Hl di 9 NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN 7. Definisi Sebuh mtiks buju sngk dengn ode n n mislkn A, dn sebuh vekto kolom X. Vekto X dlh vekto dlm ung Euklidin dengn sebuh pesmn: n R yng dihubungkn AX X (7.) Dimn dlh sutu skl dn X dlh vekto yng tidk nol Skl dinmkn nili Eigen di mtiks A. Nili eigen dlh nili kkteistik di sutu mtiks buju sngk. Vekto X dlm pesmn (7.) dlh sutu vekto yng tidk nol yng memenuhi pesmn (7.) untuk nili eigen yng sesui dn disebut dengn vekto eigen. Jdi vekto X mempunyi nili tetentu untuk nili eigen tetentu. Contoh 7. Mislkn Sebuh vekto A Dimn: X dn sebuh mtiks buju sngk ode, Apbil mtiks A diklikn dengn X mk: AX = 8 = = 8 = = X Dengn konstnt dn = Memenuhi pesmn (7.). Konstnt diktkn nili eigen di mtiks buju sngk Contoh 7. A
Hl di 9 Sebuh vekto X dn sebuh mtiks A. Apbil mtiks A diklikn X didpt: Dimn: AX = = = X = = dengn. Mk dlh nili eigen di mtiks A. 7.. Pehitungn nili eigen Kit tinju peklin mtiks A dn X dlm pesmn (7.) pbil kedu sisi dlm pesmn tesebut diklikn dengn mtiks identits didptkn: IAX = I X AX = IX I AX (7.) Pesmn (7.) tepenuhi jik dn hny jik: det I A= (7.) Dengn menyelesikn pesmn (7.) dpt ditentukn nili eigen ( ) di sebuh mtiks buju sngk A tesebut/ Contoh 7.7. Dptkn nili eigen di mtiks A = Jwb: Di pesmn (7.) mk: det =
Hl di 9 ( )( ) Dengn menggunkn umus bc didptkn:, = ( ).. = = = = Mk penyelesin dlh: dn. Nili eigen mtiks A = dlh: dn 7. Pehitungn Vekto Eigen Kit tinju kembli pesmn AX X dimn A dlh mtiks buju sngk dn X dlh vekto bukn nol yng memenuhi pesmn tesebut. Dlm subbb 7. telh dibhs tentng pehitungn nili eigen di mtiks A( ), pd subbb ini kit bhs vekto yng memenuhi pesmn tesebut yng disebut vekto eigen(vekto kkteistik) yng sesui untuk nili eigenny. Kit tinju sebuh mtiks buju sngk ode beikut: A = Pesmn AX X dpt dituliskn: (7.)
Hl di 9 Pesmn (7.) diklikn dengn identits didptkn: = = = (7.5) Pesmn (7.5) dlm bentuk sistem pesmn linie dituliskn: ( ) ( ) (7.) Pesmn (7.) dlh sistem pesmn linie homogen, vekto dlm ung R n yng tidk nol didptkn jik dn hny jik pesmn tesebut mempunyi solusi non tivil untuk nili eigen yng sesui. Contoh. 7.7 Dptkn vekto eigen di mtiks A = Jwb: Pd contoh 7.9 nili eigen didptkn dn, vekto eigen didptkn dengn pesmn: ( ) Untuk mk: Solusi non tivil sistem pesmn ini dlh: Mislkn mk
Hl 5 di 9 Vekto eigen mtiks A = untuk dlh: X dimn dlh bilngn sembng yng tidk nol. Untuk mk: Solusi non tivil sistem pesmn tesebut dlh: Mislkn s mk vekto eigen untuk dlh: s X dimn s dlh senbng bilngn yng tidk nol. s Contoh 7.8 Dptkn vekto eigen di mtiks A = Jwb: Pd contoh 7. nili eigen mtiks tesebut dlh dn 5 mk vekto eigen didptkn di pesmn: ( ) (5 ) 5 Untuk didptkn sistem pesmn linie bebentuk: Solusi non tivilny dlh eigen mtiks A untuk dlh:, bil dimislkn didptkn vekto X dengn bilngn sembng yng tidk nol. Untuk 5 mk:
Hl di 9 5) (5 5) ( Sistem pesmn linie menjdi: Tidk d solusi non tivil di sistem pesmn linie tesebut, jdi tidk tedpt vekto eigen di mtiks A untuk. 5 Contoh 7. Dptkn vekto eigen di A = Jwb: Pd contoh 7. dikethui nili eigen mtiks A dlh:, dn. 7 Vekto eigen ditentukn di pesmn: ) ( ) ( ) ( Untuk mk: Dlm bentuk sistem pesmn linie dituliskn: Solusi non tivil didptkn di:
Hl 7 di 9 Mk Jdi vekto eigen mtiks A = untuk dlh: X Mislkn mk: X dengn dlh bilngn sembng yng tidk nol. Untuk Vekto eigen ditentukn di pesmn: Dlm bentuk sistem pesmn linie dituliskn: Solusi sistem pesmn linie dlh:
Hl 8 di 9 Vekto eigen di mtiks A = untuk dlh: X Mislkn mk: X dengn bilngn sembng yng tidk nol. Untuk 7 Vekto eigen didptkn di pesmn: 5 Dlm bentuk sistem pesmn linie dituliskn: 5 Solusi sistem pesmn linie dlh: 5 Vekto eigen mtiks A = untuk 7 dlh:
Hl 9 di 9 X Mislkn mk: X dengn sembng bilngn yng tidk nol. Refeensi:. http://www.mth.hmc.edu/clculus/tutoils/eigenstuff/. http://www.sosmth.com/mti/eigen/eigen.html. nulif.stff.umm.c.id/files///aljb7.doc