RUMUS HERON DAN RUMUS BRAHMAGUPTA Sumrdyono, M.Pd. Topik lus bngun dtr telh dipeljri sejk di Sekolh Dsr hingg SMA. Bil di SD, dipeljri lus segitig dn beberp bngun segiempt mk di SMP dipeljri lebih lnjut mengeni beberp lus segiempt, sementr di SMA dipeljri lus sebrng bngun dtr slkn dikethui persmn kurvny lewt penggunn prinsip dn turn klkulus. Dlm rtikel sederhn ini, kn dibhs mengeni lus segitig dn lus segiempt tlibusur. Ap yng dimksud segibnyk tli busur? Segibnyk tu poligon disebut segibnyk tli busur bil semu titik sudut segibnyk tsb dpt ditemptkn pd sebuh lingkrn. Dengn kt lin, sisi-sisi segibnyk tsb dpt menjdi tli busur-tli busur sebuh lingkrn. Oleh kren itulh mengp disebut segibnyk tli busur. Berikut contoh beberp segibnyk tli busur. Bgimn dengn segitig? Mudh diphmi bhw semu segitig merupkn segitig tli busur. Dengn teorem sebrng tig titik berbed menentukn tept sebuh lingkrn mk hl tersebut dpt dibuktikn. Slh stu hl menrik pd segitig (tli busur) dn segiempt tli busur terletk pd rumus lusny. Bil di SD, dikenl frs ls kli tinggi sehingg msih menggunkn ukurn tinggi mk di SMA sudh dikenl dikenl rumus yng hny menggunkn sisi-sisi segibnyk.
Untuk segitig, rumus lus yng hny menggunkn sisi-sisi segitig dikenl dengn nm rumus Heron. Bil segitig sembrng ABC memiliki pnjng sisi, b, dn c, mk lus segitig tersebut dpt dinytkn dengn rumus L = s( s )(, di mn s = ½ ( + b + c ) disebut semiperimeter. Bukti : L = ½ c.t dengn t = tinggi segitig dri titik sudut A. = ½ c.b.sin A = ½ c.b. 1 cos A 4.L = b.c ( 1 cos A ), dengn Aturn Kosinus mk = b.c ( b + c ) 4 16.L = (bc) ( b + c ) = ( bc + b + c ).( bc b c + ) = ( ( b + c ) ).( (b c) ) = ( b + c + ). ( b + c ). ( + b c ). ( b + c ) = (s). (s ). (s b). ( = 16. s(s ) (s b) ( L = s (s ) (s b) ( L = s( s )( ( terbukti ), Contoh penggunn. Segitig PQR dengn pnjng sisi-sisi p = 5 m, q = 7 m dn r = 8 m, mk lus PQR dpt dihitung sebgi berikut. s = ½ (5 + 7 + 8) = 10 L = s( s p)( s q)( s r) = 10 (5)(3)() = 10 3 Jdi, lus segitig PQR dlh 10 3 m. Wlupun dikenl dengn rumus Heron, nmun menurut Al-Biruni (973-1048) rumus tersebut telh dikenl oleh Archimedes (5 SM) juh sebelum Heron (150 50 M) menggunknny. Dri Heron sendiri dikethui dri bukuny, Metric (sekitr 60 M). Heron (10 75 M)
Rumus serup yng hny menggunkn sisi-sisi segibnyk terdpt pul untuk rumus lus segiempt tli busur. Rumus ini dikenl dengn nm rumus Brhmgupt. Bil dikethui sisi-sisiny, b, c, dn d dengn semiperimeter s = ½ ( + b + c + d) mk lus dpt dinytkn dengn: L = ( s )( ( C D d c b B A Bukti dpt ditunjukkn sebgi berikut: L ABCD = L DBC + L DAB = ½ bc.sin C + ½ d.sin A = ½ bc.sin A + ½ d.sin A, A + C = 180 o = ½ (bc + d). sin A = (bc + d). sin ½ A. cos ½ A.... (i) Selnjutny, dlm DBC : (DB) = b + c bc cos C bc cos C = b + c (DB) bc cos A = b + c (DB) bc cos A = (DB) b c.. (ii) Dengn cr yng sm pd DAB : d cos A = + d (DB)... (iii) Persmn ( ii ) + ( iii ) :
() cos A = + d b c cos A = Llu diperoleh: 1 + cos A = 1 + + d b c ( ) + d b c ( ) cos ½A = ( + d) ( b c) ( ) Jug cos ½ A = 1 cos A = 1 sin ½ A = ( + d b c ( ) ( b + c) ( d) ( )... (iv) sin ½ A = ( s )(... (v) Dengn (iv) dn (v) mk (i) menjdi L ABCD = (bc + d). sin ½ A. cos ½ A. = (bc + d). ( s )(. ( = ( s )( ( ( terbukti ) Tmpk bhw rumus Brhmgupt dpt dinggp sebgi perlusn rumus Heron. Jik pd segiempt tli busur ABCD pnjng CD = 0, mk rumus Brhmgupt menjdi rumus Heron. Rumus tsb terdpt dlm buku kry Brhmgupt, Brhmsphutsiddhnt (sekitr 68 M). Brhmgupt (598-670 M)
Contoh penggunn. Segiempt ABCD dengn AB = 7 m, BC = 15 m, CD = 0 m dn DA = 4 m, mk lus ABCD dpt dihitung sebgi berikut. Pertm-tm, hrus ditunjukkn bhw segiempt ABCD merupkn segiempt tli busur. A 7 B 15 4 C 0 Diperoleh BD = D 7 + 4 = 5 jug BD = 15 + 0 = 5 Sehingg jels bhw segiempt ABCD merupkn segiempt tli busur, dengn dimeter lingkrn lurny dlh 5 m. Dengn demikin lus segiempt ABCD dpt dihitung menggunkn rumus Brhmgupt sebgi berikut s = ½ (7 + 15 + 0 + 4) = 33 L = ( s )( ( = ( 6)(18)(13)(9 ) = 34 Jdi, lus segitig PQR dlh 34 m. Dftr Pustk/bcn Indinetzone. 011. Indin mthemtics. dri http://www.indinetzone.com/43/indin_mthemtics.htm (dikses 30 oktober 01)
J J O'Connor nd E F Robertson.1999. Heron. dri http://www-history.mcs.st-ndrews.c.uk/biogrphies/heron.html (dikses 30 oktober 01) J J O'Connor nd E F Robertson.000. Brhmgupt. dri http://www-history.mcs.st-ndrews.c.uk/biogrphies/brhmgupt.html (dikses 30 oktober 01) Weisstein, Eric W. 01. "Brhmgupt's Formul." dri MthWorld--A Wolfrm Web Resource. http://mthworld.wolfrm.com/brhmguptsformul.html (dikses 30 oktober 01) Weisstein, Eric W. 01. "Heron's Formul." dri MthWorld--A Wolfrm Web Resource. http://mthworld.wolfrm.com/heronsformul.html (dikses 30 oktober 01) Wikipedi. 01. Brhmgupt`s Formul. dri http://en.wikipedi.org/wiki/brhmgupt%7s_formul (kses 30 oktober 01) Wikipedi. 01. Heron`s Formul. dri http://en.wikipedi.org/wiki/heron%7s_formul (kses 30 oktober 01)