Fungsi Real i
ii Kalkulus
Fungsi Real iii
KALKULUS Oleh : Wikaria Gazali Soedadyatmodjo Editor : F. Wiwiek Nurwiyati Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2005 Edisi Kedua Cetakan Pertama, 2007 Hak Cipta 2005, 2007 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit. Candi Gebang Permai Blok R/6 Yogyakarta 55511 Telp. : 0274-882262; 0274-4462136 Fax. : 0274-4462136 E-mail : info@grahailmu.co.id Gazali, Wikaria & Soedadyatmodjo KALKULUS/Wikaria Gazali & Soedadyatmodjo - Edisi Kedua Yogyakarta; Graha Ilmu, 2007 xii + 348 hlm, 1 Jil. : 23 cm. ISBN: 978-979-756-173-1 1. Matematika I. Judul iv Kalkulus
KATA PENGANTAR Buku kalkulus ini ditulis untuk para mahasiswa yang akan mempelajari kalkulus dengan tidak terlalu banyak menggunakan waktu, namun, tanpa mengurangi materinya. Dari sisi lain, cara penyajian materi tidak terlalu mendalam dan jelimet. Terlihat dari isi pada masing-masing bab dan cara menganalisis setiap teorema atau sifat dari setiap pokok bahasannya yang tidak terlalu mendalam, bahkan ada beberapa teorema atau sifat yang tidak dibuktikan. Rumus-rumus derivatif dan integral diberikan hanya yang pokok-pokok saja. Rumus-rumus yang lebih lengkap terlampir, soal-soal yang bersifat membuktikan atau bersifat teoritik agak dihindari. Karena matematika bersifat logik-deduktif maka urutan penyajian materi tetap dijaga. Dengan demikian dalam mempelajari buku ini dianjurkan sesuai dengan urutannya. Pada masing-masing sub bab cukup banyak diberikan contoh-contoh dasar, mulai dari yang mudah meningkat ke yang lebih sukar. Jika contoh-contoh sudah dikuasai dan dipahami intinya, diharapkan mahasiswa dapat mengerjakan soal-soal latihan tanpa pertolongan. Jika hal itu dapat terlaksana dalam proses belajar mengajar, maka tercapailah sasaran dari penulisan buku yang singkat ini. Fungsi Real v
Penulis yakin bahwa banyak kekurangan dan kesalahan yang tidak terkontrol, khususnya pengetikannya. Untuk itu penulis mengharapkan munculnya masukan yang konstruktif tentang isi buku ini dari para pemakai. Penulis vi Kalkulus
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR v DAFTAR ISI vii BAB 1 FUNGSI REAL 1 1.1 PENGERTIAN FUNGSI 1 1. Konstanta, Parameter, Variabel 1 2. Perkalian Cartesius 2 3. Relasi atau Hubungan 3 4. Fungsi 4 5. Soal-soal Latihan 7 1.2 BERBAGAI MACAM FUNGSI 8 1. Macam Keterkaitan 8 2. Jenis Keterkaitan 10 3. Bentuk Keterkaitan 13 4. Variabel yang Digunakan 14 5. Hal-hal lain Tentang Fungsi 15 6. Soal-soal Latihan 17 1.3 FUNGSI INVERS DAN FUNGSI KOMPOSISI 19 1. Invers Relasi atau Fungsi 19 2. Komposisi Relasi atau Fungsi 23 3. Soal soal Latihan 28 Daftar Isi vii
1.4 GRAFIK FUNGSI 28 1. Fungsi Aljabar 29 2. Fungsi Transenden 39 3. Fungsi-Fungsi yang Lain 41 4. Grafik Fungsi Sistem Polar 44 5. Soal-soal Latihan 47 1.5 SOAL-SOAL CAMPURAN 48 BAB 2 LIMIT FUNSI DAN KONTINUITAS FUNGSI 51 2.1 LIMIT FUNGSI 51 1. Bilangan Tidak Tertentu 51 2. Limit Barisan 53 3. Limit Fungsi 58 4. Soal-soal Latihan 63 2.2 KONTINUITAS FUNGSI 64 1. Pengertian Kontinu 64 2. Diskontinu dapat Dihapus (Removable Discontinuity) 65 3 Soal soal Latihan 67 BAB 3 TURUNAN ATAU DERIVATIF 69 3.1 PENGERTIAN, SIFAT, RUMUS DASAR, DAN DALIL RANTAI 69 1. Pengertian Derivatif secara Kalkulus 69 2. Teorema atau Sifat Turunan 72 3. Rumus-rumus Dasar 75 4. Dalil Rantai 77 5. Soal-soal latihan 80 3.2 TURUNAN FUNGSI IMPLISIT DAN BENTUK PARAMETER 81 1. Fungsi Implisit 81 2. Fungsi Bentuk Parameter 83 3. Soal-soal Latihan 85 3.3 PENDERIVATIFAN DENGAN LOGARITMA DAN DERIVATIF TINGKAT LEBIH TINGGI 86 viii Kalkulus
1. Penderivatifan dengan Logaritma 86 2. Derivatif Tingkat Lebih Tinggi 88 3. Soal-soal Latihan 95 BAB 4 KEGUNAAN DERIVATIF 99 4.1 ARTI DERIVATIF SECARA GEOMETRI DAN EKSTREM FUNGSI 99 1. Arti Derivatif secara Geometri 99 2. Ekstrem Fungsi 106 3. Soal-Soal Latihan 116 4.2 LIMIT FUNGSI 120 1. Dalil l Hopital 120 2. Soal soal Latihan 125 4.3 KELENGKUNGAN DAN GERAK PARTIKEL 127 1. Kelengkungan 127 2. Gerak Partikel 131 3. Soal-soal Latihan 133 4.4 MENGGAMBAR GRAFIK SECARA LENGKAP 133 1. Titik Potong dengan Sumbu-sumbu, Asimtot Datar-Tegak Miring, Puncak, Titik Belok Miring, Sifat-Sifat Titik Batas, Titik Potong dengan Asintot Datar 133 2. Soal-soal Latihan 135 BAB 5 INTEGRAL 137 5.1 INTEGRAL TIDAK TENTU 137 1. Pengertian 137 2. Sifat-sifat Integral 138 3. Teorema/Rumus Dasar 138 4. Teknik-teknik Pengintegralan 140 1. Subtitusi Biasa 140 2. Substitusi Trigonometri 144 3. Integral Parnial 147 4. Integral fungsi Trigonometri 151 Daftar Isi ix
5. Integral Fungsi Rasional Pascal 153 6. Soal-soal Latihan 160 5.2 INTEGRAL TERTENTU 162 1. Pengertian Integral Tertentu 162 2. Sifat-sifat Integral Tertentu 163 3. Integral Tidak Sebenarnya 164 4. Soal-Soal Latihan 168 BAB 6 BEBERAPA KEGUNAAN INTEGRAL 171 6.1 LUAS DAERAH DATAR 171 1. Dalam Kordinator Cartesius 171 2. Dalam Koordinator Polar 174 3. Luas Daerah diantara Kurva 177 4. Soal-soal Latihan 180 6.2 VOLUME BENDA PUTAR181 1. Dalam Koordinat Cartesian 181 2. Dalam Koordinat Polar 188 3. Soal-soal Latihan 192 6.3 PANJANG KURVA 193 1. Dalam Koordinat Cartesian 193 2. Dalam Koordinat Polar 195 3. Soal-soal latihan 197 6.4 LUAS BIDANG LENGKUNG PUTAR197 1. Dalam Koordinat Catesius 197 2. Dalam Koordinat Polar 200 3. Soal-soal Latihan 201 6.5 PUSAT MASSA 201 1. Pusat Massa Luasan Datar 203 1. Dalam Koordinat Cartesius 203 2. Dalam Koordinat Polar 203 3. Soal-soal Latihan 208 2. Pusat Massa Ruas Garis atau Busur 212 1. Dalam Koordinat Cartesius 213 x Kalkulus