Buku Ajar Aljabar Linear

i Aljr Liner Buu Ajr Aljr Liner Oleh Yulint Sironi S.Si PROGRAM PERKULIAHAN DASAR UMUM SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM BANDUNG Yulint Sironi Seolh Tinggi Tenologi Telom

ii Aljr Liner Kt Pengntr Dengn mengucpn suur lhmdulillh hirn uu jr ljr liner dpt diselesin. Buu jr ini merupn cttn ulih dri penulis selm penulis memerin perulin ljr liner di STT Telom. Pemutn uu jr ini dimsudn untu memntu mhsis STT Telom dlm memhmi perulihn ljr liner mupun ulih- ulih lin ng menggunn ljr liner segi dsrn. Penulis mendri h dlm penulisn uu jr ini msih n eurngn ng terjdi. Untu itu dn srn dn riti dri pemc sngt diperlun penulis untu perin ditt ini dims mendtng. Penulis jug mengucpn terim sih terhdp semu pih ng telh memntu dlm pemutn uu jr ini. Bndung Agustus Penulis Yulint Sironi Seolh Tinggi Tenologi Telom

iii Aljr Liner DAFTAR ISI. Mtris dn Opersi Opersin. I. Pendhulun... I. Jenis jenis mtris. I. Opersi opersi mtris. I. Mtris Iners. Sistem Persmn Liner... II. Pendhulun.. II. II. II. Opersi ris elementer. Sistem persmn liner Homogen... Menentun iners mtris... Determinn mtris... III. Pendhulun.. III. Metode perhitungn determinn... III. III. Menentun himpunn penelesin sistem persmn linier dengn metode Crmmer.. Huungn determinn iners mtris dn penelesin untu sistem persmn linier. Vetor Vetor di idng dn di rung IV. Pendhulun. IV. Opersi opersi pd etor. IV. Hsil li titi pnjng etor dn jr ntr du etor IV. IV. Proesi orthogonl Perlin silng etor 6 6 7 6 8 9 7 7 8 9 Yulint Sironi Seolh Tinggi Tenologi Telom

i Aljr Liner. Rung Rung Vetor.... V. Rung n Euclides. V. Rung etor umum V. Su rung etor. V. Memngun dn es linier... V. Bsis dn Dimensi V.6 Bsis rung ris dn sis rung olom. V.7 Bsis rung solusi 6. Rung Hsil Kli Dlm.. VI. Hsil li dlm VI. Pnjng etor jr ntr etor dn esr sudut dlm RHD VI. Bsis orthonorml VI. Peruhn Bsis 7. Rung Eigen... VII. Nili Eigen sutu mtris 6 6 6 6 6 6 6 Yulint Sironi Seolh Tinggi Tenologi Telom

Aljr Liner VII. VII. Digonlissi Digonlissi orthogonl 8. Trnsformsi Liner... VIII. Pendhulun VIII. Kernel ( inti ) dn Jngun VIII. Mtris trnsformsi Dftr Pust. Anton H.( 99) Elementr Liner Alger.John Wile nd Sons. Leon S.J.( ). Aljr Liner Dn Aplisin edisi. Penerit Erlngg. Mursit D. ( ). Ditt Kulih Aljr Liner Elementer. STT Telom Yulint Sironi Seolh Tinggi Tenologi Telom

i Aljr Liner Yulint Sironi Seolh Tinggi Tenologi Telom

Mtris dn opersi opersin BAB I Mtris dn Opersi Opersin I. Pendhulun Definisi : Mtris dlh susunn segi empt siu siu dri ilngn ng ditsi dengn tnd urung. Sutu mtris tersusun ts ris dn olom ji mtris tersusun ts m ris dn n olom m ditn mtris terseut eruurn ( erordo ) m n. Penulisn mtris isn menggunn huruf esr A B C dn seterusn sedngn penulisn mtris esert uurnn (mtris dengn m ris dn n olom ) dlh A mn B mn dn seterusn. Bentu umum Bentu umum dri A mn dlh : A mn : m : m...... :::... n n : mn ij diseut elemen dri A ng terlet pd ris i dn olom j. I. Jenis jenis mtris Ad eerp jenis mtris ng perlu diethui dn sering digunn pd pemhsn selnjutn itu :. Mtris Bujur sngr Mtris ujur sngr dlh mtris ng jumlh risn sm dengn jumlh olomn. Kren siftn ng demiin ini dlm mtris ujur sngr dienl istilh elemen digonl ng erjumlh n untu mtris ujur sngr ng eruurn nn itu : nn. Contoh.. A A dengn elemen digonl dn dengn elemen digonl dn. Mtris Digonl Mtris digonl dlh mtris ng elemen un digonln ernili nol. Dlm hl ini tid disrtn h elemen digonl hrus t nol. Contoh.. A B C Yulint Sironi Seolh Tinggi Tenologi Telom

Mtris dn opersi opersin c. Mtris Nol Mris Nol merupn mtris ng semu elemenn ernili nol. d. Mtris Segitig Mtris segitig dlh mtris ujur sngr ng elemen elemen dih tu dits elemen digonl ernili nol. Ji ng ernili nol dlh elemen elemen dih elemen digonl m diseut mtris segitig ts selin diseut mtris segitig h. Dlm hl ini jug tid disrtn h elemen digonl hrus ernili t nol. Contoh.. A B C Mtris A dlh mtris segitig h mtris B dlh mtris segitig ts sedngn mtris C merupn mtris segitig h dn jug mtris segitig ts. e. Mtris Identits Mtris identits dlh mtris digonl ng elemen digonln ernili f. Mtris dlm entu eselon ris teredusi Sutu mtris ditn memilii entu eselon ris teredusi ji memenuhi srt srt eriut :. Untu semu ris ng elemen elemenn t nol m ilngn pertm pd ris terseut hruslh ( diseut stu utm ).. Untu semrng du ris ng erurutn m stu utm ng terlet pd ris ng leih h hrus terlet leih e nn dripd stu utm pd ris ng leih ts.. Ji sutu ris semu elemenn dlh nol m ris terseut diletn pd gin h mtris.. Kolom ng memilii stu utm hrus memilii elemen nol ditempt linn. Contoh.. A B C Mtris A B dn C dlh mtris mtris dlm entu eselon ris teredusi dn notsi mentn stu utmn. Contoh eriut mentn mtris mtris ng un dlm entu eselon ris teredusi. Yulint Sironi Seolh Tinggi Tenologi Telom

Mtris dn opersi opersin Contoh.. D E Mtris D un dlm entu eselon ris teredusi ren elemen d ernili sehingg tid memenuhi srt e ( hrusn ) sedngn mtris E tid memenuhi ren ris edu ng merupn ris nol letn mendhului ris etig ng merupn ris t nol sehingg srt etig tid terpenuhi. Ji sutu mtris hn memenuhi srt sj m ditn mtris terseut memilii entu eselon ris. I. Opersi opersi mtris. Penjumlhn mtris Opersi penjumlhn dpt dilun pd du uh mtris ng memilii uurn ng sm. Aturn penjumlhn Dengn menjumlhn elemen elemen ng ersesuin pd edu mtris Contoh: c e + d g f + e h c + g + f d + h. Perlin mtris dengn mtris Opersi perlin mtris dpt dilun pd du uh mtris ( A dn B) ji jumlh olom mtris A jumlh ris mtris B. Aturn perlin Misln A mn dn B n m A mn B n C m dimn elemen elemen dri C( c ij ) merupn penjumlhn dri perlin elemen elemen A ris i dengn elemen elemen B olom j Contoh : A d e c f B l m n o p m A B C + l + cm d + el + fm n + o + cp dn + eo + fp c. Perlin mtris dengn slr Sutu mtris dpt dilin sutu slr dengn turn tip tip elemen pd A dilin dengn. Contoh.. c c d e f d e f Yulint Sironi Seolh Tinggi Tenologi Telom

Mtris dn opersi opersin d. Trnspose mtris Trnspose mtris A ( dinotsin A t ) didefinisin segi mtris ng ris risn merupn olom dri A. Contoh : A 6 A t Sift sift dri opersi mtris - A+B B+A - A+ ( B+C ) ( A+B) + C - AB BA - A ( BC ) ( AB ) C - ( A t ) t A - ( AB ) t B t A t 6 I. Mtris Iners Definisi Ji A B mtris ujur sngr dn erlu AB BA I ( I mtris identits ) m ditn h A dpt dili dn B dlh mtris iners dri A ( notsi A ). Contoh : A B AB BA M B A dn A B Sift ng erlu : - ( A ) A - ( AB ) B A Ltihn I. Tentun jenis dri mtris mtris dih ini ( ji memenuhi leih dri stu tulisn semu )! A B C D. Diethui A B dn C. Hitung B + C!. Hitung AB dn AC emudin tentun AB + AC c. Dri perhitungn B + C seelum hitung A ( B + C ) emudin ndingn hsiln dengn jn dri! Yulint Sironi Seolh Tinggi Tenologi Telom

Mtris dn opersi opersin. Dri sol nomor tentun. ( AB ) t dn ( AC ) t!. Hitung B t A t dn C t A t emudin ndingn hsiln dengn jn!. Tunjun ph mtris B merupn iners A!. A dn B. A dn B 8 Yulint Sironi Seolh Tinggi Tenologi Telom

6 Sistem persmn liner BAB II Sistem Persmn Liner II. Pendhulun Bentu umum Sutu persmn liner ng mengndung n peuh n dintn dlm entu + + + n n dengn n dlh onstnt riil. Dlm hl ini peuh ng dimsud un merupn fungsi trigonometri fungsi logritm tupun fungsi eponensil. Contoh.. :. + persmn liner dengn peuh. z + persmn liner dengn peuh c. log + log un persmn liner d. e + un persmn liner Sistem persmn liner ( SPL ) Definisi Sistem persmn liner dlh himpunn erhingg dri persmn liner Contoh..:. +. + z + 6 + Tid semu sistem persmn liner memilii penelesin( solusi ) sistem persmn liner ng memilii penelesin memilii du emunginn itu penelesin tunggl dn penelesin n. Secr leih jels dpt diliht pd digrm eriut : Tid memilii penelesin ( tid onsisten ) SPL solusi tunggl memilii penelesin ( onsisten ) solusi n Pd sistem persmn liner dengn du peuh secr geometris ji SPL tid mempuni penelesin m grfin erup du gris ng sling sejjr ji penelesinn tunggl m himpunn penelesinn erup seuh titi hsil perpotongn du gris sedngn ji penelesinn n m himpunn penelesinn erup du gris lurus ng sling erhimpit. Secr leih jels dpt diliht pd contoh.. eriut :. + Grfin : + 6 + 6 + Grfi terseut menunjun h edu gris sejjr sehingg tid penelesin ng memenuhi sehingg disimpuln h SPL tid onsisten. Yulint Sironi Seolh Tinggi TenologiTelom

7 Sistem persmn liner. Grfin : + + Grfi terseut menunjun h himpunn penelesin dri SPL dlh titi potong ntr dn + itu titi ( ). Jdi penelesin dri SPL dlh tunggl itu dn. c. + Grfin : + + + Grfi dits h + dn + sling erhimpit sehingg hn terliht seperti stu gris sj. Himpunn penelesin dri SPL semu titi ng terlet disepnjng gris terseut. Misln dimil m didptn ng memenuhi persmn ji m nili dlh nili ng memenuhi. Secr mtemtis dpt ditulisn segi : { () R R } Untu sus sistem persmn liner dengn menggunn du peuh pemutn grfi untu menentun himpunn penelein seperti ini msih memunginn hn sj untu jumlh peuh ng leih n hl ini sulit dilun. II. Opersi ris elementer Keti dihdpi mslh ng eritn dengn sistem persmn liner terutm ng menggunn n peuh m hl pertm ng dpt digunn untu menederhnn permslhn dlh dengn menguh sistem persmn liner ng d e dlm entu mtris. Sutu persmn liner isn jug tid didptn secr lngsung tetpi mellui penederhnn dri permslhn ng terjdi dlm ehidupn sehri hri. Setelh diuh e entu mtris m mtris terseut diuh e entu mtris dlm entu eselon ris teredusi untu mendptn penelesin dri SPL. Prosedur untu mendptn mtris eselon ris teredusi is diseut segi eliminsi Guss Jordn. Pd proses eliminsi terseut opersi opersi ng digunn diseut opersi ris elementer. Dlm opersi ris elementer ini d eerp opersi ng dpt digunn itu :. Menglin sutu ris dengn onstnt t nol. Memperturn du uh ris c. Menmhn eliptn sutu ris e ris linn. Yulint Sironi Seolh Tinggi TenologiTelom

8 Sistem persmn liner Dengn menggunn opersi ris elementer m mtris eselon ris teredusi ng didptn n euilen dengn mtris ln sehingg penelesin untu mtris eselon ris teredusi jug merupn penelesin untu mtris ln. Mtris l ng dimsud dlh mtris diperesr. Untu meliht secr leih mudh definisi dri mtris diperesr n ditunjun eriut ini : Diethui SPL dengn m uh persmn liner dn n peuh + + + n n + + + n n : m + m + + mn n m Sistem persmn liner dits dpt ditulis dlm entu mtris AX B dengn A Μ m Μ m...... Μ... n n Μ mn X Μ m dn B Μ m Mtris ng memilii eruurn n tu n is diseut etor. Penulisn etor sediit ered dengn penulisn mtris itu menggunn huruf ecil dengn cet tel tu digris tsn. Jdi mtris X dn B dits is ditulisn segi dn tu dn sehingg SPL dpt ditulisn segi A. Pd SPL ng erentu seperti ini mtris A jug is diseut segi mtris onstnt. Untu menelesin persmn liner dits m diut mtris diperesr dri A dn ng elemen elemenn merupn gungn elemen mtris A dn etor A itu : ng dinotsin [ ] [ A ] Μ m Μ m...... Μ... n n Μ mn Μ m Untu menelesin persmn liner terseut dilun eliminsi Guss Jordn seperti ditunjun dlm contoh eriut : Contoh... + + z + + z 6 + 8z 6 Mtris diperesr [ A ] 8 6 6 Opersi ris elementer pd [A ] menghsiln : Yulint Sironi Seolh Tinggi TenologiTelom

Sistem persmn liner Yulint Sironi Seolh Tinggi TenologiTelom 9 [ ] A 6 6 8 ~ 7 ~ + 7 9 ~ 7 9 ~ + 9 entu eselon ris teredusi Dri entu eselon ris teredusi m dpt diut persmnn itu : Dri ris () + + z Dri ris () + + z Dri ris () + + z z Jdi penelesin SPL dits dlh tunggl itu : z Untu meliht ph jn terseut enr tuh tid it dpt memsun nili nili terseut pd persmn l. Keterngn Penulisn dn segin pd proses dits siftn tid mutl dn hn digunn segi lt pemntu dlm proses opersi ris elementer. Dlm perhitungn selnjutn penulisn ini mungin tid perlu dilun.. + z + z + + z Mtris diperesr [ ] A [ ] A ~ ~ Persmnn : Dri ris + z z Dri ris + z z Kren ris dlh ris nol dn olom ng tid memilii stu utm dlh olom m dpt dimil nili z semrng misln z s sehingg nili s dn s. Bris nol pd sus dits jug menunjun h penelesin dri SPL dlh t hingg n. Bnn ris nol pd mtris dits ( dengn A merupn mtris ujursngr ) jug menunjun nn prmeter (s) pd penelesin SPL. Jdi penelesin dri SPL dlh s s s z Untu menguji ph nili ng didptn enr tu tid mil semrng ilngn untu s misln s didptn dn z msun nili nili e

Sistem persmn liner persmn emudin ndingn rus iri dn rus nn. Co lgi untu nili s ng lin. c. + z + + + z 6 Mtris diperesr [ A ] [ A ] 6 ~ Pd ris etig mtris eselon ris teredusi didptn persmn: + + z hl ini jels menunjun h tid d nili untu dn z ng memenuhi persmn ren ppun nili dn z n rus iri n sellu ernili nol jdi nili tid n tercpi. Jdi lu d entu mtris eselon ris teredusi ng seperti dits psti dpt disimpuln h SPL tid memilii penelesin tu SPL tid onsisten. 6 ~ II. Sistem persmn liner Homogen Sistem persmn liner Homogen merupn sus husus dri Sistem persmn liner is A untu sus. Kren entun ng demiin m pstilh pd mtris diperesr [ A ] setelh dilun eliminsi Guss Jordn olom terhirn n sellu nol sehingg penelesin dri SPL n sellu d. Ad du mcm penelesin dlm SPL homogen ini itu triil ( t sejti ) dn t triil ( sejti ). Penelesin triil terjdi ji stu stun penelesin untu SPL dlh hl ini terjdi ji semu olom pd mtris diperesr [ A ] ( setelh dilun eliminsi Guss Jordn ) memilii stu utm eculi untu olom ng terhir tu dengn t lin semu olom pd mtris A memilii stu utm. Ji hl ng selin terjdi itu tid semu olom pd mtris A ( setelh dilun eliminsi Guss Jordn ) memili stu utm tu ji terdpt ris nol m penelesin untu SPL dlh penelesin t triil itu penelesin t hingg n. Contoh.. Diethui sistem persmn liner homogen z Yulint Sironi Seolh Tinggi TenologiTelom

Sistem persmn liner Yulint Sironi Seolh Tinggi TenologiTelom Penelesin dri SPL homogen dits dlh [ ] A ~ ~ Pd mtris ng terhir terliht h semu olom mtris A memilii stu utm sehingg penelesinn dlh triil itu z Contoh.. Diethui sistem persmn liner homogen z Penelesin dri SPL homogen dits dlh : [ ] A ~ 6 6 ~ Pd mtris ng terhir terliht h hn du olom dri mtris A ng memilii stu utm tu terdpt du ris nol ini errti h penelesin SPL dlh t triil itu penelesin n dengn du prmeter itu : z z z ji dimil z s dn t s t R m t s s t z Eliminsi Gus Jordn untu mendptn penelesin SPL homogen sering jug dilun pd mtris A sj ren pd sus ini jdi tid n mempengruhi hsil perhitungn. II. Menentun iners mtris Pd seelumn sudh dihs tentng iners sutu mtris. Iners sutu mtris ( misln iners A ) dpt dihitung dengn menggunn eliminsi Guss Jordn terhdp mtris diperesr [ ] I A dimn uurn I sm dengn uurn A. Cr perhitungn seperti ini didsrn dri sift A A I. Untu menentun solusi dri SPL terseut m erdsrn prosedur ng telh dipeljri seelumn m dpt dilun eliminsi Guss Jordn terhdp mtris [ ] I A. Ji A memng memili

Sistem persmn liner Yulint Sironi Seolh Tinggi TenologiTelom iners m mtris eselon ris teredusin n erentu [ ] A I. Ji setelh melun eliminsi Guss Jordn tid diperoleh entu [ ] A I m disimpuln h mtris terseut tid memilii iners. Contoh.. Diethui A tentun A ji d! J: [ ] I A ~ ~ ~ ~ [ ] A I Jdi A Untu meliht ph jn terseut enr tu tid m hitunglh A hsil perhitungn dengn A ji hsiln I m jn terseut enr. Contoh.. Diethui mtris A 6 Tentun iners mtris A ji d! J: [ ] I A 6 ~ 9 8 9 8 6 ~ 9 8 6 Wlupun mtris elum dlm entu eselon ris teredusi tpi perhitungn sudh dpt dihentin pd thp ini sudh terliht h entu [ ] A I tid n is didptn sehingg dpt disimpuln mtris A tid memilii iners. Sutu mtris onstn (A) ng memilii iners m SPL A ng eritn n memilii solusi tunggl itu : A ji erup SPL Homogen m

Sistem persmn liner Yulint Sironi Seolh Tinggi TenologiTelom Ltihn II. Gunn eliminsi Guss Jordn untu mendptn entu eselon ris teredusi dri mtris mtris eriut :. A. B. Tulisn sistem persmn liner eriut dlm entu mtris emudin tentun penelesinn ( ji d )!. + + z 6. + z + z + + z + + z c. + z + d. 6 + + +. Tentun iners mtris dri mtris eriut ( ji d )!. A. B c. C d. C 8. Diethui persmn R dengn R mtris onstnt pd nomor dn. Tentun solusi SPL ( ji d )!. Diethui persmn R dengn R mtris onstnt pd nomor Tentun jenis solusi dri SPL dn tulisn solusin! 6. Diethui SPL erentu :. Tentun nili dn gr SPL memilii solusi tunggl emudin tulis solusi SPL n!. Tentun nili dn gr SPL memilii solusi n emudin tulis solusi SPL n! 7. Diethui SPL

Sistem persmn liner Tentun nili untu dn gr SPL memilii solusi n dn tulis solusi SPL terseut! 8. Diethui SPL eriut : + z + z + z Tentun semu nili untu dn gr SPL memilii solusi n emudin untu setip psngn nili dn terseut tulisn solusi SPL! Yulint Sironi Seolh Tinggi TenologiTelom

Determinn mtris BAB III Determinn mtris III. Pendhulun Definisi determinn Misln A mtris ujur sngr fungsi determinn A sering ditulisn segi determinn ( disingt det(a) tu A ) didefinisin segi jumlh semu hsil li elementer ertnd dri A. Ji A eruurn nn m hsil li elementer dri mtris A n erentu : p. p npn dimn p p p n merupn permutsi dri ilngn ilngn n. Tnd dri p. p npn sendiri ditentun dri nn ilngn ult esr ng mendhului ilngn ng leih ecil ( nn iners ) pd ilngn p p p n ji nn iners dlh gnjil m tndn negtif ( ) dn ji selin tndn positif ( + ). Contoh.. Diethui A c Tentun det(a)! d J Bnn permutsi ( ren A eruurn ) itu dn Pd ilngn n didptn nn iners sehingg tnd untu hsil li elementer. dlh (+) sedngn untu hsil li elementer. n ertnd ( ) ren pd ilngn terdpt stu ng ult ng mendhului ng ng leih ecil. Jdi det(a) +.. d c Contoh.. Diethui B Tentun det B! J Untu memudhnn n diut tel segi eriut : permutsi Hsil li elementer Bn iners Hsil li elementer ertnd.. +............ +.... +...... Jdi det B +.... +.... +.... Untu sus mtris ng eruurn leih dri tentun penentun nili determinn dengn menggunn definisi terseut menjdi urng efetif dn leih Yulint sironi STT Telom

6 Determinn mtris rumit. Berdsrn definisi dri determinn terseut m diemngn metode perhitungn determinn ng leih cept ng n dihs digin selnjutn. III. Metode perhitungn determinn. Espnsi oftor Pd metode ini dienl eerp istilh ntr lin : Minor elemen ij ( M ij ) itu determinn ng didptn dengn menghilngn ris i dn olom j mtris ln. Koftor elemen ij ( C ij ) ( ) i+j M ij Ji A mtris ujur sngr eruurn nn m dengn menggunn metode ini perhitungn determinn dpt dilun dengn du cr ng semun menghsiln hsil ng sm itu : espnsi sepnjng ris i det(a) i C i + i C i + + in C in espnsi sepnjng olom j det(a) j C j + j C j + + nj C nj Contoh.. Diethui A Tentun det (A) dengn menggunn espnsi oftor! J An dico menggunn espnsi ris untu menghitung det (A) Det (A) C + C + C C ( ) + M M C ( ) + M M C ( ) + M M ( ) 6 8 Jdi det (A) (. ) + (. ) + (. ) Contoh.. Diethui B Hitung det (B)! J Ji meliht sift dri metode ini m perhitungn n leih cept ji d elemen ij ng ernili. Jdi pemilihn ris / olom n sngt menetun eceptn perrhitungn. Dlm contoh ini terliht h ris/olom ng mengndung n nili dlh olom. Jdi det (B) n dpt dihitung secr cept menggunn espnsi terhdp olom. Yulint sironi STT Telom

7 Determinn mtris det(b) C + C + C C ( ren dn ernili ) C ( ) + M M Jdi det(b).. Redusi ris menggunn opersi ris elementer Penggunn metode ini seenrn tid leps dri metode espnsi oftor itu pd sus sutu olom n mengndung elemen ng ernili. Berdsrn sift ini m mtris ng erentu eselon ris tu mtris segitig n leih mudh untu dihitung nili determinnn ren hn merupn perlin dri elemen digonln. Redusi ris dilun dengn menguh olom olom sehingg n memut elemen. Bisn entu metris hir ng ingin dicpi dlh entu eselon ris tu entu segitig tetpi ini tid mutl. Ji entu eselon tu segitig elum tercpi tetpi dinggp perhitungnn sudh cuup sederhn m determinn is lngsung dihitung. Dlm melun redusi ris opersi ng digunn dlh opersi ris elementer. Pd opersi ris elementer d eerp opersi ng erpengruh terhdp nili determinn l itu : - Ji mtris B diperoleh dengn memperturn du ris pd mtris A m det (B) det (A) - Ji mtris B diperoleh dengn menglin onstnt e slh stu ris mtris A m det (B) det (A) - Ji mtris B didptn dengn menmhn eliptn sutu ris e ris linn m det (B) det (A) Contoh.. Diethui A d g e h c f i dn det (A) r Tentun determinn dri mtris mtris eriut ;. X d g e h f c i. Y c d e f c. Z g h i c d e f + g + h c + i J. Mtris X didptn dengn memperturn ris dn mtris A m det ( X) det ( X) r. Mtris Y didptn dengn menglin ris e mtris A dengn m det ( Y).det ( Y) r c. Mtris Z didptn dengn menmhn ris e ris mtris A m det (Z) det (Z) r Yulint sironi STT Telom

8 Determinn mtris Contoh.. Hitunglh determinn mtris A dlm contoh.. dengn menggunn redusi ris! J Diethui A Eliminsi Guss A ()... ( ). ( ). III. Menentun himpunn penelesin sistem persmn linier dengn metode Crmmer Metode Crmmer didsrn ts perhitungn determinn mtris. Sutu SPL ng erentu A dengn A dlh mtris ujur sngr dpt dierjn dengn metode Crmmer ji hsil perhitugn menunjun h det (A). Penelesin ng didptn dengn metode ini dlh penelesin tunggl. Diethui sutu sistem persmn linier erentu A dengn A dlh mtris ujur sngr eruurn nn dn det (A) sedngn nili dn dlh : : n : n m penelesin untu dlh : A A A A A n n A A i dlh mtris A ng olom e i n dignti dengn etor. Contoh.. Diethui sistem persmn linier erentu A z. Peris ph metode Crmmer dpt digunn untu mendptn penelesin SPL?. Ji is tentun penelesin untu! Yulint sironi STT Telom

9 Determinn mtris J. Det (A) ().( ) + (). Kren det (A) m metode Crmmer dpt digunn. ( ) (6 ). Det (A ) ().. + ( ). ( ) ( + ) Det (A ) Det (A ) ().( ) 9 + ( ). 9 ( +) + (6 ) Jdi nili untu dn z dlh : A A A A dn z A A Menentun iners sutu mtris dpt jug menggunn rumus eriut : A dj ( A) A dimn dj (A) C t dn C { c ij } c ij oftor elemen ij III. Huungn determinn iners mtris dn penelesin untu sistem persmn linier Ji sutu SPL erentu A dn A mtris ujur sngr m sift dri penelesin SPL dpt diethui dri nili determinn A tu iners mtris A. Beriut ini dlh huungn ng erlu : Det (A) A terdefinisi (d) penelesin tunggl untu SPL Det (A) A tid memilii iners Det (A) SPL memilii penelesin n SPL tid memilii penelesin Yulint sironi STT Telom

Yulint sironi STT Telom Determinn mtris Pd sus det (A) untu menentun penelesinn dpt digunn iners mtris untu menghitungn itu A. Sedngn pd sus det (A) untu menentun penelesin SPL hrus digunn eliminsi Guss Jordn pd mtris diperesr [ ] A. Ltihn III. Gunn espnsi oftor untu menghitung determinn dri mtris mtris eriut :. A. B. Gunn redusi ris untu menghitung determinn dri mtris mtris eriut. A. B. Diethui sistem persmn linier z. Peris ph metode Crmmer dpt digunn untu menentun penelesin SPL?. Ji tentun nili untu!. Dri sol nomor. Tentun iners A dengn menggunn rumus A A A dj ) (!. Tentun nili dengn menggunn hsil dri.!. Diethui SPL A dengn mtris diperesr [ A l ] segi eriut : [ ] A + ) ( Tentun nili gr. SPL memilii penelesin tunggl!.spl memilii penelesin n! c. SPL tid memilii penelesin!

Determinn mtris 6. Dri sift sift determinn eriut ; Det ( AB ) Det A. Det B Det ( A t ) Det A Ji Hitung e f Det R c d Det L g h + c + d h f c + d c + d g e Det! eh fg 7. Ji det A X dn det B Y Tentun Det ( A t BA )! 8. Ji A dn B mtris dengn det A R dn det B S Tentun det ( A B )! Yulint sironi STT Telom

Vetor etor di idng dn di rung BAB IV Vetor Vetor di idng dn di rung IV. Pendhulun Definisi Vetor didefinisin segi esrn ng memilii rh. Keceptn g dn pergesern merupn contoh contoh dri etor ren semun memilii esr dn rh lupun untu eceptn rhn hn positif dn negtif. Vetor ditn erd di rung n ( R n ) ji etor terseut mengndung n omponen. Ji etor erd di R m ditn etor erd di idng sedngn ji etor erd di R m ditn etor erd di rung. Secr geometris di idng dn di rung etor merupn segmen gris errh ng memilii titi l dn titi hir. Vetor is dinotsin dengn huruf ecil tel tu huruf ecil dengn rus gris Contoh.. D C A B Dri gmr dits terliht eerp segmen gris errh ( etor ) seperti AB AC dn AD dengn A diseut segi titi l sedngn titi B C dn D diseut titi hir. Vetor posisi didefinisin segi etor ng memilii titi l O ( untu etor di idng titi O dlh ( )). IV. Opersi opersi pd etor A. Penjumlhn du etor Misln u dn dlh etor etor ng erd di rung ng sm m etor ( u + ) didefinisin segi etor ng titi ln titi l u dn titi hirn titi hir. Contoh.. Perhtin gmr pd contoh... Misln u AB dn BC ji etor didefinisin segi u + m n memilii titi l A dn titi hir C jdi merupn segmen gris errh AC. B. Perlin etor dengn slr Vetor nol didefinisin segi etor ng memilii pnjng. Misln u etor t nol dn dlh slr R. Perlin etor u dengn slr Yulint Sironi Seolh Tinggi Tenologi Telom

Vetor etor di idng dn di rung u didefinisin segi etor ng pnjngn dengn rh : Ji > serh dengn u Ji < erlnn rh dengn u Contoh.. Y u li pnjng u u u X u C. Perhitungn etor Diethui dn etor etor di rung ng omponen omponenn dlh ( ) dn ( ) M + ( + + + ) ( ). ( ) Ji c AB emudin titi oordint A ( ) dn B ( ) m c ( ) IV. Hsil li titi pnjng etor dn jr ntr du etor Hsil li titi du etor ji diethui omponenn Diethui ( ) dn ( ) Hsil li titi ntr etor dn didefinisin segi :. (. )+ (. ) +(. ) Hsil li titi du etor ji diethui pnjng etor dn sudut ntr du etor Diethui dn du uh etor ng memilii pnjng erturut turut dn sedngn sudut ng dientu oleh edu etor dlh φ sudut φ ini terentu dengn cr menggmrn edu etor pd titi l ng sm. Hsil li titi ntr etor dn didefinisin segi :. cos φ φ [ π ] Yulint Sironi Seolh Tinggi Tenologi Telom

Vetor etor di idng dn di rung Jdi hsil li titi du uh etor erup slr. Dengn mengethui esrn φ n diethui ph hsil li titi n ernili positif tu negtif. > φ lncip φ < 9 o. φ 9 o dn sling teg lurus. < φ tumpul 9 o < φ 8 o Contoh.. Diethui ( ) dn ( ) Tentun nili gr dn sling teg lurus! J Agr dn sling teg lurus m hruslh.. + Pnjng ( norm ) etor dn jr ntr du etor Pnjng etor Dengn menggunn opersi hsil li titi ji diethui omponen ( ) didptn h. + + () Dri definisi hsil li titi linn didptn h. cos.() dlm hl ini sudut ntr dn pstilh ernili ren edun sling erhimpit. Dri persmn dn didptn persmn eriut :. (. ) / + + Jr ntr du etor Jr ntr etor dn didefinisin segi pnjng dri etor ( ) dn is dinotsin dengn d ( ). d ( ) (. ) / ( ) + ( ) + ( ) Secr geometris dpt digmrn seperti eriut ini : B C A Misln AC dn AB m jr ntr dn merupn pnjng dri rus gris errh BC Contoh.. Diethui u ( ) dn ( ) Tentun esr sudut ng dientu oleh u dn! Yulint Sironi Seolh Tinggi Tenologi Telom

Vetor etor di idng dn di rung J u. + u + + ( ) 6 + + 6 u. cos θ φ 6 o u 6 Jdi sudut ng dientu ntr u dn dlh 6 o Beerp sift ng erlu dlm hsil li titi..... ( + c ). +. c c. m (. ) (m ).. ( m ) (. ) m IV. Proesi orthogonl Diethui etor dn dlh etor etor pd rung ng sm seperti terliht pd gmr dih ini : Vetor disusun dri du etor ng sling teg lurus itu dn jdi dpt ditulisn + Dri proses pementunn jug diseut segi etor proesi orthogonl terhdp ren merupn hsil proesi secr orthogonl etor terhdp sedngn diseut segi omponen dri ng teg lurus terhdp. Kren merupn hsil proesi di m dpt ditulisn nili ini n menentun rh dn pnjng dri. Ji sudut ntr dn dlh tumpul m tentun nili n negtif ini jug errti rh n erlnn dengn rh. Menghitung Untu menghitung hrus dihitung terleih dhulu nili. Dengn menggunn turn hsil li titi diperoleh :. ( + ). Yulint Sironi Seolh Tinggi Tenologi Telom

6 Vetor etor di idng dn di rung. ( ren dn sling teg lurus m. ) cos θ cos ( sudut ng dientu dlh tu 8 ). Jdi.. Pnjng dri dlh dn Contoh.. Diethui ( ) dn ( ) Tentun. Vetor proesi teg lurus dri terhdp!. Pnjng dri etor proesi terseut! c. Komponen dri ng teg lurus terhdp! J. Misln dlh etor proesi teg lurus dri terhdp m. (. +. +. ) sedngn + + ( ) Jdi ½ ( ) ( ).. Pnjng dlh c. Misln merupn omponen dri ng teg lurus terhdp m ( ) ( ) ( ) 6 IV. Perlin silng etor Seelum memhs e mslh perlin silng dri du uh etor n dijelsn eerp definisi terleih dhulu Vetor stun Vetor stun didefinisin segi etor ng memilii pnjng stu stun. Di idng etor stun ng serh dengn sumu dn dintn segi Yulint Sironi Seolh Tinggi Tenologi Telom

7 Vetor etor di idng dn di rung i ( ) dn j ( ) sedngn pd rung ( R ) etor stun ng serh sumu dn z dlh i ( ) j ( ) dn ( ). Penulisn omponen dri etor jug dpt menggunn etor stun. Misln u ( ) m u jug dpt ditulisn u i + j ( c ) m jug dpt ditulisn i + j+ c Perlin silng ntr du etor di R Diethui u ( u u u ) dn ( ) Perlin silng ntr u dn didefinisin segi : u i u u j u u u i u u j + ( u. u. ) i (u. u. ) j + ( u. u. ) Hsil li silng dri du uh etor n menghsiln sutu etor teg lurus terhdp u dn. Sedngn untu mengethui pnjng dri etor ini n dilun nlis ng leih juh untu mengethuin. Kudrt dri norm u dlh u u ( u. u. ) + (u. u. ) + ( u. u. ) : (u + u + u ) ( + + ) ( u + u + u ) (u. ) u is diseut identits Lgrnge u u Dri identits Lgrnge u u (u. ) u ( u. cos θ ) u ( cos θ) u sin θ tu u u sin θ ( θ sudut ng dientu oleh u dn ) Nili ini merupn lus segi empt ng dientu u dn seperti ditunjun dri gmr eriut : lul θ ll lul sinθ Yulint Sironi Seolh Tinggi Tenologi Telom

8 Vetor etor di idng dn di rung Lus segi empt pnjng ls tinggi u sin θ u sin θ Jdi hsil li silng du etor u dn n menghsiln sutu etor ng teg lurus terhdp u dn sert memilii pnjng sm dengn lus dri segi empt ng dientu oleh etor u dn. Contoh.. Diethui ( ) dn ( ) Hitung lus segi empt ng dientu oleh dn! J Lus segi empt i j ( 6 ) i ( ) j + ( ) i j ( ) Jdi lus segi empt + ( ) + ( ) Contoh.. Diethui segitig ABC dengn titi titi sudut dlh : A ( ) B ( ) dn C ( ) Hitung lus segitig ABC! J Misln segitig ABC ng dimsud erentu seperti dih ini : A C B Segitig ABC terseut dpt dipndng segi ngun ng dientu oleh du etor AC dn AB BA dn BC tu oleh CA dn CB. Misln AB B A ( ) dn AC ( ) m lus segitig ABC merupn ½ li lus segiempt ng dientu oleh etor dn jdi Lus segitig ABC ½. i j ( ) i ( 6 ) j + ( +6 ) i 8 j + Yulint Sironi Seolh Tinggi Tenologi Telom

9 Vetor etor di idng dn di rung ( + ) + ( 8) 96 Jdi lus segitig ABC ½ 96 Pemilihn titi sudut dlm hl ini dlh es sedngn hsil hirn n tetp sm. Beerp sift ng erlu dlm hsil li silng. ( ). ( + c) + c. ( + ) c c + c. ( ) ( ). Yulint Sironi Seolh Tinggi Tenologi Telom

Vetor etor di idng dn di rung Ltihn IV. Diethui u dlh etor ng merupn rus gris dri titi A ( ) e titi B ( ). Tentun etor u terseut dn hitung erp norm dri u!. Hitung jr ntr u dengn ( ). Diethui u ( ) dn ( 7 ) sedngn jr ntr u dn 6 stun Tentun nili!. Tentun nili gr etor u ( ) dn ( ) sling teg lurus!. Tentun nili gr sudut ntr u dn 8 o dengn u ( ++ ) dn ( )!. Diethui u ( ) dn ( ). Tentun etor proesi teg lurus u terhdp!. Tentun omponen u ng teg lurus terhdp! 6. Diethui segitig ABC dengn titi titi sudut A () B ( ) dn C ( ). Hitung lus segitig ABC dengn menggunn A segi titi sudut!. Hitung lus segitig ABC dengn menggunn B segi titi sudut! 7. Diethui ( ) ( ) dn c ( ). Tentun etor etor ng teg lurus terhdp dn c ( erin contoh etor )!. Hitung lus segitig ng titi titi sudutn merupn ujung ujung dri etor posisi dn c! Yulint Sironi Seolh Tinggi Tenologi Telom

Rung Rung etor BAB V Rung Rung Vetor V. Rung n Euclides Pd st pertm li ilmu etor diemngn hn dienl etor etor di R dn R sj tetpi dlm peremngnn ternt didptn permslhn ng leih omples sehingg diemngn etor etor di rung erdimensi tu secr umum merupn etor etor di R n. Secr geometris memng etor etor di R dn seterusn memng elum is digmrn tetpi dsr ng digunn seperti opersi opersi etor msih sm seperti opersi pd etor etor di R dn R. Orng ng pertm li mempeljri etor etor di R n dlh Euclidis sehingg etor etor ng erd di R n dienl segi etor Euclidis sedngn rung etorn diseut rung n Euclidis. Opersi stndr / u pd etor Euclidis Diethui u dn dlh etor etor di rung n Euclidis dengn u ( u u u n ) dn ( n ) Penjumlhn etor u + ( u + u + u n + n ) Perlin titi u. ( u. + u. + + u n. n ) Perlin dengn slr u ( u u... u n ) Pnjng etor / ( u. u ) u + u +... un u + Jr ntr etor d ( u ) (u. u ) u ) + ( u ) +... + ( u n Contoh.. Diethui ( ) dn ( ) Tentun jr ntr dn! J ( ) d ( ) ( ) + ( ) + + 7 ( n ) Yulint Sironi Seolh Tinggi Tenologi Telom