SEGIEMPT SCCHERI (Jurnal 7) Memen Permata zmi Mahasiswa S2 Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia Segiempat saccheri merupakan materi perkuliahan geometri pada pertemuan ke-7. Perkuliah geometri pada rabu pagi tanggal 23 Oktober 2013 disampaikan apak Prof. Jozua. Segiempat saccheri merupakan materi baru menurut pengetahuan saya sehingga terasa sulit untuk memahaminya dengan cepat. erikut rangkuman materi segiempat saccheri yang akan saya jabarkan, mudah-mudahan dapat memberikan gambaran mengenai segiempat saccheri. Segiempat saccheri merupakan bagian dari geometri netral. Geometri netral adalah geometri yang tidak menerapkan postulat ke-5 dari geometri euclid. Postulat ke-5 euclid: k l1 3 1 4 2 l2 1 + 2 < 180 o, maka l1 dan l2 akan berpotongan pada sisi k yang memuat 1 dan 2. Saccheri ingin membuktikan bakwa postulat ke-5 euclid sebagai teorema. Dia membuat konstruksi sebagai berikut:
D C Segiempat Saccheri Keterangan: 1. + D = 90 2. D = C 3. disebut sisi alas 4. CD disebut sisi atas 5. C dan D disebut puncak 6. dan disebut alas Teorema segiempat saccheri: 1. Pada segiempat saccheri Sudut-sudut puncak kongruen 2. Sudut puncak pada segiempat saccheri adalah sudut lancip Untuk membuktikan teorema pada segiempat saccheri, pandanglah situasi berikut ini: D F C E Keterangan: 1. E adalah titik tengah 2. F adalah titik tengah CD
Informasi yang didapat dari bangun tersebut: 1. Segiempat bagian kiri = segiempat bagian kanan 2. D = C 3. DF = CF 4. E = E 5. Pertanyaan: 1. pakah EF = EF? 2. pakah DFE = CFE? 3. pakah DF = CF? Strategi: 1. Gunakan segitiga-segitiga yang kongruen D F C 2 9 10 8 1 7 4 6 3 5 E 3. Lihat ED dan EC E E (diketahui) (Saccheri = 90 o ) D C (Saccheri) Jadi menurut sifat S-Sd-S, ED EC kibatnya, DE = CE 1 = 7 (i) 3 = 5 2. Lihat DEF dan CEF DE CE (akibat) EF EF (diketahui) FD FC (diketahui) Jadi menurut sifat S-S-S, DFE CFE kibatnya, 9 = 10 atau DFE = CFE 2 = 8 (ii) 4 = 6
4. Dari (i) dan (ii) diperoleh a. 3 + 4 = 5 + 6 berarti EF = EF atau EF EF EF + EF = 180 o (berpelurus) Karena EF EF maka EF = EF = 90 o b. 1 + 2 = 7 + 8 berarti DF = CF 5. Yang disimpulkan dari temuan-temuan ini adalah: a. Segiempat EFD segiempat EFC atau EF sebagai sumbu simetri b. EF adalah garis bagi DEC c. EF dan EF CD Dari strategi tersebut menghasilkan teorema: 1. Sudut puncak pada segiempat saccheri kongruen 2. Garis yang menghubungkan titik tengah pada sisi alas dan sisi atas tegak lurus dengan sis alas Pandang situasi segiempat berikut: D C Pertanyaan: 1. pakah C dan D Siku-siku? 2. pakah C dan D tumpul? 3. pakah C dan D lancip? Strategi: 1. Jika C dan D Siku-siku maka ini segiempat CD bukan geometri netral, karena akan berlaku postulat ke-5 euclid.
Jika C dan D tumpul F G D H C E CD merupakan satu garis pakah titik G bertemu dengan titik H? pakah C dan D tumpul? Strategi: a. uat dari D garis D memotong FE di G b. uat dari C garis C memotong FE di H c. Klaim DGF CHF DF CF (F adalah titik tengah) DFG = CFH FDG = FCH (karena DF = CF dan DH = CH siku-siku jadi GDF = HCF d. kibatnya FG = FH atau G = H (berhimpitan) DGF = CHF
SEGIEMPT SCCHERI HIPEROLIK kan dibuktikan C dan D lancip pada segiempat saccheri hiperbolik E F Segiempat hiperbolik EF kan ditunjukkan bahwa sudut puncak pada segiempat saccheri adalah sudut lancip. Sudut-sudut kesejajaran adalah sudut lancip C D Sudut kesejajaran adalah PQ dan PQ kan ditunjukkan : 1. Tidak mungkin kesejajaran sama dengan 90 o 2. Tidak mungkin kesejajaran > 90 o 3. Maka yang mungkin kesejajaran < 90 o
Strategi: 1. Jika kesejajaran sama dengan 90 o Jika DC = 90 o maka DC = 90 o (maka ini merupakan geometri euclid) Jadi tidak mungkin kesejajaran sama dengan 90 o 2. Jika kesejajaran > 90 o E C F 90 o D D DCF = ECF adalah sudut kesejajaran Jika kesejajaran > 90 o maka dari C dapat dibuktikan DCF yang 90 o maka ada garis cf yang tidak memotong di. Padahal jika sudut kesejajaran maka CE haruslah yang pertama memotong lingkaran. Jadi tidak mungkin sudut kesejajaran itu tumpul.
3. Jika kesejajaran < 90 o E C F D kan ditunjukkan bahwa sudut puncak pada segiempat saccheri adalah sudut lancip. a. Lihat ED dan FD E = F (saccheri) DE = DF (90 o ) D = D (tak hingga) Jadi ED = FD b. Perhatikan bahwa FE + FD + DFC = 180 o (sudut berpelurus). Ingat EC = FE (sudut puncak pada segiempat saccheri sama) Dengan substitusi diperoleh FE = EC FE = ED + DEC c. FE + FD + DFC = 180 o ( ED + DEC) + ED + DFC = 180 o, Karena DFC > DEC maka ED + DEC + ED + DFC < 180 o 2 ( ED + DEC) < 180 o ED + DEC < 90 o ED + DEC = EC = sudut alas Jadi terbukti bahwa sudut alas yang kongruen pada segiempat saccheri lancip.