BAB I TEOREMA TEOREMA LIMIT BARISAN Definisi : Barisan bilangan real X = (x n ) dikatakan terbatas jika ada bilangan real M > 0 sedemikian sehingga x n M untuk semua n N. Catatan : X = (x n ) terbatas jika dan hanya jika himpunan dari suku suku barisan tersebut, yaitu {x n n N} terbatas di R Teorema 1.1 : Barisan bilangan real yang konvergen adalah barisan terbatas. X = (x n ) merupakan barisan konvergen artinya Jika diambil ε = 1, maka akan diperoleh K(1) N n K(1) maka Oleh karena itu, untuk n K diperoleh x n < x +1. Jika kita tetapkan M = sup { x 1, x 2, x 3,, x K+1, x + 1} maka x n M, n N. Teorema 1.2 (a) X = (x n ) dan Y = (y n ) marupakan barisan barisan bilangan real yang masing masing konvergen ke x dan y. c R. Maka akan diperoleh barisan barisan : 1) X + Y konvergen ke x + y 2) X Y konvergen ke x y 3) XY konvergen ke xy 4) cx konvergen ke cx (b) Jika X = (x n ) konvergen ke x dan Z = (z n ) barisan bilangan real tidak nol yang konvergen ke z, dan z 0, maka konvergen ke
(a) 1) Untuk menunjukkan bahwa barisan X + Y konvergen ke x + y, maka kita harus menunjukkan bahwa ε > 0, K(ε) N n K(ε) (X + Y) (x + y) < ε Kita tahu bahwa (X + Y) (x + y) = (X x) + (Y y) X x + Y y yang harus kita tunjukkan nilainya kurang dari ε Untuk itu kita kembali pada fakta bahwa barisan barisan X = (x n ) konvergen ke x dan Y = (y n ) konvergen ke Y X = (x n ) konvergen ke x : ε > 0, K 1 N n K 1 X x <, dan Y = (y n ) konvergen ke y : ε > 0, K 2 N n K 2 Y y < (mengapa?) Oleh karena itu, jika kita ambil K(ε) = sup {K 1, K 2 } (?), maka akan diperoleh : (X + Y) (x + y) X x + Y y < = ε 1) Buktikan : X Y konvergen ke x y! 2) Dengan cara yang sama akan ditunjukkan XY = (x n y n ) konvergen ke xy Untuk menunjukkan barisan XY = (x n y n ) konvergen ke xy, harus ditunjukkan bahwa : ε > 0, K(ε) N n K(ε) x n y n xy < ε x n y n xy = x n y n x n y + x n y - xy =, dan harus ditunjukkan bahwa XY xy < ε. Barisan X konvergen, berarti X terbatas, sehingga M R, M > 0, x n M, n N Sehingga, x n y n xy M y n - y + y x n - x, perhatikan bahwa M dan y merupakan bilangan-bilangan real yang berbeda, sehingga dengan mengambil M 1 R, dan M 1 = sup{m, y }akan diperoleh x n y n xy, yang nilainya harus lebih kecil dari ε. Kembali kita perhatikan X = (x n ) dan Y = (y n ) adalah barisan-barisan yang konvergen ke x dan y, sehingga dengan menggunakan definisi barisan konvergen dan mengambil K(ε) =, akan dapat dibuktikan bahwa XY xy < ε atau dengan kata lain XY= (x n y n ) konvergen ke xy Tunjukkan bahwa cx = (cx n ) konvergen ke cx! (Pembuktian dengan menentukan barisan Y sebagai barisan konstan (c, c, c, ) ) (b) Ambil Z = (z n ) merupakan barisan bilangan real tidak nol yang konvergen ke z, z 0, maka barisan ) akan konvergen ke. Z = (z n ) konvergen ke z, maka untuk sembarang ε > 0, K 1 N, n K 1 z n z < ε.
Apabila ditetapkan α = z, maka α > 0, sehingga bisa kita ambil ε = α, sehingga z n z < α. Dengan menggunakan teorema Ketidaksamaan Segitiga diperoleh : α z n z z n z n K 1 (?) Oleh karena itu : z = z α z n, n K 1, n K 1 Karena akan ditunjukkan bahwa ) konvergen ke, maka harus ditunjukkan bahwa n K 1 : < ε = =., n K 1 Z = (z n ) konvergen ke z, jika diambil sembarang ε > 0, K 2 N, n K 2 maka Oleh karena itu, jika diambil K(ε) = sup{k 1,K 2 }, akan diperoleh Karena pengambilan sembarang ε > 0, maka dapat disimpulkan lim ) = Untuk membuktikan konvergen ke, dilakukan dengan menggunakan perkalian barisan X yang konvergen ke x dan Y = ) barisan yang tidak nol dan konvergen ke, sehingga X.Y konvergen ke Catatan : Apabila A = (a n ), B = (b n ), C = (C n ),, Z = (z n ) merupakan barisan barisan bilangan real yang konvergen, maka : (1) A + B + C + + Z = (a n + b n + c n + + z n ) merupakan barisan yang konvergen, dan lim(a n + b n + c n + + z n ) = lim(a n ) + lim(b n ) + lim(c n ) + + lim(z n ) (2) A x B x C x x Z = (a n. b n. c n..z n ) merupakan barisan konvergen, dan lim (a n. b n. c n..z n ) = lim(a n ). lim(b n ).lim(c n ).. lim(z n ) (3) Jika k N dan A = (a n ) barisan yang konvergen, maka lim( ) = (lim(a n )) k
Teorema 1.3 Jika X = (x n ) adalah barisan bilangan real yang konvergen, dan x n 0, n N, maka x = lim(x n ) 0 Bukti: Pembuktian dilakukan dengan kontradiksi (mengapa?) Andaikan x < 0, maka ε = x > 0. Karena X konvergen ke x, maka untuk sembarang ε > 0, K N x ε< x < x + ε, n K ε = x, sehingga diperoleh x k < Hal tersebut kontradiksi dengan, sehingga terbukti bahwa x 0 Teorema 1.4 Jika X = (x n ) dan Y = (y n ) barisan barisan bilangan real yang konvergen dan jika x n y n, n N, maka lim(x n ) lim(y n ) x n y n, n N, sehingga jika z n = y n x n, maka Apabila Z = (z n ), maka Z = dan Dari teorema 1.2 dan 1.3 diperoleh, sehingga lim(x n ) lim(y n ) Teorema 1.5 X = (x n ) barisan bilangan real yang konvergen, dan jika a x n b, n N; maka a lim(x n ) b Pembuktian dilakukan melalui 2 langkah, dan menggunakan pembuktian teorema 1.4.
Langkah 1 : Ambil Y = (a, a, a, ) dan X = (x n ) yang konvergen ke x, jika maka Langkah 2 : Ambil Y = (b, b, b, ) dan X = (x n ) yang konvergen ke x, jika maka Teorema 1.6 (Teorema Squeeze/Teorema Apit) X = (x n ), Y = (y n ), dan Z = (z n )adalah barisan barisan bilangan real sedemikian hingga x n y n z n, n N; dan lim(x n ) = lim(z n ). Maka Y = (y n ) merupakan barisan konvergen dan lim(x n ) = lim(y n ) = lim(z n ). Misalkan lim(x n ) = lim(z n ) = w. Artinya : Dengan demikian K N, sehingga n K diperoleh : dan Diketahui bahwa : x n y n z n, n N, x n w y n w z n w, n N Akibatnya diperoleh : ε < y n w < ε, n K, hal ini membuktikan bahwa lim(y n ) = w (??) Contoh contoh 1. Barisan (n) divergen, buktikan! Pembuktian dilakukan dengan kontradiksi (mengapa?) Perhatikan, barisan X = (n), andaikan X barisan konvergen, maka X merupakan barisan terbatas, artinya Hal tersebut kontradiksi dengan Kontradiksi terjadi karena kita mengandaikan bahwa X = (n) barisan konvergen. Artinya 2. Barisan ((-1) n ) divergen, buktikan! Barisan ((-1) n ) merupakan barisan terbatas, dengan M = 1, kita tidak dapat langsung mengatakan barisan tersebut konvergen (??). Andaikan barisan tersebut konvergen, dan lim X = b, ada. Jika diambil ε = 1, maka K N, (-1) n a < 1 Untuk n ganjil, diperoleh. Untuk n genap, diperoleh Karena berlaku n K, maka terdapat kontradiksi (mengapa?)
Kontradiksi terjadi karena pengandaian bahwa X = ((-1) n ) merupakan barisan konvergen, sehingga kesimpulannya adalah 3. lim ( ) = 2. Buktikan! Jika diambil X = (2n + 1) dan Y =(n), maka tampak bahwa barisan-barisan tersebut nerupakan barisan divergen, sehingga teorema 1.2 tidak bisa digunakan. Agar kita dapat menggunakan teorema tersebut, maka ditetapkan X = (2) dan Y = (, karena =2 + Dengan demikian ( ) = (2) + (, sehingga lim( ) = lim(2) + lim( = 2 + 0 = 2. 4. lim ( = 2. Buktikan! 5. lim( 0, buktikan! Teorema 1.2 tidak dapat digunakan untuk membuktikan kebenaran limit tersebut (mengapa?) Akan digunakan teorema 1.6 untuk membuktikannya, yaitu dengan memperhatikan :, n N, dengan mengaplikasikan teorema -1 sin n 1 apit, maka diperoleh Jadi dapat disimpulkan bahwa Teorema 1.7 X = (x n ) adalah barisan bilangan real yang konvergen ke x,maka ( x n ) akan konvergen ke x. Jika x = lim (x n ), maka x = lim ( x n ) Dengan menggunakan definisi barisan konvergen, yaitu dengan mengambil sembarang ε > 0, kita harus dapat menentukan K N, n K, maka x n x < ε Perhatikan juga bahwa x = lim (x n ), artinya : Gunakan teorema Ketidaksamaan segitiga, x n x, dengan mengambil K =? maka terbukti bahwa ( x n ) konvergen ke x. Teorem 1.8
X = (x n ) adalah barisan bilangan real yang konvergen ke x, dan anggap x n 0. Maka barisan ( ) yaitu akar positifnya konvergen dan lim( ) = X = (x n ) adalah barisan bilangan real yang konvergen ke x, dan x n 0, n N, maka Sehingga terdapat 2 kasus, yaitu (i) x = 0 dan (ii) x > 0. (i) Untuk x = 0, ambil sembarang ε > 0, karena (x n ) konvergen ke 0, maka K N, n K diperoleh : 0 x n = x n 0 < ε 2 n K Karena ε diambil sembarang, maka dapat disimpulkan bahwa ( ) konvergen ke 0 (ii) Untuk x > 0, maka > 0 = =, + > 0, maka X konvergen ke x, artinya Sehingga, dengan mengambil K(ε) =, maka < ε dan dapat disimpulkan bahwa ( ) konvergen ke Teorema 1.9 X = (x n ) adalah barisan bilangan real positif, sedemikian hingga L = lim ada. Jika L < 1, maka (x n ) konvergen dan lim(x n ) = 0 L 0 (mengapa?) Ambil r sedemikian hingga L < r < 1, maka bagaimana dengan r L?
Tetapkan ε = r L, maka K N, n K diperoleh : L < ε Sehingga untuk n K akan diperoleh : < = Oleh karena itu, untuk n K : 0 < x n + 1 < x n r < x n 1 r 2 < < x K r n K + 1 Jika ditetapkan bahwa C =, maka 0< x n + 1 < C r n + 1, n K. Karena 0 < r < 1, dan, maka terbukti bahwa lim(x n ) = 0 Latihan 1 1. Tunjukkan apakah barisan X = (x n ) konvergen / divergen, jika : a. x n = b. x n = c. x n = d. x n = (-1) n n 2 2. Jika X dan Y adalah barisan-barisan bilangan real, sedemikian sehingga X dan X + Y merupakan barisan konvergen, tunjukkan Y konvergen 3. Tentukan nilai limit dari barisan-barisan berikut : a. ((2 + )2 ) b. ( ) c. ( 1 - ) 4. Jika a dan b memenuhi pertidaksamaan 0 < a < 1, dan b > 1, tentukan apakah barisanberikut konvergen/divergen (gunakan teorema 1.9) a. ( ) b. (n2 a n ) c. (! ) d. ( )