TTG3B3 - Sistem Komunikasi 2 Random Process S1 Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro Universitas Telkom Oleh: Linda Meylani Agus D. Prasetyo
Tujuan Pembelajaran Memahami arti random process Mengetahui sifat dan parameter random process Mengetahui sifat random process pada besaran sistem Komunikasi 2
Outline Definisi Random Process dan Random Variabel Karakteristik Random Process Jenis Stationery Process Mean AutoKorelasi dan Sifatnya Ergodic Process Power Spectral Density dan Sifatnya Gaussian Process dan Noise 3
Definisi Random Process Random process X(t), dapat didefinisikan sebagai suatu kumpulan fungsi waktu dan probabilitas dari suatu event yang berhubungan dengan sample tertentu. Random process merupakan kumpulan dari random variabel. 4
Random Process & Random Variable Random variable, merupakan output dari suatu percobaan random yang di-mapping ke suatu nilai tertentu f(t,y n ) Random variable f(t,y 3 ) t Random process, merupakan output dari suatu percobaan f(t,y 2 ) t random yang di-mapping-kan pada fungsi waktu tertentu. t=t i f(t,y 1 ) t 5
Contoh Kasus Pengukuran kepadatan kendaraan bermotor di Jalan Tol Pasteur setiap jam F(t) dinyatakan sebagai random proceess untuk pengukuran kepadatan kendaraan bermotor f(t,y) menyatakan fungsi sampel untuk pengukuran kepadatan kendaraan bermotor pada jam ke t, pada hari ke y 6
Contoh Kasus Fungsi sampel pengukuran kepadatan kendaraan pada hari senin (dari jam 00.00-24.00) Fungsi sampel pengukuran kepadatan kendaraan pada hari selasa (dari jam 00.00-24.00) Fungsi sampel pengukuran kepadatan kendaraan pada hari minggu (dari jam 00.00-24.00) 7
Karakteristik Random Process Stationary process, berhubungan dengan dengan fenomena fisik yang stabil yang dikembangkan dari sifat steady state, Suatu random process dikatakan stationer, jika nilai dari random process tidak dipengaruhi oleh nilai sebelumnya Nonstationary process berhubungan dengan fenomena yang bersifat tidak stabil. Dikatakan non stationer jika nilai random process pada suatu waktu dipengaruhi oleh nilai sebelumnya 8
Stationary Process Strictly Stationary Suatu random process, dikatakan strictly stationary jika tidak ada satupun dari sifat statistic random process yang dipengaruhi oleh pergeseran waktu Wide Sense Stationary Suatu random process dikatakan WSS, bila sifat statistiknya untuk nilai mean dan fungsi autokorelasi tidak berubah oleh pergeseran waktu. Cyclostationary Suatu random process, dikatakan memiliki sifat cyclostationary jika nilai mean dan fungsi autokorelasinya bersifat berulang (periodic) Ergodic Process Suatu random process dikatakan memiliki sifat ergodik dalam mean jika nilai meannya bisa didekati dari nilai ratarata fungsi waktunya dan dikatakan ergodik dalam autukorelasinya jika nilai autokorelasi random process akan sama dengan nilai ekspektasi dari fungsi waktu autokorelasinya. 9
Mean Mean dari random process X(t) dinyatakan sebagai nilai ekspektasi dari variable random yang didapat pada saat observasi process random pada waktu t, ditunjukkan oleh persamaan berikut ini: Dengan fx(t)(x) adalah probability density function (pdf) dari random process. Untuk strictly stationary maka : 10
Autokorelasi Fungsi Autokorelasi dari random process dapat didefinisikan sebagai nilai ekspektasi dari hasil dua buah variable random, X(t1) dan X(t2) yang didapat pada saat observasi random process pada waktu t1 dan t2. Fungsi autokorelasi dapat dituliskan sebagai berikut: Untuk random process yang bersifat strictly stationary, hanya dipengaruhi oleh selisi waktu antara t1 dan t2, sehingga fungsi autokorelasi dapat dinyatakan dengan: 11
Sifat Fungsi Autokorelasi Nilai mean square value dari random process merupakan nilai dari RX(τ) pada saat τ = 0. Fungsi autokorelasi merupakan fungsi genap Fungsi autokorelasi memiliki nilai maksimum pada saat =0. 12
Contoh Kasus Suatu random process merupakan random variable yang terdistribusi uniform pada interval [-π,π] di mana: Tentukan nilai mean dan autokorelasi dari X(t), 13
Ergodic Process Suatu proses random dikatakan ergodik pada mean bila nilai ekspektasi dari random proses sama dengan nilai rata-rata waktunya, Jika sample function x(t) merupakan stationary process pada interval -T t T. Maka nilai rata-rata waktu x(t) dapat dinyatakan : bila random process x(t) dikatakan ergodik pada mean maka: 14
Ergodic Process Suatu proses random dikatakan ergodik pada fungsi autokorelasi jika nilai fungsi waktu autokorelasinya untuk T menuju tak berhingga merupakan ekspektasi dari dua buah variable random, X(t1) dan X(t2) yang didapat pada saat observasi random process pada waktu t1 dan t2 Fungsi waktu autokorelasi x(t) saat interval -T t T adalah: Jika x(t) dikatakan ergodik pda fungsi autokorelasinya maka: 15
Power Spectral Density (PSD) Power Spectral Density Sx(f) menyatakan kepadatan frekuensi dari daya rata-rata pada suatu random process X(t) yang ditinjau pada frekuensi f. Power Spectral Density Sx(f) dan fungsi autokorelasi Rx(τ) dari suatu stationary process X(t) merupakan pasangan Transformasi Fourier, dimana: 16
Sifat PSD Nilai PSD dari suatu stationary process pada saat f=0 sama dengan luas daerah dari fungsi aotukorelasi. NIlai mean square dari stationary process sama dengan luas total daerah PSD NIlai PSD dari suatu stationary process selalu positif Fungsi PSD merupakan fungsi genap Probability density function merupakan nilai normalisasi dari nilai PSD 17
Tugas s(t) adalah sinyal data digital acak murni dengan bit rate Rb yang direpresentasikan dengan NRZ bipolar ±V volt. Tentukan RSS(τ) fungsi autokorelasi dari sinyal s(t) tersebut dan gambarkan! Tentukan SS(f) Power Spectral Density dari sinyal s(t) tersebut dan gambarkan! Berapakah FNBW (First Null Band Width)! 18
Gaussian Process Suatu variable random Y dikatakan terdistribusi Gaussian jika probability density functionnya: Kasus khusus untuk Gaussian random variable Y yang ternormalisasi dengan mean dan varian, maka: 19
Sifat Gaussian Process Jika Gaussian process X(t) adalah input suatu filter LTI maka output filter adalah random process Y(t) yang juga terdistribusi Gaussian. Suatu set random variable X(t1), X(t2),, X(tn) didapat dari suatu random process X(t) pada waktu t1, t2,, tn. Jika X(t) merupakan Gaussian Process maka set dari random variable ini juga merupakan jointy Gaussian untuk setiap n. Jika Suatu Gaussian process merupakan stationary process maka sifat stationary adalah strictly stationary. Jika random variable X(t1), X(t2), X(tn) didapat dari proses sampling Gaussian process X(t) pada waktu t1, t2,,tn tidak saling berkorelasi, maka random variable ini akan statistically independent. 20
Noise Noise didefinisikan sebagai sinyal yang tidak diinginkan, dan mengganggu proses transmisi dan pemprosesan sinyal pada system komunikasi. Sumber noise bisa berada diluar sistem ataupun dalam system. Thermal noise merupakan proses random yang terdistrbusi Gaussian. Kasus khusus untuk Gaussian random variable Y yang ternormalisasi dengan mean = 0 dan varian =1 maka: 21
Noise Analisa noise pada system komunikasi, didasarkan pada bentuk ideal noise yang disebut dengan white noise. Power spectral density dari white noise adalah: Dimensi dari η adalah Watt/ Hertz. Parameter η dinyatakan dengan: η = kte 22
Sistem Linear Sistem dapat diartikan sebagai suatu benda fisik yang memiliki output sinyal sebagai respon dari sinyal input. Sistem dapat dikarakteristikkan sebagai system linear atau system non linear, system time invariant atau time variant. Suatu system dikatakan linear, jika pada system berlaku sifat superposisi, dimana respon dari system linier jika dieksitasi dengan sejumlah proses secara bersamaan akan menghasilkan output yang sama dengan penjumlahan dari respon system jika dieksitasi secara individual. Dan suatu system dikatakan sebagai system time invariant (tak ubah waktu) jika pergeseran waktu pada proses eksitasi system akan menghasilkan respon system yang sama namun bergeser sesuai dengan pergeseran waktunya. 23
Transmisi Random Proses pada Sistem linear time invariant Hubungan sinyal output dan input pada sistem LTI dinyatakan dengan: Sinyal deterministic Random process 24
Terima kasih dan selamat belajar. 25