ANALISIS REAL (BARISAN DAN DERET) Kus Prihantoso Krisnawan August 30, 0 Yogyakarta
Limit Monoton Pada bagian ini kita akan mencoba menebak bentuk umum dari suatu barisan.
Limit Monoton Pada bagian ini kita akan mencoba menebak bentuk umum dari suatu barisan. Contoh: Misalkan diberikan sebuah barisan (u n ) yang didefinisikan sbb: u 0 = u = u = dan [ ] un+3 U det n+ = n!, n 0. u n+ u n Buktikan bahwa u n Z untuk setiap n.
Limit Monoton Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (u n ) adalah u n+3 = u n+u n+ u n + n! u n
Limit Monoton Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (u n ) adalah u n+3 = u n+u n+ u n + n! u n Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh u 3 = + =
Limit Monoton Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (u n ) adalah u n+3 = u n+u n+ u n + n! u n Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh u 3 = + = u 4 = + = 3
Limit Monoton Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (u n ) adalah u n+3 = u n+u n+ u n + n! u n Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh u 3 = + = u 4 = + = 3 u 5 = 3 + = 4
Limit Monoton Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (u n ) adalah u n+3 = u n+u n+ u n + n! u n Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh u 3 = + = u 4 = + = 3 u 5 = 3 + = 4 u 6 = 4 3 u 7 = 5 3 4 3 u 8 = 6 4 5 3 4 + 3 = 5 3 + 4 3 3 + 5 4 3 4 = 6 4 = 7 5 3
Limit Monoton Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah u n = (n )(n 3)(n 5)
Limit Monoton Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah u n = (n )(n 3)(n 5) Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar.
Limit Monoton Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah u n = (n )(n 3)(n 5) Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar. Untuk n = 3 maka u 3 = 3 =
Limit Monoton Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah u n = (n )(n 3)(n 5) Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar. Untuk n = 3 maka u 3 = 3 = Asumsikan rumus tersebut benar untuk u n+, u n+, dan u n sehingga
Limit Monoton Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah u n = (n )(n 3)(n 5) Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar. Untuk n = 3 maka u 3 = 3 = Asumsikan rumus tersebut benar untuk u n+, u n+, dan u n sehingga u n+3 = u n+u n+ + n! (n + )(n ) n(n ) + n! = u n (n )(n 3)(n 5)
Limit Monoton Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah u n = (n )(n 3)(n 5) Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar. Untuk n = 3 maka u 3 = 3 = Asumsikan rumus tersebut benar untuk u n+, u n+, dan u n sehingga u n+3 = u n+u n+ + n! (n + )(n ) n(n ) + n! = u n (n )(n 3)(n 5) (n + )n! + n! = (n )(n 3)(n 5) = (n + )n! (n )(n 3)(n 5)
Limit Monoton Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah u n = (n )(n 3)(n 5) Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar. Untuk n = 3 maka u 3 = 3 = Asumsikan rumus tersebut benar untuk u n+, u n+, dan u n sehingga u n+3 = u n+u n+ + n! (n + )(n ) n(n ) + n! = u n (n )(n 3)(n 5) (n + )n! + n! = (n )(n 3)(n 5) = (n + )n! (n )(n 3)(n 5) = (n + )n(n ) shg dapat disimpulkan bahwa rumus tersebut benar.
Limit Monoton Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah u n = (n )(n 3)(n 5) Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar. Untuk n = 3 maka u 3 = 3 = Asumsikan rumus tersebut benar untuk u n+, u n+, dan u n sehingga u n+3 = u n+u n+ + n! (n + )(n ) n(n ) + n! = u n (n )(n 3)(n 5) (n + )n! + n! = (n )(n 3)(n 5) = (n + )n! (n )(n 3)(n 5) = (n + )n(n ) shg dapat disimpulkan bahwa rumus tersebut benar. Dan karena n bilangan bulat maka (n + )n(n ) juga bilangan bulat.
Limit Limit Monoton Definisi: i. Sebuah barisan (x n ) dikatakan konvergen menuju L < jika dan hanya jika untuk setiap ɛ > 0 terdapat n ɛ sedemikian hingga x n L < ɛ untuk setiap n > n ɛ.
Limit Limit Monoton Definisi: i. Sebuah barisan (x n ) dikatakan konvergen menuju L < jika dan hanya jika untuk setiap ɛ > 0 terdapat n ɛ sedemikian hingga x n L < ɛ untuk setiap n > n ɛ. ii. Sebuah barisan (x n ) dikatakan menuju takhingga jika untuk setiap ɛ > 0 terdapat n ɛ sedemikian hingga x n > ɛ untuk n > n ɛ.
Limit Limit Monoton Definisi: i. Sebuah barisan (x n ) dikatakan konvergen menuju L < jika dan hanya jika untuk setiap ɛ > 0 terdapat n ɛ sedemikian hingga x n L < ɛ untuk setiap n > n ɛ. ii. Sebuah barisan (x n ) dikatakan menuju takhingga jika untuk setiap ɛ > 0 terdapat n ɛ sedemikian hingga x n > ɛ untuk n > n ɛ. Salah satu metoda untuk menentukan limit adalah the squeezing principle (teorema apit). The squeezing principle i. Jika a n b n c n untuk setiap n dan jika (a n ) dan (c n ) konvergen ke L < maka (b n ) juga konvergen ke L.
Limit Limit Monoton Definisi: i. Sebuah barisan (x n ) dikatakan konvergen menuju L < jika dan hanya jika untuk setiap ɛ > 0 terdapat n ɛ sedemikian hingga x n L < ɛ untuk setiap n > n ɛ. ii. Sebuah barisan (x n ) dikatakan menuju takhingga jika untuk setiap ɛ > 0 terdapat n ɛ sedemikian hingga x n > ɛ untuk n > n ɛ. Salah satu metoda untuk menentukan limit adalah the squeezing principle (teorema apit). The squeezing principle i. Jika a n b n c n untuk setiap n dan jika (a n ) dan (c n ) konvergen ke L < maka (b n ) juga konvergen ke L. ii. Jika a n b n untuk setiap n dan (a n ) menuju takhingga maka (b n ) juga menuju takhingga.
Limit Limit Monoton Contoh: Misalkan (x n ) adalah barisan bilangan real sedemikian sehinga lim (x n+ x n ) = L. n Tunjukkan bahwa barisan (x n ) konvergen ke L.
Limit Limit Monoton Jawab: Berdasarkan hipotesis, didapat bahwa untuk setiap ɛ > 0 terdapat n ɛ sedemikian sehingga jika n n ɛ, berlaku L ɛ < x n+ x n < L + ɛ
Limit Limit Monoton Jawab: Berdasarkan hipotesis, didapat bahwa untuk setiap ɛ > 0 terdapat n ɛ sedemikian sehingga jika n n ɛ, berlaku Sehingga L ɛ < x n+ x n < L + ɛ L ɛ < x n+ x n < L + ɛ (L ɛ) < 4x n+ x n+ < (L + ɛ) k (L ɛ) < k x n+k k x n+k < k (L + ɛ)
Limit Limit Monoton diperoleh ( + + + k )(L ɛ) < k x n+k x n < ( + + + k )(L + ɛ)
Limit Limit Monoton diperoleh ( + + + k )(L ɛ) < k x n+k x n < ( + + + k )(L + ɛ) ( k )(L ɛ) < x n+k k x n < ( )(L + ɛ) k
Limit Limit Monoton diperoleh ( + + + k )(L ɛ) < k x n+k x n < ( + + + k )(L + ɛ) ( k )(L ɛ) < x n+k k x n < ( )(L + ɛ) k pilih k sdm shg k x n < ɛ dan k (L ± ɛ) < ɛ. maka untuk m n + k L 3ɛ < x m < L + 3ɛ.
Limit Limit Monoton Contoh: Tunjukkan bahwa lim n n n =
Limit Limit Monoton Contoh: Tunjukkan bahwa lim n n n = Solusi: Nilai x n = n n > 0 untuk setiap n.
Limit Limit Monoton Contoh: Tunjukkan bahwa lim n n n = Solusi: Nilai x n = n n > 0 untuk setiap n. Perhatikan bahwa dengan menggunakan rumus binomial dapat diperoleh n = ( + x n ) n ( ) ( n n = + x n + ) ( xn n + + n ) x n n + + x n n.
Limit Limit Monoton Contoh: Tunjukkan bahwa lim n n n = Solusi: Nilai x n = n n > 0 untuk setiap n. Perhatikan bahwa dengan menggunakan rumus binomial dapat diperoleh n = ( + x n ) n ( ) ( n n = + x n + ) ( xn n + + n ) x n n + + x n n. Sehingga n > ( n ) x n,
Limit Limit Monoton dengan demikian untuk n. x n < n,
Limit Limit Monoton dengan demikian untuk n. x n < selanjutnya, karena 0 x n < n, n
Limit Limit Monoton dengan demikian untuk n. x n < selanjutnya, karena 0 x n < dan karena barisan ke 0. n, n n konvegen ke 0 maka (x n) konvergen
Limit Limit Monoton Contoh: Misalkan (a n ) adalah barisan bilangan real dengan sifat untuk setiap n terdapat bilangan bulat k dengan n k < n sedemikian sehingga a n = a k. Tunjukkan bahwa lim a n = 0. n
Limit Limit Monoton Contoh: Misalkan (a n ) adalah barisan bilangan real dengan sifat untuk setiap n terdapat bilangan bulat k dengan n k < n sedemikian sehingga a n = a k. Tunjukkan bahwa lim a n = 0. n Bukti: Definisikan barisan (b n ) sbb: b n = max{ a k, n k < n }.
Limit Limit Monoton Contoh: Misalkan (a n ) adalah barisan bilangan real dengan sifat untuk setiap n terdapat bilangan bulat k dengan n k < n sedemikian sehingga a n = a k. Tunjukkan bahwa lim a n = 0. n Bukti: Definisikan barisan (b n ) sbb: b n = max{ a k, n k < n }. Jika kita jabarkan deret ini maka didapatkan b = max{ a } b = max{ a, a 3 } b 3 = max{ a 4, a 5, a 6, a 7 } b n = max{ a n, a n +, a n }
Limit Limit Monoton Selanjutnya karena a n = a k untuk n k < n, maka 0 b n b n,
Limit Limit Monoton Selanjutnya karena a n = a k untuk n k < n, maka 0 b n b n, sehingga 0 b n b n b n b n 3 3 b n
Limit Limit Monoton Selanjutnya karena a n = a k untuk n k < n, maka 0 b n b n, sehingga 0 b n b n b n b n 3 3 b n Dengan lim n b n = 0, maka didapat lim n b n = 0.
Limit Limit Monoton Selanjutnya karena a n = a k untuk n k < n, maka 0 b n b n, sehingga 0 b n b n b n b n 3 3 b n Dengan lim n b n = 0, maka didapat lim n b n = 0. Di lain pihak kita dapatkan a n b n, untuk setiap n, sehingga dengan teorema squeez didapatkan bahwa (a n ) konvergen ke 0.
Monoton Limit Monoton Definisi: (x n ) dikatakan monoton naik jika x n x n+ untuk setiap n, dan monoton turun jika x n x n+ untuk setiap n.
Monoton Limit Monoton Definisi: (x n ) dikatakan monoton naik jika x n x n+ untuk setiap n, dan monoton turun jika x n x n+ untuk setiap n. Definisi: (x n ) dikatakan terbatas jika terdapat M > 0 sedemikian sehingga x n M untuk setiap n.
Monoton Limit Monoton Definisi: (x n ) dikatakan monoton naik jika x n x n+ untuk setiap n, dan monoton turun jika x n x n+ untuk setiap n. Definisi: (x n ) dikatakan terbatas jika terdapat M > 0 sedemikian sehingga x n M untuk setiap n. Teorema Weierstrass: monoton yang terbatas merupakan barisan konvergen.
Monoton Limit Monoton Contoh: Buktikan bahwa barisan (a n ), yang didefinisikan, a n = + + 3 + + n, n adalah barisan konvergen.
Monoton Limit Monoton Contoh: Buktikan bahwa barisan (a n ), yang didefinisikan, a n = + + 3 + + n, n adalah barisan konvergen. Bukti: a n adalah barisan monoton naik karena a n a n+. Kita akan buktikan bahwa barisan ini terbatas.
Monoton Limit Monoton Perhatikan bahwa a n = = + + + + 3 + + n 3 3 3 + + n n n
Monoton Limit Monoton Perhatikan bahwa a n = + + 3 + + n = + 3 + 3 n n 3 + + n = + + 3 n 3 + + n < + + + +.
Monoton Limit Monoton Misalkan b n = b n+ = + b n + + + + maka
Monoton Limit Monoton Misalkan b n = b n+ = + b n + + + + maka Kita tahu bahwa b = <, sehingga jika b n < maka b n+ = + b n < + <.
Monoton Limit Monoton Misalkan b n = b n+ = + b n + + + + maka Kita tahu bahwa b = <, sehingga jika b n < maka b n+ = + b n < + <. Sehingga terbukti secara induktif bahwa b n < untuk setiap n.
Monoton Limit Monoton Misalkan b n = b n+ = + b n + + + + maka Kita tahu bahwa b = <, sehingga jika b n < maka b n+ = + b n < + <. Sehingga terbukti secara induktif bahwa b n < untuk setiap n. dengan demikian a n < b n < untuk setiap n ((an ) terbatas).
Monoton Limit Monoton Misalkan b n = b n+ = + b n + + + + maka Kita tahu bahwa b = <, sehingga jika b n < maka b n+ = + b n < + <. Sehingga terbukti secara induktif bahwa b n < untuk setiap n. dengan demikian a n < b n < untuk setiap n ((an ) terbatas). Karena barisan (a n ) naik dan terbatas maka (a n ) konvergen.
Berjatuhan Berjatuhan (Telescoping Sereies) Contoh Tentkan hasil dari + + + 3 + 3 + 4 + + n + n +
Berjatuhan Berjatuhan (Telescoping Sereies) Contoh Tentkan hasil dari + + + 3 + Jawab: Perhatikan bahwa 3 + 4 + + n + n + k + k + = k + k k + k = k + k
Berjatuhan Berjatuhan (Telescoping Sereies) Contoh Tentkan hasil dari + + + 3 + Jawab: Perhatikan bahwa 3 + 4 + + n + n + k + k + = k + k k + k = k + k Sehingga jumlahan di atas sama dengan ( )+( 3 )+( 4 3)+ +( n + n) = n +
Contoh Berjatuhan Misalkan a 0 =, a = 3, dan a n+ = a n +, dengan n. Tunjukkan bahwa a 0 + + a + + a + + + a n + + a n+ = untuk semua n.
Contoh Berjatuhan Misalkan a 0 =, a = 3, dan a n+ = a n +, dengan n. Tunjukkan bahwa a 0 + + a + + a + + + a n + + a n+ = untuk semua n. Jawab: Perhatikan bahwa a k+ = a k
Contoh Berjatuhan Misalkan a 0 =, a = 3, dan a n+ = a n +, dengan n. Tunjukkan bahwa a 0 + + a + + a + + + a n + + a n+ = untuk semua n. Jawab: Perhatikan bahwa a k+ = a k = (a k + )(a k )
Contoh Berjatuhan Misalkan a 0 =, a = 3, dan a n+ = a n +, dengan n. Tunjukkan bahwa a 0 + + a + + a + + + a n + + a n+ = untuk semua n. Jawab: Perhatikan bahwa sehingga a k+ = a k a k+ = = (a k + )(a k )
Contoh Berjatuhan Misalkan a 0 =, a = 3, dan a n+ = a n +, dengan n. Tunjukkan bahwa a 0 + + a + + a + + + a n + + a n+ = untuk semua n. Jawab: Perhatikan bahwa sehingga untuk k. a k+ = a k = (a k + )(a k ) a k+ = a k a k + ()
Contoh Berjatuhan Persamaan () sama dengan untuk k. a k + = a k a k+
Contoh Berjatuhan Persamaan () sama dengan untuk k. Sehingga a + + + a n + = a k + = a k a k+
Contoh Berjatuhan Persamaan () sama dengan untuk k. Sehingga a k + = a k a k+ a + + + a n + = a a + a a 3 + + a n a n+
Contoh Berjatuhan Persamaan () sama dengan untuk k. Sehingga a k + = a k a k+ a + + + a n + = a a + a a 3 + + a n a n+ = a a n+
Contoh Berjatuhan Persamaan () sama dengan untuk k. Sehingga a k + = a k a k+ a + + + a n + = a a + a a 3 + + a n a n+ = a a n+ = a n+.
Contoh Berjatuhan Dengan demikian a 0 + + + a n + + a n+ = a 0 + + a n+ + a n+
Contoh Berjatuhan Dengan demikian a 0 + + + a n + + a n+ = a 0 + + a n+ + a n+ = a 0 + + = untuk semua n.
Contoh Berjatuhan Tentukan 49 n= n + n
Contoh Berjatuhan Tentukan Jawab: Kita punya n + n = 49 n= n + n ( n+ + ) n
Contoh Berjatuhan Tentukan Jawab: Kita punya n + n = = 49 n= n + n ( n+ + n+ + n ) n
Contoh Berjatuhan Tentukan Jawab: Kita punya n + n = = = 49 n= n + n ( n+ + n+ + n+ n n n+ n ) n
Contoh Berjatuhan Tentukan Jawab: Kita punya n + n = = = 49 n= n + n ( n+ + n+ + n+ n n n+ n ) n n + = n.
Contoh Berjatuhan sehingga 49 n= n + n = 49 n= n + n
Contoh Berjatuhan sehingga 49 n= n + n = = n + n n= + + + 3 + 3 4 + 4 + + 49 + 49 + + 49
Contoh Berjatuhan sehingga 49 n= n + n 49 n + n = n= + + = + 3 + 3 4 + 4 + + 49 + 49 + + 48 + 49 + = + +
Contoh Berjatuhan sehingga 49 n= n + n 49 n + n = n= + + = + 3 + 3 4 + 4 + + 49 + 49 + + 48 + 49 + = + + = + 7 + 5 = 5 + 3.
Berjatuhan Limit Fungsi Tentukan lim x (x + x + x ) x Jawab:
Limit Fungsi Berjatuhan Tentukan lim x (x + x + x ) x Jawab: ( lim x x + x + x ) x x + x + x x = lim x x + x + x + x
Limit Fungsi Berjatuhan Tentukan lim x (x + x + x ) x Jawab: ( lim x x + x + x ) x x + x + x x = lim x x + x + x + x = lim x x + + x + + x 3
Limit Fungsi Berjatuhan Tentukan lim x (x + x + x ) x Jawab: ( lim x x + x + x ) x x + x + x x = lim x x + x + x + x = lim x x + + x + + x 3 =
Example Berjatuhan. Find the gcd of 704 and 4!
Example Berjatuhan. Find the gcd of 704 and 4! Answer:
Example Berjatuhan. Find the gcd of 704 and 4! Answer: 704 = 7 4 + 36
Berjatuhan Example. Find the gcd of 704 and 4! Answer: 704 = 7 4 + 36 4 = 36 + 88
Berjatuhan Example. Find the gcd of 704 and 4! Answer: 704 = 7 4 + 36 4 = 36 + 88 36 = 88 + 48
Berjatuhan Example. Find the gcd of 704 and 4! Answer: 704 = 7 4 + 36 4 = 36 + 88 36 = 88 + 48 88 = 48 + 40
Berjatuhan Example. Find the gcd of 704 and 4! Answer: 704 = 7 4 + 36 4 = 36 + 88 36 = 88 + 48 88 = 48 + 40 48 = 40 + 8
Berjatuhan Example. Find the gcd of 704 and 4! Answer: 704 = 7 4 + 36 4 = 36 + 88 36 = 88 + 48 88 = 48 + 40 48 = 40 + 8 40 = 5 8
Berjatuhan Example. Find the gcd of 704 and 4! Answer: Thus, gcd(704, 4) = 8. 704 = 7 4 + 36 4 = 36 + 88 36 = 88 + 48 88 = 48 + 40 48 = 40 + 8 40 = 5 8
Berjatuhan Example. Find the gcd of 704 and 4! Answer: 704 = 7 4 + 36 4 = 36 + 88 36 = 88 + 48 88 = 48 + 40 48 = 40 + 8 40 = 5 8 Thus, gcd(704, 4) = 8.. Find the gcd of x 3 and x!
Berjatuhan Example. Find the gcd of 704 and 4! Answer: 704 = 7 4 + 36 4 = 36 + 88 36 = 88 + 48 88 = 48 + 40 48 = 40 + 8 40 = 5 8 Thus, gcd(704, 4) = 8.. Find the gcd of x 3 and x! Answer:
Berjatuhan Example. Find the gcd of 704 and 4! Answer: 704 = 7 4 + 36 4 = 36 + 88 36 = 88 + 48 88 = 48 + 40 48 = 40 + 8 40 = 5 8 Thus, gcd(704, 4) = 8.. Find the gcd of x 3 and x! Answer: x 3 = x (x ) + (x )
Berjatuhan Example. Find the gcd of 704 and 4! Answer: 704 = 7 4 + 36 4 = 36 + 88 36 = 88 + 48 88 = 48 + 40 48 = 40 + 8 40 = 5 8 Thus, gcd(704, 4) = 8.. Find the gcd of x 3 and x! Answer: x 3 = x (x ) + (x ) x = (x + ) (x )
Berjatuhan Example. Find the gcd of 704 and 4! Answer: 704 = 7 4 + 36 4 = 36 + 88 36 = 88 + 48 88 = 48 + 40 48 = 40 + 8 40 = 5 8 Thus, gcd(704, 4) = 8.. Find the gcd of x 3 and x! Answer: x 3 = x (x ) + (x ) x = (x + ) (x )