BAB PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Stndr Kompetensi Mhsisw memhmi konsep dsr sistem bilngn rel (R) sebgi semest untuk menentukn selesin persmn dn pertidksmn, dpt mengembngkn bentuk persmn dn pertidksmn yng memut hrg mutlk sert menytkn selesin persmn dn pertidksmn dengn metode intervl. Kompetensi Dsr Setelh mempeljri pokok bhsn persmn dn pertidksmn dihrpkn mhsisw:. Dpt menytkn bilngn rsionl seblikny.. Dpt menentukn selesin persmn.. Dpt menentukn selesin pertidksmn. Q sebgi bentuk desiml berulng tu b 4. Dpt menetukn selesin persmn dn pertidksmn yng memut hrg mutlk. Beberp konsep yng dibhs dlm bb dlh () sistem bilngn rel, () persmn dn pertidksmn, () nili mutlk, (4) persmn dn pertidksmn yng memut nili mutlk, dn (5) sol ltihn.. Sistem Bilngn Rel Sebelum penulis mengurikn konsep sistem bilngn rel (R), terlebih dhulu mrilh kit ingt kembli konsep himpunn (set). Himpunn mempunyi pernn sngt penting dlm memhmi sistem bilngn rel. Secr eksplisit himpunn didefinisikn sebgi sekumpuln objek, unsur tu sesutu yng mempunyi ciri-ciri, kriteri dn syrt yng tertentu sert terdefinisi dengn jels. Objek tu unsur sesutu himpunn A dinmkn nggot tu elemen. Anggot sutu himpunn dinytkn dengn, b, c, d,... tu,,,4,... sedngkn nm himpunn dinytkn dengn huruf Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo-
kpitl A, B, C, D, dn seterusny. Misl kit mendefinisikn sutu himpunn A dengn menytkn secr jels nggot-nggotny yng terdiri dri, b, c, d, e, himpunn A tersebut dpt ditulis dlm bentuk A {, b, c, d, e} dengn msingmsing nggot himpunn A dipishkn oleh tnd bc kom dn terdpt du tnd kurung { }. Jik himpunn A mempunyi nggot bnykny tk hingg mk unsurunsurny tidk ditulis semuny kn tetpi cukup dituliskn beberp nggotny dn titik-titik sebnyk tu 5, Jik dlh nggot himpunn A mk pernytn tersebut ditulis dengn notsi himpunn A, mk dituliskn A dn dibc nggot A. Jik bukn nggot Adn dibc bukn nggot A. Jik sutu himpunn A tidk memiliki nggot, mk A disebut himpunn kosong, dn dinytkn dengn notsi tu { }. Himpunn sebgi telh disebutkn di ts, dlm penulisnny dpt dilkukn dengn du metode, yitu metode pencirin (notsi) dn metode perincin (tbulsi). Metode pencirin dilkukn dengn cr menuliskn syrt kenggotn yng dimiliki oleh seluruh nggot sutu himpunn kn tetpi tidk dimiliki oleh unsur-unsur yng bukn nggot himpunn tersebut., Contoh: ) A { y y bilngn prim kurng dri 0} ) B { fktor gnjil dri } ) C {, bilngn prim} 4) D { fktor genp dri } 5) E { 4 0} 6) F { 4 0} 7) G { 4 } 8) H {(, y) y 4} 9) V { himpunn kus dri {,, }} Metode perincin dilkukn dengn cr mendftr seluruh nggot himpunn yng memenuhi syrt dn ketentun yng diberikn dlm sutu himpunn. Contoh ) A {,,,4,5,...} Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo-
) B { senin, sels, rbu, kmis, jum' t, sbtu} ) C {,,5,7,,,7,9,...} 4) D { merh, kuning, hiju} 5) E {0} 6) F { } 7) G {, } 8) H {(,),(,),(,4 ),...} 9) V {,{},{},{, }} Misl A dn B himpunn B, ditulis dengn notsi sutu himpunn, himpunn A disebut himpunn bgin A B, jik setip nggot A merupkn nggot B. Kirny tidklh sulit untuk diphmi bhw A untuk sebrng himpunn A. Jik setip nggot himpunn nggot A jug merupkn nggot setip himpunn B mk dinotsikn dengn A B Selnjutny untuk memudhkn pr pembc dlm memhmi konsep sistem bilngn rel berikut ini diberikn beberp bilngn dn himpunn bilngn yng pd bb-bb selnjutny dlm buku ini sering ditemukn. Bilngn dn himpunn bilngn tersebut dlh:. Himpunn bilngn sli (Nturl) Himpunn bilngn sli bisny dinotsikn dengn N dn nggot-nggot bilngn sli dlh,,, 4, 5, 6,... sehingg N {,,,4,5,6,...} Bilngn sli tertutup terhdp opersi penjumlhn dn perklin, rtiny untuk setip, b bilngn sli mk ( b) dn (. b) bilngn sli. Oleh kren itu, himpunn semu bilngn sli membentuk sutu sistem sistem bilngn sli.. Bilngn cch (whole) Bilngn cch bisny dinotsikn dengn W dn nggot-nggot bilngn cch dlh 0,,,, 4, 5, 6,..., sehingg W {0,,,,4,5,6,...}. Bilngn cch tertutup terhdp opersi penjumlhn dn perklin, rtiny untuk setip, b bilngn cch mk ( b) dn (. b) bilngn cch. Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo-
. Sistem bilngn sli bersm-sm dengn bilngn nol dn lwn dri bilngnbilngn sli membentuk sistem bilngn bult, Bilngn bult bisny dinotsikn dengn Z yng nggot-nggotny dlh...-, -, -,, 0,,,,..., sehingg Z {...,,,0,,,,...}. 4. Bilngn pechn tu bilngn rsionl (quotient) bisny dinytkn dengn Q. Bilngn rsionl dlh bilngn yng secr umum dinytkn dengn Q., b Z, b 0 b Contoh ) ) ) p q r 7 Bilngn-bilngn rsionl di ts, dpt dinytkn dlm bilngn-bilngn desiml, yitu ) p 0,... ) q 0,857485748574... ) r,4857485748... 7 Jik kit cermti lebih mendetil, bilngn-bilngn desiml sebgi mn tersebut di ts sellu berulng ngk-ngkny, sehingg bilngn rsionl jug disebut bilngn desiml berulng. Seblikny bilngn desiml berulng dpt dinytkn sebgi bilngn rsionl. Untuk menytkn bentuk desiml menjdi bilngn rsion dlh dengn cr meliht ngk yng berulng pd bilngn tersrsebut. Jik terdpt ngk yng berulng mk klikn bilngn dimksud dengn 0. Jik terdpt ngk yng berulng mk klikn bilngn tersebut dengn 0. dn seterusny. Selnjutny cri selisih bilngn semul dengn bilngn yng bru. Dengn metode perhitungn sederhn khirny diperoleh bilngn rsionl yng dimksud. Untuk lebih jelsny perhtikn contoh-contoh berikut ini. Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 4
Contoh: Ubhlh bilngn desiml berikut ini menjdi bentuk rsionl Q., b Z, b 0 b. Tentukn bentuk rsionl bilngn 0,... Jwb Bilngn 0,... dlh bilngn desiml dengn ngk berulng yitu ngk dn. Kren bnykny ngk yng berulng pd bilngn 0,,... dlh ngk, klikn bilngn 0,... dengn bilngn 0. Misl 0,..., sehingg diperoleh 00,,... Akibtny 00 (,...) (0,...) 0 (,...) (0,...) 99 99 Sehingg bentuk rsionl dri bilngn 0,... dlh 99. Tentukn bentuk rsionl bilngn,4... Jwb Bilngn,4... dlh bilngn desiml dengn ngk berulng yitu ngk. Kren bnykny ngk yng berulng pd bilngn,4... dlh ngk, klikn bilngn,4... dengn bilngn 0. Misl,4..., sehingg diperoleh 0 4,... Akibtny 0 (4,...) (,4...) 9,7,7 9 7 900 7 Sehingg bentuk rsionl dri bilngn,4... dlh 900 Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 5
. Tentukn bentuk rsionl bilngn 0,986777... Jwb Bilngn 0,986777... dlh bilngn desiml dengn ngk berulng yitu ngk,7, dn. Kren bnykny ngk yng berulng pd bilngn 0,986777... dlh ngk, klikn bilngn 0,986777... dengn bilngn 0. Misl 0,986777... 000 98,56777... Akibtny 000 ( 98,56777...) ( 0,9856777...) 999 98,5807 98,5807 985807 999 99900 Sehingg bentuk rsionl dri bilngn 0,986777... dlh 985807 99900 4. Tentukn bentuk rsionl bilngn 0,0545454... Jwb Bilngn 0,0545454... dlh bilngn desiml dengn 4 ngk berulng yitu ngk 5, 4,,, dn. Kren bnykny ngk yng berulng pd bilngn 0,0545454... 4 dlh 4 ngk, klikn bilngn 0,0545454... dengn bilngn 0. Misl 0,0545454..., sehingg diperoleh 0000 54,5454... Akibtny 0000 (54,5454...) (0,0545454...) 9999 54, 54, 9999 54 99990 54 Sehingg bentuk rsionl dri bilngn 0,0545454... dlh 99990 Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 6
5. Bilngn Irsionl ( Q _ ) tu disebut jug bilngn tidk rsionl yitu bilngn yng tidk dpt dinytkn dlm bentuk Q., b Z, b 0. Kren bilngn b rsionl dpt dinytkn dengn bilngn desiml yng ngk-ngkny berulng, mk bilngn irsionl dlh bilngn desiml yng ngk-ngkny tidk d yng berulng. Bilngn irsionl jug disebut dengn bilngn bentuk kr. Persoln dlm kehidupn sehri-hri sering dijumpi dny bilngnbilngn irsionl. Contoh bilngn irsionl ntr lin dlh dn. Bilngn dlh pnjng sisi miring segitig siku-siku dengn pnjng sisi-sisi tegkny msing-msing dlh. Perhtikn gmbr berikut. Gmbr. Sedngkn bilngn merupkn hsil bgi ntr keliling sebrng lingkrn dengn pnjng gris tengh lingkrn tersebut. Perhtikn gmbr berikut ini. l l d d l d l d Gmbr. Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 7
Contoh ) =,44567... ) =,705080756... ) =,66579055... 4) π =.4596558979. 5) e =,788 884 59045 56 0874 75 Berdsrkn contoh di ts, tmpk bilngn-bilngn dlm bentuk kr umumny dlh bilngn desiml yng ngk-ngkny tidk d yng berulng. Sehingg bilngn kr jug disebut bilngn irsionl. Dengn demikin p yng selm ini dinggp sm yitu bilngn rsionl, sedngkn dlh bilngn irsionl. = tidklh sellu benr. Kren dlh 7 7 6. Himpunn semu bilngn irsionl bersm-sm dengn bilngn rsionl membentuk himpunn semu bilngn rel (R), sehingg R N W Z Q Q Seperti telh dikethui, untuk menytkn sebrng bilngn rel seringkli digunkn cr desiml. Contoh Bilngn-bilngn, 4 5, dn sebgi,75,,666..., dn 7 66 msing-msing dpt dinytkn dlm desiml 0 0,060606... Dpt ditunjukkn bhw bentuk desiml bilngn-bilngn rsionl dlh slh stu dri tipe berikut: 5 i. berhenti (,, dst. ), tu 4 8 5 ii. berulng berturn (, 7, dst. 66 ). Sift-sift Sistem Bilngn Rel Untuk sebrng ) Sift komuttif (i). b b ( ii).. b b. ) Sift sositif, b, c, d bilngn rel berlku sift-sift sebgi berikut: Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 8
(i). (ii). b c b c. b. c. b. c. b. c b c ) Sift distibutif perklin terhdp penjumlhn.( b c) (. b) (. c) 4) (i).., b 0 b b c (. d) ( b. c) (ii)., b 0, d 0 b d b. d c. c (iii).., b 0, d 0 b d b. d 5) (i)..( b) ( ). b (. b) (ii). ( ).( b). b (iii). ( ) 0 6) (i). 0 (ii)., untuk setip bilngn 0. tk terdefinisikn. 0 (iii)., untuk setip bilngn 0. 7) Hukum knselsi (i). Jik. c b. c dn c 0 mk b.. c (ii). Jik b, c 0 mk b. c b. 8) Sift pembgi nol Jik. b 0 mk 0 tu b 0. Sift-sift terurut bilngn Rel Prinsip dlh turn tu sift yng digunkn sebgi dsr tu lndsn dlm urin yng berkitn dengn bukti sesutu. Prinsip dpt dimbil dri definisi, ksiom, tu dlil-dlil yng dimunculkn kembli untuk digunkn pd bgin lin sutu konsep yng memerlukn. Dintr prinsip dlm mtemtik dlh prinsip urutn (well ordering principle). Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 9
Prinsip urutn berkitn dengn kepositipn dn ketksmn ntr bilngnbilngn rel. Cr yng dpt dilkukn untuk melkukn sift keterurutn dlh mengidentifiksi sutu subset khusus dri kepositipn. Definisi Mislkn P himpunn bgin R dn positip kut, mk berlku sift-sift berikut ini: () Jik, b P mk ( b) P () Jik, b P mk (. b) P R dengn menggunkn ggsn P. Untuk selnjutny P disebut bilngn rel () Jik R, mk tept dri slh stu yng berikut dipenuhi P, 0, P Du sift yng pertm menjmin kesesuin dri urutn dengn opersi penjumlhn dn perklin secr berurutn. Sift () bisny disebut sift trikotomi kren membgi R menjdi jenis unsur yng berbed. Dinytkn bhw { P} dri bilngn rel negtip tidk mempunyi unsur persekutun dengn P, dn selnjutny himpunn R merupkn gbungn dri tig himpunn yng sling sing. Definisi ) Jik P, kit mengtkn bhw dlh sutu bilngn rel positip kut (strictly positip) dn dituliskn dengn 0, Jik P {0}, mk disebut bilngn rel tidk negtip dn dituliskn dlm bentuk 0. ) Jik P, kit mengtkn bhw dlh sutu bilngn rel negtip kut (strictly negtip) dn dituliskn dlm bentuk 0, Jik P {0}, mk disebut bilngn rel tidk positip dn dituliskn dlm bentuk 0. ) Jik, b R dn jik b P mk dituliskn dlm bentuk b tu b. 4) ik, b R dn jik b P {0} mk dituliskn dlm bentuk b tu b. Untuk kesepktn bersm kit kn menuliskn b c yng berrti b dn b c. Demikin jug jik b c yng berrti b mk b c dn seterusny. Berikut ini diberikn beberp teorem yng berkitn dengn prinsip keterurutn Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 0
Teorem Mislkn, b, c R. Jik b dn b c mk c.. Tept dri slh stu pernytn berikut ini dipenuhi b, b, b. Jik b dn b mk b Bukti ) b mk menurut definisi b 0 tu b P b c mk menurut definisi b c 0 tu b c P Kren b P dn b c P mk menurut definisi diperoleh ( b ) ( b c ) P sehingg c P tu c ) Dengn sift trikotomi dlm definisi, mk tept slh stu dri yng berikut mungkin terjdi b 0, tu b 0 tu ( b ) 0 sehingg b tu b tu b ) Jik b, mk b 0, sehingg dri bukti (b) kit dptkn b P tu b c P ykni b tu b. Dlm ksus linny slh stu dri hipotesisi tersebut kontrdiksi. Jdi hruslh b Teorem. Jik R dn 0 mk 0.. 0. Jik n N mk n 0 Bukti. Dengn sift trikotomi jik 0, mk P tu P. Jik P mk dengn definisi kit mempunyi., untuk P. Dengn cr yng sm Jik - P mk dengn definisi sebelumny diperoleh bentuk ( ) ( )( ) P. Berdsrkn teorem sebelumny berkibt bhw: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ). Akibtny bhw P. Jdi kit simpulkn bhw jik P, mk 0. Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo-
. Kren (), menurut bukti di ts kn menyebbkn bhw > 0.. Kit dpt menggunkn induksi mtemtik untuk membuktikn pernytn ini. Pernytn tersebut benr untuk n ykni > 0. Selnjutny kit nggp benr untuk n k, dengn k bilngn sli. Kren > 0 dn P, mk k P, sehingg pernytn di ts benr dny dengn menggunkn definisi sebelumny. Teorem Mislkn, b, c R. Jik b, mk c b c. Jik b, dn b c mk c b d. Jik b, c 0 mk c bc 4. Jik b, c 0 mk c bc 5. Jik 0 mk 0 6. Jik 0 mk 0 Bukti teorem di ts dpt dijelskn sebgi berikut:. Kren b berrti menurut definisi sebelumny b 0. Kren b 0 sehingg b P. ( b) ( b) ( c c) ( b) ( c c) ( c) ( b c) Sehingg ( c) ( b c) P. Dengn kt lin ( c) ( b c) 0 Kren ( c) ( b c) 0 berrti ( c) ( b c). Kren b dn c d berrti b 0 dn c d 0. Hl ini berrti b P dn c d P. Menurut definisi bilngn rel positip kut () diperoleh ( b) ( c d) P. Dengn kt lin ( b) ( c d) 0, tu ( b) ( c d) 0 sehingg berlku ( b) ( c d). Kren b dn c d berrti b 0 dn c d 0. Hl ini berrti b P dn c d P. Menurut definisi bilngn rel positip kut () diperoleh Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo-
( b) c P. Dengn kt lin ( c bc) P, tu ( c bc) 0 sehingg berlku c bc 4. Kren b dn c 0 berrti b 0 dn c 0 tu ( c ) 0. Hl ini berrti b P dn c P. Menurut definisi bilngn rel positip kut () diperoleh ( b)( c) P. Dengn kt lin ( bc c) P, tu ( bc c) P sehingg berlku bc c 5. Jik 0 mk 0 (berdsrkn sift trikotomi). Kren 0 sift sebelumny mk berlku 0, sebelumny diperoleh 0., berdsrkn Jik 0, berdsrkn teorem Hl ini bertentngn dengn kenytn bhw < 0. Jdi hruslh 0 6. Jik 0, mk 0 (berdsrkn sift trikotomi). Kren 0, berdsrkn sift sebelumny mk mk berlku 0, Jik 0, berdsrkn teorem sebelumny diperoleh 0 Hl ini bertentngn dengn kenytn bhw < 0. Jdi hruslh 0 Teorem 4 Jik Bukti. Kren b R,, mk b b b, mk dpt diperoleh b tu b Demikin pul b mk dpt diperoleh b b b tu b b Dri ketksmn b dn b b didptkn b b Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo-
() ( b) (b) b ( b) b Akibt dri teorem di ts dlh: jik R dn 0 mk ( b) b Sol-sol ) Mislkn, b, c, d R buktikn pernytn berikut: ) Jik b, b c mk d bc c bd b) Jik b dn c d mk c b d c) b 0 jik dn hny jik = 0 tu b = 0 ) Crilh bilngn, b, c, d R yng memenuhi 0 b dn d 0 dn berlku ) c bd b) c bd. ) Tentukn bilngn rel, sedemikin sehingg: ) 4 b) 4 c) d) 7 e) Gris Bilngn Secr geometris, sistem bilngn rel (R) dpt digmbrkn dengn gris lurus. Mul-mul dimbil sebrng titik untuk dipsngkn dengn bilngn 0. Titik ini dinmkn titik sl (origin), ditulis dengn O. Pd kedu sisi dri O dibut skl sm dn disepkti rh positif disebelh knn O sedngkn rh negtif disebelh kiri O. Selnjutny, bilngn-bilngn bult positif,,, dpt dipsngkn dengn Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 4
msing-msing titik di knn O dn bilngn-bilngn,,,... dengn titik-titik di sebelh kiri O. Dengn membgi setip segmen, mk dpt ditentukn loksi untuk bilngn-bilngn,,, dst. Perhtikn gmbr berikut. 0 Gmbr. Dengn cr demikin, mk setip bilngn rel menentukn tept stu titik pd gris lurus dn seblikny setip titik pd gris lurus menentukn tept stu bilngn rel. Oleh sebb itu, gris lurus sering disebut pul gris bilngn rel.. Persmn dn Pertidksmn Istilh persmn dn pertidksmn pd umumny berhubungn dengn peubh tu vribel. Peubh dlh lmbng yng digunkn untuk menytkn sebrng nggot sutu himpunn. Jik nggotny himpunn bilngn rel mk perubhny disebut peubh rel. Selnjutny yng dimksud dengn peubh dlm persmn dn pertidksmn yng kn dibhs dlm buku ini dlh peubh rel. Persmn dlh klimt terbuk dlm mtemtik yng memut stu peubh tu lebih dengn tnd sm dengn (=). Contoh ) 4 ) 7 ) 4 0 4) 5) 6) 4 8 0 7) z z z 0 8) 4 ( z 6z z 8z) 0 Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 5
4 9) ( z z ) 0 4 0) ( z 6z z z 4) 0 6 4 ) ( z 9z 4z 6) 0 8 6 ) ( z z ) 0 ) ( z 64) 0 5 4 4) z 5z 85z 5z 74z 0 0 5) z z 4z 4 0 6) ( z 4 z) 0 5 7) ( z z 5) 0 4 8) ( z 5z 6) 0 5 4 9) z 5z 7z z 8z 4 0 0) z z z 0 ) ( z 4z 4)( z ) 0 Pertidksmn dlh klimt terbuk dlm mtemtik yng memut stu peubh tu lebih dn tnd ketidksmn (<, >,, ). Contoh ) 4 ) ) 5 4) 8 5) 0 6) 7) 8) 4 Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 6
Kren persmn dn pertidksmn merupkn klimt terbuk dn mempunyi peubh, mk peubh tersebut dpt ditentukn sehingg memenuhi persmn tu pertidksmn dimksud, sehingg persmn tu pertidksmn mempunyi rti dn bernili benr. Nili peubh yng memenuhi persmn tu pertidksm disebut selesin. Himpunn semu bilngn rel yng merupkn selesin dri sutu persmn tu pertidksmn disebut himpunn selesin. Sift-sift dn hukum dlm bilngn rel R sngt membntu dlm menentukn selesin persmn tu pertidksmn yng diberikn. Contoh Tentukn selesin persmn dn pertidksmn di bwh ini. ) 4 Jwb 4 4 4 4 7 7 7 Jdi selesin persmn 4 dlh = 7 ) 4 0 Jwb 4 0 4 0 ( 4)( ) 0 ( 4) 0 tu ( ) 0 4 tu Jdi selesin persmn 4 0 dlh tu ) Tentukn selesin pertidksmn 5 5 7. Jwb Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 7
5 5 7 5 5 5 5 7 5 5.( ).( ) 4 Jdi, selesin pertidksmn 5 5 7.dlh > -4 Pertidksmn tipe lin mungkin lebih sulit diselesikn dibndingkn pertidksmn-pertidksmn seperti pd contoh di ts. Beberp contoh diberikn sebgi berikut. ) Tentukn selesin 5 6 0 Jwb Dengn memfktorkn rus kiri pertidksmn, mk diperoleh: 0 Telh dikethui bhw hsil kli bilngn rel positif pbil ke du positif tu ke du fktor negtif. Oleh kren itu, (i). Jik ke du fktor positif mk: 0 dn 0 dn fktor Sehingg diperoleh:. (ii).jik ke du fktor negtif, mk: Diperoleh:. 0 dn 0 dn Jdi, selesin persmn 5 6 0 dlh < tu >. Selesin pertidksmn di ts dpt pul diterngkn sebgi berikut: Rus kiri pertidksmn bernili nol jik tu. Selnjutny, ke du bilngn ini membgi gris bilngn menjdi bgin:,, dn. < << > 0 4 Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 8
Gmbr.4 Pd bgin, nili ( ) dn ( ) keduny neg tif, sehingg hsil kli keduny positif. Pd segmen, ( ) bernili positif sedngkn ( ) bernili negtif. Akibtny, hsil kli keduny bernili negtif. Terkhir, pd bgin, ( ) dn ( ) msing-msing bernili positif sehingg hsil kli keduny jug positif. Rngkumn urin di ts dpt diliht pd Tbel berikut. Tnd nili ( )( ) Kesimpuln - - + Pertidksmn dipenuhi + - - Pertidksmn tidk dipenuhi + + + Pertidksmn dipenuhi Jdi, selesin pertidksmn dlh tu. Metode penyelesin seperti pd contoh di ts dpt pul diterpkn pd bentuk-bentuk pertidksmn yng memut lebih dri fktor mupun bentuk-bentuk pechn. ). Jwb Apbil ke du rus pd pertidksmn di ts ditmbh, mk diperoleh: 0 ( )( )( ) 0 Jik ( )( )( ) 0, mk diperoleh:,, tu. Selnjutny, perhtikn tble berikut: Nili-nili peubh,, disebut titik kritis. Tnd nili/nili ( )( )( ) Kesimpuln - - - - Pertidksmn dipenuhi Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 9
+ - - + Pertidksmn tidk dipenuhi + + - - Pertidksmn dipenuhi + + + + Pertidksmn tidk dipenuhi 0 - - 0 Pertidksmn dipenuhi 0-0 Pertidksmn dipenuhi 0 0 Pertidksmn dipenuhi Jdi, selesin pertidksmn tu. Cr lin untuk menentukn selesin pertidksmn. dlh dengn menggunkn gris bilngn 0 ( )( )( ) 0, Sehingg titik kritis pertidksmn dlh,, dn Dengn memilih stu titik sebrng disetip intervl dits diperoleh: - - - - - - - - - + + + + + + + - - - - - - - - - + + + + + + + Berdsrkn gris bilngn di ts selesin pertidksmn dlh tu. 8 ). Penyelesin Apbil pd ke du rus ditmbhkn ( ) mk diperoleh: 8 8 ( ) 0 0 0 0 ( 5)( ) 0 Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 0
Nili nol pembilng dlh dn 5, sedngkn nili nol penyebut dlh. ( 5)( ) Sekrng, untuk mendptkn nili sehingg 0 berikut: Tnd nili/nili 5 ( )( 5) diperhtikn tbel Kesimpuln - - - - Pertidksmn tidk dipenuhi + - - + Pertidksmn dipenuhi 5 + + - - Pertidksmn tidk dipenuhi 5 + + + + Pertidksmn dipenuhi 0-4 -7 0 Pertidksmn 4 0 - Tidk terdefinisi dipenuhi Pertidksmn tidk dipenuhi 5 7 0 0 Pertidksmn dipenuhi Jdi, selesin pertidksmn dlh tu 5 dn ditulis dengn notsi intervl [,) [5, ~) Berdsrkn contoh di ts, bhw tmpk selesin sutu persmn berup titik (diskrit), sedngkn selesin pertidksmn berup selng/intervl (kontinu). Selng didefinisikn: Diberikn sebrng du bilngn rel dn b, dengn [, b] [, b) [,~) ( ~, ] b (, b) b b (, b] b (,~) ( ~, ) b. Berturut-turut Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo-
. Nili Mutlk Misl sutu bilngn rel, nili mutlk dinotsikn dengn dn didefinisikn sebgi pnjng tu jrk bilngn tersebut dri bilngn 0. Definisi Misl rel mk:,, untuk 0 untuk 0 Bentuk lin dri definisi di ts dlh sebgi berikut:. Contoh 8 8, 5 5,, ( ), dst. 7 7 7 Selnjutny, sift-sift nili mutlk diterngkn sebgi berikut. Sift-sift Nili Mutlk. Jik, y R mk: ) 0 b) 0 0 c). y. y d), sl y 0 y y e) y y (Ketksmn segitig) f) y y Secr geometris, nili mutlk dpt dirtikn sebgi jrk dri ke. Sebgi contoh, jik 7 mk rtiny berjrk 7 unit di sebelh knn tu di sebelh kiri (liht Gmbr.5). 7 unit 7 unit 4 0 Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo-
Jdi selesin 7 berikut: dlh 4,0. Gmbr.5 Dengn mengingt nili mutlk sebelumny kirny mudh diphmi sift. Jik 0, mk: tu. Contoh, 4 berrti 4 tu 4 5 5 tu 5 Dengn cr yng sm 5 tu 5 7 berrti 7 tu 7. Jik 0, mk: 0 tu ). 5 tu b) tu. 4 Contoh Tentukn selesin pertidksmn yng memut nili mutlk di bwh ini: ) Selesikn 7. Jwb 7 7 tu 4 tu 0 tu 5 7 Jdi selesin pertidksmn dlh tu 5 ) Tentukn semu nili yng memenuhi. Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo-
Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 4 Jwb dn Selnjutny, kren: tu 5 6 0 6 5 0 (i). 6 tu 0 6 0 (ii). mk, diperoleh: 6 tu 5 6. ) Tentukn selesin 4. Jwb: (i). Apbil 0, mk sellu berlku 4 untuk setip. Sehingg diperoleh:. (ii). Jik 0, mk: 6,, 4 tu 4 4 Dri (i) dn (ii), diperoleh. 4) Tentukn selesin. Jwb Berdsrkn nili mutlk dperoleh:
4 5 tu 9 6 6 0, 5 6 6 6 6, 5 4 4,, 0 0, 6 5 Jdi selesin pertidksmn dlh,,6 4. Contoh y Tentukn selesin dri pertidksmn. Jwb Menurut sift 4 di ts, mk: y. 6 ( ) ( 6) 4 5 0 ( 7)( 5) 0 4 6 Titik kritis pertidksmn dlh 7 dn 5 sehingg gmbr gris bilngn +++++++++++ - - - - - - - - - - - - - +++++++ 7 / 5 5 7 Jdi selesin pertidksmn dlh ( ~, ) (5, ~) 5.4 Sol Ltihn Tentukn selesin pertidksmn dibwh ini!. 4 5. 6 9 4. 5 Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 5
4. 5 4 0 5. 0 6. 0 7. 4 0. 8. 5. 5 9. 7.. 4 4. 5 5. 7 6. 7. 8. 9. 0.. Untuk sol 4 tentukn sehingg msing-msing pernytn mempunyi rti.. 5. 8 4. 5. Jik dn y mk tunjukkn y 5 6. b 6. Jik b mk tunjukkn bhw b. Bilngn ritmtik dri bilngn dn b. b disebut rt-rt 7. Jik 0 b mk tunjukkn bhw b b. Bilngn b disebut rt-rt geometri dri bilngn dn b. Tunjukkn pul bhw rt-rt geometri dri bilngn dn b kurng dri rt-rt ritmtikny. 8. Tunjukkn bhw y y. 9. Jik, b 0 dn b mk tunjukkn. b 0. Jik b dn c 0, tunjukkn c bc. Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 6