MATEMATIKA UANG 1
Time Value of Money Money has value Uang dapat dipinjam atau dipinjamkan Uang dipinjamkan kompensasi Contoh : interest (BUNGA) If you put $100 in a bank at 9% interest for one time period you will receive back your original $100 plus $9 2
Dari pandangan orang yang meminjam : memberi keuntungan Dari pandangan peminjam : harus membayar kembali meminjamkan kepada pihak lain dengan tingkat bunga lebih tinggi dijadikan barang produktif Dikenal istilah THE TIME VALUE OF MONEY waktu diantara penerimaan dan pengembalian pinjaman untuk menjamin pendapatan the time value of money is the change in the amount of money over a given time period. 3
Bunga (Interest) It is the difference between a beginning amount and an ending amount Bunga (Pendapatan) this is the perspective of a person who either saves, invests, or loans (meminjamkan) a sum of money out, and at a later time receives a larger sum. Interest = total amount now original amount Bunga (Pembayar) this is the perspective of a person who borrows a sum of money, and at a later time repays a larger sum. Interest = Amount owed now original amount (jumlah hutang+bunga) 4
Tingkat Bunga Tingkat bunga (i) : jumlah bunga yang ditentukan untuk periode waktu tertentu, dibagi dengan jumlah awal i = I P x n Often the interest period is a year. 5
Simple Interest (Bunga Biasa) Interest (I) = P x i x n dimana : I : bunga yang didapat P : modal sekarang i : tingkat bunga (interest rate) n : jumlah waktu bunga (number of periods) (years) Future (F) = P + I = P + (P x i x n) = P (1 + i x n) dimana : F : jumlah uang mendatang : jumlah total si peminjam yang harus dikembalikan 6
Contoh : Modal : Rp 10.000 Dipinjamkan untuk jangka waktu 2 tahun dengan bunga 10 % Ditanyakan : a. Bunga (I) b. Jumlah total pada akhir tahun ke-2 (F) Jawab : a. I = P. i. n = 10.000 x 0,1 x 2 = 2.000 b. F = P + I = 10.000 + 2.000 = 12.000 7
b. n dinyatakan setengah tahun berganda (semi annually) periode : 12 bulan/2 = 6 bulan n = 2 i = 10 %/2 = 5 % periode total untuk 2 tahun n = 4 ditanyakan : F Jawab : F = P (1+ i) n = 10.000 (1+0,05) 4 = 12155 8
FAKTOR DALAM BUNGA BERGANDA 1. Jumlah kompon (F/P, i %, n) 2. Nilai sekarang (P/F, i %, n) 3. Dana diendapkan (A/F, i %, n) 4. Rangkaian jumlah kompon (F/A, i %, n) 5. Pemulihan modal (A/P, i %, n) 6. Rangkaian nilai sekarang (P/A, i %, n) 7. Perubahan deret hitung naik/turun (A/G, i %, n) 9
No Faktor Untuk menentukan Diketahui Simbol 1 Jumlah kompon F P (F/P, i %, n) 2 Nilai sekarang P F (P/F, i %, n) 3 Dana diendapkan A F (A/F, i %, n) 4 Rangkaian jumlah kompon F A (F/A, i %, n) 5 Pemulihan modal A P (A/P, i %, n) 6 Rangkaian nilai sekarang 7 Perubahan Deret hitung naik/turun P A (P/A, i %, n) A G (A/G, i %, n) 10
Contoh penggunaan 1. (F/P, i %, n) ditentukan P untuk mencari F Rumus : F = P. (1 + i) n Contoh : F = P (F/P, i, n) F = 10000 (F/P, 10%, 2) Keterangan : P = 10000 i = 10 % = 0,1 F = nilai mendatang yang ekivalen sesudah 2 periode n = 2 a. Dengan perhitungan : F = P (1 +i) n b. Dengan tabel : n =2 = 10000 (1 + 0,1) 2 = 12100 i = 10 % (F/P, 10%, 2) 1,2100 F = 10000 x 1,21 = 12100 11
2. Faktor Nilai Sekarang (Present Worth Factor) (P/F, i %, n) ditentukan F untuk mencari P Rumus : P = F. 1/(1 + i ) n = F (P/F, i, n) 12
Contoh : Hitung nilai sekarang dari uang sejumlah Rp 30.000,00 yang telah diinvestasikan selama 5 tahun dengan tingkat bunga berganda semi tahunan 6 %. Diketahui : F = Rp 30.000 Jawab : i = 6 %/tahun atau i = 3 % per periode n = 5 x 2 = 10 P = F (P/F, i, n) = 30000 (P/F, 3, 10) = 30000. 0,7441 = 22323 13
3. Rangkaian Pembayaran Seragam adalah suatu jumlah modal P atau suatu jumlah F dalam suatu jumlah periode waktu n yang dijalin dalam suatu rangkaian pembayaran akhir periode A yang seragam, untuk tingkat bunga i ANNUITY : tiap rangkaian pembayaran yang sama yang dilaksanakan pada akhir periode yang sama contoh : premi asuransi tahunan Periode pembayaran : waktu antara 2 pembayaran yang berturutan ada 4 macam 14
a. Rangkaian Seragam (F/A, i %, n) ditentukan A untuk mencari F Rumus : F = A. [ (1 + i ) n - 1] i = A (F/A, i, n) 15
Contoh : Berapa jumlaah modal yang akan dikumpulkan jika suatu dana sebesar Rp 10000 diinvestasikan pada tiap akhir tahun untuk jangka waktu 6 tahun? Ditentukan tingkat bunga 8 % per tahun. Diketahui : A = 10000 n = 6 tahun i = 8 % Jawab : F = A (F/A, i, n) = 10000. (F/A, 8 %, 6) = 10.000 x 7,3355 = 73358 atau F = A. [ (1 + i ) n - 1] = 10000. (1+0,08) 6-1 = 73355 i 0,08 16
Waktu pembayaran akhir tahun Jumlah pembayaran (A) Nilai mendatang pada akhir tiap tahun 1 10000 10000 x (1 + 0,08) 5 = 14693 2 10000 10000 x (1 + 0,08) 4 = 13605 3 10000 10000 x (1 + 0,08) 3 = 12597 4 10000 10000 x (1 + 0,08) 2 = 11800 5 10000 10000 x (1 + 0,08) 1 = 10800 6 10000 10000 x (1 + 0,08) 0 = 10000 Total 73359 17
b. Faktor Dana Diendapkan (A/F, i %, n) ditentukan F untuk mencari A Rumus : A = F. i [ (1 + i ) n - 1] = F (A/F, i, n) 18
Contoh : Dibuat investasi tahunan seragam dalam suatu dana diendapkan dengan maksud untuk menyediakan modal pada akhir tahun ke-7 untuk mengganti mesin. Tingkat bunga adalah 2,5 %. Berapa jumlah investasi tahunan yang diperlukan untuk menyediakan dana sebesar 15 juta? Diketahui : F = 15.000.000 n = 7 tahun i = 2,5 % Jawab : A = F (A/F, i, n) = 15.000.000. (A/F, 2,5%, 7) = 15.000.000 x 0,1325 =1.987.500 19
c. Faktor Pemulihan Modal (A/P, i %, n) ditentukan P untuk mencari A Rumus : A = P. i (1 + i) n (1 + i ) n - 1 = P (A/P, i, n) 20
Contoh : Jumlah dari tiap pembayaran tahunan dibuat untuk 4 tahun dalam rangka mengembalikan pinjaman sebesar Rp 33120, dengan bunga sebesar 8 % per tahun. Berapakah A (pembayaran tahunan) yang ditentukan? Diketahui : P = 33120 n = 4 tahun i = 0,08 Jawab : A = P (A/P, i, n) = 33120. (A/P, 8 %, 4) = 33120 x 0,30192 = 10000 21
d. Rangkaian Faktor Nilai Sekarang (P/A, i %, n) ditentukan A untuk mencari P Rumus : P = A. (1 + i) n - 1 i. (1 + i ) n = A (P/A, i, n) 22
Contoh : Suatu pinjaman dalam rangka investasi ditentukan tiap pembayaran pada akhir periode sebesar 10000. Harus diselesaikan dalam waktu 5 tahun. Hitung nilai sekarang dari pinjaman 5 tahun, jika i = 8 %. Diketahui : A = 10000 n = 5 tahun i = 0,08 Jawab : P = A (P/A, i, n) = 10000. (P/A, 8 %, 5) = 10000 x 3,9926 = 39926 23
4. Faktor Perubahan Deret Hitung (A/G, i %, n) ditentukan G untuk mencari A Rumus A = G (A/G, i, n) Rangkaian seragam yang ekivalen dari suatu jumlah pembayaran-pembayaran yang bertambah tiap tahunnya dengan suatu jumlah yang seragam 24
Contoh : Jika biaya pemeliharaan dari suatu alat sebesar Rp 4000 pada akhir tahun ke-1, Rp 5000 pada akhir tahun ke-2, dan Rp 6000, Rp 7000, dan Rp 8000 berturut-turut pada akhir tahun ke-4, ke-4, dan ke-5. Hitunglah biaya rangkaian seragam yang ekivalen tiap tahun sepanjang periode 5 tahun. Tingkat bunga ditentukan 5 %. Jawab : A = G (A/G, 5 %, 5) = 1000 x 1,9021 = 1902,1 25
Bagaimana perhitungan bunga? Penentuan bunga di Bank ditentukan oleh masing-masing Bank, dengan memperhatikan : Dana masuk dan dana keluar o Dana masuk, al : tabungan, deposito, giro o Dana keluar, al : operasional (gaji, administrasi), kredit (dikeluatkan sekitar 70 % dari dana tersedia), penempatan di bank lain, hadiah/undian Kebijakan tertentu, al SBM (Suku Bunga Maksimal Penjaminan Bank) yang dikeluarkan oleh BI misalnya 12,5 % per tahun untuk deposito; 5 % per tahun untuk tabungan 2 % per tahun untuk giro 26
Aplikasi penggunaan bunga Bunga biasa Untuk kredit jangka waktu pendek (1-3 tahun) Untuk deposito Dihitung dari P (harga mula-mula) Contoh : kredit mobil Bunga Berganda Jangka waktu panjang Contoh : KPR 27
Contoh perhitungan KPR Seorang nasabah ingin mengambil KPR sebesar Rp 100.000.000 dengan jangka waktu 1 tahun (12 bulan), dengan bunga yang berlaku 19 %. Berapa angsuran yang harus dibayar setiap bulan? 28
(A) = P (A/P,i,n) = 100.000.000 (A/P; 19%/12; 12) 1,583% = 100.000.000 x 0,09215 = 9.215.000 29
Rumus perhitungan bunga : saldo x i x h 360 ket : saldo i % : suku bunga yang berlaku dalam % h : hari bunga contoh : bunga bulan ke-8 = 43.967.945 x 0,19 x 30 = 696.000 360 30
Pinjaman Angsuran Jangka Waktu (bulan) Bunga Interest 100,000,000.00 9,215,657.82 12 19.00% 10,587,893.87 Mont h Pokok Bunga Akumulasi Pokok Akumulasi Bunga SALDO POKOK SALDO BUNGA 1 7,632,324.49 1,583,333.33 7,632,324.49 1,583,333.33 92,367,675.51 9,004,560.54 2 7,753,169.63 1,462,488.20 15,385,494.12 3,045,821.53 84,614,505.88 7,542,072.34 3 7,875,928.15 1,339,729.68 23,261,422.26 4,385,551.21 76,738,577.74 6,202,342.66 4 8,000,630.34 1,215,027.48 31,262,052.60 5,600,578.69 68,737,947.40 4,987,315.18 5 8,127,306.99 1,088,350.83 39,389,359.59 6,688,929.52 60,610,640.41 3,898,964.35 6 8,255,989.35 959,668.47 47,645,348.94 7,648,597.99 52,354,651.06 2,939,295.88 7 8,386,709.18 828,948.64 56,032,058.12 8,477,546.63 43,967,941.88 2,110,347.24 8 8,519,498.74 696,159.08 64,551,556.87 9,173,705.71 35,448,443.13 1,414,188.16 9 8,654,390.81 561,267.02 73,205,947.67 9,734,972.73 26,794,052.33 852,921.14 10 8,791,418.66 424,239.16 81,997,366.33 10,159,211.89 18,002,633.67 428,681.98 11 8,930,616.12 285,041.70 90,927,982.46 10,444,253.59 9,072,017.54 143,640.28 12 9,072,017.54 143,640.28 100,000,000.00 10,587,893.87 0.00 (0.00) 31