ESTOMIHI SITOMPUL

ANALISA STRUKTUR PADA PLANE FRAME DENGAN MENGGUNAKAN METODE CROSS DAN FINITE ELEMENT METHOD Tugas Akhir Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi Syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil Disusun oleh : ESTOMIHI SITOMPUL 030404072 Pembimbing Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan NIP. 130905362 BIDANG STUDI STRUKTUR DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009

KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena limpahan kasih karunia-nya maka penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini dengan judul : Analisa Struktur pada Plane Frame dengan menggunakan Metode Cross dan Finite Elemen Method. Tugas akhir ini ditulis dan disusun sedemikian rupa sebagai syarat dalam ujian sarjana Teknik Sipil bidang studi Struktur pada Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara, Medan. Penulis menyadari bahwa isi dari tugas akhir ini masih memiliki kekurangan dan jauh dari sempurna karena keterbatasan pengetahuan penulis. Sehinnga untuk penyempurnaannya maka penulis mengharapkan saran dan kritik dari bapak dan ibu dosen serta dari rekan-rekan mahasiswa. Penulis juga menyadari tanpa bimbingan, bantuan dan dorongan semangat dari berbagai pihak tugas akhir ini tidak mungkin dapat diselesaikan dengan baik. Sehinnga dengan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada : 1. Bapak Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan, selaku ketua jurusan departemen teknik sipil. 2. Bapak Ir. Teruna Jaya, Msc, selaku sekretaris jurusan departemen teknik sipil. 3. Bapak Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan, selaku dosen pembimbing yang telah banyak meluangkan waktu, tenaga dan pikiran untuk memberikan bimbingan dalam menyelesaikan tugas akhir ini. 4. Bapak Ir. Andy Putra Rambe, MBA, selaku dosen wali sekaligus dosen pengajar selama saya menempuh studi.

5. Bapak/Ibu dosen pengajar departemen teknik sipil Universitas Sumatera Utara. 6. Seluruh pegawai administrasi yang telah memberikan bantuan dalam kemudahan penyelesaian administrasi. 7. Kedua orang tua ku terkasih serta adek-adek yang ku banggakan yang telah menjadi pendorong semangat dalam menyelesaikan tugas akhir ini. 8. Pemimpin Kelompok Kecil ku yaitu B Antonius Panjaitan, ST dan B Samuel Haratua, ST yang telah banyak memberi bimbingan dan dorongan semangat untuk terus berjuang dan berkarya sehingga saya bisa tetap berdiri teguh dan bersemangat untuk terus berkarya untuk Tuhan. 9. Teman Kelompok Kecil ku yang telah menjadi saudara buat ku karna kasih Tuhan yang telah mengikat kami dalam persekutuan Adelphos, yang juga telah banyak memberi dukungan buatku, Jubel Nainggolan, Ganda Putra Hutapea, ST dan Rodo Hutagalung. Thanx Bro. 10. Rekan-rekan mahasiswa Departemen Teknik Sipil angkatan 03, khususnya ; Masana yang telah banyak memberi masukan dalam pengerjaan FEM, Himsar, Dapot, Maradona, Yunus (genk irigasi), Donni, Hendrik, Zulfahriza, Toni, Aldo, Imran, Natan, Sarman, Boni, Mianto dan teman-teman yang lain yang telah memberikan dukungan pada penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini. 11. Rekan-rekan mahasiswa Departemen Teknik Sipil dari seluruh angkatan yang telah banyak membantu baik dalam perkuliahan maupun memberi masukan dalam tugas akhir ini.

Dengan kesadaran dalam keterbatasan dari ketidak-sempurnaan bahwa tugas akhir ini tidak luput dari kesalahan baik dalam penulisan atau penyusunannya, maka dengan hati yang tulus mengucapkan maaf. Akhir kata penulis berharap tugas akhir ini berguna bagi semua pihak yang memerlukan. Medan, Juni 2009 Estomihi Sitompul 03 0404 072

ABSTRAK Dewasa ini, analisa perhitungan struktur dalam perencanaan Teknik Sipil sudah dalam tahap penggunaan bantuan teknologi yaitu dengan bantuan program komputer untuk menyelesaikan semua permasalahannya. Selain akurasi yang lebih baik, perhitungan dengan program komputer memberikan efisiensi waktu yang lebih baik dan lebih efektif dari segii hasil. Walaupun demikian, tidak boleh dilupakan bagaimana cara perhitungan secara manual karena setiap program komputer yang dirancang untuk menghitung permasalahan perhitungan dalam perencanaan teknik sipil didasarkan pada analisa perhitungan secara manual. Dengan kata lain, bahasa pemrograman yang dipakai didasarkan pada konsep perhitungan manual. Dengan pemikiran diatas maka pada tugas akhir ini akan dilakukan analisa struktur secara manual pada frame (portal dua dimensi) dengan membandingkan hasil perhitungan antara metode cross dengan metode elemen hingga (finite element method) serta membandingkan hasil perhitungan kedua metode manual tersebut dengan hasil dari program SAP2000 versi 11.0 Dari perhitungan yang dilakukan maka diperoleh perbandingan hasil dalam persentase perbedaan hasil antara perhitungan manual dengan metode elemen hingga dengan program SAP200 versi 11.0 yang sangat kecil yaitu sampai dengan 0.0%. Hal ini disebabkan karena bahasa pemrograman SAP2000 versi 11.0 didasarkan pada metode elemen hingga. Juga persentase perbedaan hasil perbandingan perhitungan manual metode cross dengan metode elemen hingga didapati cukup kecil yaitu mencapai 0.1%.

D A F T A R I S I Kata Pengantar. i Abstrak..iv Daftar isi..v Daftar Notasi.. ix Daftar Tabel x Daftar Gambar.xiii BAB I PENDAHULUAN 1.1 Umum.1 1.2 Latar Belakang Permasalahan.4 1.3 Tujuan....5 1.4 Pembatasan Masalah.5 1.5 Metode Pembahasan.. 6 BAB II. TEORI DASAR 2.1 Umum.8 2.2 Kelas kelas Umum Struktur.12 2.2.1 Struktur Utama.. 12 2.2.2 Elemen elemen struktur utama..17 2.2.2.1 Balok dan kolom..17 2.2.2.2 Rangka kaku..20 2.2.2.3 Pelengkung 24 2.2.2.4 Flat Plate (Plat datar).28 2.2.2.5 Cangkang..31 2.2.2.6 Kabel..33 2.2.2.7 Membran, tents dan jaring..35 2.2.3 Satuan struktural utama.38 2.2.4 Penggabungan (Aggregations) 39 2.3 Analisis dan Desain Struktur 40 2.3.1 Kestabilan struktur..40 2.3.2 Gaya dalam ; tarik, tekan dan lentur.41 2.3.3 Sistem satu arah dan dua arah...43

2.4 Prinsip prinsip Mekanika..45 2.4.1 Gaya dan momen.45 2.4.1.1 Gaya.45 2.4.1.2 Besaran skalar dan vektor 46 2.4.1.3 Jajaran genjang gaya..46 2.4.1.4 Momen.47 2.4.1.5 Sistem ekuivalen secara statis.50 2.4.2 Keseimbangan...51 2.4.2.1 Keseimbangan suatu partikel..51 2.4.2.2 Keseimbangan benda tegar 52 2.4.3 Gaya internal dan eksternal 53 2.4.3.1 Sistem gaya eksternal...53 2.4.3.2 Sistem gaya internal.55 2.4.4 Sifat mekanis material.58 2.4.4.1 Sifat beban deformasi pada material 59 2.4.4.2 Elastisitas..60 2.4.4.3 Kekuatan 62 2.4.4.4 Sifat mekanis lainnya 63 2.5 Statis tertentu dan statis tak tentu..65 2.6 Jenis-jenis struktur pada bangunan Teknik Sipil.69 2.6.1 Truss (Rangka) 69 2.6.2 Grid /Grillage (Balok Silang) 69 2.6.3 Frame (Portal). 69 BAB III METODE ANALISA 3.1 Umum.70 3.2 Konsep Elemen Hingga..70 3.3 Sejarah Singkat Metode Elemen Hingga 74 3.4 Dasar-dasar Metode Elemen Hingga..75 3.4.1 Matriks dan persamaan penting.75 3.4.2 Teori elastisitas 78 3.4.3 Metode elemen hingga Rayleigh-Ritz.79 3.4.4 Plane Frame Elemen..82

3.4.4.1 Elemen Beam uniform.82 3.4.4.2 Persamaan kekakuan elemen Beam.85 3.4.4.3 Elemen Bar/Truss..89 3.4.4.4 Transformasi pada sistem koordinat..92 3.4.4.5 Kompatibilitas, keseimbangan, penentuan dari matriks kesimbangan..93 3.4.4.6 Syarat keseimbangan.95 3.4.4.7 Beban merata, beban elemen.97 3.4.5 Transformasi koordinat 99 3.5 Metode Cross...104 3.5.1 Penurunan persamaan-persamaan dasar 104 3.5.2 Momen Pemindah (Carry-Over-Moment) 109 3.5.3 Faktor distribusi dan momen distribusi 110 3.5.4 Pengaruh perletakan sendi 111 3.5.5 Perletakan simetris 113 3.5.6 Perhitungan momen tidak seimbang 114 BAB IV APLIKASI dan PEMBAHASAN 4.1 Analisa Struktur dengan Metode Elemen Hingga 115 4.1.1 Menentukan Inersia dan Modulus Elastisitas kolom dan balok..118 4.1.4 Menentukan matriks kekakuan struktur.121 4.1.5 Menghitung gaya-gaya pada batang.131 4.1.6 Tabulasi gaya-gaya batang.136 4.2 Analisa Struktur dengan Metode Cross 137 4.2.1 Menentukan koefisien distribusi 138 4.2.2 Menentukan Momen Primer..142 4.2.3 Pergoyangan.146 4.2.4 Kesetimbangan 155 4.2.5 Momen akhir..160 4.3 Hasil keluaran (output) dengan Program SAP2000 ver 11.0...167 4.4 Pembahasan...175 4.4.1 Perbandingan Hasil 175 4.4.2 Pembahasan Hasil Analisa..172

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan 181 5.2 Saran 189 Daftar Pustaka 190

DAFTAR NOTASI U F φ i Te V = Energi = gaya = suatu fungsi = Energi Potensial Total = Potensial dari gaya luar f} = vektor dari gaya-gaya luar pada titik simpul {d} [K] [Kt] [Kg] q i (x) E A L M Θ Δ k u v Ө = vektor dari perpindahan (displacement) = matrix kekakuan simetri = matrix kekakuan lokal = matrix kekakuan global = displacement nodal = variabel polinomial elemen = Modulus Elastisitas = Luas penampang melintang = Panjang elemen = Momen = perubahan dalam sudut pertemuann-rotasi = Jumlah perpindahan pada ujung elemen = kekakuan = displacemen aksial pada titik nodal = displacement vertikal = putaran sudut

DAFTAR TABEL Tabel 3.1 Pembebanan pada batang..98 Tabel 4.1 Gaya-gaya batang yang terjadi pada setiap elemen struktur 136 Tabel 4.2.1a Crossing akibat Momen Primer (cross I )....144 Tabel 4.2.1b Crossing akibat Momen Primer (cross I )..145 Tabel 4.2.2a Crossing akibat geseran palang (batang) D E (cross II)..147 Tabel 4.2.2b Crossing akibat geseran palang (batang) D E (cross II) 148 Tabel 4.2.3a Crossing akibat geseran palang (batang) C F (cross III)..150 Tabel 4.2.3b Crossing akibat geseran palang (batang) C F (cross III) 151 Tabel 4.2.4a Crossing akibat geseran palang (batang) B G (cross IV) 153 Tabel 4.2.4b Crossing akibat geseran palang (batang) B G (cross IV) 154 Tabel 4.2.5a Momen batang pada Cross I (akibat momen primer)..158 Tabel 4.2.5b Momen batang pada Cross I (akibat momen primer).158 Tabel 4.2.6a Momen batang pada Cross II (akibat geseran palang D - E)..158 Tabel 4.2.6b Momen batang pada Cross II (akibat geseran palang D - E)..158 Tabel 4.2.7a Momen batang pada Cross III (akibat geseran palang C - F).159 Tabel 4.2.7b Momen batang pada Cross III (akibat geseran palang C - F) 159 Tabel 4.2.8a Momen batang pada Cross IV (akibat geseran palang B - G).159 Tabel 4.2.8b Momen batang pada Cross IV (akibat geseran palang B - G) 159 Tabel 4.2.9a Titik A ; batang AB..160 Tabel 4.2.9b Titik B ; batang BA..160 Tabel 4.2.9c Titik B ; batang BG.....161 Tabel 4.2.9d Titik B ; batang BC. 161

Tabel 4.2.9e Titik C ; batang CB..161 Tabel 4.2.9f Titik C ; batang CF... 162 Tabel 4.2.9g Titik C ; batang CD..... 162 Tabel 4.2.9h Titik D ; batang DC.....162 Tabel 4.2.9i Titik D ; batang DE.163 Tabel 4.2.9j Titik E ; batang ED.163 Tabel 4.2.9k Titik E ; batang EF..163 Tabel 4.2.9l Titik F ; batang FE..164 Tabel 4.2.9m Titik F ; batang FC.164 Tabel 4.2.9n Titik F ; batang FG..164 Tabel 4.2.9o Titik G ; batang GF..165 Tabel 4.2.9p Titik G ; batang GB 165 Tabel 4.2.9q Titik G ; batang GH 165 Tabel 4.2.9r Titik H ; batang HG 166 Tabel 4.2.10a Tabulasi Momen Akhir.166 Tabel 4.2.10b Tabulasi Momen Akhir.166 Tabel 4.3.1 Elemen Forces Frame.167 Tabel 4.3.2 Joint Displacements.168 Tabel 4.4.1a Perbandingan gaya-gaya dalam batang berdasarkan perhitungan manual dengan Metode Elemen Hingga (MEH) dengan Program SAP2000 ver 11.0.175 Tabel 4.4.1b Perbandingan gaya-gaya dalam batang berdasarkan perhitungan manual dengan Metode Elemen Hingga (MEH) dengan Program SAP2000 ver 11.0.176

Tabel 4.4.2 Perbandingan gaya-gaya dalam batang berdasarkan perhitungan manual dengan Metode Cross (Distribusi Momen) dengan Program SAP2000 ver 11.0.177 Tabel 4.4.3 Perbandingan gaya-gaya dalam batang berdasarkan perhitungan manual dengan Metode Elemen Hingga (MEH) dengan Metode Cross (Distribusi Momen) 178 Tabel 4.4.4 Perbandingan hasil deformasi berdasarkan perhitungan manual dengan Metode Elemen Hingga (MEH) dengan Program SAP2000 ver 11.0..179 4.4.5 Tabel perbandingan Metode Analisa.180

DAFTAR GAMBAR Gambar 1.1 Plane Frame dengan beban terbagi rata dan gaya horizontal Gambar 2.1(a) Susunan kolom dan balok dalam memikul beban vertikal..4 11 Gambar 2.1(b) Susunan kolom dan balok dalam memikul beban horizontal. 11 Gambar 2.1 (d) Hubungan antar elemen diubah Gambar 2.1 (c) Perubahan posisi antar elemen...12 12 Gambar 2.2.1 Klasifikasi dari elemen struktur dasar menunjukkan geometris dan sifat-sifat fisik utama Gambar 2.2.2 Struktur kaku dan struktur tidak kaku.14 15 Gambar 2.2.3 Struktur kaku yang umum..21 Gambar 2.2.4 Rangka batang 21 Gambar 2.2.5 Struktur Post-and-Beam dan struktur rangka kaku..23 Gambar 2.2.6 Pelengkung kaku Gambar 2.2.7 Struktur pelengkung..25..27 Gambar 2.2.8 Pelat Lipat..29 Gambar 2.2.9 Struktur Grid Kompleks 30 Gambar 2.2.10 Struktur Plat satu arah Gambar 2.2.11 Struktur permukaan jala..31 33 Gambar 2.2.12 Struktur atap dengan menggunakan kabel Pada Roman Colloseum, dibangun sekitar tahun 70 SM.35 Gambar 2.3.1 Kondisi gaya internal: tarik, tekan dan lentur.43 Gambar 2.3.2 Sistem struktural satu arah dan dua arah..44 Gambar 2.4.1 Vektor gaya, interaksi gaya, resultan dan jajaran genjang..46

Gambar 2.4.2 Metode grafis untuk mencari gaya resultan untuk sistem gaya konkuren.47 Gambar 2.4.3 Momen..48 Gambar 2.4.4 Momen akibat beban terdistribusi..49 Gambar 2.4.5 Komponen-komponen gaya pada sumbu x dan y.50 Gambar 2.4.6 Hubungan gaya-gaya, gaya resultan dan gaya penyeimbang..51 Gambar 2.4.7 Diagram (keseimbangan) benda bebas dan reaksi..54 Gambar 2.4.8 Gaya tekan dan tarik internal pada batang.56 Gambar 2.4.9 Batang tarik.57 Gambar 2.4.10 Diagram tegangan-regangan tipikal untuk baja struktur yang diuji tarik.62 Gambar 2.5.1 Balok-balok statis tertentu Gambar 2.5.2 Balok-balok statis tak tentu. 66.67 Gambar 2.5.3 Kerangka-kerangka statis tertentu Gambar 2.5.4 Kerangka-kerangka statis tak tentu Gambar 2.5.4 Keranka yang dibentuk oleh segitiga 67.68 68 Gambar 3.2.1 (a) Struktur bidang dengan bentuk sembarang. (b) Model elemen hingga yang mungkin pada struktur tersebut. (c) Elemen segi empat bidang dengan gaya-gaya titik kumpul pi dan qi.garis putus-putus memperlihatkan ragam deformasi sehubungan dengan peralihan arah x titik 3...71 Gambar 3.2.2 Fungsi kombinasi Ф= Ф(x,y) dan elemen tipikal yang dapat digunakan untu mendekatinya 73 Gambar 3.4.1 (a) Elemen balok standar dengan d.o.f. nya {d}

(b) Ragam deformasi {d}={1 0 0 0} dan gaya-gaya yang diperlukan k i1 (c) Ragam deformasi {d}={0 1 0 0} dan gaya-gaya yang diperlukannya, k i2.77 Gambar 3.4.2 (a) Struktur yang mempunyai tiga d.o.f. aktif (u 1,u 2,u 3 ). Elemen hinga disini adalah pegas linier dengan kekakuan k 1, k 2, k 3. (b) Gaya-gaya dan d.o.f. titik kumpul untuk elemen tipikal I.78 Gambar 3.4.3 Tegangan dan gaya benda persatuan volume yang bekerja pada elemen bidang yang sangat kecil, yang mempunyai tebal konstan t. Notasi koma menunjukkan turunan parsial. Sebagai contoh σ x.x =δσ x /δ x..78 Gambar 3.4.4 Pemodelan Ritz...81 Gambar 3.4.5 Pemodelan FEM...81 Gambar 3.4.6 Beam dengan penampang uniform..82 Gambar 3.4.7 Elemen Bar/Truss dibawah pengaruh Gaya Luar F pada node 1 dan node 2 89 Gambar 3.4.8 Transformasi koordinat pada sistem koordinat...92 Gambar 3.4.9 Penomoran untuk nodal dan batang...93 Gambar 3.4.10 Freebody diagram gaya-gaya dalam...94 Gambar 3.4.11 Syarat batas perpindahan pada plane frame...96 Gambar 3.4.12 Reduksi beban merata pada titik simpul plane frame...97 Gambar 3.4.13 Pembebanan pada batang plane frame...98 Gambar 3.4.14 Momen primer pada batang plane frame...98 Gambar 3.4.15 Pergeseran koordinat...99

Gambar 3.4.16 Transformasi koordinat...99 Gambar 3.5.1 Kondisi beam akibat gaya terpusat P...105 Gambar 3.5.2 Kondisi Momen-Pemindah...109 Gambar 3.5.3 Kondisi struktur akibat momen terdistribusi..111 Gambar 3.5.4 Perilaku struktur akibat perletakan sendi 112 Gambar 3.5.4 Struktur dengan deformasi simetris Gambar 3.5.4 Struktur dengan perletakan sendi Gambar 3.5.5 Struktur dengan deformasi simetris..114.104..106 Gambar 4.1 Portal dua dimensi dengan gaya horizontal dan beban terbagi rata...117 Gambar 4.2 Portal dua dimensi dengan beban terpusat dan beban terbagi rata..138 Gambar 4.3.1 Penamaan elemen dan titik hubung dengan Program SAP2000 ver 11.0.169 Gambar 4.3.2 Pembebanan struktur dengan Program SAP2000 ver 11.0..170 Gambar 4.3.3 Desain balok dan kolom struktur dengan Program SAP2000 ver 11.0 171 Gambar 4.3.4 Diagram Momen Lentur dengan Program SAP2000 ver 11.0.172 Gambar 4.3.5 Diagram Axial force dengan Program SAP2000 ver 11.0..173 Gambar 4.3.6 Diagram Shear force dengan Program SAP2000 ver 11.0..174