Sudayatno Sudiam ing Utai Mengenal Sifat-Sifat Mateial () 4- Sudayatno S & Ning Utai, Mengenal Sifat-Sifat Mateial ()
BAB 4 Aplikasi Pesamaan Scödinge Pada Atom Dengan Satu Elekton Dalam bab ini kita akan meliat aplikasi pesamaan Scödinge pada atom yang anya memiliki satu elekton sepeti idogen, deuteium, titium, ion elium He, ion litium Li. Dalam buku Macelo Alonso dan E.J Finn, pesoalan ini dibaas secaa detil, namun pesamaan Scödinge agak kuang teliat aplikasinya. Dalam bab ini kita akan membaas pesoalan tesebut secaa lebi sedeana namun kita akan beangkat dai pesamaan Scödinge yang tela kita baas dalam koodinat katesian xyz; pebedaannya adala bawa di sini kita meliat atom dengan menggunakan koodinat bola. 4.. Pesamaan Scödinge Dalam Koodinat Bola Gaya sental ole inti atom menyebabkan elekton beada dalam medan potensial yang membentuk simeti bola, yang meupakan fungsi jaak dai inti,. Ze V ( ) (4.) 4πε Pesamaan Scödinge tiga dimensi bebas-waktu menjadi ψ ψ ψ Ze E ψ m 4 x y z πε (4.) Dalam pesoalan gaya sental ini, kita akan bekeja dalam koodinat bola, dengan memposisikan inti atom pada titik asal sepeti teliat pada Gb.4.. elekton z inti atom x Gb.4.. Koodinat bola dengan inti atom di titik asal. ϕ y 4-
4- Sudayatno S & Ning Utai, Mengenal Sifat-Sifat Mateial () Fungsi gelombang dinyatakan dalam,, dan ϕ, menjadi ),, ( ϕ ψ. Enegi potensial elekton, yang disebabkan ole adanya pengau dai inti atom, anya meupakan fungsi. Dalam koodinat bola, pesamaan (4.) menjadi 4 sin cot ψ πε ϕ ψ Ψ ψ Ψ ψ Ze E d m (4.3) Sepeti apa yang kita lakukan pada tinjauan sumu tiga dimensi xyz, kita tuliskan fungsi gelombang dalam koodinat bola sebagai ) ( ) ( ) ( ),, ( ϕ Φ Θ ϕ ψ (4.4) dengan, Θ, dan Φ adala fungsi-fungsi dai satu peuba saja, betuut-tuut,, dan ϕ. Kita masukkan tuunan-tuunan pasial (4.4) ke (4.3) kemudian kita kalikan dengan ),, ( / ϕ ψ, maka akan kita peole 4 sin cot πε ϕ Φ Φ Θ Θ Θ Θ e E d m (4.5) uas kii (4.5) dapat kita kelompokkan dalam suku-suku yang mengandung peuba dan yang tidak, seingga (4.5) dapat dituliskan menjadi sin cot 4 ϕ Φ Φ Θ Θ Θ Θ πε m e E d m (4.6)
4-3 4.. Enegi Elekton Enegi elekton tekait dengan besa momentum sudutnya akan tetapi tidak dengan aa momentum. Ada satu kondisi di mana momentum tidak memiliki aa tetentu, yaitu kondisi simeti bola. Dalam kondisi ini fungsi gelombang tidak meupakan fungsi dan ϕ dan al ini akan tejadi jika suku kedua uas kii (4.6) tidak memiliki pean seingga dapat kita katakan sebagai benilai nol. Dalam keadaan demikian kita memiliki pesamaan: 4 πε Ze E d m (4.7) Jika (4.7) kita kalikan dengan / maka akan kita peole 4 πε Ze E m (4.8) Jika kedua uas (4.8) kita kalikan dengan / m dan kita kelompokkan suku-suku yang bekoefisien konstan akan kita peole 4 πε me mze (4.9) Sala satu keadaan aga pesamaan (4.9) tepenui untuk semua nilai adala 4 πε mze (4..a) dan me (4..b) Masing-masing pesamaan pada (4.) dapat diselesaikan secaa tepisa tetapi dengan ketentuan bawa solusi dai pesamaan petama aus pula meupakan solusi dai pesamaan kedua. Bentuk solusi
s mze adala A e dengan s, yang juga aus memenui 4πε me s. Dai sini kita peole fomulasi untuk E 4 mze mz e E (4.) m 4 πε 3π ε Inila nilai E yang aus dipenui aga bentuk fungsi gelombang yang meupakan solusi pesamaan (4..a) juga meupakan solusi pesamaan (4..b). 4.3. Pobabilitas Kebeadaan Elekton Fungsi gelombang belaku untuk < <. Pobabilitas kebeadaan elekton dalam selang ini dapat dicai dengan mengitung pobabilitas kebeadaan elekton dalam suatu volume dinding bola yang mempunyai jai-jai dan tebal dinding. Di dalam volume itu pobabilitas kebeadaan elekton adala s e 4 π A e (4.) P dengan adala fungsi gelombang yang dipeole pada pemecaan pesamaan (4.9) yang juga membeikan elasi (4.). Gb.4.. mempeliatkan kuva dan P e teadap dinomalisasikan...5. P e.5.5.5 3 [Å] Gb.4.. Fungsi gelombang dan pobabilitas kebeadaan electon teadap. Peatikan bawa kuva-kuva pada Gb.4.. dinomalisasikan seingga nilai maksimum maupun P e adala. Nilai-nilai maksimum sesunggunya dapat dipeole dengan memasukkan 4-4 Sudayatno S & Ning Utai, Mengenal Sifat-Sifat Mateial ()
s besaan-besaan fisis pada pesamaan A e dengan mze s s, dan P e 4 π A e. Nilai s 4πε dalam al ini adala -8,8334 9. Jika maks (pada ) maka P emaks 4.78-33 pada,5 Å. Kuva ini menunjukkan pobabilitas maksimum ada di sekita suatu nilai sedangkan di lua pobabilitas ditemukannya elekton dengan cepat menuun. Hal ini beati bawa kebeadaan elekton tekonsentasi di sekita jai-jai. Inila stuktu atom yang memiliki anya satu elekton di sekita inti atomnya dan inila yang disebut status dasa atau gound state. Enegi elekton pada status ini dibeikan ole pesamaan (4.), yang jika kita masukkan nilai-nilai e, m,, dan Z untuk atom idogen, akan kita dapatkan nilai 8 E,8 J atau E 6 ev (4.3) 3, Jai-jai dapat dicai melalui difeensiasi (4.) yang disamakan dengan nol yang akan membeikan. 4π ε s e m,58 Å (4.4) Pada model atom Bo, inila jai-jai dai obital petama yang dikemukakan ole Bo dan disebut jai-jai atom Bo. Pada teoi kuantum jai-jai ini adala posisi di mana elekton paling mungkin ditemukan. Dengan (4.4) ini maka fungsi gelombang dapat ditulis sebagai / s A e Ae (4.5) Fungsi gelombang ini mempunyai satu titik simpul yaitu titik di mana benilai nol; titik simpul ini teletak di, dan gelombang ini membeikan tingkat enegi yang petama yaitu E. Kita ingat bawa dalam tinjauan satu dimensi, aplikasi pesamaan Scödinge untuk elekton di dalamn sumu potensial menunjukkan bawa ada ketekaitan antaa tingkat enegi dengan jumla simpul fungsi gelombang yaitu jumla titik di mana fungsi gelombang benilai 4-5
nol. Dalam tinjauan tiga dimensi, pengetian mengenai titik simpul gelombang tentula beuba menjadi bidang di mana fungsi gelombang benilai nol. Fungsi gelombang (4.5) memiliki satu titik simpul yang tekait dengan tingkat enegi E. Solusi lain dai (4.7) beupa fungsi gelombang yang memiliki dua simpul, satu di dan satu lagi misalnya di A /B dengan bebentuk s ( A B ) e (4.6) Solusi yang lain lagi adala fungsi gelombang yang memiliki tiga simpul, dengan bentuk 3 s3 ( A B C ) e (tentang fungsi polinom liat ef.[4]). 3 3 3 3 (4.7) Secaa umum solusi yang dapat dipeole akan bebentuk dengan n mulai dai. sn n L n ( ) e (4.8) Peitungan untuk mempeole solusi ini tidak kita baas; kita anya akan meliat asilnya saja. Bentuk fungsi gelombang n sampai dengan n 3 dipeliatkan pada Gb.4.3. 3,5,5,5 3 3,5 4 Gb.4.3. Bentuk gelombang dengan satu, dua, dan tiga simpul.[,3] Pobabilitas kebeadaan elekton adala snt en 4π Ln ( ) e (4.9) P [Å] Kuva pobabilitas kebeadaan elekton untuk ketiga bentuk fungsi gelombang yang dipeliatkan pada Gb.4.3. adala sepeti teliat pada Gb.4.4. Kuva-kuva dalam gamba ini dinomalisasikan aga integal dai nol sampai tak ingga benilai satu. 4-6 Sudayatno S & Ning Utai, Mengenal Sifat-Sifat Mateial ()
,,8,6,4, P e P e Pe3,5,5,5 3 3,5 4 Gb.4.4. Kuva pobabilitas kebeadaan elekton untuk fungsi gelombang,, 3. [,3]. Masing-masing fungsi gelombang membeikan tingkat enegi tetentu yang tekait dengan n yaitu E n 3,6 n, dengan n,, 3, (4.) Inila tingkat-tingkat enegi yang meupakan tingkat-tingkat enegi utama pada atom dan bilangan n disebut bilangan kuantum utama. Hal ini tela pula kita liat pada model atom Bo. 4.4. Momentum Sudut Sebagaimana tela kita liat, bilangan kuantum utama n yang tekait dengan tingkat enegi utama, muncul pada aplikasi pesamaan Scödinge pada bagian yang meupakan fungsi. Pada benda yang begeak, selain enegi kita juga mengenal momentum; keduanya adala besaan-besaan geak. Jika enegi tekuantisasi, seausnya momentum juga tekuantisasi. Hal ini akan kita liat. Dalam pesamaan Scödinge, momentum sudut tekait dengan bagian fungsi gelombang yang tidak tegantung yang beati tidak tegantung dai potensial V (). Besa dan aa momentum sudut tekait dengan fungsi gelombang yang meupakan fungsi sudut ϕ,. L Gb.4.5. Vekto Momentum Sudut p 4-7
Dalam mekanika klasik, vekto momentum sudut elekton yang beeda mengelilingi inti atom dapat kita tuliskan sebagai (Liat Gb.4.5). L p Dalam mekanika kuantum, kita memiliki opeato momentum sudut, yaitu L j. Opeato ini dapat kita tuliskan sebagai u x L j j x y z (4.) / x u y / y u z / z Komponen-komponen dai opeato momentum ini adala L x j y z ; L y j x z ; z y z x L z j x y (4.) y x Dai ubungan-ubungan dalam koodinat bola kita dapat mempeole x sin cosϕ, y sinsinϕ, z cos x y z sin sinϕ y; sin cosϕ x; ϕ ϕ ϕ ϕ seingga x y z y x ϕ x ϕ y ϕ z x y dan opeato L z pada (4.) dapat dituliskan L z j (4.3) ϕ Penyataan (4.3) ini besifat umum. Sumbu z bisa dipili pada aa manapun dai posisi inti atom yang beada di titik asal. Ole kaena 4-8 Sudayatno S & Ning Utai, Mengenal Sifat-Sifat Mateial ()
itu dapat dikatakan bawa opeato momentum sudut pada aa manapun, adala j dengan ϕ adala sudut yang diuku ϕ sekeliling aa tesebut. Jika opeato L z bekeja pada bagian fungsi gelombang Φ yang anya tegantung dai ϕ, maka dapat kita tuliskan L z Φ( ϕ) L z Φ( ϕ) j Φ( ϕ) (4.4) ϕ Dalam elasi (4.4), untuk suatu Φ(ϕ) tetentu tedapat L z yang meupakan nilai konstan; Φ(ϕ) yang membeikan nilai L z konstan tesebut disebut fungsi pope dan L z adala nilai pope-nya. Dai (4.4) kita dapatkan pesamaan ϕ Φ( ϕ) jm Φ( ϕ) (4.5) L dengan m z l. Pada pesamaan (4.5) tuunan suatu fungsi sama dengan suatu nilai konstan kali fungsi itu sendii; solusi dai (4.5) dapat kita duga bebentuk fungsi eksponensial l jmlϕ Φ( ϕ) Ae (4.6) jmϕ ( ϕ π) Kaena sifat peiodiknya maka l jml e e dan ausla jπm e l. Hal ini beati bawa m l aus benilai bulat positif ataupun negatif, temasuk nol. Jadi m, ±, ±...dst (4.7) l Nilai A pada (4.6) dapat kita peole melalui nomalisasi; pobabilitas ditemukannya elekton pada kisaan sudut antaa sampai π adala satu. Jadi π * Φ Φd ϕ, seingga π jm ϕ ϕ l jml ( Ae )( Ae ) dϕ A π dϕ π A Jika A benilai nyata maka A / π. Dengan demikian maka fungsi pope (yang dinomalisi) dai L z pada (4.4) adala 4-9
Φ dan nilai pope jmlϕ ( ϕ) e dengan m l, ±, ±... dst (4.8) π L z m l (4.9) elasi ini menunjukkan bawa komponen z dai momentum sudut adala tekuantisasi, dan al ini besifat umum. Tanpa mengetaui komponen yang lain, kita dapat mengatakan bawa aa momentum sudut tekuantisasi kaena sudut yang dibentuk ole vekto momentum L dengan sumbu z tidakla sembaang melainkan ditentukan ole bilangan bulat m l. Bagaimanaka dengan besa momentum? Kita tidak menelusui lebi lanjut pesamaan yang tekait dengan momentum ini akan tetapi anya akan meliat asil yang tela dipeole dalam analisis teoitis maupun ekspeimental. Hasilnya adala bawa besa momentum sudut juga tekuantisasi. ( ) L l l (4.3) dengan l,,, 3,... bilangan bulat positif Dengan demikian maka momentum sudut ditentukan ole dua macam bilangan bulat, yaitu l yang menentukan besa momentum sudut, dan m l yang menentukan komponen z momentum sudut yang bemakna aa momentum sudut. Nilai m l tidak akan melebii nilai l sebab jika al itu tejadi L z akan lebi besa dai L, suatu al yang tak dapat diteima. Nilai l dan m l yang mungkin adala sebagai beikut: l m ; l l m, ± ; (4.3) l l m, ±, ± ; dst. l Bilangan bulat l dan m l adala bilangan-bilangan kuantum untuk momentum; l (yang menentukan besa momentum) disebut bilangan kuantum momentum sudut, atau bilangan kuantum azimutal; m l (yang menentukan aa momentum sudut) disebut bilangan kuantum magnetik. Bilangan kuantum l dinyatakan dengan simbol uuf untuk mengindakan keancuan dengan bilangan kuantum utama. Simbol uuf yang digunakan adala sepeti teliat pada Tabel-4.. 4- Sudayatno S & Ning Utai, Mengenal Sifat-Sifat Mateial ()
Tabel-4.. Simbol Huuf Untuk Status Momentum Sudut bilangan kuantum l 3 4 5 simbol s p d f g Dalam mekanika klasik momen sudut dibawa pengau gaya sental mempunyai nilai dan aa konstan. Akan tetapi dalam mekanika kuantum tidakla mungkin untuk mengetaui secaa eksak lebi dai satu komponen momentum sudut. Ole kaena itu jika L z diketaui, L x dan L y anya dapat diketaui dalam ketidakpastian Lx dan Ly sesuai dengan elasi L L z x Ly (4.3) elasi (4.3) ini miip dengan elasi ketidakpastian posisi-momentum dan enegi-waktu. Dengan demikian maka mengenai momentum sudut kita anya dapat mengetaui besanya, z L, dan komponen-z-nya, L z. Ole kaena itu jika L kita menggambakam momentum sudut ini kita y dapat menggambakan besa L dengan aa yang anya ditentukan ole x sudut yang dibentuk ole Gb.4.6. Momentum Sudut vekto L dengan sumbu z, sepeti teliat pada Gb.4.6. 4.5. Bilangan Kuantum Pembaasan kita sampai kepada kesimpulan bawa ada tiga bilangan kuantum. Bilangan kuantum yang petama adala bilangan kuantum utama, n, yang menentukan tingkat enegi; bilangan kuantum yang kedua adala bilangan kuantum momentum sudut, atau bilangan kuantum azimutal, l; dan yang ketiga adala bilangan kuantum magnetik, m l. Setiap tingkat enegi yang ditentukan ole n, tedapat n momentum sudut yang memiliki enegi yang sama, dengan nilai l mulai dai l 4-
sampai l (n ). Status momentum ini dinyatakan sebagai ns untuk l, np untuk l, nd untuk l dst. Nilai l membeikan kondisi simeti bola yang disebutkan pada awal pembaasan enegi elekton, atau dengan kata lain status s membeikan simeti bola. Pada status p (l ) ada tiga fungsi sudut yang menyatakan tiga kemungkinan aa momentum sudut yang tekait dengan m l,, dan. Untuk status d (l ) ada lima fungsi sudut yang menyatakan lima kemungkinan aa momentum sudut, tekait dengan m l, ±, ± dan seteusnya. Untuk n yang sama, semua elekton dengan status momentum sudut yang bebeda memiliki enegi yang sama. Akan tetapi dalam teoi yang lebi cemat yang mempeitungkan pengau lain sepeti elativitas, status momentum sudut yang bebeda pada n yang sama memiliki enegi yang bebeda walaupun pebedaan enegi antaa status momentum di n yang sama ini sangat kecil. Gb.4.7. menjelaskan pebedaan penyataan tingkat enegi atom idogen menuut model atom Bo dan penyataan tingkat enegi pada peitungan yang lebi cemat. Enegi total [ev] bilangan kuantum utama n : 3 4 5,5 3 4 5 3s, 6 3p, 3d 3,4 s, p 3,6 s -6 Bo lebi cemat Gb.4.7. Tingkat-tingkat enegi atom idogen menuut Bo dan peitungan yang lebi cemat. [6]. 4- Sudayatno S & Ning Utai, Mengenal Sifat-Sifat Mateial ()
4.6. Spin Elekton Apabila sebekas atom be-elekton tunggal melintasi medan magnet tak omogen, aa dan besa gaya pada atom tegantung dai pebedaan aa antaa dipole magnet pada atom dengan aa medan magnet. Jika aa dipole magnet atom paalel dengan aa medan magnet, atom begeak keaa medan magnet yang lebi tinggi. Jika dipole magnet atom antipaalel dengan aa medan magnet, atom begeak ke aa medan magnet yang lebi kecil. Gejala ini tetap tejadi walaupun atom beada pada gound state di mana momentum obitalnya benilai nol (l ), yang seausnya tidak tepengau ole medan magnet. Gejala ini dijelaskan dengan pengetian spin elekton. Gagasan mengenai spin elekton ini petama kali dikemukakan ole Ulenbeck untuk menjelaskan peilaku tetentu dai atom yang memiliki elekton tunggal. Penjelasan tentang spin elekton tidak kita bicaakan lebi jau. 4.7. Tansisi Elekton Dalam Atom Dengan tesedianya banyak tingkat enegi dalam satu atom, maka dimungkinkan tejadinya tansisi (pepindaan) elekton dai satu tingkat enegi ke tingkat enegi yang lain, jika keadaan memungkinkan. Dalam meninjau tansisi (pepindaan status) elekton, pelu dipeatikan kenyataan bawa setiap tingkat enegi memiliki bebeapa status momentum. Tansisi elekton ini diikuti dengan emisi ataupun absobsi poton, tegantung dai apaka elekton bepinda dai tingkat enegi yang lebi tinggi ke tingkat yang lebi enda atau sebaliknya. Poton yang di-emisi-kan ataupun yang di-absobsi dalam poses tansisi ini juga memiliki momentum. Kaena dalam poses tansisi elekton pinsip konsevasi momentum tetap aus dipenui, maka tedapat kaida tansisi. Untuk geakan yang dipengaui gaya sental, kaida seleksi tansisi elekton adala l ±, m, ± (4.33) l Pinsip konsevasi momentum sudut dan atuan penjumlaan momentum sudut sesunggunya mempekenankan tansisi l, ±. Akan tetapi al lain (paitas fungsi gelombang) tidak memungkinkan tejadinya pepindaan dengan l. Menuut kaida seleksi (4.33) tansisi elekton bisa tejadi misalnya 4-3
- dai status p ke s, dai 3s ke p tetapi tidak dai 3s ke s - dai 3p ke s tetapi tidak dai 3p ke p - dai 4d ke 3p, dai 4d ke p - dai 4p ke s, dai 3p ke s dst. Status s adala satu-satunya status yang beada di bawa status s, namun tansisi dai s ke s tidak dipekenankan. Ole kaena itu status s disebut status metastabil. Tela disebutkan bawa status s (l ) tidak tepengau ole medan magnet, sedangkan status p, dibawa pengau medan magnet yang kuat tepeca menjadi tiga status sesuai dengan m l,, dan. Ole kaena itu tansisi p ke s meupakan tansisi dengan tiga kemungkinan, yaitu tansisi dai m l ke m l yang tejadi dengan fekuensi aslinya, dan dua kemungkinan lain yaitu tansisi dai m l ± ke m l yang tejadi dengan pebedaan fekuensi µ B B f ±,4 B Hz (4.34) e dengan µ B adala magneton Bo. me 4-4 Sudayatno S & Ning Utai, Mengenal Sifat-Sifat Mateial ()