x. y β =. x. y β = x α, y β (FN.4). x α + y β, z γ = x α + y β. z γ x α + y β. z γ = x α. z γ + y β. z γ = x α, z γ + y β, z γ (FN.5). Jika x α, y β < r, dengan r > 0, maka x α < r, jadi terdapat 0 < < < 1 sehingga x < r, dan y β < r, jadi terdapat 0 < < < 1 sehingga y β < r. Jadi x, y = x. y β < r 2 < r Jadi x α, y β merupakan norm-2 uzzy pada X dan X..,. merupakan ruang uzzy bernorma-2. 4. RUANG FUZZY BERNORMA-N. Berikut ini diberikan perumuman ruang uzzy bernorma-n berdasarkan deinisi 2.5 dan 3.1. Deinisi 4.1. Himpunan bagian uzzy A pada X n R dikatakan norma-n uzzy pada X jika memenuhi : (FN-n-1), V(x 1, x 2,..., x n ;t) = 0, untuk semua t R, t < 0.

16 Mashadi (FN-n.2). V(x 1, x 2,..., x n ;t) = 1, jika dan hanya jika x 1, x 2,..., x n bergantung linear, dengan t R, t > 0. (FN-n.3). V x 1, x 2,, x n ; t invariant untuk semua permutasi dari x 1, x 2,..., x n (FN-n.4). V x 1, x 2,, αx n ; t = V x 1, x 2,, x n ; t α untuk setiap 0. (FN-n.5). untuk semua s, t R. V x 1, x 2,, x n 1, y + z; s + t min V x 1, x 2,, x n 1, y; s, V x 1, x 2,, x n 1, z; t (FN-n.6). V x 1, x 2,, x n ; t ungsi tak turun untuk t R. (FN-n.7). lim t V x 1, x 2,, x n ; t = 1 Maka V dikatakan dikatakan norma-n uzzy pada X dan pasangan dikatakan ruang uzzy bernorma-n. X, V, Mengacu pada contoh ruang uzzy bernorma, maka Bila X,,,, ruang bernormaa-n, deinisikan a b = ab atau a b = min {a,b} dan V x 1, x 2,, x n ; t = kt n kt n +m x 1,x 2,,x n bila k, m, n, t > 0, dan x 1, x 2,, x n X 0, bila t 0, dan x, y R Maka X, V, merupakan ruag uzzy bernorma-n. Khusus jika k = n = m = 1, maka diperoleh bentuk V x 1, x 2,, x n ; t = t 1+ x 1,x 2,,x n bila t > 0, dan x 1, x 2,, x n X 0, bila t 0, dan x, y R Deinisi 4.2. Misalkan X, V, ruang uzzy bernorma-n, untuk t > 0 dan unsur tak nol z X, Himpunan bagian A X dikatakan t-terbatas jika terdapat r (0, 1) sehingga V(x 1, x 2,, x n 1,z;t) > 1 r untuk semua x A.

Beberapa Konsep yang Berkaitan pada Ruang Fuzzy 17 Deinisi 4.3. Untuk t > 0 dan unsur tak nol z X. Barisan {x n } pada ruang uzzy bernorma-n X, V, dikatakan t-konvergen ke x X, jika untuk setiap 0 < < 1 terdapat n 0 N sehingga untuk semua n > n 0 berlaku V(x 1, x 2,, x n 1,x n x,;t) > 1 - t, dinotasikan dengan x n x. Deinisi 4.4. Untuk t > 0 dan unsur tak nol z X. Barisan {x n } pada ruang uzzy bernorma-n X, V, dikatakan t-konvergen ke x X, jika untuk setiap 0 < < 1 terdapat n 0 N sehingga untuk semua n > n 0 berlaku V(x 1, x 2,, x n 1,x m x k,;t) > 1 -, Kembali ke ruang uzzy bernorma-n yang merupakan pengembangan dari deinisi 3.5, sedikit ramai notasi untuk unsur-unsur di A, bila x 1, x 2,..., x n X, maka uzzy point di A mestinya dinotasikan dengan x, x 1 1 2 2,, x dengan 0 < n i 1, i = n 1, 2,..., n. Dalam tulisan ini penulisan unsur titik uzzy disederhanakan yaitu unsur x, x 1 1 2 2,, x n menjadi x α1, x α2,, x n yang bermakna unsur x i X n berkorespondensi dengan x i i A. Mengacu pada Deinisi 3.6, maka dideinisikan ruang linear bernorma-n uzzy sebagai berikut : Deinisi 4.5. Misalkan X ruang vektor atas lapangan K, dan misalkan.,,. : X [0, ), ungsi yang mengaitkan setiap titik x α1, x α2,, x n di A, i (0, 1] bilangan real tak negati.,,. sehingga (FN1). x α1, x α2,, x n (FN2). x α1, x α2,, x n (FN3). = 0 jika dan hanya jika x 1, x 2,, x n bergantung linear x α1, x α2,, x n invariat terhadap permutasi = x α 1, x α2,, x n x α1, x α2,, x n di X dan semua K., untuk semua

18 Mashadi (FN4). x α + y β, x α2,, x n x α, x α2,, x n untuk semua x, y dan x α2,, x n di X + y β, x α1, x α2,, x n (FN5). Jika x α1, x α2,, x n < r, dengan r > 0 maka terdapat 0 < i < j 1, i,j = 1, 2,..., n sehingga x 1, x 2,, x < r. n Maka.,,. disebut uzzy norm-2 dan (X, A,.,,. ) disebut ruang uzzy bernorma-n. Ekivalen dengan proposisi 3.7, maka kalau bila x 1, x 2,, x n ruang linear bernorma-n, maka kalau dideinisikan x α1, x α2,, x n = 1 δ x 1, x 2,, x n dengan = maks { 1, 2,..., n } maka dengan cara yang sama dengan pembuktian teorema 3.6 akan diperoleh Begitu juga sebaliknya jika x α1, x α2,, x n x α1, x α2,, x n maka kalau dideinisikan x 1, x 2,, x n = i. atau dalam notasi lain x 1, x 2,, x n = x(1), x α2,, x n x(i), x α2,, x n ruang linear bernorma-n uzzy. ruang linear bernorma-n uzzy, x i, x α2,, x n dengan i = 1 dan j dengan j 1, maka merupakan ruang linear bernorma-n. Jadi untuk pendeinisian di atas, ruang linear bernorma-n adalah ekivalen dengan linear uzzy bernorma-n. Sehingga konsep yang berlaku pada ruang linear bernorma-n.juga akan berlaku pada ruang linear uzzy bernorma-n. Mengacu pada (Gunawan dan Mashadi, 2001a dan 2001b), bahwa kalau x 1, x 2,, x n norma-n pada X, maka senantiasa dapat dibentuk x 1, x 2,, x n 1 yang merupakan norma-(n-1) pada X dan begitu juga sebaliknya. Jadi kalau kita punya ruang uzzy bernorma-n, maka juga senantiasa ak/an dapat dibentuk norma-(n- 1) pada X dan begitu juga sebaliknya.

Beberapa Konsep yang Berkaitan pada Ruang Fuzzy 19 Teorma 4.6. Misalkan x α1, x α2,, x n norma-n uzzy pada X, kemudian bentuk x α1, x α2,, x = maks x n 1 α 1, x α2,, x n 1, a βi dengan a 1, a 2,, a n himpunan yang bebas linear di X. yang berkorespondensi dengan unsur a β1, a β2,, a βn di A, Maka x α1, x α2,, x n 1 uzzy pada X. norm-(n-1) Bukti : Bukti (FN.1) s/d (FN.4) ekivalen dengan bukti teorema 2.1 pada [7], maka disini akan dibuktikan (FN.5) saja. Misalkan x α1, x α2,, x n 1 = maks x α 1, x α2,, x n 1, a βj < r, dengan r > 0, karena x α1, x α2,, x n norma-n uzzy, maka terdapat i dan i dengan i < i dan i < j i = 1,2,..., n-1, sehingga x 1, x 2,, x n 1 = maks x 1, x 2,, x n 1, a j < r. Jadi x α1, x α2,, x n 1 pada X. norma-(n-1) uzzy 5. DAFTAR PUSTAKA Alotaibi, A. M, (2010), On Statisticall Convergent Double Sequences in Intutionistic Fuzzy 2-Normed Spaces, 4(46), 2249 2262. Bag. T dan Samanta. S.K, (2005), Fuzzy Bounded Linear Operator, Fuzzy Set and Sustems, 151, 513 547. Elegan, S.K, Zayen, E.M.W dan Noval, T, A. (2010), Some Remarks on Series in Fuzzy n-normed Spaces, Int Math Forum, 5(3), 117 124. Eshaghi. M.G, Abbaszadeh. S dan Rassias, Th. M, (2009), On the Mazur-Ulam Theorem In Fuzzy n-normed Strictly Convex Spaces, Acxiv math, FA, 1 7.

20 Mashadi Golet.I, (2009), On Generalized uzzy normed spaces, Int Math Forum, 4(25), 1237 1242. Gunawan, H dan Mashadi, (2001a), On Finite Dimensional 2-Normed Spaces, Soocow J o Math, 7(3), 321-329 Gunawan, H dan Mashadi, (2001b), On n-normed Space, IJMMS, 27(10), 631 639 Iqbal H. Jebril, and Hemen Dutta, (2010), Generalization o n-normed Space, General Mathematics Notes, I(1), 8 19. Karakus S, Demirki K and Duman O, (2008), Statistical Convergence on Intituinistic Fuzzy Linear Space, Chaos Solitons and Fractals, 35, 763 769. Kider J.R, (2011), On Ruang uzzy bernormas, Eng & Tech Journal, 29(9), 1790 1795. Kider J.R, (2011), Completion o Fuzzy Normed Space, Eng & Tech Journal, 29(10), 2004 2012. Mashadi. (2010), A New Method or Dual Fully Fuzzy Linear System by Use LU- Factorizations o the Coeicient Matrix, JMS, 17(3), 101 106. Moghaddam. M.A dan Sistani. T, (2011), On t-best Coapproximation in Fuzzy 2- Normed Spaces, 5(9), 2241 2248. Mursaleen. M dan Danish Lohani. Q.M,(2008), Intuitionistic Fuzzy 2-Normed Space and Some Related Concepts, Chaos, Solitons and Fracta, Saadi. R dan Vaezpour. S.M., (2005), Some Result on Banach Spaces, J.Appl Math & Computing, 17(no 1-2), 475 484. Samanta. T.K and Jebril. I.H, (2009), Finite Dimentional Intuitunionistic Fuzzy Normed Linear Space, Int J Open Problems Comp math, 2(4), 574 591.

Beberapa Konsep yang Berkaitan pada Ruang Fuzzy 21 Samanta. T.K dan Mohinta. S, (2011), A Note on Generalizwd Intuitionistic Fuzzy - Normed Linear Space, Global J o Science Frontier Research, 11(1), 1 13. Sharma. S, (2002), On Fuzzy Metric Space, Southeast Asian Bull o Math, 26, 133 145. Somasundaram. R.M dan Beaula. T, (2009), Some Aspects o 2-Fuzzy 2-Normed Linear Space, Bull o the Malaysian Math Scie Soc, 2, 32(2), 211 221. Surender Teddy. B, (2011), Intuitionistic Fuzzy 2-Norm, Int Journal o Math Analysis, 5(14), 651 659. Vaezpour.S.M dan Karimi. F, (2008), T-Best Approximation in Ruang uzzy bernorma, 5(2), 93 99. Vilayabalaji. S, Natesan. T dan Jun. Y. B, (2007), Intuitionistic Fuzzy n-normed Linear Spaces, Bull Korean Math Soc, 44(2), 291 308.. Xiao. J. Z dan Zhu, X.H. (2003), Ruang uzzy bernorma o Operator and its Completeness, Fuzzy Set and Systems, 133, 389 399.