DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS NEGERI MANADO JURUSAN MATEMATIKA 008
Kata Pengantar Puji syukur saya panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa, oleh karena berkat dan penyertaan-nya sehingga saya dapat menyelesaikan pembuatan Modul Matematika ini. Modul pembelajaran ini dirancang untuk membimbing peserta didik SMA kelas XI (Program IPA) dalam memahami kompetensi konsep Turunan melalui penerapan belajar tuntas. Sebagai manusia yang penuh dengan kekurangan dan kelemahan, sudah tentu saya menyadari bahwa dalam Modul Pembelajaran ini, masih ada begitu banyak kekurangan dan kelemahan. Oleh karena itu,saran dan kritikan dari semua pihak sangatlah diharapkan demi kesempurnaan Modul ini. Akhirnya, saya tak lupa mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah berpartisipasi dalam pembuatan Modul pembelajaran ini. Harapan saya, biarlah kiranya Modul ini dapat menambah wawasan kita semua. Tondano, Februari 008 PENULIS
Daftar Isi Halaman Francis.. Kata Pengantar. Daftar Isi. Peta kedudukan Modul Glosarium Halaman Bab I Pendahuluan A. Deskripsi... B. Prasyarat... C. Petunjuk Penggunaan Modul... D. Tujuan Akhir... E. Kompetensi... F. Cek Kemampuan... Bab II Pembelajaran... A. Rencana Belajar Peserta Diklat... B. Kegiatan Belajar... 1. Kegiatan Belajar 1.... Kegiatan Belajar... Bab III Evaluasi A. Evaluasi Kompetensi... Bab IV Penutup... Daftar Pustaka...
KEGIATAN 1 Menerapkan pembagian suku banyak Dengan pembagian linear, pembagian panjang dan menggunakan metode Horner KEGIATAN Pembagian Suku banyak dengan pembagi kuadrat, Mencari teorema sisa, Mencari teorema sisa dengan pembagi Kuadrat Menetukan Teorema faktor
Glosarium Univariabel : Sukubanyak-sukubanyak di atas adalah suku banyak yang hanya mempunyai satu variabel. Multivariabel : Selain itu ada pula suatu suku banyak yang mempunyai lebih dari satu variabel. teorema faktor : saat suku banyak f()dibagi (a + b) maka sisanya adalah nol, atau, f() habis dibagi oleh (a + b), atau (a + b) adalah sebuah faktor dari suku banyak f()..
BAB I PENDAHULUAN A. DESKRIPSI Modul suku banyak ini terdiri atas dua bagian proses pembelajaran sesuai dengan sub kompetensinya yaitu: Menerapkan pembagian suku banyak Dengan pembagian linear, pembagian panjang dan menggunakan metode Horner Pembagian Suku banyak dengan pembagi kuadrat, Mencari teorema sisa, Mencari teorema sisa dengan pembagi Kuadrat Menetukan Teorema faktor B. PRASYARAT Kemampuan dasar yang harus dimiliki untuk mempelajari modul ini adalah: Terampil dalam operasi hitung bilangan real Terampil dalam operasi Aljabar Terampil dalam operasi Substitusi dan eliminasi Terampil dalam operasi eksponen C. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL a. Penjelasan Bagi Peserta Diklat bacalah modul ini dengan seksama mulai dari kata pengantar sampai dengan cek kemampuan, kemudian pahami benar seluruh informasi yang termuat di dalamnya. setelah Anda mengisi cek kemampuan, pastikan apakah Anda termasuk kategori orang yang masih harus mempelajari modul ini atau orang yang tidak lagi mempelajarinya karena sudah menguasainya. laksanakan semua tugas-tugas yang terdapat di dalam modul ini agar kompetensi Anda berkembang dengan baik. Setiap mempelajari satu sub kompetensi, Anda harus mulai dari menguasai pengertianpengertian dalam uraian materi, melaksanakan tugas-tugas dan mengerjakan lembar latihan. dalam mengerjakan lembar latihan, Anda tidak diperkenankan melihat kunci jawaban terlebih dahulu, sebelum Anda menyelesaikan lembar latihan. cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban, hitung nilai yang Anda peroleh. Kemudian kerjakan saran-saran sesuai dengan hasil latihan Anda.
b. Peranan Guru 1. membantu siswa dalam merencanakan proses belajar.. menegaskan kembali tentang tujuan akhir yang harus dicapai setelah mempelajari modul ini.. membantu peserta diklat dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yang diperlukan untuk belajar. 4. melaksanakan penilaian serta mencatat pencapaian kemajuan peserta diklat 5. menjelaskan kepada peserta diklat mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan merundingkan rencana pembelajaran selanjutnya. D. TUJUAN AKHIR Setelah selesai mempelajari modul ini, Anda akan memiliki kemampuan sebagai berikut : 1. Memiliki pemahaman mengenai suku banyak.. Dapat menuliskan bentuk umum suku banyak.. Dapat membagi suku banyak dengan pembagi linear 4. Dapat membagi suku banyak dengan pembagian panjang 5. Dapat mencari hasil bagi dan sisa dari pembagi kuadrat 6. Dapat mencari sisa setiap pembagian dengan menggunakan teorema sisa 7. Dapat mencari sisa pembagian oleh pembagi kuadrat 8. Bisa mencari sebuah faktor dari suku banyak yang disebut dengan teorema faktor E. KOMPETENSI : Menerapkan Konsep Suku Banyak No. STANDAR KOMPETENSI KOMPETENSI DASAR KOGNITIF AFEKTIF PSIKOMOTOR KOGNITIF AFEKTIF PSIKOMOTOR 1. Setelah selesai mengikuti pelajaran matematika suku banyak maka siswa 1. Menerapkan pembagian suku banyak Dengan pembagian linear, pembagian panjang dan menggunakan metode Horner. Melakukan pembagian Suku banyak dengan pembagi kuadrat, Mencari Siswa menyadari pentingnya matematika sehingga selalu menujukan apresiasi yang positif setiap kali belajar matematika khususnya dalam mempelajari materi tentang suku banyak. Siswa selalu menujukan kinerja yang baik dalam setiap kegiatan belajar matematika khusus dalam mempelajari materi suku banyak. Setelah selesai mengikuti pelajaran matematika suku banyak maka siswa dapat menuliskan bentuk umum suku banyak, membagi suku banyak dengan pembagi linear, membagi suku banyak dengan pembagian panjang, mencari hasil bagi dan sisa dari pembagi kuadrat, mencari sisa setiap pembagian dengan menggunakan teorema sisa, Siswa dengan senang menunjukkan kesiapan belajar matematika secara bertanggung jawab sehingga menunjukkan sikap yang positif dalam mempelajari materi tentang suku banyak 1. Siswa selalu menujukan kemahirannya setiap kali mengerjakan tugas-tugas yang membutuhkan keterampilan dalam mempelajari materi suku banyak.
teorema sisa, Mencari teorema sisa dengan pembagi Kuadrat Menetukan Teorema faktor mencari sisa pembagian oleh pembagi kuadrat dan bisa mencari sebuah faktor dari suku banyak yang disebut dengan teorema faktor.
CEK KEMAMPUAN No Pertanyaan Ya Tidak 1 Apakah Anda telah memahami pengertian suku banyak? Dapatkah Anda menuliskan bentuk umum suku banyak Dapatkah anda membagi suku banyak dengan pembagi linear 4 Dapatkah anda membagi suku banyak dengan pembagian panjang 5 Dapatkah anda mencari hasil bagi dan sisa dari pembagi kuadrat 6 Dapatkah anda mencari sisa setiap pembagian dengan menggunakan teorema sisa? 7 Dapatkah anda sisa pembagian oleh pembagi kuadrat 8 Dapatkah anda mencari sebuah faktor dari suku banyak yang disebut dengan teorema faktor Jika Anda menjawab TIDAK pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah materi tersebut dalam modul ini. Apabila Anda menjawab YA pada semua pertanyaan, maka lanjutkanlah dengan mengerjakan tugas, tes formatif dan evaluasi yang ada pada modul ini.
BAB II PEMBELAJARAN A. RANCANGAN BELAJAR SISWA Sebagaimana telah diinformasikan dalam pendahuluan, bahwa modul ini hanya sebagian dari sumber belajar yang dapat Anda pelajari untuk menguasai kompetensi menerapkan konsep Turunan. Untuk mengembangkan kompetensi anda dalam Substansi Non Instruksional, Anda perlu latihan. Aktivitas-aktivitas yang dirancang dalam modul ini selain mengembangkan kompetensi matematika, juga mengembangkan kompetensi Substansi Non Instruksional. Untuk itu, maka dalam menggunakan modul ini Anda harus melaksanakan tugas-tugas yang telah dirancang. 1. Buatlah rencana belajar Anda berdasarkan rancangan pembelajaran yang telah disusun oleh guru, untuk menguasai kompetensi Konsep Turunan dengan menggunakan format sebagai berikut. No Kegiatan Pencapaian Alasan Paraf Tgl Jam Tempat Perubahan bila diperlukan Siswa Guru Mengetahui...,... 0 Guru pembimbing Peserta Diklat (...) (...)
. Rumuskan hasil belajar Anda sesuai standar bukti belajar yang telah ditetapkan. a. Untuk penguasaan pengetahuan, Anda dapat membuat suatu ringkasan menurut pengertian Anda sendiri terhadap konsep-konsep yang berkaitan dengan kompetensi yang telah dipelajari. Selain ringkasan, Anda juga dapat melengkapinya dengan kliping terhadap informasi-informasi yang relevan dengan kompetensi yang sedang Anda pelajari. b. Tahapan pekerjaan Anda dapat dituliskan/digambarkan dalam diagram alir yang dilengkapi dengan penjelasannya (siapa penanggung jawab setiap tahapan pekerjaan, siapa yang terlibat, kapan direncanakan, kapan direalisasikan, dan hasilnya apa). c. Produk hasil praktek dalam kegiatan ini dapat Anda kumpulkan berupa contoh benda kerja, atau dalam bentuk visualisasinya (gambar, foto, dan lain-lain). d. Setiap tahapan proses akan diakhiri dengan penilaian, lakukanlah diskusi dengan guru pembimbing untuk mendapatkan persetujuan, dan apabila ada hal-hal yang harus diperbaiki/dilengkapi, maka Anda harus melaksanakan saran guru pembimbing Anda.
B. KEGIATAN BELAJAR 1. KEGIATAN BELAJAR 1: (a) Tujuan kegiatan belajar 1 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, anda diharapkan: o Memiliki pemahaman mengenai suku banyak. o Dapat menuliskan bentuk umum suku banyak. o Dapat membagi suku banyak dengan pembagi linear o Dapat membagi suku banyak dengan pembagian panjang (b) Uraian materi Pengertian suku banyak Bentuk umum dari suku banyak a n n a Untuk n suatu bilangan cacah n-1 n 1 a n- n a n- n... a a a a 1 0 Pada bentuk umum suku banyak di atas terdapat beberapa istilah yang perlu dipahami, antara lain: 1. Pangkat tertinggi yaitu n disebut derajat dari suku banyak tersebut.. a n disebut koefisien dari n, a n-1 disebut koefisien dari. Suku yang tidak memuat peubah disebut Suku tetap. n 1,..., dan a 1 disebut koefisien dari. Perhatikan bahwa suku-suku pada suku banyak diatas di awali dengan suku yang peubahnya mempunyai pangkat tertinggi, yaitu n a n. Kemudian diikuti oleh suku-suku berikutnya dan diakhiri dengan suku tetap a 0. Suku banyak yang disusun atau ditulis semacam ini dikatakan menurut aturan pangkat turun dalam peubah acak. Perlu diketahui bahwa peubah suatu suku banyak tidak harus dalam peubah, tetapi tetapi dalam peubah-peubah lain seperti peubah a, b, c,..., s, t, u,..., y, dan z. Sukubanyak-sukubanyak di atas adalah suku banyak yang hanya mempunyai satu variabel, dan biasanya disebut univariabel. Selain itu ada pula suatu suku banyak yang mempunyai lebih dari satu variabel atau bisa disebut multivariabel. Sebagai contoh suku banyak multivariabel: y y berderajat 4. 4 10 merupakan suku banyak dalam dua peubah dan y dengan berderajat dan y
1. MEMBAGI SUKU BANYAK DENGAN PEMBAGI LINEAR Sebuah suku banyak memiliki bentuk umum a 0 n + a 1 n-1 + a n- +...+ a n Disini n disebut sebagai derajat suku banyak. Sebagai contoh 1. 4 4 + 10 + 5 +6 : suku banyak berderajat 4 (kuartik). 5-6 - 11 + 1 : suku banyak berderajat (kubik). - + : suku banyak berderajat (kuadrat) 4. + 5 : suku banyak berderajat 1 (linear) Pembagian suku banyak menyerupai pembagian bilangan, Sebagai contoh pada bilangan : Karena 4 = 1 maka 1 : 4 =, atau 1 : = 4. pada kasus 1 :4 =, maka 4 di sebut pembagi dan disebut hasil bagi. Sebgai contoh pada suku banyak : karena (+)( + 5) = + 1 +1, maka ( + 1 +1) : ( +) = + 5 atau ( + 1 +1) : ( + 5) =+ Pada kasus ( + 1 +1) : ( +) = + 5, ( +) di sebut pembagi dan + 5 disebut hasil bagi. Sampai di sini cara kita menemukan hasil bagi dapat disimpulkan sebgai berikut : a. Berapa hasil bagi dari 1 : 4? Dengan mengingat-ingat bahwa 4 = 1, maka mendapatkan bahwa 1 : 4 = b. Berapa hasil bagi dari ( + 1 +1) : ( +)? Dengan memperhitungkan bahwa ( +) ( + 5) = ( + 1 +1), maka diperoleh ( + 1 +1) : ( +) = : ( +). PEMBAGIAN PANJANG Berapa hasil bagi dari 469:14? dengan pembagian panjang kita dapatkan : 14 Pembagi 1 4 6 9 4 16 14 9 8 1 - - - Sisa Hasil Bagi Yang Dibagi
Hasil baginya adalah 1 dan sisanya adalah 1. Berapa hasil bagi dari ( +4 - +4) : ( -1)? Dengan cara serupa, kita dapatkan: Pembagi 1 5 5 4 4 5 5-5 - 4-7 Sisa Hasil Bagi Yang Dibagi Hasil baginya adalah 5 + 5 + dan sisanya adalah 7. Kita mungkin bertanya, apakah betul bahwa 679 : 1 memberikan hasil bagi dan sisa 7? Melalui perkalian dan penjumlahan : ( 1) + 7 = 67 + 7 = 679, jadi jawabannya betul. Lalu apakah betul bahwa (6 + 7 +9) : ( +1) memberikan hasil bagi + dan sisa 7? Memelalui perkalian dan penjumlahan: ( + ) ( +1) + 7 = 6 + 7 + + 7 = 6 + 7 +9, jadi betul. Beberapa contoh berikut akan memperjelas pembagian panjang pada suku banyak. 1. 4 6 6 1 4 1 4 4 6-1 6-6 - 6-1 6-6 - 5 Pembagian:
( 4 1):(-1) Hasil baginya: 4 1 Sisa : 5 Dan kita dapat menuliskan bahwa: 4 1=(-1) ( 4 6 6 )+5.. 1 4 1 1 4 - -1 - - - - 1 + - - 1-1 - 0 Pembagian: ( 4 1):(+1) Hasil baginya: 1 Sisa : 0 Dan kita dapat menuliskan bahwa: 4 1=(+1) ( 1) + 0 4 1=(+1) ( 1) Karena sisanya adalah 0, maka kita dapat mengatakan bahwa 4 1 habis dibagi oleh + 1. Atau, + 1 adalah sebuah faktor dari 4 1 (faktor lainnya adalah 1 ).. METODE HORNER (1) Melalui pembagian panjang, kita akan mendapatkan bahwa pembagian (5 + 6 + 4):( + ) memberikan hasil bagi 5 4 dan sisa 1. Sekarang kita akan mengerjakan kembali pembagian tersebut dengan suatu metode yang disebut metode Horner. Ada cara menggunakan metode Horner, sebagaimana ditunjukkan sebagai berikut ini. Cara pertama:
Penjelasan: (b) 5 6 4 (a) (c) 10-8 (d) (e) (-) (f) (g) 5-4 1 Hasil bagi Sisa Keterangan: (a) Koefisien-koefisien dari 5 + 6 + 4. (b) Konstanta dari pembagi + (c) Pindahkan 5 ke bawah (d) 5 = 10, angka berasal dari (b) (e) 6 10 = -4 (f) -4 = -8 (g) 4 (-8) = 1 Hasil bagi : 5 4 dan sisa : 1 Cara kedua: Penjelasan: (b) 5 6 4 (a) - (c) -10 8 (d) (e) (-) (f) (g) 5-4 1 Hasil bagi Sisa Keterangan: (h) Koefisien-koefisien dari 5 + 6 + 4. (i) Negatif dari konstanta pembagi +
(j) Pindahkan 5 ke bawah (k) 5 (-) = -10, angka (-) berasal dari (b) (l) 6 + (-10) = -4 (m)(-4) (-) = 8 (n) 8 + 4 = 1 Dan seperti sebelumnya, hasil bagi : 5 4 dan sisa : 1 Perhatikan bahwa pada langkah (a) suku banyak harus ditulis dalam bentuk umum. Perhatikan pembagian-pembagian dengan metode Horner berikut ini. (i). : ( - 5) Bentuk umum dari suku banyak adalah : 1 + 0 + 0 + 0. 1 0 0 0 5 5 5 15 1 5 5 15 (+) Hasil bagi Sisa Hasil bagi : 1 + 5 + 5 0 = + 5 + 5. Sisa : 15 Anda dapat memeriksa melalui perkalian bahwa: = (-5)( + 5 + 5) + 15 (ii).( 4-1) : (4 + ) Pembilang : 4 + 0 + 0 + 0 + (-1), penyebut : ( + 4). 0 0 0-1 4 8-18 -51-8 -18 511 (+) Hasil bagi Sisa
Hasil bagi : - 8 + - 18. Sisa : 511 Anda dapat memeriksa melalui perkalian bahwa: 4-1= ( + 4) ( - 8 + - 18) + 511. Metode Horner yang telah kita pelajari untuk pembagi bentuk + b. Pada bagian selanjutnya kita akan mempelajari untuk pembagian bebberntuk a + b. 4. METODE HORNER () Jika pembagi berbentuk a+b maka kita harus menuliskan koefisien pembagi dengan b/a jika kita menggunakan cara pertama, dan b/a jika kita menggunakan cara kedua. Perhatikan contoh-contoh berikut: (i). 1 0 11 1 1 0 11 ½ 6 7 1 14 4 1 Sisa = 1 Hasil bagi: ½ (1 + 14 + 4) = 6 + 7 + Memeriksa melalui perkalian: ( + 1)( 6 + 7 +) + 1 = 1 0 11 Latihan 1. Berapa hasil bagi dari 679 : 1?. Berapa hasil bagi dari (6 + 7 +9) : ( +1)?. ( + + - 6) : ( - ) Kunci Jawaban Soal Latihan 1. Dengan pembagian panjang kita dapatkan :
1 679 6 (-) 49 4 (-) 7 Hasil baginya adalah dan sisanya adalah 7.. + +1 6 + 7 +9 6 + (-) 4 +9 4 + (-) 7 Hasil baginya adalah + dan sisanya adalah 7.. 1 1-6 / -4 Sisa = -4 Hasil bagi: / ( + + ) = + +1
(c) Rangkuman kegiatan belajar 1: 1. Bentuk umum dari suku banyak a n n a n-1 n 1 a n- n a n- n... a a a a. Hasil bagi dapat disimpulkan sebgai berikut : Misalkan a. Berapa hasil bagi dari 1 : 4? Dengan mengingat-ingat bahwa 4 = 1, maka mendapatkan bahwa 1 : 4 = b. Berapa hasil bagi dari ( + 1 +1) : ( +)? Dengan memperhitungkan bahwa ( +) ( + 5) = ( + 1 +1), maka diperoleh ( + 1 +1) : ( +) = : ( +). Melalui pembagian panjang suku banyak kita dapat mencari hasil bagi dan sisanya. 4. Selain pembagian panjang kita dapat mengerjakan pembagian suku banyak dengan metode horner. 5. Ada cara menggunaakan metode horner yaitu - Untuk pembagian berbentuk + b - Untuk pembagian berbentuk a + b 1 0 (d) Tugas kegiatan belajar 1 Diskusikan sosl-soal LKS tentang dasar integral, untuk dipresentasikan. (e) Tes formatif 1. Berapa hasil bagi dari 1 : 4?. Carilah hasil bagi dari 679 : 1 dengan pembagian panjang!. Carilah hasil bagi dari (6 + 7 +9) : ( +1) dengan pembagian panjang! Cari hasil bagi dan sisanya dengan menggunakan metode Horner bentuk + b 4. ( 4-1) : (4 + ) 5. : ( - 5) Cari hasil bagi dan sisanya dengan menggunakan metode Horner bentuk a + b 6. ( + + - 6) : ( - ) 7. 1 0 11 1 (f) Kunci jawaban
1. Hasil bagi dari 1 : 4 adalah. Yaitu dengan mengingat-ingat bahwa 4 = 1, maka mendapatkan bahwa 1 : 4 =. Hasil bagi dari 679 : 1 dengan pembagian panjang: 1 679 6 (-) 49 4 (-) 7 Hasil baginya adalah dan sisanya adalah 7.. Hasil bagi dari (6 + 7 +9) : ( +1) dengan pembagian panjang! + +1 6 + 7 +9 6 + (-) 4 +9 4 + (-) 7 Hasil baginya adalah + dan sisanya adalah 7. 4. ( 4-1) : (4 + ) Pembilang : 4 + 0 + 0 + 0 + (-1), penyebut : ( + 4). 0 0 0-1 4 8-18 -51 (+) -8-18 511 Hasil bagi Sisa Hasil bagi : - 8 + - 18. Sisa : 511
Anda dapat memeriksa melalui perkalian bahwa: 4-1= ( + 4) ( - 8 + - 18) + 511. Metode Horner yang telah kita pelajari untuk pembagi bentuk + b. Pada bagian selanjutnya kita akan mempelajari untuk pembagian bebberntuk a + b. 5. : ( - 5) Bentuk umum dari suku banyak adalah : 1 + 0 + 0 + 0. 1 0 0 0 5 5 5 15 1 5 5 15 (+) Hasil bagi Sisa Hasil bagi : 1 + 5 + 5 0 = + 5 + 5. Sisa : 15 Anda dapat memeriksa melalui perkalian bahwa: = (-5)( + 5 + 5) + 15 6. ( + + - 6) : ( - ) 1 1-6 / -4 Sisa = -4 Hasil bagi: / ( + + ) = + +1 Memeriksa melalui perkalian: ( - )( + +1) - 4 = + + - 6
7. 1 0 11 1 1 0 11 ½ 6 7 1 14 4 1 Sisa = 1 Hasil bagi: ½ (1 + 14 + 4) = 6 + 7 + Memeriksa melalui perkalian: ( + 1)( 6 + 7 +) + 1 = 1 0 11 Bobot soal ditentukan sebagai berikut: Nomor soal Bobot Keterangan 1 1 Skor maksimum = 8 1 4 dan 5 4 6 dan 7 4 (g) Lembar kerja siswa (LKS) Untuk lebih memahami apa yang telah anda baca jawablah soal-soal berikut ini. Carilah hasil bagi dari 1. ( 1 ) : ( 1 ). 10 5 15 6 5 1 Carilah hasil bagi dan sisanya dengan metode Horner dari. 4 : ( + ) 4. ( 4-5 + + +1) : ( - 1)
(h) Tingkat penguasaan Rumus : Tingkat penguasaan = jumlahskoryangdiperoleh 100% 8 Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat penguasaan yang telah Anda capai sebagai berikut : 1. > 80 % Bagus! pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar. 60 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkompetensi ini dengan lebih seksama, terutama bagian yang belum Anda kuasai. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda
. KEGIATAN BELAJAR : (i) Tujuan kegiatan belajar 1 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, anda diharapkan: o Dapat mencari hasil bagi dan sisa dari pembagi kuadrat o Dapat mencari sisa setiap pembagian dengan menggunakan teorema sisa o Dapat mencari sisa pembagian oleh pembagi kuadrat o Bisa mencari sebuah faktor dari suku banyak yang disebut dengan teorema faktor (j) Uraian materi 5. PEMBAGI KUADRAT Dengan memperhatikan derajat hasil bagi dan sisa pada contoh-contoh pembagi suku banyak f() oleh karena (-k) dan (a+b), secara umum dapat kita ambil kesimpulan sebagai berikut: Jika suku banyak berderajat n dan dibagi oleh pembagi berderajat m, berlaku: 1. derajat hasil bagi = derajat suku banyak kurang derajat pembagi. derajat sisa = satu lebih kecil daripada derajat pembagi. Misalkan f() dibagi dengan a b c maka f ( ) ( a b c). H ( ) S H () merupakan hasil bagi dari suku banyak tersebut, S merupakan sisa dari suku banyak dan a b c adalah pembagi. Perhatikan contoh contoh berikut: (ii). (4 + 4 + 8) : ( + + 4) 4 4 4 4 4 4 4 Bandingkan 4 448 448 0 (-) 0 (-) Hasil bagi : Sisa : 0
(iii). (6 + 7 + 9 + 8) : ( + + 1) 1 6 6 7 4 1 9 8 Bandingkan 1 1 6798 64 + 7 + 8 (-) 78 (-) + + 1 1 5 + 7 (-) 57 (-) Hasil bagi : + 1 Sisa : 5 + 7 Catatan: Kita bisa membandingkan dengan bilangan, karena jika kita menggantikan dengan 10 ( bilangan pokok yang kita pergunakan adalah 10) maka kita akan mendapatkan bilangan. Misalnya: + + 1 (10) + (10) + 1 = 1 5. TEOREMA SISA Jika suku banyak f() dibagi oleh (a + b ) memberikan hasil bagi Q() dan sisa R, maka kita dapat menuliskan bahwa: f() = (a + b) Q() + R...(1) jika kita mensubstitusikan dengan b/a, maka kita akan mendapatkan: f(-b/a) = (-b + b) Q() + R = 0 + R R = f(-b/a)...() Rumus () mengatakan bahwa : jika suku banyak f() dibagi oleh a + b, maka sisanya adalah f(- b/a), yang berarti kita cukup mensubstitusikan = -b/a pada suku banyak dan kita akan mendapatkan sisa pembagian. Contoh 1: Tentukan sisa pembagian : ( 4 + + - ): ( - 1) Jawab: Sisa: ((1) 4 + (1) + 1 1 - ) = Contoh : Diketahui f() adalah sebuah suku banyak berderajat. saat f() dibagi oleh + 1 maka sisanya, saat f() dibagi oleh maka sisanya, dan saat f() dibagi oleh maka sisanya 15.
Tentukan suku banyak f(). Jawab: Misalnya: f() = q + m + n Saat f() dibagi + 1, sisa = q(-1) + m(-1) + n = q m + n =...(1) Saat f() dibagi -, sisa = q() + m() + n = 9q + m + n =...() Saat f() dibagi -, sisa = q() + m() + n = 15 4q + m + n = 15...() Eliminasi: () () : 5q + m = 8 5q + m = 8 () (1) : q + m = 1 q + m = 4 4q = 4 (-) q = 1, m =, n = 5 Jadi f() = 1 + + 5 = + + 5 6. SISA PEMBAGIAN OLEH PEMBAGI KUADRAT Jika suku banyak f() dibagi oleh pembagi kuadrat ( a)( b), maka sisanya adalah suku banyak linear sehingga kita bisa menuliskan; f() = ( a)( b) Q() + m + n...() jika kita mensubstitusikan = a dan = b maka kita dapatkan: f(a) = ma + n f(b) = mb + n mengeliminasi, kita dapatkan : f(a) f(b) = m(a b) dan bf(a) af(b) = n(b a). Oleh karena itu: f ( a) f ( b) af ( a) bf ( b) f() = ( a)( b)q() + +...(4) a b a b dan tentu saja anda dapat menggunakan rumus (4) ini sebagai sebuah jalan pintas. Contoh : Tentukan sisa dari pembagian : Jawab: Cara biasa: 4 ( ) ( 1)( )
Kita ekspansikan pembilang terlebih dahulu. Karena (α + ß) 4 = α 4 + 4α ß + 6α ß + 4αß + ß 4, Maka ( ) 4 = 4 1 + 54 108 + 81. Sementara itu, pada penyebut: ( - 1)( - ) = +. Pembagian panjang: 4 4-1 - 9 5 54 108 81-9 - 9 54 7 108 18 (-) 5 90 + 81 (-) 5 75 + 50-15 + 1 (-) Sisa: - 15 + 1 Jalan pintas: f() = ( ) 4 ; f(1) = (1-) 4 = 16 f() = (1-) 4 = 1 Rumus (4): f (1) f () 1. f (). f (1) 15 1 Sisa = 15 1 1 1 1 1 Perhatikan bahwa rumus (4) dapat juga dipergunakan saat suku banyak f() dibagi (-a), dan f(b) adalah sisa saat f() dibagi oleh (-b). Perhatikan contoh berikut: Contoh 4: Saat suku banyak f() dibagi oleh - maka sisanya -9, dan saat suku banyak f() dibagi oleh -5 maka sisanya 5. Tentukan sisa pembagian, saat f() dibagi oleh (-)(-5). Jawab: Cara biasa:
f() = (-) Q 1 ()-9 f() = -9 f() = (-5) Q ()+5 f(5) = 5 f() = (-)(-5) Q ()+5 + m + n f() = m + n = -9 f(5) = 5m + n = 5 Mengurangkan : m = 4 m = 17 Mensubstitusi: n = -60 Sisa: m + n = 17 60 Jalan pintas: Rumus (4): f(a) = -9, f(b) = 5, a =, b=5. 9 5 (5) 5( 9) Sisa = 5 5 = 4 10 = 17-60 7. TEOREMA FAKTOR Mengingat kembali rumus (1) dan (), jika kita mendapatkan R = f(-b/a) = 0, hal ini berarti : saat suku banyak f()dibagi (a + b) maka sisanya adalah nol, atau, f() habis dibagi oleh (a + b), atau (a + b) adalah sebuah faktor dari suku banyak f(). Hal ini disebut dengan teorema faktor. Teorema faktor: a + b adalah sebuah faktor dari suku banyak f() jika dan hanya jika f(-b/a) = 0. Kasus khusus adalah jika a = 1 dan b = -n yaitu: -n adalah sebuah faktor dari suku banyak f() jika dan hanya jika f(n) = 0. Contoh 5: Tentukan nilai m agar adalah sebuah faktor dari suku banyak + + m 6. tentukan juga faktor-faktor lainnya. Jawab: + () + m 6 = 0 m = -5 Pembagian panjang:
- 4 5-6 5-6 = ( -)( 4 ) 4 5 (-) = (-)(+1)(+) 4-8 - 6 (-) - 6 0 Faktor lainnya adalah: (+1) dan (+). Contoh 6: Jika n adalah sebuah bilangan ganjil, buktikan bahwa n + 1 selalu habis dibagi. Jawab: Misalnya ada suku banyak f() = n + 1. Jika n adalah sebuah bilangan ganjil, maka f(-1) = (-1) n + 1 = (-1) + 1 = 0. Sesuai dengan teorema faktor, maka + 1 adalah sebuah faktor dari n + 1, jika n ganjil. Dan jika kita mensubstitusikan = maka kita dapatkan: +1 adalah sebuah faktor dari n + 1, atau adalah sebuah faktor dari n + 1, saat n ganjil. Oleh karena itu n + 1 habis dibagi, saat n ganjil. Contoh 7: Tentukan syarat bagi n, agar a n + b n habis dibahagi a+b. Jawab: Misalnya ada suku banyak f() = a n + b n. Jika n ganjil, maka f(-b) = (-b) n + b n = (-b) n + b n = 0,yang berarti + b adalah faktor dari a n + b n. Mensubstitusikan = a, maka a + b adalah faktor dari a n + b n, saat n ganjil. Jadi, syaratnya adalah: n harus ganjil. (k) Rangkuman kegiatan belajar : 1. Jika suku banyak berderajat n dan dibagi oleh pembagi berderajat m, berlaku: a. derajat hasil bagi = derajat suku banyak kurang derajat pembagi b. derajat sisa = satu lebih kecil daripada derajat pembagi.. Jika suku banyak f() dibagi oleh pembagi kuadrat ( a)( b), maka sisanya adalah suku banyak linear. Teorema faktor:
a + b adalah sebuah faktor dari suku banyak f() jika dan hanya jika f(-b/a) = 0. Kasus khusus adalah jika a = 1 dan b = -n yaitu: -n adalah sebuah faktor dari suku banyak f() jika dan hanya jika f(n) = 0.. Tugas kegiatan belajar Diskusikan sosl-soal LKS tentang dasar integral, untuk dipresentasikan.. Tes formatif 1. Carilah hasil bagi dan sisa dari (4 + 4 + 8) : ( + + 4). Carilah hasil bagi dan sisa dari (6 + 7 + 9 + 8) : ( + + 1). Carilah sisa dari setiap pembagian dengan menggunakan teorema sisa ( 4 + + - ): ( - 1) 4. Diketahui f() adalah sebuah suku banyak berderajat. saat f() dibagi oleh + 1 maka sisanya, saat f() dibagi oleh maka sisanya, dan saat f() dibagi oleh maka sisanya 15. Tentukan suku banyak f(). 4 ( ) 5. Tentukan sisa dari setiap pembagian berikut: ( 1)( ) 6. Saat suku banyak f() dibagi oleh - maka sisanya -9, dan saat suku banyak f() dibagi oleh - 5 maka sisanya 5.Tentukan sisa pembagian, saat f() dibagi oleh (-)(-5). 7. Tentukan nilai m agar adalah sebuah faktor dari suku banyak + + m 6. tentukan juga faktor-faktor lainnya. 4. Kunci jawaban Tes Formatif 1. Hasil bagi dan sisa dari (8 + 8 + 16) : ( + + 4) 4 8 8 4 8 16 8 16 Bandingkan 4 4 896 896 0 (-) 0 (-) Hasil bagi : 4 Sisa : 0
. Hasil bagi dan sisa dari (6 + 7 + 9 + 8) : ( + + 1) 1 6 6 7 4 1 9 8 Bandingkan 1 1 6798 64 + 7 + 8 (-) 78 (-) + + 1 1 5 + 7 (-) 57 (-) Hasil bagi : + 1 Sisa : 5 + 7. ( 4 + + - ): ( - 1) Sisa: ((1) 4 + (1) + 1 1 - ) = ++1-4 = 4. Diketahui f() adalah sebuah suku banyak berderajat. saat f() dibagi oleh + 1 maka sisanya 6, saat f() dibagi oleh maka sisanya 46, dan saat f() dibagi oleh maka sisanya 0. Tentukan suku banyak f(). Jawab: Misalnya: f() = q + m + n Saat f() dibagi + 1, sisa = q(-1) + m(-1) + n =6 q m + n = 6...(1) Saat f() dibagi -, sisa = q() + m() + n = 46 9q + m + n = 46...() Saat f() dibagi -, sisa = q() + m() + n = 0 4q + m + n = 0...() 9q + m + n - 46 (4q + m + n - 0) = 9q-4q+m-m+n-n-46+0 = 5q+m-16 4q + m + n = 0-( q m + n - 6) = 4q-q+m+m+n-n-0+6 = q+m-4 Eliminasi: () () : 5q + m = 16 5q + m = 16 () (1) : q + m = 4 q + m = 8 4q = 8 (-) q =, m = 6, n = 10 Jadi f() = + 6 + 10 = + + 5
5. 4 ( ) ( 1)( ) Kita ekspansikan pembilang terlebih dahulu. Karena (α + ß) 4 = α 4 + 4α ß + 6α ß + 4αß + ß 4, Maka ( ) 4 = 4 1 + 54 108 + 81. Sementara itu, pada penyebut: ( - 1)( - ) = +. Pembagian panjang: 4 4-1 - 9 5 54 108 81-9 - 9 54 7 108 18 (-) 5 90 + 81 (-) 5 75 + 50-15 + 1 (-) Sisa: - 15 + 1 6. + () + m 6 = 0 m = -5 Pembagian panjang: - 4 5-6 5-6 = ( -)( 4 ) 4 5 (-) = (-)(+1)(+) 4-8 - 6 (-) - 6 0 Faktor lainnya adalah: (+1) dan (+).
Bobot soal ditentukan sebagai berikut: Nomor soal Bobot Keterangan 1 Skor maksimum = 0 1 4 5 5 dan 6 4
6. Lembar kerja siswa (LKS) Untuk lebih memahami apa yang telah anda baca jawablah soal-soal berikut ini. 1. Carilah hasil bagi dan sisa dari (4 5 + 6 + 1) : ( - - 1). Carilah sisa dari setiap pembagian dengan menggunakan teorema sisa ( 4 + + - ): ( - 1) 4 ( ). Tentukan sisa dari pembagian berikut: ( 1)( ) 4. Tentukan nilai k agar + 1 adalah sebuah faktor dari suku banyak + + k - 6. Tentukan juga faktor-faktor lainnya. 7. Tingkat penguasaan Rumus : Tingkat penguasaan = jumlahskor yangdipero leh 100% 0 Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat penguasaan yang telah Anda capai sebagai berikut : 4. > 80 % Bagus! pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 5. 60 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkompetensi ini dengan lebih seksama, terutama bagian yang belum Anda kuasai 6. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda
BAB III EVALUASI Evaluasi kompetensi (Waktu : 45 menit) 1. Berapa hasil bagi dari: a. 1 : 4? b. 679 : 1 c. (6 + 7 +9) : ( +1) dengan pembagian panjang!. Cari hasil bagi dan sisanya dengan menggunakan metode Horner bentuk + b a. ( 4-1) : (4 + ) b. ( + + - 6) : ( - ). Selesaikan soal berikut: a. Carilah hasil bagi dan sisa dari (6 + 7 + 9 + 8) : ( + + 1) b. Carilah sisa dari setiap pembagian dengan menggunakan teorema sisa c. ( 4 + + - ): ( - 1) 4. Tentukan sisa dari setiap pembagian berikut: 4 ( ) ( 1)( ) 5. Tentukan nilai m agar adalah sebuah faktor dari suku banyak + + m 6. tentukan juga faktor-faktor lainnya.
SISTEM PENILAIAN Mata Diklat : Matematika Kompetensi : Menerapkan Konsep Suku Banyak Alokasi Waktu : 0 J am Sub Metode Penilaian TotaL nilai kompetensi penilaian Instrumen Nilai (kode) K. 1 Pemberian Tes-1 15 5 tugas Uraian materi Tes formatif 1 0 K. Pemberian Tes- 15 5 tugas Uraian materi Tes formatif 0 Ulangan blok 0 Jumlah Nilai akhir 100
BAB IV PENUTUP Sebagai tindak lanjut seluruh kegiatan belajar dalam Modul Turunan ini adalah : 1. Jika hasil evaluasi terhadap penguasaan kompetensi mencapai 75 % atau lebih, maka siswa dapat melanjutkan ke modul berikutnya.. Siswa dapat melanjutkan ke modul berikutnya setelah memperoleh rekomendasi dari guru mata pelajaran matematika.. Peserta diklat yang masih belum mencapai penguasaan kompetensi 75 %, maka siswa harus mengulang secara keseluruhan atau bagian-bagian tahap kegiatan belajar yang belum dikuasai dengan baik. 4. Kemungkinan diberikannya pembelajaran remedial bagi yang memperoleh nilai yang lebih kecil dari 6, terutama terhadap siswa yang memperoleh nilai terendah. 5. Pengayaan serta akselerasi bagi siswa yang berprestasi juga dimungkinkan sesuai dengan ketersediaan waktu