Poceedng Semna gas Ah Jana Desan Kontol Fy ebass Pefomans H atasan Inpt-Otpt nt Sstem Pendlm-Keeta to Febaanto, hastt Agstnah, Achmad Jade Jsan en Eleto FI-IS, Sabaya 6, e-mal : e_de@elect-eng.ts.ac.d Absta Sstem Pendlm-Keeta (SPK mepaan salah sat contoh sstem nonlnea ta stabl. Dalam maalah n ontole stablsas ddesan nt menstablan pendlm pada poss tebalnya seta menaga eeta pada tt tengah el. Pendeatan model fy aag-sgeno (-S pefomans H dgnaan dalam desan ontole. Sema ontol eselhan mengt onsep Paallel Dstbted ompensaton (PD. Konsep establan Lyapnov dgnaan dan dbah e dalam bent Lnea Matx Ineqalty (LMI nt mendapatan gan state-feedbac yang dapat menamn establan sstem. Hasl smlas dan mplementas menan bahwa ontole dapat mempetahanan pendlm pada eadaan tebalnya -nom da ganggan tehadap elaan pefomans meml tngat pelemahan ang da γ seta snyal ontol dan elaan yang dbatas ga dapat memenh batasan yang entan. Kata Knc - Fy -S, Lnea Matx Ineqalty, H, Sstem Pendlm-Keeta I. PENDAHULUAN Sstem Pendlm-Keeta (SPK sengal dgnaan sebaga pengan metode-metode ontol aena sstem n meml aatest nonlnea yang tngg dan tda stabl. SPK dapat dgnaan nt menglstasan de-de pada bdang ontol nonlnea. Unt mengontol sstem nonlnea dpelan ten ontol yang tda semdah pada sstem lnea dan stabl. Aplas sstem sepet n dapat em pada pelncan oet seta pengembangan obot hmanod. Pesoalan ontol yang basa dgnaan pada SPK adalah swng-p, stablsas dan tacng. Swng-p adalah mengaynan pendlm da poss menggantng men poss tebal. Selantnya, pendlm dpetahanan pada poss tebalnya yang basa dsebt stablsas. Sedangan nt tacng, eeta dontol aga mengt snyal efeens yang dbean tetap mempetahanan pendlm pada poss tebalnya. Pada maalah n dgnaan metode ontol stablsas nt menstablan pendlm pada sdt adan tehadap gas vetal dan poss eeta beada pada tt tengah el. Dalam mendesan ontole stablsas nt sstem nonlnea dapat dgnaan sema ontol nonlnea langsng [] ata melal pendeatan model fy aag- Sgeno (-S []-[5]. Pendeatan model fy -S lebh dplh aena mamp meepesentasan pela nonlnea sstem da ombnas bebeapa sbsstem lnea yang lebh sedehana. Sema ontol secaa eselhan mengt adah Paallel Dstbted ompensaton (PD, dmana da masng-masng sbsstem dapat dhtng gan statefeedbac yang aan mengompensas model fy -S yang besesaan. Pada mplementas nyata, SPK meml snyal ontol yang tebatas, panang el yang tebatas, seta ganggan da la ga dapat dbean pada eeta mapn pendlm. Unt menaga establan sstem mempehatan batasan-batasan tesebt, sema ontol fy -S dancang menggnaan pefomans H [5], [6]. Konsep establan Lyapnov dgnaan nt mendapatan gan state-feedbac model fy -S sebaga syaat establan sstem. Selantnya dgnaan ten pemogaman Lnea Matx Ineqalty (LMI nt mendapatan sols petdasamaan Lyapnov [7]. Maalah n tebag sebaga bet. Pada bagan II dpapaan mengena model matemata SPK. agan III menelasan tentang ontol fy -S pefomans H. Pada bagan IV pehtngan gan state-feedbac dhtng seta dmplementasan pada SPK. Kesmplan da maalah n dpapaan pada bagan V. II. MODEL MAEMAIKA SPK SPK ted da sepasang pendlm yang tepasang pada sebah eeta sehngga pendlm tesebt dapat beayn bebas pada bdang vetal. Unt mengaynan dan menyembangan pendlm, eeta dgeaan e ata e anan pada el yang panangnya tebatas. Gamba mennan dagam fs SPK dnama sstem dalam pesamaan state-space dapat lsan sebaga bet. x ɺ = x 3 x ɺ = x xɺ 3 a( = l cos x c µ x ( sn x + l cos x J + µ l sn x µ x sn x ( µ g sn x + µ g sn x f f x c p xɺ = ( J + µ l sn x µ = ( mc + m p l dan a = l + J ( m c + m p Gamba Dagam Fs Sstem Pendlm-Keeta x x tt tengah el l x psat massa sstem p smb otas
Poceedng Semna gas Ah Jana Veto state SPK adalah x = [ x x x3 x ] x adalah poss eeta (m da tt tengah el, x adalah poss sdt pendlm (ad tehadap gas vetal, x 3 adalah ecepatan eeta (m/det, dan x adalah ecepatan sdt pendlm (ad/det. Massa eeta dan massa pendlm dnyataan sebaga m c (g dan m p (g, g mepaan pecepatan gavtas (m/det, l (m adalah aa antaa smb otas pendlm e psat massa sstem, dan J adalah momen nesa (g.m sstem tehadap psat massa sstem. (N mepaan gaya ontol yang eapan pada eeta, c (N mepaan gaya gese antaa eeta dan el, dan f p (g.m /s mepaan onstanta gese pendlm. Paamete SPK yang dgnaan [8] adalah sebaga bet: m c =, g, m p =, g, l=,6793 m, J=,35735 g.m, f p =,7 g.m /s. III. KONROL H UNUK MODEL FUZZY -S Model fy -S dapat dgnaan sebaga pendeatan sstem nonlnea da bebeapa sbsstem lnea hasl lneasas loal []. Sstem nonlnea ganggan dapat depesentasan e dalam model fy -S yang ted da atan IF-HEN sebaga bet. Atan model plant e- : IF λ ( s M AND AND λ ( s M HEN x ɺ = A + + ( ( t = (, t ( =, ( =,,..., =,,..., p dmana adalah mlah atan fy, p adalah mlah hmpnan fy dalam sat atan, dan M adalah hmpnan fy. n mepaan vaabel state, m mepaan ganggan da la, ( m mepaan ontol masan, ( q mepaan elaan pefomans, ( q mepaan elaan yang dbatas, sedangan λ( mepaan vaabel pems yang dapat bepa fngs da vaabel state, ganggan estenal, dan/ata wat. Secaa matemats, model fy -S pada Pesamaan ( dapat ddefnsan sebaga bet. = = x ɺ ( α ( λ( [ A + + ( ] = ( = α ( λ( [, ] (, t = α ( λ( [ ] (3 = µ ( λ( p α ( λ( = dan µ ( λ( = M ( λ = = µ ( λ( ( ( Pembobot α (λ( dan deaat eanggotaan µ (λ( meml sfat sebaga bet: µ ( λ ( ; µ ( λ( > α ( λ( ; = = α ( λ( = Sesa onsep PD, maa dapat dssn ontole state-feedbac yang besesaan model fy -S pada Pesamaan ( sebaga bet. Atan ontole e- : IF λ ( s M AND AND λ ( s M HEN ( = =,,..., =,,..., p dmana adalah gan state-feedbac yang aan entan emdan. Ddefnsan ontole fy secaa eselhan meml bent: ( = = α ( λ( [ ] ( Sbstts ( e (3 aan menghaslan sstem lp tettp, = ( x ɺ α ( λ( α ( λ( [( A + = = = ( = α ( λ( [, ] (, t ] = α ( λ( [ ] (5 = Selantnya, ontole fy nt model fy -S (3 ddesan menggnaan pefomans H sehngga sstem lp tettp (5 stabl asmtot dan elaan pefomans memenh ( sp w = γ * < γ Selan t ontole hasl desan aan memenh batasan npt-otpt sebaga bet. ( (6 ( (7 et n aan nan sema ontol fy pefomans H yang dancang dalam maalah n. eoema : Ja Petdasamaan (6 mennan L - Gan sstem (5 [], dan tedapat fngs Lyapnov V ( x ( =, P = P >, dan γ sehngga tedapat mats smets yang memenh LMI: dan Θ < y, y <, < ; =, Θ + ( Θ + Θ < ; (8 Θ A + A =, y y γ I, I
Poceedng Semna gas Ah Jana = P maa gan state-feedbac dapat dhtng melal = y [7] dan ontole fy ( aan meml pefomans sebaga bet:. Sstem stabl asmtot.. Sstem memenh pefomans H tngat pelemahan ganggan tehadap elaan pefomans ( ang da γ. 3. atasan npt-otpt pada (7 aan tepenh a V(. (9 Pada Pesamaan (8, paamete menentan sebeapa ba sstem mamp mengatas ganggan ata memenh batasan pada (7. Pembtan LMI (8 dapat dlhat pada Lampan. IV. IMPLEMENASI PADA SPK Pada bagan n ontole hasl desan dsmlasan dan dan pada plant SPK nyata yang meml batasan pada snyal ontol seta panang el masmal sebaga bet: ( 7,5N, x (,m ( Da Pesamaan (, pesamaan state-space SPK dapat dnyataan menad xɺ = Ax + w w + ( mats A, w, dan mepaan mats hasl lneasas loal SPK pada tt ea tetent [9]. Poss sdt pendlm (x dplh sebaga vaabel pems nt model fy -S fngs eanggotaan yat: M ( x ( = exp[,5( x ( t,8 ( x ( = M ( x ( ( M t Sedangan bent fngs eanggotaan dapat dlhat pada Gamba. Selantnya model fy -S dapat dssn da bebeapa sbsstem lnea pada Pesamaan ( sebaga bet. Atan plant e- : IF x ( s M (seta adan HEN x ɺ = A + + ( ( t = (, t = (, t Atan plant e- : IF x ( s M (seta ±, adan HEN x ɺ = A + + ( Deaat Keanggotaan.8.6.. ( t = (, t M M -. -.3 -. -....3. x (ad Gamba Fngs Keanggotaan nt Atan Model Plant dan Kontole ] M = (, t A = ;,556,3 5,,79 A = ;,389,3,69739,79, =, = [ 3,,,], =, = [ ], =,87,3699 =,8638, Atan ontole yang besesaan atan plant dapat dssn melal onsep PD sebaga bet. Atan ontole e- : IF x ( s M (seta adan HEN ( = Atan ontole e- : IF x ( s M (seta ±, adan HEN ( = Sehngga sesa Pesamaan ( dan (, ontole fy secaa eselhan meml bent: = M ( x ( M ( x ( (3 ( t Da Pesamaan ( dapat entan = 7,5 N dan =, m. Selantnya dplh paamete = 5 dan ddapat sols teba penyelesaan LMI (8 menggnaan LMI oolbox MALA yat eta γ =,8. Gan statefeedbac yang ddapat nt ontole fy (3 adalah: = [,379 6,866 78,3569 = [ 38,58 6,7 77,836 selan t ddapat mats stabltas P yat:,673,98 P = 3 x,6667,579,98,5866,8669,6769,6667,8669,937,69 68,795] 68,6],579,6769,69,77 Da gan state-feedbac yang ddapat, sstem lp tettp (5 meml -nom da tehadap ( sebesa γ* =,39. Hal n mennan bahwa pengah teb ganggan tehadap elaan pefomans ( adalah γ* =,39 ata ang da γ =,8. Gamba 3 mennan hasl smlas membean onds awal pada poss dan ecepatan sdt pendlm yat x ( = [,,]. Konds awal yang dbean mamp memenh Petdasamaan (9 nla V =,93 5 sehngga dapat dlhat pada gamba bahwa snyal ontol mnmal dan masmal bett-tt sebesa -8,6 N dan N. Selan t poss eeta dan poss sdt pendlm dapat dstablan mespn tedapat ganggan sebesa ±3,5 N antaa det e-5 hngga e- dan det e-5 hngga e-. Smpangan poss eeta eta sstem dbe ganggan adalah sebesa ±,8 m 3
Poceedng Semna gas Ah Jana Poss Keeta (m.6.. -. -. -.6 5 5 5 Poss Keeta (m. -. -..5.5.5 3 3.5.5 5 Poss Sdt Pendlm (ad..3.. -. 5 5 5 Poss Sdt Pendlm (ad..3.. -. -..5.5.5 3 3.5.5 5 Snyal Kontol (N - - -6-8 5 5 5 Wat (s Gamba 3 Respons Smlas Poss Keeta, Poss Sdt Pendlm dan Snyal Kontol (Pembean Konds Awal dan Ganggan dan sesa Pesamaan (6, ddapat L -Gan sebesa,6 yang mana lebh ecl da tngat pelemahan hasl pehtngan yat γ* =,39. Hasl mplementas pada plant nyata dgambaan pada Gamba. Pembean onds awal dbean caa mengangat batang pendlm secaa manal sehngga ddapat onds awal yat x ( = [, ]. Konds awal yang dbean tda mamp memenh Petdasamaan (9 ( V = 3,85 > 5 sehngga dapat dlhat pada gamba bahwa snyal ontol melebh batasan yang entan. Namn, poss eeta dan poss sdt pendlm dapat dstablan ba pada mplementas nyata. Unt membean onds awal yang memenh Petdasamaan (9 pada mplementas, maa dgnaan algotwa swng-p bebass eneg yang dslan oleh Astom dan Fta [3]. Kontole swng-p yang dgnaan meml bent matemats: 8sgn[ x cos( x ], x,5 s = ( x, x >,5 agan atas pada Pesamaan ( mepaan algotma swng-p yang membawa pendlm begea men sdt ad, sedangan bagan bawah mepaan al lmte yang membatas eeta aga tda melebh batas el. Hasl peneapan ontole swng-p pada mplementas nyata dapat dlhat pada Gamba 5. Kontole swng-p mamp membawa pendlm men sdt, ad dalam wat,38 det. State sstem pada det,38 meml nla x = [,583,,5738,85] yang mepaan onds awal bag ontole stablsas. Nla onds Snyal Kontol (N 5-5 - -5.5.5.5 3 3.5.5 5 Wat (s Gamba Respons Implementas Poss Keeta, Poss Sdt Pendlm dan Snyal Kontol Poss Keeta (m Poss Sdt Pendlm (ad Snyal Kontol (N. -. -. -.3 6 5 3 5 5 5 3-5 5 5 3 5 5-5 - -5 5 5 5 3 Wat (s Gamba 5 Respons Implementas Poss Keeta, Poss Sdt Pendlm dan Snyal Kontol (Swng-p dan Pembean Ganggan awal n mamp memenh Petdasamaan (9 nlav =,598 5. Sehngga penambahan ontole swng-p pada sema ontol eselhan dapat membant membe onds awal yang mamp memenh
Poceedng Semna gas Ah Jana Petdasamaan (9, sehngga snyal ontol mamp memenh batasan yang entan. Dapat dlhat pada Gamba 5 bahwa poss eeta dan poss sdt pendlm dapat dstablan setelah poses swng-p. Pada det e- hngga e-5 dan det e- hngga e- ganggan sebesa ±3,5 N dbean pada sstem dan poss eeta menympang sebesa ±, tngat pelemahan ganggan tehadap elaan pefomans sebesa,37 yang mana lebh ecl da tngat pelemahan hasl pehtngan yat γ* =,39. Hasl yang ddapat pada mplementas meml hasl yang sesa hasl smlas sehngga sema ontol eselhan dapat memenh pefomans desan. V. KESIMPULAN Kontol fy -S bebass pefomans H batasan npt-otpt daan dalam maalah n. Sema ontol secaa eselhan mamp menstablan pendlm pada poss tebal dan mempetahanan eeta pada tt tengah el. Selan t snyal ontol dan poss eeta dapat memenh batasan yang entan tngat pelemahan ganggan tehadap elaan pefomans ang da γ. LAMPIRAN Lemma : Ja Petdasamaan (6 mennan L -Gan sstem (5 [], dan tedapat fngs Lyapnov V ( x ( =, P = P >, dan γ sehngga, V ɺ + ( ( γ < ; t (5 maa sstem stabl asmtot dan L -Gan sstem (6 meml nla ang da γ []. t: Integalan (5 da sampa onds awal =, Vɺ + ( ( γ < ; t V + ( t ( γ < aena V ( x (, maa secaa mplst ddapat ( ( γ < ( ( ( < γ < γ Dapat dlhat bahwa bagan teah dalam pembtan Lemma mepaan L -Gan sstem (6 []. Jad, a tedapat fngs Lyapnov yang memenh (5, maa pefomans H pada (6 aan tepenh. Selantnya Petdasamaan (5 aan dbah e dalam bent LMI. Unt fngs Lyapnov V ( x ( =, ddapat tnan petama fngs Lyapnov nt sstem (5 yat Vɺ = xɺ ( + Pxɺ ( ( ( Vɺ x Γ P x = (6 P Γ = A P + PA P P, Da Pesamaan (, Pesamaan (5 dapat dabaan sebaga bet. Vɺ + ( ( γ < A A, P + PA, P + PA [, [ I][ P P, ] < ( w t,, P P ] <, P P, P + γ I P + γ I (7 Peneapan Sch omplement dan pe-mltplyng dan post-mltplyng (7 mats P - sehngga aan menghaslan LMI (8. A + A = P dan, y y y = P, γ I < (8 I LMI (8 aan menamn sstem stabl asmtot dan pefomans H pada (6 tepenh. Pennan nt batasan npt-otpt dapat dlaan menna telebh dahl Petdasamaan (5 sebaga bet. Vɺ + ( ( γ < V + ( ( < V + γ aena ( (, maa secaa mplst ddapat V V + γ V ( x ( (9 = V ( x ( γ w dan w w ( + Sbstts fngs Lyapnov V ( x ( = e (9 aan ddapat ( 5
Poceedng Semna gas Ah Jana Pennan LMI nt batasan pada snyal ontol dan elaan yang dbatas dapat dlaan da (7 dan ( sebaga bet. ( = x ( P ( x t P ( =, x (,, P x P,,, (,,, ( ( Peneapan Sch omplement seta pe-mltplyng dan post-mltplyng LMI ( dan ( mats P - aan menghaslan LMI y, y = P dan <, < y = P (3 ( Penggabngan etga LMI yat (8, (3 dan ( aan menghaslan LMI (8 yang mamp menamn establan sstem pefomans H dan sstem memenh batasan npt-otpt yang entan. REFERENSI [] feng We, W. P. Dayawansa, dan W. S. Levne, "Nonlnea ontolle fo an Inveted Pendlm Havng Restcted avel", Atomatca, Vol. 3, no. 6, pp. 8-85, 995. [] K. R. Lee, E.. Jeng, dan H.. Pa, "Robst fy H contol fo ncetan nonlnea systems va state feedbac: an LMI appoach," Fy Sets and Systems, Vol., pp. 3-3,. [3] Kao anaa, aay Ieda, dan H. O. Wang, "Robst Stablaton of a lass of Uncetan Nonlnea Systems va Fy ontol: adatc Stablablty, H ontol heoy, and Lnea Matx Ineqaltes," IEEE ansactons on Fy Systems, Vol., no., Febay 996. [] S. G. ao, N. W. Rees, dan G. Feng, "H contol of ncetan fy contnos-tme systems," Fy Sets and Systems, Vol. 5, pp. 7-9,. [5] Xngqan Gao dan Hong hen, "onstaned H contol fo -S fy systems and ts applcaton to nveted pendlm," IEEE onfeence on ontol Applcatons, pp. 77-8, oonto, 5. [6] Mgel enal dan Pet Hse, "Non-adatc Pefomance Desgn fo aag-sgeno Fy Systems," Appl. Math. ompt. Sc., Vol. 5, no. 3, pp. 383-39, 5. [7] H. D. an, P. Apaan,. Nayo, dan Y. Yamamoto, "Paameteed Lnea Matx Ineqalty echnqes n Fy ontol System Desgn," IEEE ansactons on Fy Systems, Vol. 9, no., pp. 3-33, Apl. [8], ontol n a MALA Envonment (MALA 6.5 Veson. England: Feedbac Instments Ltd.,. [9] Ogata, Katsho, Moden ontol Engneeng, 3 d ed, Pentce-Hall, New Jesey, 997. [] Pasno, K. M. dan Yovch, S., Fy ontol. alfona: Addson Wesley Longman, 998. [] Zho Kemn, Essentals of Robst ontol. New Jesey: Pentce-Hall, May 999. [] oyd, S., El Ghao L., Feon, E., dan alashnan, V., Lnea Matx Ineqaltes n System and ontol heoy. Phladelpha: Socety fo Indstal and Appled Mathematcs, 99. [3] K. J. Astom dan K. Fta, "Swngng p a pendlm by enegy contol," Atomatca, Vol. 36, pp. 87-95,. RIWAYA HIDUP to Febaanto adalah nama lengap penls yang denal nama pangglan to. Penls lah d ota pahlawan Sabaya pada tanggal Feba 99 yang mepaan ana petama da da besadaa pasangan oto Rad dan t Ranah. Penls memla penddannya da K Dew emdan melantan stdnya d SDN Ktsa II 65 Sabaya, SLP Nege 6 Sabaya, dan SMA Nege 5 Sabaya. Setelah lls da SMA pada tahn 8, penls melantan std d Jsan en Eleto, Faltas enolog Indst, Insttt enolog Seplh Nopembe Sabaya melal al SPM pada tahn yang sama. Konsentas penls adalah pada bdang std en Sstem Pengatan dan selama lah, penls atf menad asstem patm sstem pengatan analaog dan menad oodnato patm Otomas Sstem pada patm Sstem Pengatan Dgtal dan Otomas Sstem. Selan t penls ga menad tm pengembang vtal plant bass softwae Wondewae. Pada blan Jana penls mengt semna dan an gas Ah sebaga salah sat pesyaatan nt mempeoleh gela Saana en Eleto. 6