Teori Bunga II Arum H. Primandari
Bunga Majemuk Nominal Bunga tunggal jarang dipakai di perbankan, kebanyakan bankbank sekarang membayar bunga dengan frekuensi bulanan atau mingguan, bahkan harian. Selanjutnya bunga tersebut diakumulasikan dalam rekening kita dan dibungakan (compounded) pada periode berikutnya. Suku bunga inilah yang disebut suku bunga nominal, yaitu bunga yang dibayarkan beberapa kali dalam setahun. Suku bunga nominal yang dibayarkan m kali dalam setahun dinotasikan i (m), dimana m bilangan possitif > 1
Dengan suku bunga sebesar i (m) setahun, kita artikan deposito/tabungan kita mendapat bunga sebesar i (m) /m yang dibayarkan m kali dalam setahun; Contoh: Suatu pokok uang ditabungkan dengan suku bunga 6% konversi tiga bulanan (m = 4) Bunga diberikan 4 kali dalam setahun, yaitu per 3 bulanan, sebesar 6%/4 = 1.5%
Contoh 1: Uang pokok sebesar $1 diinvestasikan di awal tahun dengan bunga nominal sebesar 18% konversi bulanan. Tentukan nilai akumulasi pada akhir tahun. Tentukan pula tingkat suku bunga efektif.
Jawab: Bunga perbulan: i (12) 18% 1.5% 12 12 Nilai akumulasi di akhir tahun: a(1) 1 0.015 12 1.1956 Tingkat suku bunga efektif: 1.1956 1 i1 0.1956 19.56% 1 Sementara bunga nominalnya adalah i (12) = 18% pertahun
Nilai akumulasi dari pokok uang A(0) setelah t periode yang memperoleh bunga nominal i (m) adalah A(t) A(0) 1 k1 i (m) m i (m) m mt mt
Secara matematis, suku bunga efektif dari bunga nominal m (m) i 1 1 i m
Bunga Majemuk Kontinu Selain pemberian bunga setiap bulan, minggu, atau setiap hari seperti yang dikatakan di atas, proses pemberian dan pemajemukan bunga dapat diberikan setiap jam, setiap menit, setiap detik dan seterusnya (setiap saat), atau dengan kata lain bunga diberikan terus menerus secara kontinu. Pemajemukan yang dilakukan secara terus menerus ini disebut pemajemukan kontinu (continuous compounding).
Secara matematika, nilai m, dan diperoleh nilai pemajemukan sebagai berikut : m (m) mt i ( m ) i t lim 1 m e
Nilai akumulasi suatu investasi dengan bunga majemuk kontinu A(t) A(0)e i ( m ) t
Contoh: Suatu investasi sebesar 1 juta dengan bunga majemuk kontinu sebesar 10% selama 5 tahun; t A(t) 0 1 1 1.105171 2 1.221403 3 1.349859 4 1.491825 5 1.648721
Perbandingan: Konversi Formula A(5) dalam juta Tahunan A(5) = (1+0.1/1) 1 5 1.61051 Setengah tahunan A(5) = (1+0.1/2) 2 5 1.628895 Bulanan A(5) = (1+0.1/12) 12 5 1.645309 Harian A(5) = (1+0.1/365) 365 5 1.648608 Kontinu A(5) =1*exp(0.1*5) 1.648721
Sifat Bunga Tunggal (simple interest) Diberikan investasi awal sebesar satu unit selama periode waktu t+s, maka besarnya nilai akumulasinya: a(t s) a(t) a(s) 1 Buktikan! Bagaimana dengan A(t+s)?
Sifat bunga majemuk (compound interest) Diberikan investasi awal sebesar satu unit selama periode waktu t+s, maka besarnya nilai akumulasinya: a(t s) a(t)a(s) Buktikan! Bagaimana dengan A(t+s)?
Nilai sekarang (Present Value) Selain kita dapat menentukan nilai akumulasi di masa mendatang, kita juga dapat menentukan nilai sekrang dari suatu nilai di masa datang. Berapakah uang yang kita butuhkan di saat ini agar setahun mendatang uang kita menjadi 1+i? Jawaban: 1
Formulasi matematis: 1 v 1 i v 1 1 i 1 i 1 besaran v sering disebut juga faktor diskon karena mendiskonto nilai investasi di akhir periode ke awal periode. Fungsi diskonto untuk mendapatkan akumulasi sebesar 1 selama t periode dinotasikan a -1 (t)
Sekarang kita generalisasikan fungsi diskon untuk berbagai macam jenis bunga dengan uang pokok A(0): 1. Bunga tunggal (simple interest) A(t) A(t) k 1 it k 1 it 1 A(t) Sehingga : A (t) 1 it 2. Bunga majemuk (compound interest) t A(t) k 1i k A(t) 1i t 1 t t Sehingga : A (t) A(t) 1 i A(t)v
Soal 1. Rekening P mendapat bunga tunggal sebesar 4% setahun. Sementara itu rekening Q mendapat bunga tunggal sebesar i% pertahun. Uang sebesar 1 juta ditabungkan di rekening P dan 2 juta di rekening Q. Setelah 5 tahun, uang di kedua rekening P dan Q sama. Tentukan besarnya suku bunga i. 2. Hisam meminjam uang 200 juta untuk memperbesar usaha perkayuannya. Dia melunasi pinjaman di atas 4 tahun kemudian sebesar 260 juta. Berapakah suku bunga efektif tahunan dari pinjaman Hisam, apabila diketahui bunga pinjaman adalah majemuk?
3. Diketahui investasi dengan uang pokok sebesar $600 dalam dua tahun akan memiliki bunga sebesar $264. Tentukan nilai akumulasi dari investasi sebesar $2000 selama tiga tahun dalam kondisi bunga yang sama. (bunga majemuk) 4. Misal anda mendepositokan 100 juta dengan suku bunga 6% (convertible quaterannualy). Enam bulan berikutnya anda mendepositokan lagi 200 juta. Berapa jutakah uang anda setelah dua tahun dari deposito yang kedua?
5. Ayah anda mempunyai uang 50 juta dan ingin ditabungkan. Ayah anda berharap dalam waktu 15 tahun uang tersebut dapat menjadi 3 kali lipat. Bank dengan suku bunga majemuk nominal konversi setengah tahunan (semiannually) berapa yang akan Anda rekomendasikan? 6. Diketahui bahwa investasi sebesar Rp 500 juta akan berkembang menjadi Rp 4000 juta dalam kurun waktu 30 juta. Tentukan jumlah nilai present value dari uang sebesar Rp 10000 juta yang akan terjadi pada 20 tahun, 40 tahun, dan 60 tahun kemudian.
7. Hitunglah suku bunga nominal, konversi semesteran, yang memberikan suku bunga efektif tahunan i = 10%.
Tingkat diskon efektif Tingkat diskon efektif adalah ukuran bunga yang dibayarkan di awal periode. Diskon dinotasikan dengan d;
Contoh: Kasus 1: A meminjam bank sebesar 100 juta untuk 1 tahun dengan bunga sebesar 6%. Di akhir tahun, A mengembalikan pinjaman sebesar: pokok hutang 100 juta + bunga 6 juta = 106 juta. Kasus 2: A meminjam 100 juta untuk 1 tahun dengan suku diskon 6%, maka bank menarik bunga di awal sebesar 6% dan memberikan A pinjaman sebesar 94 juta. Di akhir tahun, A mengembalikan pokok hutang sebesar 100 juta.
Tingkat diskon efektif, d, adalah rasio sejumlah diskon yang diperoleh selama periode tertentu dengan sejumlah investasi di akhir periode. Andaikan d n adalah tingkat diskon efektif selama periode n dari suatu investasi, maka: d n A(n) A(n 1) A(n) In A(n)
Analog dengan bunga, dalam diskon terdapat diskon tunggal (simple discount), diskon majemuk (compound discount), maupun diskon majemuk nominal.
Nilai sekarang untuk diskon Asumsikan seseorang meminjam sebesar 1, dengan diskon sebesar d dapat dikatakan bahwa dia mendapat pokok pinjaman sebesar 1-d; Dari definisi dasar i yang merupakan perbandingan antara bunga (dalam hal ini diskon) dengan pokok uang, maka: i d d 1 d i 1 i iv
Nilai sekarang dalam fungsi diskon: Untuk diskon tunggal (simple discount) 1 a (t) 1 dt Untuk diskon majemuk (compound discount) 1 a (t) 1 d t
Contoh: Tentukan jumlah uang yang harus diinvestasikan dengan diskon majemuk 9% per tahun agar menghasilkan nilai akumulasi sebesar 1000 di akhir tahun ke tiga.
Diketahui: A(3) = 1000, t = 3, d = 0.09 Jawab: A(t) ka(t) k 1 d t k A(t)*(1 d) 1000*(1 0.09) 753.57 t 3