Pertemuan 8 UKURA PEYEBARA 1. Pengertian Penyebaran (Dispersi) Penyebaran adalah perserakan data individual terhadap nilai rata-rata. Data homogen memiliki penyebaran (dispersi) yang kecil, sedangkan data yang heterogen memiliki penyebaran yang besar.. Macam Ukuran Penyebaran A. Ukuran Penyebaran untuk Data yang tidak Dikelompokkan. Terdapat empat ukuran penyebaran absolut yang utama, yaitu:.1 Range (Rentang/Jarak) Range = L S L = nilai data terbesar S = nilai data terkecil Contoh data: 44 56 60 67 70 80 85 90 99 Range = 99 44 = 55. Contoh Kasus -1 Berikut adalah pertumbuhan ekonomi dari egara maju, egara industri baru, egara ASEA dan Indonesia. Hitung range atau jaraknya! Apa komentar anda? Pertumbuhan Ekonomi (%) egara Industri egara Maju egara ASEA Indonesia Baru 1994 3, 7,6 6,4 7,5 1995,6 7,3 6,6 8, 1996 3, 6,3 7,1 7,8 1997 3, 6,0 3,8 4,9 1998, -1,5-9,4-13,7 1999,0,1 1,1 4,8 000,3 4,5 3,0 3,5 001,1 5,6 4,5 3, Penyelesaian : Pertumbuhan Ekonomi (%) ilai egara Industri egara Maju egara ASEA Indonesia Baru Tertinggi 3, 7,6 7,1 8, Terendah,0-1,5-9,4-13,7 Range (Jarak) 1, 9,1 16,5 1,9 Keterangan Range (jarak) 3,-,0=1, 7,6-(-1,5)=9,1 7,1-(-9,4)=16,5 8,-(-13,7)=1,9 ilai range diperoleh dengan mengurangkan nilai tertinggi dengan nilai terendah. Misalnya range pertumbuhan ekonomi pada egara maju 1, diperoleh dari 3,-,0. Dari nilai range menunjukkan bahwa yang terkecil egara maju, egara Industri Baru, egara ASEA dan selanjutnya egara Indonesia. Besarnya range menunjukkan nilai 1
terbesar dan terkecil sehingga juga menunjukkan nilai fluktuasi. Oleh sebab itu, dapat disimpulkan karena Indonesia mempunyai range pertumbuhan ekonomi terbesar maka fluktuasi dan gejolak ekonomi yang terjadi juga paling besar. Sedang egara maju dengan range 1,% berarti fluktuasi perekonomian tidak terlalu besar, hal ini menunjukkan terjadinya gejolak yang positif atau negatif tidak terlalu besar. Perekonomian suatu egara yang sudah matang, cenderung akan lebih stabil.. Deviasi Rata-rata Deviasi rata-rata adalah rata-rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data pengamatan dengan rata-rata hitungnya. Bentuk rumus deviasi rata-rata yang disingkat dengan MD (Mean Deviation) atau AD (Average Deviation) adalah sebagai berikut: Dimana: MD : Deviasi rata-rata : ilai setiap data pengamatan : ilai rata-rata hitung dari seluruh nilai pengamatan : Jumlah data atau pengamatan dalam sampel/populasi : Lambang penjumlahan : Lambang nilai mutlak Mengapa menggunakan nilai mutlak? Ukuran yang nilainya nol tentunya tidak berarti banyak. Oleh sebab itu, digunakan nilai mutlak yaitu nilai yang mengabaikan tanda negatif. Contoh Kasus - Hitung Deviasi rata-rata dari pertumbuhan ekonomi negara maju dan Indonesia. MD Pertumbuhan Ekonomi (%) egara Maju Indonesia 1994 3, 7,5 1995,6 8, 1996 3, 7,8 1997 3, 4,9 1998, -13,7 1999,0 4,8 000,3 3,5 001,1 3, Penyelesaian: a. Langkah pertama adalah menghitung nilai rata-rata hitung dari pertumbuhan ekonomi egara maju dan Indonesia b. Langkah kedua mengurangkan setiap data dengan nilai rata-rata c. Langkah ketiga membuat harga mutlak setiap deviasi pada langkah kedua d. Langkah keempat menjumlahkan nilai mutlak dari deviasi dan membaginya dengan jumlah data ilai Mutlak 1994 3, 0,6 0,6 1995,6 0,0 0,0 1996 3, 0,6 0,6
ilai Mutlak 1997 3, 0,6 0,6 1998, -0,4 0,4 1999,0-0,6 0,6 000,3-0,3 0,3 001,1-0,5 0,5 Jumlah =0,80 = 3,6 Rata-rata /n= =,6 / = 0,45 Penjelasan: a. Penjumlahan dari data berupa pertumbuhan ekonomi egara maju mendapatkan nilai 0,80. Apabila nilai tersebut dibagi dengan n=8, maka didapat,6 sebagai nilai hitung rata-rata ( ). b. Langkah kedua mengurangkan setiap data dengan nilai hitung rata-rata. Misal tahun 1994, 3,,6 = 0,6, dan seterusnya sampai tahun 001,,1-,6= -0,5 c. Langkah ketiga membuat harga mutlak, nilai negative menjadi positif seperti tahun 1998, -0,4 = 0,4 d. Langkah keempat menjumlahkan nilai harga mutlak dari 0,6 tahun 1994 sampai 0,5 tahun 001, dan nilai penjumlahan ini = 3,6. Untuk mendapatkan deviasi ratarata, nilai penjumlahan dibagi jumlah data, / = 3,6/8 = 0,5. Jadi nilai deviasi rata-rata pertumbuhan ekonomi egara maju adalah 0,5. Untuk menghitung deviasi pertumbuhan ekonomi Indonesia dapat dilakukan dengan cara yang sama, sehingga dihasilkan sebagai berikut: ilai Mutlak 1994 7,5 4, 4, 1995 8, 4,9 4,9 1996 7,8 4,5 4,5 1997 4,9 1,6 1,6 1998-13,7-17,0 17,0 1999 4,8 1,5 1,5 000 3,5 0, 0, 001 3, -0,1 0,1 Jumlah =6,0 = 34,00 Rata-rata /n= = 3,3 / = 4,3 Jadi nilai deviasi rata-rata pertumbuhan ekonomi Indonesia sebesar 4,3% dari rata-rata hitung pertumbuhan ekonomi sebesar 3,3%. 3
.3 Varians dan Deviasi Standar (Simpangan Baku) Varian adalah rata-rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya. Deviasi standar dari suatu rangkaian data adalah akar kuadrat dari varians dan menunjukkan standart penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya Terdapat dua jenis rumus yang umum digunakan untuk varians dan deviasi standar, yaitu: a. Varians dan Deviasi Standar untuk Populasi b. Varian dan Deviasi Standar untuk Sampel. Oleh karena itu, kita harus memilih rumus yang sesuai dengan jenis data yang ada, yaitu data populasi atau data sampel. Jika data kita adalah data populasi gunakan rumus deviasi standar untuk populasi, dan jika data kita adalah data sampel, maka gunakan rumus deviasi standar untuk sampel..3.1 Varians dan Deviasi Standar Populasi Varian populasi dapat dirumuskan sebagai berikut: ingat bahwa Dimana: σ : variant populasi (σ merupakan huruf yunani, dibaca tho) : ilai setiap data/pengamatan dalam populasi. μ : nilai rata-rata hitung dalam populasi : jumlah total data/pengamatan dalam populasi : simbol operasi penjumlahan Rumus standart deviasi populasi selanjutnya dinyatakan: Contoh Kasus -3 Hitung variant dari pertumbuhan ekonomi egara maju dan Indonesia sebagaimana contoh -. a. Variant egara maju -μ (-μ) 1994 3, 0,6 0,36 1995,6 0,0 0,00 1996 3, 0,6 0,36 1997 3, 0,6 0,36 1998, -0,4 0,16 1999,0-0,6 0,36 000,3-0,3 0,09 001,1-0,5 0,5 Jumlah =0,80 (-μ) = 1,94 Rata-rata μ=/= =,6 σ = (-μ) / = 0,4 Penjelasan: 1. Langkah pertama, mencari nilai rata-rata hitung populasi μ=/, nilai diperoleh dengan menjumlahkan seluruh dari populasi dan membagi dengan. ilai μ=,6 diperoleh dari membagi 0,8 dengan =8.. Langkah kedua, mengurangkan setiap nilai dengan μ, dan hasilnya tetap dalam nilai absolute, tidak dimutlakan. 4
3. Langkah ketiga, mengkuadratkan nilai - μ, sehingga didapat nilai positif semua. 4. Langkah keempat, menjumlahkan nilai (-μ), sehingga didapatkan nilai 1,94. Untuk mendapatkan nilai variant, maka nilai 1,94 dibagi dengan dimana =8, sehingga diperoleh nilai variant 0,4. b. Variant Indonesia, dengan cara yang sama diperoleh hasil sebagai berikut: -μ (-μ) 1994 7,5 4, 17,64 1995 8, 4,9 4,01 1996 7,8 4,5 0,5 1997 4,9 1,6,56 1998-13,7-17,0 89,0 1999 4,8 1,5,5 000 3,5 0, 0,04 001 3, -0,1 0,01 Jumlah =6,0 (-μ) = 355,76 Rata-rata μ=/= = 3,3 σ = (-μ) / = 44,47 Contoh Kasus -4 Hitunglah standart deviasi dari pertumbuhan ekonomi negara maju dan Indonesia, sebagaimana contoh -3. Penyelesaian: a. Diketahui bahwa σ untuk negara maju adalah 0,4, sedangkan σ untuk Indonesia 44,47. b. Standart deviasi merupakan akar dari nilai variant, maka diperoleh nilai sebagai berikut : = σ σ negara maju = 0,4 = 0,49 σ Indonesia = 44,47 = 6,67 jadi standart deviasi yang merupakan standart penyimpangan dari nilai rata-rata hitung, Indonesia juga jauh lebih besar dari negara maju..3. Varians dan Deviasi Standar Sampel Sampel merupakan bagian dari populasi, namun apabila jumlah anggota didalam populasi kurang atau sama dengan 30, diusahakan semuanya menjadi bagian yang dikaji. Apabila jumlah anggota dalam populasi > 30, maka langkah pengambilan sampel dapat dilakukan, sehingga jumlah data tidak terlalu besar. Varian sampel dirumuskan sebagai berikut: s n 1 Dimana: s : varian sampel x : nilai setiap data/pengamatan dalam sampel x : nilai rata-rata hitung dalam sampel n : jumla total data/pengamatan dalam sampel : simbol operasi penjumlahan 5
Untuk standart deviasi sampel merupakan akar kuadrat dari varian sampel, sehingga didapatkan rumus: S n 1 Contoh Kasus -5 Hitunglah varian sampel dan standart deviasi pertumbuhan ekonomi negara maju dan Indonesia dari tahun 1994-001 dengan sampel untuk data tahun yang ganjil saja. Pertumbuhan Ekonomi (%) egara Maju Indonesia 1995,6 8, 1997 3, 4,9 1999,0 4,8 001,1 3, Data semula berjumlah 8 data dianggap sebagai populasi, dan untuk sampel diambil 4 data saja, dengan mengambil data tahun ganjil. Anda boleh mengambil data tahun genap atau anda pilih secara acak. Penyelesaian: egara Maju Indonesia,6 0,1 0,01 8,,9 8,41 3, 0,7 0,49 4,9-0,4 0,16,0-0,5 0,5 4,8-0,5 0,5,1-0,4 0,16 3, -,1 4,41 ilai tengah rata-rata: Data egara Maju Data Indonesia,6 3,,0,1 8, 4,9 4,8 3, = /n = = /n = 4 4 = 9,9/4 =,5 = 1,1/4 = 5,3 Varian sampel Indonesia: S 8,41 0,16 0,5 4,41 = 13,3 / 3 = 4,41 n 1 4 1 Varian sampel negara maju: S 0,01 0,49 0,5 0,16 = 0,91 / 3 = 0,303 n 1 4 1 6
Sedangkan nilai Standart Deviasinya adalah: Standart Deviasi Indonesia: S = n 1 S 4,41,1 Standart Deviasi egara Maju: S = n 1 S 0,303 0,55 Berdasarkan standart deviasi sampel, deviasi standart Indonesia mencapai,1 sedangkan negara maju 0,55. B. Ukuran Penyebaran untuk Data yang Dikelompokkan 3.1 Range atau Jarak Sebagaimana pada data tidak berkelompok, range atau jarak pada data berkelompok adalah selisih antara batas atas kelas tertinggi dengan batas bawah kelas terendah. Contoh 3-1 Berikut adalah data yang sudah dikelompokkan dari harga saham pilihan bulan Maret 003 di BEJ. Hitung range dari data tersebut! Kelas ke- Interval Jumlah Frekuensi (F) 1 160-303 304-447 5 3 448-591 9 4 59-735 3 5 736-878 1 Penyelesaian: Range = batas atas kelas tertinggi batas bawah kelas terendah = 878-160 = 718 3. Deviasi Rata-rata Deviasi rata-rata untuk data berkelompok dirumuskan: MD F Dimana: MD F : Deviasi rata-rata : Jumlah frekuensi setiap kelas : ilai setiap data pengamatan : ilai rata-rata hitung dari seluruh nilai pengamatan : Jumlah data atau pengamatan dalam sampel/populasi : Lambang penjumlahan : Lambang nilai mutlak 7
Jangan lupa untuk nilai rata-rata hitung data berkelompok adalah: Contoh 3. F. Data yang digunakan berdasar contoh 3.1. Hitunglah deviasi rata-rata dari data berkelompok tersebut! Penyelesian: a. Menghitung nilai tengah kelas. Untuk memperoleh nilai tengah data (), maka nilai tengah kelas dikalikan dengan frekuensi masing-masing kelas (F.). Jumlah dari perkalian antara frekuensi dengan nilai kelas dibagi dengan jumlah data mendapatkan nilai rata-rata hitung data berkelompok (F/). b. Langkah kedua, menghitung deviasi setiap kelas dengan cara mengurangkan nilai tengah kelas dengan nilai rata-rata hitungnya ( i ). c. Langkah ketiga, mengalikan dengan deviasi setiap kelas F i d. Menjumlahkan hasil perkalian denga deviasi setiap kelas kemudian membaginya dengan jumlah data (). Langkah diatas disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut: Interval Titik Tengah () F F. i F i 160-303 31,5 463-59, 518,4 304-447 375,5 5 1.877,5-115, 576 448-591 519,5 9 4.675,5 8, 59, 59-735 663,5 3 1.990 17,8 518,4 736-878 807 1 807 316,3 316,3 Jumlah 0 9.813.188,3 Titik tengah (interval 1): 160 303 463 31,5 F MD 9813 0 F 490,65 188,3 109,4 0 3.3 Varians dan Standart Deviasi Data Berkelompok Varians untuk data berkelompok hampir sama dengan varians data tunggal, namun dikalikan dengan frekuensi setiap kelasnya. Varians data berkelompok dirumuskan sebagai berikut: F S n 1 Dimana: s F x x n : varian sampel : jumlah frekuensi setiap kelas : nilai setiap data/pengamatan dalam sampel : nilai rata-rata hitung dalam sampel : jumla total data/pengamatan dalam sampel : simbol operasi penjumlahan 8
Sedangkan untuk Standart Deviasi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut: S F n 1 4. Kegunaan Ukuran Penyebaran Untuk menentukan apakah suatu nilai rata-rata dapat mewakili suatu rangkaian data atau tidak. Contoh data upah 5 (lima) karyawan berikut ini: Rp 15.000,- Rp 5.000,- Rp Rp 30.000,- Rp 30.000,- Rp 100.000,- ilai rata-rata atau mean-nya = Rp 50.000,- Kita dapat mengatakan bahwa nilai rata-ratanya kurang mewakili karena data tersebut memiliki standar deviasi yang besar, dimana 4 dari 5 karyawan berada di bawah rata-rata. Untuk perbandingan terhadap variabilitas data, misalnya data curah hujan, suhu udara, dsb. Membantu penggunaan ukuran statistik, misalnya dalam membandingkan ukuran penyebaran sampel terhadap ukuran populasi. Latihan Soal: Selesaikan perhitungan deviasi standar untuk sampel berikut ini: o. Kasus Angka Produksi (x) Mean () 1 18 19 3 19 4 19 5 19 6 19 7 0 8 0 9 45 10 45 11 46 1 47 13 48 14 50 = 9