BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf adalah cabang kajian matematika yang mempelajari sifat-sifat graf. Secara sederhana, suatu graf adalah himpunan benda-benda yang disebut titik yang terhubung oleh sisi. Biasanya graf digambarkan sebagai kumpulan titiktitik yang dihubungkan oleh garis-garis (melambangkan sisi). Suatu sisi dapat menghubungkan suatu titik dengan titik yang sama. Sisi yang demikian disebut loop. Andaikan G adalah sebuah graf. Sebuah jalan dengan panjang t yang menghubungkan titik u dan v di G merupakan sebuah barisan t buah sisi dalam bentuk {u = u 0, u 1 }, {u 1, u 2 }, {u 2, u 3 },..., {u t 1, u t = v} yang dapat dinotasikan dengan u = v 0 v 1 v 2 v t 1 v t = v. Lebih sederhananya, sebuah jalan dengan panjang t yang menghubungkan titik u dan v dinotasikan dengan u t v. Sebuah jalan dengan u v dikatakan terbuka dan sebuah jalan dengan u = v dikatakan tertutup. Sebuah jalan adakalanya memuat sisi yang berulang. Sebuah jalan tanpa perulangan sisi disebut sebagai lintasan. Panjang lintasan adalah jumlah sisi pada lintasan tersebut. Jarak dari u dan v, yaitu d(u, v) merupakan panjang dari lintasan terpendek yang menghubungkan u dan v. Sebuah lintasan dikatakan tertutup apabila u = v. Sebuah lingkaran adalah suatu lintasan tertutup. Sebuah graf G dikatakan terhubung apabila untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat jalan yang menghubungkan u dan v. Sebuah graf terhubung G dikatakan primitif apabila terdapat bilangan bulat positif k sedemikian sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat jalan sepanjang k dari titik u ke titik v di G. Bilangan bulat positif k yang terkecil disebut dengan eksponen dari G dan dinotasikan dengan exp(g). Sebuah graf G juga dikatakan primitif jika dan hanya jika terhubung dan mengandung lingkaran dengan panjang ganjil. 1
2 Penelitian mengenai eksponen telah banyak dilakukan diantaranya Fuyi et al. (1999) yang membuktikan bahwa setiap graf primitif ganjil harus memuat 2 titik yang saling lepas dengan lingkaran ganjil, serta menggolongkan keluarga dari graf primitif ganjil yang eksponennya mencapai batas atas. Akelbek dan Kirkland (2009) pertama kali memperkenalkan scrambling index dengan mendefinisikan scrambling index dari graf primitif G, dinotasikan dengan k(g) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda di G, terdapat sebuah titik w dengan sifat terdapat u k w dan v k w. Untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda, scrambling index lokal dari u dan v adalah bilangan bulat positif k u,v (G) yang didefinisikan sebagai k u,v (G) = min w V {k : u k w dan v k w} Dari definisi scrambling index k(g) dan scrambling index lokal k u,v (G) diperoleh hubungan k(g) k u,v (G). Karena G adalah graf terhubung, maka untuk setiap bilangan bulat l k u,v (G) dapat ditemukan sebuah titik w sehingga terdapat u l w dan v l w. Hal ini mengakibatkan nilai dari k(g) yang juga disebut dengan scrambling index global adalah maksimum dari nilai-nilai scrambling index lokal k u,v (G) yang didefinisikan sebagai k(g) = max u v {k u,v(g)} Scrambling index dari sebuah graf primitif G dapat diselesaikan menggunakan matriks ketetanggaan dari G yaitu matriks A(G) n n = (a ij ), dimana a ij = 1 jika v i adjacent terhadap v j dan a ij = 0 untuk lainnya. Karena a ij = a ji maka A adalah matriks simetris. Scrambling index dari A adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian sehingga untuk setiap dua baris dari A k memiliki paling sedikit satu entri positif pada kolom yang sama, dinotasikan dengan k(a). Pada awalnya, penelitian mengenai scrambling index dilakukan pada kelas digraf primitif. Akelbek dan Kirkland (2009a) memperlihatkan tentang batas atas pada scrambling index dari digraf primitif D dengan n titik dan s lilitan. Lebih lanjut Akelbek dan Kirkland (2009b) juga memperlihatkan tentang karakteristik dari semua digraf primitif sehingga scrambling index sama dengan batas atas pada scrambling index digraf primitif D.
3 Chen dan Liu (2010) memperlihatkan hubungan antara scrambling index dan eksponen dari graf primitif, jika G adalah graf primitif dengan order n 2 dan u, v adalah pasangan titik dari G adalah dan k(g) = expg (u, v) k u,v (G) 2 exp(g) dengan a adalah integer terkecil a. 2 Chen dan Liu juga mendiskusikan tentang karakteristik graf primitif yang scrambling index sama dengan nilai maksimum dari scrambling index graf primitif G. Selanjutnya, Liu dan Huang (2010) memberikan batas atas untuk scrambling index dari graf primitif dengan lingkaran sepanjang s yaitu k(g) (s 1)/2 + (n s) Batas ini dicapai untuk graf primitif G dengan lingkaran ganjil C s sepanjang s dengan max v V {d(v, C s )} = n s. Gao dan Shao (2013) melakukan penelitian tentang scrambling index dari graf primitif berbentuk lingkaran atas n titik ganjil C s : v 1 v 2 v 3 v s v 1, yaitu k(c n ) = (n 1)/2. Penelitian ini akan secara khusus membahas mengenai scrambling index dari kelas graf primitif ring star dan 2 buah variasinya yaitu graf wheel dan steering ship, dengan definisi sebagai berikut: 1. Graf s-ring star (R) terdiri dari sebuah lingkaran dengan panjang s 3 dimana s adalah ganjil bersama s buah sisi yang menghubungkan masingmasing titik pada lingkaran dengan sebuah titik lain di luar lingkaran. Gambar 1.1 : Bentuk umum graf primitif s-ring star (R)
4 2. Graf s-wheel (W ) terdiri dari satu buah lingkaran dengan panjang s 2 dan s buah sisi yang menghubungkan masing-masing titik pada lingkaran dengan satu buah titik di dalam lingkaran. Gambar 1.2 : Bentuk umum graf primitif s-wheel (W ) 3. Graf s-steering Ship (S) terdiri dari satu buah lingkaran dengan panjang s 2 dan 1 buah titik di dalam lingkaran yang menghubungkan dirinya dengan semua titik pada lingkaran serta s buah sisi yang menghubungkan masing-masing titik pada lingkaran dengan 1 buah titik lain di luar lingkaran. Gambar 1.3 : Bentuk umum graf primitif s-steering ship (S) 1.2 Perumusan Masalah Penelitian ini membahas mengenai graf primitif ring star dan dua variasi lainnya yaitu graf primitif wheel dan graf primitif steering ship. Andaikan terdapat graf s-ring star (R), graf s-wheel (W ), dan graf s-steering Ship (S) apakah bentuk umum dari nilai scrambling index pada graf-graf tersebut? Karena syarat dari scrambling index adalah graf primitif yang harus memuat lingkaran ganjil, maka untuk kasus s-ring star (R) s 3 dan s adalah ganjil.
5 1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah mendapatkan pola atau bentuk umum nilai scrambling index dari kelas graf primitif s-ring star (R), s-wheel (W ) dan s- steering ship (S). 1.4 Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan dapat memberikan teori-teori baru tentang scrambling index dari kelas graf primitif, terutama kelas graf ring star, sehingga dapat menjadi referensi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.