2 FUNGSI TRANSENDEN Fungsi trnsenen tu fungsi non-ljbr lh fungsi yng tik pt inytkn lm sejumlh berhingg opersi ljbr. Fungsi trnsenen yng bis ijumpi lm hl ini teriri ri fungsi eksponensil, fungsi logritmik, fungsi trigonometrik, n fungsi hiperbolik. Dlm pembhsn selnjutny, kn iurikn stu perstu muli ri efenisi, invers, smpi integrl ri msingmsing fungsi trnsenen tersebut. 2.. Fungsi Logritm Nturl Fungsi pertm yng ibhs lh fungsi logritm nturl tu bis jug isebut engn logritm sli. Perhtikn Defenisi berikut: Definisi Fungsi logritm nturl, itulis sebgi ln, iefenisikn engn f ( ) ln t, 0 t Derh sl fungsi logritm nturl lh himpunn bilngn rel positif. Perhtikn Gmbr berikut yng menunjukkn rti geometri ri ln. Klkulus II
Lus R t f ( ), t Lus R t f () 0 t Lus R Gmbr. Bentuk geometri ln t t t f ( ), 0 t Jik ikethui f () = ln, mk turunnny lh f '( ), 0 () Dengn notsi lin, pt itulis sebgi berikut: ln, 0 (2) Secr umum, mislkn u = f () > 0. Dengn menggunkn turn rnti, mk pbil f pt iiferensilkn, mk iperoleh ln u u (3) u Teorem. Jik, b > 0, n r bilngn rsionl, mk. ln = 0 b. ln b = ln + ln b c. ln /b = ln ln b. ln r = r ln. Bukti:. ln t 0 (bersrkn efinisi ). t 2 Klkulus II
b. Bersrkn Persmn (), mk ln( ) ln Akibtny, terpt konstnt C seemikin sehingg ln () = ln + C Untuk menentukn C, mbil =, mk ln = C, sehingg ln () = ln + ln Selnjutny, untuk = b, mk iperoleh ln (b) = ln b + ln = ln + ln b. (terbukti) c. Dri (b), mbil = /b, mk ln ln b ln b ln 0 b b Ji, ln ln b b Dengn menggunkn (b) iperoleh: ln ln ln ln ln ln b b b b. Dengn cr yng sm seperti bgin b, mk iperoleh r r r ln( ) r r r ln ( r ln ) r Akibtny, terpt konstnt C seemikin sehingg ln r = r ln + C Untuk menentukn C, mbil =, mk iperoleh C = 0. Ini berrti bhw ln r = r ln hsilny ekivlen engn ln r = r ln. (terbukti). Jik F () = G () untuk semu lm (,b), mk terpt konstnt C seemikin sehingg F() = G() + C, untuk semu lm (,b). Contoh. Tentukn turunn ri. ln b. ln( 2 2) 3 Klkulus II
c. ln Penyelesin:. mislkn /2 u, mk /2 /2 /2 ln /2. /2 2 2 Bgin b n c itingglkn sebgi ltihn. Mislkn f () = ln, mk itinju u ksus. (). Apbil > 0, =, mk ln ln ln, 0. Untuk menunjukkn hl ini, (2). Apbil < 0, = -, mk ln ln( ) ( ) ( ) Aibt ri bentuk turunn itu, rumus pengintegrlnny, kibtny iperoleh: ln C, 0 (4) Secr umum, untuk sutu fungsi u, mk iperloeh u ln u C, u 0 (5) u Contoh 2. Hitunglh. b. 5 2 7 3 0 Penyelesin:. Mislkn u 2 7. Ji, u = 2. Sehingg 4 Klkulus II
5 5 5 2 u 2 7 2 2 7 2 u 5 5 5 ln u C ln 2 7 C 2 7 2 2 b. Bgin b itingglkn sebgi ltihn. Derh omin ln lh himpunn bilngn rel positif. Ji grfik y = ln terletk i sebelh knn sumbu y (yitu engn > 0). Perhtikn Gmbr 2 berikut: Gmbr 2. Grfik fungsi f () = y = ln. 2.2. Invers Fungsi n Turunnny Slh stu cr yng pt ilkukn untuk mengecek pkh sutu fungsi memiliki invers tu tik lh engn meliht pkh fungsi f tersebut merupkn monoton murni p erh slny tu tik. Sutu fungsi f memiliki invers pbil f monoton murni p erh slny. Sutu fungsi f iktkn monoton murni p intervl I jik i nik p I tu turun p I. Contoh 4. Buktikn bhw f () = 5 + 2 + memiliki invers. Penyelesin: Untuk f () = 5 + 2 +, mk f () = 5 4 + 2 > 0 untuk semu. Artiny, f nik p seluruh himpunn bilngn rel. Ji, fungsi f () = 5 + 2 + memiliki invers. 5 Klkulus II
Perhtikn bhw, Contoh 4 hny menunjukkn pkh sutu fungsi memiliki invers tu tik. Untuk menentukn fungsi inversny itu seniri, mk kn igunkn Persmn 6 berikut: = f - (y) jik n hny jik y = f () (6) Contoh 5. Buktikn bhw f () = 2 + 6 memiliki invers. Kemuin tentukn invers fungsiny. Penyelesin: f () = 2 + 6 mk f () = 2 > 0 untuk semu. Artiny, f monoton murni. Sehingg f () = 2 + 6 memiliki invers. Selnjutny, y = 2 + 6 2 = y 6 Ji, fungsi invers ri f () = 2 + 6 lh f y 6 y6 6 f ( y) f ( ) 2 2 2 6 ( ). 2 Mislkn f pt iturunkn n monoton murni p selng I. pbil f () 0 p sesutu lm I, mk f - pt iturunkn i titik y = f () p erh hsil f n berlku f '( y) (7) f '( ) Contoh 6. Mislkn y = f () = 5 + 2 +. Mk f '( y) 4 f '( ) 5 2. Perhtikn bhw, nili turunn ri invers fungsi f pt itentukn tnp hrus terlebih hulu ikethui nili ri invers fungsi tersebut. 6 Klkulus II
2.3. Fungsi Eksponen Nturl Fungsi eksponen nturl merupkn invers ri fungsi logritm nturl. Perhtikn Defenisi 2 berikut: Definisi 2 Invers ln isebut fungsi eksponen nturl n itulis sebgi ep, yitu y = e = ln y Bersrkn Defenisi 2, iperoleh (). = ep (ln ), untuk > 0 (8) (2). y = ln (ep y), untuk y R. (9) Ep n ln lh fungsi yng sling invers, sehingg grfik y = ep lh grfik y = ln yng icerminkn terhp gris y =. Perhtikn Gmbr 3 berikut: Gmbr 3. Grfik fungsi logritm nturl n eksponen nturl. Definisi 3 Bilngn e lh bilngn rel positif yng memenuhi ln e =. Bersrkn Defenisi 3, kren ln e = mk iperoleh e = ep. Bilngn e bis isebut engn bilngn euler yng niliny e 2,78288. 7 Klkulus II
Selnjutny, perhtikn kembli Teorem (), Persmn (8), n Defenisi 3 untuk menunjukkn ep r = e r. ep r = ep (r.) = ep (r ln e) = ep (ln e r ) = e r Ji, secr ientik iperoleh ep r = e r, untuk r sutu rsionl. Jik btsn tersebut iperlus untuk semu bilngn (billngn rsionl mupun irsionl), ktknlh, mk iperoleh e = ep (0) Bersrkn Persmn (0), mk Persmn (8) n Persmn (9) itulis kembli menji (). = e ln, untuk > 0 (8) (2). y = ln (e y ), untuk y R (9) Teorem 2. Mislkn, b R. Mk. e 0 =. b. e. e b = e + b c. e / e b = e b. (e ) b = e b Bukti:. Kren ln = 0, mk e 0 =. b. e e b ep(ln e e b ) ee ep(ln e ln e ) b b b e e ep( b) b ee b e c. Bgin c n itingglkn sebgi ltihn 8 Klkulus II
Ingt kembli bhw ep n ln lh fungsi-fungsi yng sling invers sehingg fungsi ep = e pt iturunkn. y = e = ln y, untuk y > 0 n R ri sini, iperoleh y y Selnjutny: y y ' y e y y Dengn emikin, turunn fungsi eksponen nturl e lh e jug. Secr umum, jik u = f () pt iturunkn, mk (0) u u e e u Contoh 7. Tentukn turunn terhp ri y = Penyelesin: e Mislkn u, mk 2 e y ' e e 2 2 Bersrkn Persmn (0), mk ignti engn u, mk iperoleh: e e C. Secr umum jik u u e u e C () Contoh 8. Tentukn e Penyelesin: 4 9 Klkulus II
u Mislkn u = -4, mk 4 tu u = -4. Sehingg: 4 4 4 4 4 4 u u 4 4 e e e u e C e C 2.4. Fungsi Eksponen Umum n Fungsi Logritm Umum P sub bb sebelumny, telh itunjukkn bgimn penyelesin untuk sutu eksponensil engn pngkt rsionl n irsionl. Dengn menggunkn relsi berikut: r = ep (ln r ) = ep (r ln ) = e r ln (2) kn cob iefenisikn sutu bentuk eksponen engn bilngn sr yng bukn e, ktknlh untuk sutu > 0 n merupkn sebrng bilngn rel. Perhtikn Definisi 4 berikut, Definisi 4 Untuk > 0 n bilngn rel sebrng, mk = e ln. Bersrkn Definisi 2, mk iperoleh ln ln( ) ln( ) ln e (3) Persmn 3 memperbiki btsn yng berlku p Teorem () yng tik hny berlku p bilngn rsionl sj melinkn pt iperlus untuk sebrng bilngn rel. Perlusn btsn ini ibutuhkn untuk membuktikn sift-sift bilngn berpngkt. Teorem 3. Apbil > 0, b > 0, n y bilngn rel, mk berlku:. y = + y b. y y c. ( ) y = y. (b) = b 0 Klkulus II
e. b b Bukti: Akn ibuktikn bgin (b) n (c) sj. Sementr yng lin kn itingglkn sebgi ltihn. b. e e e ln y y ln ln y ln ( y) ln y y y y y e e c. ln ln Teorem 4. ln Bukti: ln ln e e ln ln Secr umum, untuk = u, mk u u u ln Akibtny iperoleh u u u C, 0, ln Contoh 9. Tentukn 3 Penyelesin Dengn memislkn u =, mk iperoleh 3 3 ln3 3 ln3 2 3 ln3 3 ln 3 2 2 2 Klkulus II
Definisi 5. Anikn bilngn positif n, mk y = log jik = y. P umumny sutu logritm bis menggunkn ngk 0 sebgi bilngn pokokny. Nmun, lm mtemtik lebih lnjut, ngk 0 tersebut ignti engn bilngn e sebgi bilngn pokokny. Perhtikn bhw: e log = ln (4) Mislkn y = log, mk = y, sehingg ln = y ln (5) Sehingg, ri Persmn (5) pt isimpulkn bhw ln log, engn > 0 n. (6) ln Selnjutny, bentuk turunn ri Persmn (6) lh: log (7) ln Contoh 0. Jik y = log ( 4 + 3), tentuknlh turunnny terhp. Penyelesin: 3 4 3 4 log 3 4. 4 4 3 ln0 3 ln0 2 Klkulus II