ii Persamaan Diferensial
Daftar Isi iii
iv Persamaan Diferensial PERSAMAAN DIFERENSIAL Oleh : S.B Waluya Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2006 Hak Cipta 2006 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit. Candi Gebang Permai Blok R/6 Yogyakarta 55511 Telp. : 0274-882262; 0274-4462135 Fax. : 0274-4462136 E-mail : info@grahailmu.com Waluya, S.B PERSAMAAN DIFERENSIAL/S.B Waluya - Edisi Pertama Yogyakarta; Penerbit Graha Ilmu, 2006 viii + 196 hlm, 1 Jil. : 23 cm. ISBN-13: 978-979-756-168-0 ISBN-10: 979-756-168-6 1. Matematika I. Judul
Daftar Isi v Kata Pengantar Buku ini disusun berdasarkan pengalaman penulis mengajar pada materi Persamaan Diferensial. Sebagian besar isi buku ini merupakan materi wajib untuk mahasiswa jurusan Matematika dan Pendidikan Matematika yang mengambil mata kuliah Persamaan Diferensial. Buku ini disusun dengan cara penyajian dari materi dasar sampai ke materi penerapan persamaan diferensial yang merupakan penyelesaian masalah-masalah dalam aplikasi matematika. Sehingga ini sangat baik digunakan sebagai jembatan bagi pembaca yang mempelajari Persamaan Diferensial dari materi yang sederhana sampai pada taraf penelitian pemula. Buku ini dapat diterbitkan atas bantuan berbagai pihak, baik dalam bentuk kritik, saran-saran, dan masukan dari para mahasiswa terutama di bab 1 sampai bab 4 yang merupakan materi wajib mahasiswa dan editor, untuk itu penulis mengucapkan banyak terimakasih. Pada penerbitan pertama ini, penulis yakin masih terdapat banyak kekurangan, oleh karena itu penulis sangat mengaharap kritik dan saran dari pembaca guna penyempurnaan pada penerbitan berikutnya. Semoga buku ini bermanfaat bagi pembaca terutama mahasiswa yang belajar Persamaan Diferensial maupun bagi
vi Persamaan Diferensial mahasiswa yang mengambil skripsi yang banyak berkaitan dengan Persamaan Diferensial. September, 2006 S. B. Waluya
Daftar Isi vii Daftar Isi KATA PENGANTAR DAFTAR ISI BAB 1 PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL 1 1.1 Klasikasi Persamaan Diferensial 1 1.2 Persamaan Diferensial Biasa dan Sebagian 2 1.3 SistemPersamaan Diferensial 3 1.4 Order Persamaan Diferensial 3 1.5 Solusi Persamaan Diferensial 5 1.6 Persamaan Linear dan Tak Linear 6 1.7 Lapangan Arah/ Direction Field 7 BAB 2 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU 11 2.1 Persamaan Linear 12 2.2 Persamaan Terpisah 22 2.3 Persamaan Linear dan Tak Linear 27 2.4 Persamaan Diferensial Bernoulli 31 2.5 Persamaan Diferensial Eksak 33 2.6 Persamaan Diferensial Homogen 40 2.7 Penerapan Persamaan Diferensial Orde satu 42 2.8 Latihan Soal Pemodelan Sederhana 59 BAB 3 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER DUA 61 3.1 Persamaan Homogen dengan Koesien Konstan 62 3.2 Bergantung Linear dan Wronskian 67 v vii
viii Persamaan Diferensial 3.3 Persamaan Tak homogen: Koesien tak tentu 76 3.4 Operator D 83 3.5 Persamaan Tak Homogen: Vareasi Parameter 85 3.6 Aplikasi: Forced Osilator dan Resonansi 90 3.7 Pemodelan Matematika Sederhana 97 3.8 Latihan Pemodelan 101 BAB 4 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER TINGGI 105 4.1 Persamaan Linear Order ke n 105 4.2 Persamaan Linear dengan Koesien Konstan 110 4.3 Metoda Koesien Tak Tentu 115 4.4 Metoda Vareasi Parameter 120 BAB 5 SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL 125 5.1 Pengantar pada Sistem dan Matrik 125 5.2 Nilai Eigen, vektor Eigen, dan Kebebasan Linear 130 5.3 Sistem Persamaan Diferensial 136 5.4 Akar-akar komplek dan berulang 142 5.5 Matrik Fundamental dan Miscellany 147 5.6 Persamaan Tak Homogen 150 BAB 6 SISTEM PERSAMAAN TAK LINEAR 159 6.1 Pengantar pada sistem tak linear 160 6.2 Pendulum dan Teori Perturbasi 165 6.3 Model Pemakan dan dimakan 174 6.4 Limit cycle dan Solusi Periodik 181 6.5 Chaos dan Strange attractor: Persamaan Lorenz 188 DAFTAR PUSTAKA 195 -oo0oo-
Bab 1 Pengantar Persamaan Diferensial Dalam bab ini kita akan membicarakan gambaran yang luas tentang Persamaan Diferensial. Persamaan Diferensial merupakan matakuliah yang cukup strategis karena berkaitan dengan bagian-bagian sentral dalam matematika seperti dalam Analisis, Aljabar, Geometri dan yang lainnya yang akan sangat berperan dalam pengenalan konsep maupun pemecahan masalah yang berkaitan dengan dunia nyata. 1.1 Klasifikasi Persamaan Diferensial Banyak masalah yang sangat penting dalam mesin, ilmu fisika, ilmu sosial dan yang lainya, ketika memformulakan dalam bentuk matematika mensyaratkan fungsi yang memenuhi persamaan yang memuat satu atau lebih turunan-turunan dari fungsi yang tidak diketahui. Persamaan-persamaan di atas disebut persamaan diferensial. Perhatikan hukum Newton F = m.a. Jikay(t) menyatakan posisi partikel 1
2 Pengantar Persamaan Diferensial bermasa m pada waktu t dan dengan gaya F, maka kita akan dapatkan [ m d2 y dt = F t, y, dy ], (1.1.1) 2 dt dimana gaya F mungkin merupakan fungsi dari t,y, dan kecepatan dy/dt. Untuk menentukan gerakan sebuah partikel dengan diberikan gaya F yakni dengan mencari fungsi y yang memenuhi persamaan (1.1.1). 1.2 Persamaan Diferensial Biasa dan Sebagian Klasifikasi ini didasarkan pada apakah fungsi yang diketahui tergantung pada satu atau beberapa vareabel bebas. Dalam kasus yang pertama disebut persamaan diferensial biasa sedang dalam kasus yang kedua disebut persamaan diferensial sebagian. Persamaan (1.1.1) merupakan salah satu contoh persaman diferensial biasa. Contoh lainnya misalnya dalam elektronika kita punyai relasi antara kapasitas C,hambatan R, induktansi L, tegangan E dan muatan Q diberikan L d2 Q(t) + R dq(t) + 1 Q(t) =E(t). (1.2.2) dt 2 dt C Contoh lain misalkan dalam peluruhan zat radio aktif akan diberikan sebagai dr(t) = kr(t), (1.2.3) dt dimana R(t) adalah jumlah zat radioaktif pada waktu t, dank adalah konstanta peluruhan. Sedangkan contoh untuk persamaan diferensial sebagian misalnya persamaan Laplace yang diberikan sebagai 2 u(x, y) x 2 + 2 u(x, y) y 2 =0, (1.2.4)