4 3.2 Peralatan..(9) dimana,, dan.(10) substitusi persamaan (10) ke persamaan (9) maka diperoleh persamaan gelombang soliton DNA model PBD...(11) agar persamaan (11) dapat dipecahkan sehingga harus diterapkan pendekatan semidiskrit yang artinya bahwa mencari solusi dalam bentuk gelombang soliton DNA model PBD [22] Peralatan yang digunakan adalah alat tulis, laptop, software maple 11 dan software MATLAB 2008b yang bertujuan menganalisa hasil solusi secara komputasinya dan simulasi dari hasil perhitungan analitik. 3.3 Studi Pustaka Studi pustaka dilakukan untuk memahami proses dalam mencari solusi soliton DNA model PBD dan memahami konsep perhitungan secara matematis, kemudian melihat hubungan segi fisis yang diperoleh sehingga memberi kesan bahwa tidak hanya persoalan matematis saja yang dibahas melainkan membahas hubungan antar variabel. 3.4 Penurunan S olusi Secara Analitik Metode ini dilakukan metode matematis untuk mendapatkan persamaan NLS model PBD ekspansi potensial morse hingga orde-4 yang kemudian mensubstitusikan anzats (tebakan solusi) traveling persamaan (14) ke persamaan (30) (14)... (12)..(13) di sini, l adalah jarak antara dua nukleotida tetangga pada rantai yang sama, adalah frekuensi optik dari getaran pendekatan linear, q adalah bilangan gelombang soliton DNA, c.c adalah istilah conjugate-compleks dari fungsi F 1, F 2 dan F 3. BAB 3 METODE PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilakukan di Laboratorium Fisika Teori Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor mulai bulan Juli 2010 sampai bulan Desember 2010. 3.5 Analisa Hasil Perhitungan Analitik Metode ini menggunakan metode plot yaitu cara membuat plot antara variabel bebas (waktu) variabel terikat (y n ) pada software MATLAB dalam membuat gambar dan menganalisis solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD. BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Persamaan NLS Soliton DNA Model PBD Persamaan (12) merupakan persamaan untuk kasus diskrit dan untuk menyelesaikannya harus diubah ke batas kontinu mengambil batas dan menerapkan transformasi [16, 21, 22],..(15) Transformasi di atas menghasilkan pendekatan untuk kasus kontinu berikut:
5....(16) mengubah fungsi F 0, F 1, F 2 dan F 3 pada persamaan (12) menjadi bentuk kontinu seperti persamaan (16) dan kemudian mensubstitusikan persamaan hasil modifikasi tersebut ke persamaan (11), sehingga diperoleh persamaan (17) yang menggambarkan koefisien, dan ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran B yaitu persamaan (B.3a)- (B.6))... (17) Persamaan (17) merupakan bentuk kontinu hasil transformasi untuk koefisien F 1 dari persamaan (11), menyamakan koefisien untuk berbagai gerak harmonik, bisa diperoleh hubungan penting untuk menyatakan F 0, F 2, F 3 dalam F 1 [12-14,22]. Misal menyamakan koefisien untuk kemudian diperoleh hubungan dispersi ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran B yaitu persamaan (B.7a) dan (B.7d)) 1+ 2.....(18) cara yang sama menyamakan koefisien untuk yang artinya maka diperoleh hubungan F 0 F 1 ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran B yaitu persamaan (B.7e)- (B.7g))...(19a) Asumsikan merupakan koefisien untuk maka diperoleh hubungan F 2 F 1 ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran B yaitu persamaan (B.7h)- (B.7j))...(20a)..(20b) Asumsikan untuk koefisien maka diperoleh hubungan F 3 F 1 ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran B yaitu persamaan (B.7k)- (B.7n))...(21a) Persamaan (17) untuk koefisien dapat ditulis (21b)....(19b)
6...(22) Agar persamaan NLS ( persamaan (22) ) lebih sederhana maka diterapkan transformasi koordinat baru [16, 21, 22]...(23) merupakan kecepatan group dari nukleotida. Berdasarkan persamaan (23) maka persamaan (22) dilakukan transformasi menjadi ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran B yaitu persamaan (B.11a)- (B.11c) )...(24a).(24b) (24c) Substitusi persamaan (24b) dan (24c) ke persamaan (22) menghasilkan persamaan (25) ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran B yaitu persamaan (B.12))...(25) karena nilai <<1, dapat diasumsikan orde 3 O( 4 ) 0 sehingga.(26) agar terbentuk persamaan NLS maka kecepatan group dari nukleotida harus berbentuk:.(27) substitusi persamaan (26) ke persamaan (25) menghasilkan persamaan NLS ( persamaan (28)) ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran B yaitu persamaan (B.14)- (B.17))... (28)
7 Persamaan (28) dapat diubah mejadi lebih sederhana dalam penulisannya menerapkan pemisalan untuk koefisien dispersi dan koefisien nonlinear 2.(29a)...(29b)...(29c) Sehingga diperoleh persamaan NLS kubikkuitik soliton DNA model PBD..(30) Persamaan (30) merupakan persamaan NLS kubik-kuintik untuk fungsi F 1 dan untuk menyelesaikannya harus menggunakan anzats (tebakan). Berdasarkan persamaan tersebut terlihat perbedaan antara ekspansi potensial morse hingga orde-3 dan hingga orde-4 yaitu terdapat nilai konstanta R yang merupakan koefisien nonlinear atau kata lain potensial morse hingga orde-4 mempuyai dua koefisien nonlinear. Nilai R itu sendiri dipengaruhi oleh yang merupakan koefisien dari ekspansi deret taylor potensial morse hingga orde-4 ( 4 ). Jika diambil nilai sama nol maka nilai koefisien nonlinear sama nol (R=0), artinya persamaan (30) menjadi persamaan ekspansi potensial morse hingga orde-3. Persamaan (12) jika diganti anzats (tebakan) solusi orde epsilon yang lebih tinggi maka diperoleh koefisian nonlinear R mempunyai orde ( 2 ), sedangkan untuk nilai itu sendiri sangat kecil sekali ( <<1), artinya anzats (tebakan) pada persamaan (12) sudah tepat. 4.2 Solusi Persamaan NLS Soliton DNA Model PBD Agar persamaan (30) dapat diselesaikan maka diberikan persamaan (14) sebagai persamaan anzats (tebakan) dari persamaan NLS kubik-kuintik, F 1 merupakan fungsi dari S dan, sedangkan merupakan frekuensi gelombang soliton DNA berperan sebagai varibel bebas dan merupakan fungsi real. Substitusi persamaan (14) ke persamaan (30) maka diperoleh persamaan kalikan persamaan (31)....(31) maka diperoleh persamaan yang mengindikasikan ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran C yaitu persamaan (C.2)- (C.5)):...(32) dimana c merupakan sebuah konstanta. Selanjutnya kembali membatasi diri pada solusi yang memiliki kondisi 0 dan u 0 pada S ± dan mengimplikasikan untuk nilai c = 0. Persamaan (32) dapat diatur kembali menjadi bentuk yang lebih sederhana menjadi......(33) Integrasi pada persamaan (33) diselesaikan sehingga diperoleh persamaan (34) ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran C yaitu persamaan (C.8)- (C.15))...... (34) Substitusi persamaan (34) ke persamaan (30) sehingga diperoleh solusi untuk anzats (tebakan) dari persamaan NLS kubik-kuintik ( persamaan (35a) ) dan untuk konjugat ( persamaan (35b) ) ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran C yaitu persamaan (C.16a) dan (C.16b))
8......(35a) dan.....(35b) Fungsi gelombang ( ) dari nukleotida dinyatakan dalam fungsi F 0, F 1, F 2 dan F 3, karena persamaan NLS kubik-kuintik hanya dinyatakan dalam fungsi F 1 maka lakukan substitusi persamaan (18a), (19a) dan (20a) ke persamaan (12)...(36) Solusi persamaan gelombang diperoleh mensubstitusi persamaan (35) ke persamaan (36) maka d iperoleh.... (37)......(38)
9 persamaan (38) tersebut dapat di sederhanakan menjadi.. (39) Solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD dapat ditulis sebagai berikut: 2 cos3( + )...(40) Kasus amplitudo besar substitusi persamaan (40) ke persamaan (7) memisalkan koefisien untuk persamaan (7) adalah 1 yang mempengaruhi pada koefisien F 0 dan F 2. Apabila solusi pada penyelesaian persamaan (12) ditambah F 3 maka koefisien dari F 3 adalah, artinya atau karena 1 nilainya sangat kecil maka nilai 2 akan lebih besar dari pada 1 yang mengindikasikan untuk persamaan (7) bisa menggunakan nilai yang besar, maka diperoleh persamaan gelombang dalam bentuk 2 cos3( + ) (41) dimana dan t merupakan variabel bebas, sedangkan,,,, dan n merupakan variabel terikat yang artinya nilai dari variabel tersebut bergantung pada variabel bebas. Berdasarkan persamaan (40) dan persamaan (41) jelas terlihat agar solusi dari real maka harus dipenuhi >0 dan P>0, artinya /P>0 dan 16 R/3+Q 2 >0. n itu sendiri menyatakan beda fase antara nukleotida yang berada pada rantai yang sama. 4.3 Analisa Hasil Perhitungan Analitik Bagian ini membahas hasil-hasil analisa numerik yang berkaitan karakteristik solusi hingga orde-3 dan hingga orde-4. Program yang dipakai untuk menyelesaikan persamaan tersebut dibuat menggunakan parameter yang sudah ada pada literatur. Gambaran umum dari proses replikasi (denaturasi) DNA merambat dari tengah hingga ke ujung rantai atas dan ujung rantai bawah (dapat dilihat pada Gambar 1), bertambahnya waktu maka perambatan denaturasi DNA akan berpindah terlihat seperti gelombang pada Gambar 3, Gambar 4, Gambar 5 dan Gambar 6. Kasus pertama, karakteristik solusi hingga orde-3, pada kasus ini hanya menggunakan pendekatan potensial morse hingga orde-3 dan hanya terdapat satu koefisien nonlinear. Gambar 3 dan Gambar 4 merupakan representasi umum proses replikasi DNA ekspansi potensial morse hingga orde-3 nilai parameter a = 2.8 x 10 10 m -1, = 10 10 dan = 10-3. y ( pm ) n ( pm ) nl Gambar 3. Karakteristik So lusi traveling Persamaan NLS soliton DNA model PBD h ingga orde- 3 pada saat a = 2.8 x 10 10 m -1, = 10 10 dan = 10-3 plot y n (pm) terhadap nl(pm) pada saat T=0.
10 y ( pm ) n (a) (b) Gambar 4. Karakteristik Solusi traveling Persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde-3 pada saat a = 2.8 x 10 10 m -1, = 10 10 dan = 10-3 (a) profil soliton DNA dalam tiga dimensi (b) profil soliton DNA tampak atas. Kasus kedua, karakteristik Solusi hingga orde-4. Pada kasus ini menggunakan pendekatan potensial morse hingga orde-4 dan terdapat dua koefisien nonlinear. Gambar 5 merupakan representasi umum proses replikasi DNA ekspansi potensial morse hingga orde-4 nilai parameter a= 2.8 x 10 10 m -1 (jarak antar nukleotida rantai yang berbeda), = 10 10 dan = 10-3.
11 y ( pm ) n (a) y ( pm ) n (b) (c) Gambar 5. Karakteristik So lusi traveling Persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde- 4 pada saat = 10 10, a = 2.8 x 10 10 m - 1 dan = 10-3 (a) plot y n (pm) terhadap nl(pm) pada saat T=0, kurva merah ketika a = 2.8 x 10 10 m -1 dan kurva hitam ketika a = 3 x 10 10 m -1 (b) profil soliton DNA dalam tiga dimensi (c) profil soliton DNA tampak atas. Pada Gambar 3, Gambar 4 dan Gambar 5 terlihat ada beberapa faktor yang mempengaruhi model dari replikasi DNA, diantaranya jarak antar nukleotida untuk rantai yang berbeda dan ekspansi deret taylor pada potensial morse. Potensial morse itu sendiri merupakan ikatan hidrogen antar nukleotida untuk rantai yang berbeda pada DNA, sedangkan jarak antar nukleotida untuk rantai yang berbeda mempengaruhi lebar dari potensial morse. Perbedaan terlihat ketika menggunakan potensial morse
12 hingga orde-3 dan hingga orde-4 pada panjang gelombang yang dihasilkan dalam satu siklus, semakin besar orde potensial morse yang dipakai maka semakin kecil panjang gelombang yang terbentuk oleh suatu nukleotida. Gambar 3 dan Gambar 5a memiliki amplitudo (simpangan) yang berbeda, terlihat ekspansi potensial morse hingga orde-3 memiliki amplitudo yang positif dan ekspansi potensial morse hingga orde-4 memiliki amplitudo yang negatif. Artinya pada saat ekspansi potensial morse hingga orde-3 pergerakan denaturasi DNA lebih dominan ke arah u n, sedangkan pada saat potensial morse hingga orde-4 pergerakan denaturasi DNA lebih dominan ke arah v n. Pada Gambar 5a terdapat dua grafik amplitudo yang berbeda. Grafik warna merah untuk nilai a = 2.8 x 10 10 m -1 dan grafik warna hitam untuk nilai a = 3 x 10 10 m -1. Hal tersebut disebabkan oleh lebar dari potensial morse. Semakin lebar potensial morse maka amplitudo yang terbentuk akan semakin besar. Pengaruh lebar potensial morse dapat dilihat pada Gambar 6. (a) (b) Gambar 6. Karakteristik So lusi traveling Persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde- 4 pada saat = 10 10 dan = 10-2 (a) pada saat a = 2.8 x 10 10 m -1 (b) pada saat a = 7 x 10 10 m -1. Lebar potensial morse mempengaruhi amplitudo dari nukleotida, sedangkan lebar potensial morse itu sendiri bergantung pada jarak antar nukleotida pada rantai yang berbeda. Berdasarkan Gambar 6 terlihat semakin besar jarak antar nukleotida rantai yang berbeda, maka amplitudo denaturasi semakin kecil. Artinya lebar potensial morse berbanding terbalik jarak antar nukleotida rantai yang berbeda.