MODEL PETRI NET TAK BERWAKTU PADA SISTEM PRODUKSI (BATCH PLANT) DAN SIMULASINYA DENGAN PIPE2

MODEL PETRI NET TAK BERWAKTU PADA SISTEM PRODUKSI (BATCH PLANT) DAN SIMULASINYA DENGAN PIPE2 Siti Komsiyah Mathematics & Statistics Department, School of Computer Science, Binus University Jl. K.H. Syahdan No. 9, Palmerah, Jakarta Barat 11480 citie_math@binus.ac.id ABSTRACT Petri Nets has been widely applied and developed in various aspects of modeling, control and coordination, scheduling, planning, and design of product process systems. This paper provides an example which show how to use Petri Nets for batch plant modeling and realistic analysis as well as the simulation using PIPE2. The Modeling method which is designed for processing in a batch plant with the concrete properties on petri net in that system, such as safe, liveness, Boundedness, and coverability tree, can be proofed by analyzing each subnet. The overview of the complex models can be made easier by simulating the model with PIPE2. Keywords: petri nets model, batch plant, coverability tree, PIPE2 ABSTRAK Petri Net telah banyak diterapkan dan dikembangkan dalam berbagai aspek pada pemodelan, kontrol pengawasan dan koordinasi, penjadwalan, perencanaan, dan desain pada sistem pemrosesan suatu produk. Artikel ini diberikan contoh yang menunjukkan bagaimana menggunakan Petri Net untuk model pengolahan beton (batch plant) dan analisis yang realistis beserta simulasinya dengan tool PIPE2. Metode pemodelan yang didesain untuk proses produksi (batch plant) sesuai dengan sifatsifat pada petri net pada sistem tersebut, seperti safe, liveness, Boundedness, reversible dan coverability tree dapat ditunjukkan dengan menganalisis setiap subnet. Gambaran dari model yang rumit dapat dipermudah dengan mensimulasikan model tersebut dengan PIPE2. Kata kunci: model petri net, batch plant, coverability tree, PIPE2 152 Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 2 Juli 2012: 152-164

PENDAHULUAN Proses produksi batch plant mengambil tempat penting dalam proses industri sejenis beton yang melibatkan urutan tahapan yang dilakukan pada sejumlah materi dalam instalasi operasionalnya (misalnya reaktor, blender). Pengendalian proses produksi secara diskrit diperlukan untuk mencapai transisi antara mode kontrol yang berbeda dan berkesinambungan misalnya terdapat dua tugas kontrol diskrit yaitu sistem pengendalian urutan dan sinkronisasi. Pemodelan dan pengendalian diskrit pada peristiwa konkrit sistem dinamika menggunakan Petri net telah banyak diteliti dalam beberapa dekade ini. Penerapan teori Petri net untuk sistem manufaktur di kehidupan nyata sangat penting dalam rangka mengembangkan sistem manufaktur kontrol modern. Petri net telah digunakan untuk pemodelan proses produksi (Gu and Bahri, 2002), untuk melakukan penjadwalan dan optimasi dengan menggabungkan dengan metode pencarian Cabang & Bound (Lloyd et al., 1995), dengan berbagai jenis AI heuristik berdasarkan (Reyes, et al., 2002), dengan algoritma genetik (Reyes, et al., 2001), dan untuk perencanaan (Yu, et al., 1997). Petri net lebih banyak digunakan untuk pemodelan sistem penjadwalan kejadian diskrit dinamis, dan kontrol desain. Keuntungan dalam pemodelan sistem menggunakan Petri net diantaranya adalah dapat menggambarkan model sistem secara grafis dengan demikian memungkinkan adanya visualisasi yang mudah dari sistem yang kompleks (Murata,1989), Petri net dapat memodelkan secara detail hierarkis dari suatu sistem dengan teknik analisis dari petri net dimungkinkan dapat dikembangkan sebuah sistem yang baik dengan analisis yang sistematis dan kualitatif (Jeng and F, Dicesare, 1993). Tujuan dari paper ini adalah untuk menerapkan teknik Petri net pada sistem proses produksi batch plant secara praktis. Sistem produksi (batch plant) adalah sistem hierarkis dan kontrol yaitu mengontrol proses produksi kinerja pabrik berdasarkan urutan yang memiliki sifat kejadian diskrit. Pada makalah ini diuraikan sintesis dan analisis dari sistem produksi menggunakan Petri net. Konsep Petri net dan pemodelan sistem pemrosesan beton secara singkat diuraikan kemudian dianalisis dan dipermudah dengan simulasi menggunakan tool PIPE2. METODE Pada bab ini dikaji hal-hal yang berkaitan dengan pemodelan sistem event diskrit menggunakan Petri net. Pembahasan diawali dengan notasi dan definisi yang digunakan. Konsep Petri net bertanda selanjutnya dibahas salah satu bagian penting yaitu dinamika Petri net. Bagian terakhir adalah analisis Petri net yang sebagian bisa diperoleh dari coverability tree. Coverability tree merupakan teknik yang digunakan untuk menyelesaikan beberapa aspek analisis pada sistem event diskrit di mana berupa tree yang menggambarkan performa dari hasil proses pemfirean transisi yang enable pada Petri net yang dimulai dari keadaan awal token Mo. Analisis Petri net terdiri dari keterbatasan (Boundedness ), life, reachability, dan reversible. Notasi dan Definisi Petri net Petri net dikembangkan pertama kali oleh C.A. Petri pada awal 1960-an (Cassandras, 1993). Ini merupakan salah satu alat untuk memodelkan sistem event diskrit selain menggunakan automata yang telah dikenal sebelumnya. Setiap automata dapat diubah menjadi Petri net. Pada Petri net event berkaitan dengan transisi. Agar suatu event dapat terjadi, beberapa keadaan harus dipenuhi ter-lebih dahulu. Informasi mengenai event dan keadaan ini masing-masing dinyatakan dengan transisi dan Place. Place dapat berfungsi sebagai input atau output suatu transisi. Place sebagai input menyatakan keadaan yang harus dipenuhi agar transisi dapat terjadi. Setelah transisi terjadi maka keadaan akan berubah. Place yang menyatakan keadaan tersebut adalah output dari transisi. Model Petri Net Tak Berwaktu... (Siti Komsiyah) 153

Definisi 1 (Cassandras, 1993). Petri net adalah 5-tuple (P, T, A, w,mo) dengan P : himpunan berhingga Place, P = {p 1, p 2,..., p n }, T : himpunan berhingga transisi, T = {t 1, t 2,..., t m }, A : himpunan arc input output, A: (P T ) atau (T P ), w : fungsi bobot, w : A {1, 2, 3,... } Mo : vector penanda awal petri net, Mo {1, 2, 3,... }, dengan m(pi) adalah banyaknya token dalam Place ke-i. Berdasarkan definisi 1, himpunan Place dan transisi tidak harus berupa himpunan berhingga, bisa berupa himpunan takhingga terhitung (countable sets). Tetapi pada hampir semua kasus yang rumit dapat dimodelkan dengan Petri net yang mempunyai Place dan transisi berhingga. Petri net dapat digambarkan sebagai graph berarah. Node dari graph berupa Place yang diambil dari himpunan Place P atau transisi yang diambil dari himpunan transisi T. Pada Petri net graph diperbolehkan menggunakan beberapa arc untuk menghubungkan dua node atau ekivalen dengan mem-berikan bobot ke setiap arc yang menyatakan jumlah arc. Struktur ini dikenal dengan struktur multigraph. Grafik Petri net terdiri dari dua macam node yaitu lingkaran dan garis. Lingkaran menyatakan Place sedangkan garis menyatakan transisi. Arc disimbolkan dengan panah yang menghubungkan Place dan transisi. Arc yang menghubungkan Place p i ke transisi t j berarti p i I (t j ). Jika bobot arc dari Place p i ke transisi t j adalah k ditulis w(p i, t j ) = k maka terdapat k arc dari Place p i ke transisi t j atau sebuah arc dengan bobot k. Transisi pada Petri net menyatakan event pada sistem event diskrit dan Place merepresentasikan kondisi agar event dapat terjadi. Diperlukan mekanisme untuk mengindikasikan apakah kondisi telah terpenuhi. Token adalah sesuatu yang diletakkan di Place yang menyatakan terpenuhi tidaknya suatu kondisi. Secara grafik token digambarkan dengan dot dan diletakkan di dalam Place. Jika jumlah token besar maka dituliskan dengan angka. Sementara pada definisi 2 (Cassandras, 1993), transisi ti T pada petri net bertanda enable (dapat dieksekusi) jika m(pi) w(p i, t j ), untuk setiap p i I (t j ). Transisi difire saat event yang dinyatakan oleh transisi dapar terjadi. Pada proses yang terjadi pada pemfirean transisi, semua token di Place input dikurangi/diambil sebanyak bobot arc yang menghubungkannya. Berdasarkan definisi 2 maka jumlah token di Place input setelah dikurangi adalah bilangan bulat non-negatif. Token di Place output ditambah sebanyak bobot arc yang menghubungkannya. Analisis Model Sistem Event Diskrit Tak Berwaktu Liveness Liveness yaitu kondisi di mana menjamin Petri net tidak terjadi deadlock berdasarkan definisi berikut: Definisi 3 (Cassandras,1993): Petri net dengan vector keadaan awal Mo disebut live jika terdapat beberapa sample path sedemikian hingga selalu ada transisi yang dapat difire untuk setiap keadaan yang dapat dicapai dari Mo. Boundedness Sistem dikatakan tidak stabil jika terjadi ledakan (blow up) pada nilai variabel keadaannya. Pengertian ini juga berlaku pada salah satu model sistemevent diskrit yaitu Petri net. Dengan variabel keadaan dari Petri net adalah jumlah token pada setiap Place. Jika jumlah token pada satu atau lebih Place bertambah menuju ke tak hingga maka Petri net tidak stabil. Place yang mempunyai token menuju tak hingga disebut tak terbatas (unbounded) dan Place yang mempunyai token kurang dari atau sama dengan nilai tertentu disebut terbatas (bounded). 154 Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 2 Juli 2012: 152-164

Definisi 4 (Cassandras, 1993): Place pi P pada Petri net dengan keadaan awal M0 disebut k- bounded atau k-safe jika m(pi) k untuk semua keadaan yang mungkin terjadi. Place yang mempunyai k = 1 disebut 1-bounded atau safe. Reachability Definisi 5: Petri net dengan penanda awal M 0, jika himpunan semua penanda M PN dapat diperoleh/dicapai dari M 0 maka disebut reachability set dan dinotasikan dengan R(PN,M). Reversible Definisi 6: Petri net reversible jika untuk semua penanda M PN maka Mo R(PN,M) atau Mo bisa dicapai dari setiap M. Deskripsi Studi Kasus Sistem Produksi (Batch Plant) Batch plant adalah instalasi mesin produksi pencampuran beberapa material/bahan baku yang memproduksi sejenis beton atau aspal. Dalam hal ini sistem produksi (batch plant ) menghasilkan produk yang prosesnya memerlukan dua unit produksi yaitu reactor dan blender. Terdapat empat tangki yang berisi material larutan (solvent) bahan baku yang masing-masing terhubung dengan unit produksi reactor dan blender di mana sebelumnya kuantitas material larutan diisikan ke dalam reactor dan blender melalui pengontrol sehingga komposisi sesuai dengan aturan atau metode nya. Jika dibutuhkan material larutan tambahan maka penambahan ke dalam reactor diisikan secara berurutan. Pengisian parallel material larutan ke reactor secara terpisah juga dimungkinkan, namun masingmasing material larutan tidak dapat diisikan ke beberapa reactor secara bersamaan. Proses Pemanasan dan pembakaran dilakukan pada reactor. Selama tahap pemanasan, bahan padat atau pelarut lain bisa ditambahkan. Setelah proses produksi di reactor selesai, hasilnya dipindahkan ke dalam blender.. Setelah proses pencampuran, hasil produk di uji dan jika kualitas diterima maka dipindahkan ke dalam area pengeringan. Tetapi jika kualitas produk ditolak maka produk disimpan di blender sehingga di dapatkan material larutan lagi. Gambaran deskripsi lebih jelas pada Gambar 1, yaitu sistem dengan satu reactor dan satu blender. Solvent 1. Solvent 3. Solvent 4. Reactor. Blender. Filling Tank. Gambar 1 Flowchart sistem produksi dengan satu reaktor dan satu blender Model Petri Net Tak Berwaktu... (Siti Komsiyah) 155

HASIL DAN PEMBAHASAN Model Petri Net pada Proses Sistem Produksi (Batch Plant) Berdasarkan flowchart pada Gambar 1, sistem produksi (batch plant) terdiri dari empat tahapan sebagai berikut: (1) proses pengisian material larutan (charging); (2) proses pereaksian di reaktor (reaction); (3) proses pencampuran di blender ( blending); (4) proses pengujian produk dan pengosongan blender (testing and discharging). Evaluasi kinerja pada suatu sistem produksi menyediakan kemampuan untuk membuat rencana secara jelas dari sistem produksi tersebut. Hal ini digunakan untuk mengidentifikasi jalannya proses di dalam unit produksi, memperkirakan proporsi bahan baku yang diperlukan untuk produksi dan memutuskan kebijakan-kebijakan pengoperasian sistem kerja tersebut sehingga didapatkan hasil sesuai dengan kualitas yang diinginkan, dalam hal ini suhu campuran, konsentrat/kekentalan hasil campuran solvent setelah proses selesai. Tahap 1: Model petri net pada tahap proses pengisian material larutan ( Solvent Charging) Pada Gambar 1 terdapat empat jenis larutan bahan baku yang berbeda yang diperlukan sebelum proses pereaksian dimulai. Material larutan diisikan ke dalam reaktor satu persatu, dengan demikian dibutuhkan 2 Place untuk memodelkan kondisi masing-masing larutan. Place pertama merepresentasikan larutan siap untuk pengisian dan Place kedua merepresentasikan bahwa dalam proses pengisian larutan. Setelah selesai pengisian, larutan telah siap kembali. Model Petri net nya bisa dilihat dalam Gambar 2 dan ilustrasi Place dan transisi dari model ini ditunjukkan sebagai berikut. Sebagai penanda awal (initial state) pada tahap ini adalah Mo = [S1,S2,S3,S4,P1, P2,P3,P4,P5,P6] = [1,1,1,1,0,0,0,0,0,0 ]. Himpunan Place yaitu terdiri dari P = { S1,S2,S3,S4,P1, P2,P3,P4,P5,P6} di mana S1: Solvent 1 S2: Solvent 2 S3: Solvent 3 S4: Solvent 4 P1: Reactor available P2: Pengisian solvent 1 pada reaktor P3: Pengisian solvent 2 pada reaktor P4: Pengisian solvent 3 pada reaktor P5: Pengisian solvent 4 pada reaktor P6: Reaksi sedang diproses di reaktor Himpunan transisi yaitu terdiri dari T = { t1, t2, t3, t4, t5 ) di mana t1: Mulai pengisian untuk solvent 1 t2: Selesai pengisian solvent 1 dan mulai pengisian solvent 2 t3: Selesai pengisian solvent 2 dan mulai pengisian solvent 3 t4: Selesai Pengisian solvent 3 dan mulai pengisian solvent 4 t5: Selesai pengisian solvent 4 dan proses pereaksian di reaktor dimulai 156 Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 2 Juli 2012: 152-164

Gambar 2 Petri net tahap solvent charging Tahap 2 dan 3: Model Petri Net pada Reaktor dan Blender Pada tahap ini, model reaktor dan blinder secara bersamaan yaitu secara berurutan larutan diisikan ke dalam reaktor kemudian terjadi reaksi, selanjutnya hasil pereaksian diisikan ke dalam blender. Setelah itu dilakukan pengujian kualitas dan dikosongkan ke dalam tangki pengisian. Model pada tahap ini ditunjukkan dalam Gambar 3 dan himpunan Place dan transisi sebagai berikut. Himpunan Place terdiri dari P = { P7,P8,P9,P10,R,B } di mana P7: Pengisian semua solvent P8: Reaksi sedang di proses di rektor P9: Pengosongan reaktor dan pengisian blender P10: Pencampuran, Pengujian dan Pengosongan blender R: Reactor availabel B: Blender availabel Himpunan transisi terdiri dari T = { t6,t7,t8,t9,t10 } di mana t6: Mulai Pengisian semua solvent t7: Selesai pengisian semua solvent dan mulai proses reaksi t8: Selesai pereaksian dan pengisian blender t9: Selesai pengisian dan pencampuran dan mulai pengosongan t10: Selesai pengosongan blender Pada tahap ini, setelah solvent diisikan, proses reaksi dilakukan di reaktor pada P8. Setelah selesai direaksikan, reaktor dikosongkan dan kemudian blender diisi pada P9 untuk proses pencampuran keempat solvent yang sudah direaksikan tersebut. Setelah proses pencampuran, blender dikosongkan pada P10. Penanda awal pada tahap ini adalah Mo = [P7,P8,P9,P10,R,B]= [0,0,0,0,1,1 ] Berikut ini adalah model petri net yang menggambarkan proses di Reactor dan Blender (Gambar 3). Model Petri Net Tak Berwaktu... (Siti Komsiyah) 157

Gambar 3 Model petri net pada reaktor dan blender Tahap 4: Model Petri Net pada Tahap Uji kualitas setelah Hasil Pencampuran 4 Solvent Model Petri net ditunjukkan pada Gambar 4 di mana produk di uji oleh operator O1. Kemudian hasil uji diterima maka dapat dikosongkan pada p17. Tetapi jika hasil uji ditolak, hasil produk nya diisikan kembali ke larutan dan dicampur ulang pada p16. Jadi ada pilihan dalam susunan net nya. Agar model bekerja pada produk yang tertolak, dibuat Place logika pada p13. Uraian himpunan Place dan transisi ditunjukkan sebagai berikut. Penanda awal (initial state ) pada tahap ini adalah Mo = [P12,P13,P14,P15,P16,P17,S5,O1,O2] = [0,0,0,0,0,0,1,1,1 ] Himpunan Place terdiri dari P = { P12,P13,P14,P15,P16,P17,S5,O1,O2 }di mana P12: Siap untuk pencampuran ( Diblender ) P13: Place logika ( logical Place) untuk menolak bahan baku/material P14: Pencampuran P15: Pengujian P16: Pengujian gagal dan perlu pencampuran ulang P17: Pengujian sukses dan pengosongan blender P18: Pengosongan Blender S5: Hasil campuran tersedia O1: Operator available untuk pengujian O2: Operator available untuk pengosongan Himpunan transisi terdiri dari P = { t12, t13, t14, t15, t16, t17, t18 }di mana t12: Pemompaan pada blender selesai t13: Mulai pencampuran t14: Selesai pencampuran dan mulai pengujian t15: Selesai pengujian dan gagal t16: Selesai pengujian dan berhasil dan mulai pengosongan blender t17: Mulai pencampuran ulang t18: Pengosongan selesai 158 Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 2 Juli 2012: 152-164

Gambar 4 Model petri net pada tahap pengujian kualitas campuran. Pada tahap ini, pada P15 yaitu proses pengujian kualitas campuran solvent terjadi dua kemungkinan pengujian yaitu berhasil atau gagal. Jika pengujian kualitas berhasil, campuran solvent diblender dikosongkan. Sedangkan jika pengujian kualitas gagal, solvent tersebut dilakukan proses pencampuran ulang sehingga didapatkan hasil campuran sesuai dengan kualitas yang diinginkan. Model Petri Net Gabungan Dari 4 Tahap Proses Batch Plant Dari empat tahapan proses batch plant sebelumnya, tiga model Petri net dapat digabungkan menjadi satu kesatuan model yang menggambarkan keseluruhan proses batch plant di mana didapatkan dengan menghilangkan Place P7 dan P10 pada Gambar 5. Model Petri net gabungan ditunjukkan pada Gambar 5. Sedangkan uraian himpunan Place dan transisi dijelaskan sebagai berikut. Seperti tahapan sebelumnya keadaan penanda awal (initial state) nya adalah Mo = [R, P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9,P10,P11,P12,S1,S2,S3,S4,S5,O1,O2,B ] = [1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1 ] Model Petri Net Tak Berwaktu... (Siti Komsiyah) 159

Gambar 5 Model Petri net gabungan proses batch plant Himpunan Place adalah: (R,P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9,P10,P11,P12,S1,S2,S3,S4,S5,O1,O2,B ) Yaitu: R : Reaktor available P1 : Pengisian solvent 1 pada reactor P2 : Pengisian solvent 2 pada reaktor P3 : Pengiisian solvent 3 pada reaktor P4 : Pengisian solvent 4 pada reaktor P5 : Pereaksian solvent sedang diproses di reaktor P6 : Pengosongan reaktor dan pengisian blender P7 : Persiapan untuk pencampuran P8 : Logical Place untuk menolak bahan baku/material P9 : Pencampuran P10 : Pengujian P11 : Pengujian gagal dan dan perlu pencampuran ulang P12 : Pengujian sukses dan pengosongan blender S1 : Solvent 1 S2 : Solvent 2 S3 : Solvent 3 S4 : Solvent 4 S5 : Hasil campuran 4 solvent O1 : Operator availabel untuk pengujian O2 : Operator availabel untuk pengosongan B : Blender availabel 160 Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 2 Juli 2012: 152-164

Himpunan Transisi adalah: ( T1,T2,T3,T4,T5,T6,T7,T8,T9,T10,T11,T12,T13,T14 ) di mana: T1 : Mulai pengisian solvent 1 T2 : Selesai pengisian solvent 1 dan mulai pengisian solvent 2 T3 : Selesai pengisian solvent 2 dan mulai pengisian solvent 3 T4 : Selesai pengisian solvent 3 dan mulai pengisian solvent 4 T5 : Selesai pengisian 4 dan proses pereaksian dimulai T6 : Selesai proses reaksi dan pengisian blender T7 : Selesai pengisian blender T8 : Selesai pemompaan blender T9 : Mulai pencampuran T10 : Selesai pencampuran dan mulai pengujian T11 : Selesai pengujian dan gagal T12 : Selesai pengujian dan berhasil dan mulai pengosongan blender T13 : Mulai pencampuran ulang T14 : Pengosongan selesai Simulasi Model Petri Net pada Proses Batch Plant dengan Tool PIPE 2 (Platform Independent Petri Net Editor 2) Dengan menggunakan tool PIPE 2 pada Gambar 6 terlihat transisi yang berwarna merah adalah transisi yang enabel atau transisi yang dapat difire/dieksekusi dengan keadaan awal token (initial state) adalah Mo. Mo = [R, P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9,P10,P11,P12,S1,S2,S3,S4,S5,O1,O2,B ] = [1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1 ] Gambar 6 Simulasi model Petri net dengan PIPE 2 Model Petri Net Tak Berwaktu... (Siti Komsiyah) 161

Dari hasil simulasi, dapat dianalisis ruang keadaan pada model Petri net proses batch plant pada Gambar 7 (a) di mana menunjukkan model bounded, safe, life (undeadlock) serta didapatkan Reachability graph dari model Petri net tersebut Gambar 7 (b). (a) (b) Gambar 7 (a) Analisis ruang keadaan model; (b) reachability graph model. Coverability Tree dari model Petri net keseluruhan model di atas ditunjukkan pada Gambar 8 sebagai berikut: Gambar 8 coverability tree model Petri net batch plant 162 Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 2 Juli 2012: 152-164

Analisis Model Petri Net Proses Batch Plant Liveness Petri net di atas dengan keadaan awal M0 adalah live karena terdapat beberapa sample path sedemikian hingga selalu ada transisi yang dapat difire untuk setiap keadaan yang dapat dicapai dari Mo (tidak pernah terjadi dead-lock). Root Node Dari hasil coverability tree dapat dianalisis sebagai berikut: Adalah node pertama pada coverability tree atau disebut dengan keadaan awal/initial state yaitu Mo = [ 1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1] Node Duplikat adalah node yang sudah ada di tree yaitu node yang diberi tanda dengan garis putus-putus di mana mempunyai keadaan tanda yang sama. Boundedness ( Safe ) Semua Place dalam petri net di atas adalah 1-bounded/1-Safe karena mempunyai token terbatas yaitu tidak lebih dari satu token sehingga merupakan sistem yang stabil. Reachability Petri net tersebut adalah reachable net karena setiap keadaan bertanda ( M = vektor dengan angka berisi banyaknya token pada masing-masing Place) selalu dapat dicapai dari keadaan awal Mo. Reversible Petri net di atas jelas reversible karena setiap M keadaan bertanda pada petri net, maka keadaan penanda awal Mo dapat dicapai dari setiap M jika arah panah dibalik. SIMPULAN Dari analisis dan pembahasan pada paper ini dapat disimpulkan bahwa model petri net pada proses batch plant sesuai deskripsi studi kasus disusun dengan metode modular dengan menggabungkan subnet dari masing-masing tahapan yang merupakan model petri net yang stabil karena bersifat bounded (1-safe), live, reachability dan reversible. Analisis performa dari Petri net tersebut juga diperjelas dengan menyusun coverability tree sehingga sistem yang kompleks lebih mudah dipahami dengan adanya tool PIPE2. Di lain pihak terdapat banyak literatur yang tersedia dalam materi Petri net, akan tetapi masih jarang aplikasi yang dibuat. Saran dari peneliti dalam hal ini adalah bisa dikembangkannya aplikasi-aplikasi lain yang menggunakan prinsip kerja Petri net. Model Petri Net Tak Berwaktu... (Siti Komsiyah) 163

DAFTAR PUSTAKA Cassandras, C. G. (1993). Discrete Event Systems: Modeling and Performance Analysis. H. Yu, Kelleher, G. dan Ayesh, A. (1997). Planning Through Petri Nets. Proceedings of 16th AI Planning and Scheduling SIG, Durham University, UK. Jeng dan Dicesare, F. (1993). A Review of Synthesis Techniques for Petri Nets with Applications to Automated Manufacturing Systems. IEEE Trans. Sys. Man, Cybernetics, 23 (1): 301-312. Murata. (1989). Petri Nets: Properties, Analysis and Applications. Proceedings of the IEEE, 77 (4): 541-580. Reyes, A., H. Yu, Kelleher, G. and Lloyd, S. (2001). An Evolutionary Hybrid Scheduler Based in Petri Net Structures for FMS Scheduling. IEEE International Conference on Systems, Man, and Cybernetics. Reyes, A., H. Yu, Kelleher, G. and Lloyd, S. (2002). Integrating Petri Net Modelling and AI Based Heuristic Hybrid Search for Scheduling of FMS. Journal of Computer in Industry, 47. T. Gu and Bahri, P.A. (2002). A Survey of Petri Net Application in Batch Processes. Journal of Computer in Industry, 47: 99-111. 164 Jurnal Mat Stat, Vol. 12 No. 2 Juli 2012: 152-164