BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Persamaan Schrödinger Persamaan Schrödinger merupakan fungsi gelombang yang digunakan untuk memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari partikel. Suatu persamaan differensial akan menghasilkan pemecahan yang sesuai dengan fisika kuantum.. Persamaan Schrödinger Bebas-waktu Aplikasi persamaan Schrödinger dalam banyak hal akan berkaitan dengan energy potensial, yaitu besaran yang merupakan fungsi posisi dan tidak merupakan fungsi waktu. Perhatian kita tidak tertuju pada keberadaan elektron dari waktu ke waktu, melainkan tertuju pada kemungkinan dia berada dalam selang waktu yang cukup panjang. Jadi jika faktor waktu dapat dipisahkan dari fungsi gelombang, maka hal itu akan menyederhanakan persoalan. Kita tinjau persamaan Schrodinger kasus satu dimensi dan menuliskan persamaan gelombang sebagai berikut + P (x) (.1) Atau + P (x) (.) Inilah persamaan Schrödinger satu dimensi yang bebas-waktu. Untuk tiga dimensi persamaan itu menjadi :,, 0 (.3) Perlu kita sadari bahwa adanyan persamaan Schrödinger bebas-waktu bukanlah berarti bahwa elektron atau partikel yang ingun kita pelajari dengan mengaplikasikan persamaan ini adalah partikel bebas-waktu. Partikel tersebut memiliki kecepatan gerak, dan kecepatan adalah turunan terhadap waktu dan posisi. Oleh karena itu dalam memeberi arti pada penurunan matematis dan persamaan Schrödinger bebas-waktu, dalam hal-hal tertentu kita perlu mempertimbangkan masalah waktu, sesuai dengan logika.
Dengan persamaan Schrödinger bebas-waktu (.1) atau (.) fungsi gelombang yang dilibatkan dalam persamaan ini juga fungsi gelombang bebas-waktu, ψ(x) Dari bentuk gelombang komposit untuk elektron S(x,t) dengan S(x,t) = (.4) kita mengambil bentuk ψ(x) sebagai ψ(x) A(x)e jkx, dengan A(x) adalah selubung paket gelombang, untuk mencari solusi persamaan Schrödinger. Persamaan Schrödinger adalah persamaan gelombang dan yang kita maksudkan adalah gelombang sebagai representasi elektron atau partikel. Mencari solusi persamaan Schrödinger adalah untuk memperoleh fungsi gelombang yang selanjutnya digunakan untuk melihat bagaimana perilaku atau keadaan elektron. Hubungan antara momentum p dan energi E dengan besaran-besaran gelombang (k,ω,f,λ) adalah p = λ λ (.5).3 Fungsi Gelombang Persamaan Schrödinger adalah persamaan diferensial parsial dengan adalah fungsi gelombang, dengan pengertian bahwa Adalah probabilitas keberadaan elektron pada waktu tertentu dengan volume dx, dy, dz di sekitar titik (x,y,z), * adalah konjugat dari. Jadi persamaan Schrödinger tidak menentukan posisi elektron melainkan memberikan probabilitas bahwa ia akan ditemukan di sekitar posisi tertentu. Kita juga tidak mengatakan secara pasti bagaimana elektron bergerak sebagai fungsi waktu karena posisi dan momentum elektron dibatasi oleh prinsip ketidakpastian Heisenberg.
Dalam kasus satu dimensi dengan bentuk gelombang. / (.6) Dan / (.7) Maka / (.8) Apa yang berada dalam tanda kurung pada (.9) adalah selubung paket gelombang yang merupakan fungsi x sedangkan A 0 memiliki nilai konstan. Jadi selubung paket gelombang itulah yang menentukan probabilitas keberadaan partikel. Persyaratan Fungsi Gelombang, Fungsi gelombang (x) hasil solusi persamaan Schrödinger mempunyai arti fisis. Syarat-syarat tersebut adalah sebagai berikut. Elektron sebagai suatu yang nyata harus ada di suatu tempat. Oleh karena itu fungsi gelombang (untuk satu dimensi) harus memenuhi 1 Fungsi gelombang (x), harus kontinyu sebab jika terjadi ketidak-kontinyuan hal itu dapat ditafsirkan sebagai rusaknya elektron, suatu hal yang tidak dapat diterima. Turunan fungsi gelombang terhadap posisi, d / dx, juga harus kontinyu. Kita telah melihat bahwa turunan fungsi gelombang terhadap posisi terkait dengan momentum elektron sebagai gelombang. Oleh karena itu persyaratan ini dapat diartikan sebagai persyaratan kekontinyuan momentum. Fungsi gelombang harus bernilai tunggal dan terbatas sebab jika tidak akan berarti ada lebih dari satu kemungkinan keberadaan elektron. Fungsi gelombang tidak boleh sama dengan nol disemua posisi sebab kemungkinan elektron haruslah nyata, betapapun kecilnya.(kamal Singh,006)
.4 Probabilitas dan Normalisasi Fungsi gelombang ψ(x) menyatakan suatu gelombang yang memiliki panjang gelombang dan bergerak dengan kecepatan fase yang jelas. Masalah yang muncul ketika hendak menafsirkan amplitudonya. Apakah yang dinyatakan oleh amplitudo ψ(x) dan variabel fisika apakah yang bergetar? Ini merupakan suatu jenis gelombang yang berbeda, yang nilai mutlaknya memberikan probabilitas untuk menemukan partikelnya pada suatu titik tertentu. Dimana ψ(x) dx memberikan probabilitas untuk menemukan partikel dalam selang dx di x. Rapat probabilitas P(x) terhadap ψ(x) menurut persamaan Schrödinger sebagai berikut: P(x)dx= ψ(x) dx (.9) Tafsiran ψ(x) ini membantu memahami persyaratan kontinu ψ(x), walaupun amplitudonya berubah secara tidak jelas dan kontinu. Probabilitas untuk menemukan partikel antara x 1 dan x adalah jumlah semua probabilitas P(x)dx dalam selang antara x 1 dan x adalah sebagai berikut: x x P( x) dx = ψ ( x) x1 x1 dx (.10) Dari aturan ini, maka probabilitas untuk menemukan partikel disuatu titik sepanjang sumbu x, adalah 100 persen, sehingga berlaku: + ψ ( x) dx = 1 (.11) Persamaan (.1) dikenal dengan syarat Normalisasi, yang menunjukkkan bagaimana mendapatkan tetapan A. Dimana tetapan A tidak dapat ditentukan dari persamaan Differensialnya. Sebuah fungsi gelombang yang tetapan pengalinya ditentukan dari persamaan (.1) disebut ternormalisasikan. Hanyalah fungsi gelombang yang ternomalisasi secara tepat, yang dapat digunakan untuk melakukan semua perhitungan yang mempunyai makna fisika. Jika normalisasinya telah dilakukan secara tepat, maka persamaan (.1) akan selalu menghasilkan suatu probabilitas yang terletak antara 0 dan 1. Setiap pemecahan persamaan Schrödinger yang menghasilkan ψ(x) bernilai tak hingga, harus dikesampingkan. Karena tidak pernah terdapat probabilitas tak hingga untuk menemukan partikel pada titik manapun. Maka harus
mengesampingkan suatuu pemecahan dengan mengembalikan faktor pengalinya sama dengann nol. Sebagai contoh, jika pemecahan matematika bagi persamaan differensial menghasilkan ψ(x) = A + B bagi seluruh daerah x > 0, maka syaratnya A = 0 agar pemecahannnya mempunyai makna fisika. Jika tidak ψ(x) ) akan menjadi tak hingga untuk x menuju tak hingga ( Tetapi jika pemecahannya dibatasi dalam selang 0 < x < L, maka A tidak boleh samaa dengan nol). Tetapi jika pemecahannya berlaku pada seluruh daerah negatif sumbu x < 0, makaa B = 0. Kedudukan suatuu partikel tidak dapat dipastikan,dalam hal ini tidak dapat menjamin kepastian hasil suatu kali pengukuran suatu besaran fisika yang bergantung pada kedudukannnya. Namun jika menghitung probabilitas yang berkaitan dengan setiap kooordinat, maka ditemukan hasil yang mungkin dari pengukuran satu kali atau rata-rata hasil dari sejumlah besar pengukuran berkali-kali (Eisberg,1970)..5 Penerapan Persamaan Schrödinger Persamaan Schrödinger dapat diterapkan dalam berbagai persoalan fisika. Dimana pemecahan persamaan Schrödinger, yang disebut fungsi gelombang, memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari partikel..5.1. Pada partikel Bebas Yang dimaksudd dengan Partikel Bebas adalah sebuah partikel yang bergerak tanpa dipengaruhi gaya apapun dalam suatu bagian ruang, yaitu, F = - dv(x) / dx = 0 sehingga menempuh lintasan lurus dengan kelajuan konstan. Sehingga energi potensilnya nol. Partikel bebas dalam mekanika klasik bergerak dengan momentum konstan P, yang mengakibatkan energi totalnya jadi konstan. Tetapi partikel bebas dalam mekanika kuantum dapat dipecahkan dengan persamaan Schrödinger tidak bergantung waktu. Persamaan Schrodinger padaa partikel bebas dapat diperoleh dari persamaan (.13) berikut: h ψ ( x) + Vψ ( x) = Eψ (x) m (.1)
Untuk partikel bebas V = 0, maka persamaannya menjadi ψ ( x) h = Eψ ( x) (.13) m atau ψ ( x) m = h Eψ (x) (.14) Atau: ψ ( x) me + ψ ( x) = 0 h (.15) Karena: me k = atau h h k E = (.16) m Dengan demikian diperoleh: ψ ( x) = k ψ ( x) ψ ( x) + k ψ ( x) = 0 (.17) (.18) Persamaan (.19) adalah bentuk umum dari persamaan differensial biasa berorde dua, dengan k adalah positif, dimana ψ(x) merupakan kuantitas kompleks yang memiliki bagian real (nyata) dan bagian imajiner,maka : ψ ( x) + k ψ ( x) = 0 (.19) Maka didapatkan ψ(x)=asinkx+ B cos kx (.0) Pemecahan ini tidak memberikan batasan pada k, maka partikel yang diperkenankan memiliki semua nilai (dalam istilah kuantum, bahwa energinya tidak terkuantisasi). Sedangkan penentuan nilai A dan B mengalami beberapa kesulitan,
karena integral normalisasi tidak dapat dihitung dari - hingga +, bagi fungsi gelombang itu. (Krane, 199)..5.. Partikel dalam sumur potensial Sumur Potensial adalah daerah yang tidak mendapat pengaruh potensial. Hal ini berarti bahwa partikel selama berada dalam sumur potensial, merupakan electron bebas. Kita katakan bahwa electron terjebak di sumur potensial, dan kita anggap bahwa dinding potensial sangat tinggi menuju, atau kita katakan sumur potensial sangat dalam. Dalam gambar (.1) berikut kita akan menggambarkan sumur potensial. Daerah I dan daerah III adalah daerah-daerah dengan V=, Sedangkan di daerah II, yaitu antara 0 dan L, V=. Kita katakan bahwa lebar sumur potensial ini adalah L. V(x) = 0, 0 x L V(x) =, x < 0, x > L, I II III E p = E p = 0 E p = Ψ 1 Ψ Ψ 3 Gambar.1 Partikel dalam sumur potensial daerah II Pada sumur potensial yang dalam, daerah I dan III adalah daerah dimana kemungkinan berada elektron bisa dianggap nol, Ψ 1 (x) = 0 dan Ψ (x) = 0. Sedangkan pada daerah dua Kita dapat memberi spesifikasi pada gerak partikel dengan mengatakan bahwa gerak itu terbatas pada gerak sepanjang sumbu-x antara x = 0 dan x = L disebabkan oleh dinding keras tak berhingga. Sebuah partikel tidak akan kehilangan Energinya jika bertumbukan dengan dinding, energi totalnya tetap konstan. Dari per nyataan tersebut maka energi potensial V dari partikel itu menjadi tak hingga di kedua sisi sumur, sedangkan V konstan di dalam sumur, dapat dikatakan V = 0 seperti yang terlihat pada gambar (.1) di atas. Karena partikel tidak bisa memiliki Energi tak hingga, maka partikel tidak mungkin ditemukan di luar sumur, sehingga fungsi gelombang ψ = 0 untuk 0 x L. Maka yang perlu dicari adalah
nilai ψ di dalam sumur, yaitu antara x = 0 dan x = L. Persamaan Schrodinger bebas waktu adalah : (.1) Dengan Dimana (.) (.3) Sesuai dengan persamaan gelombang maka : ψ(x)=asinkx+b coskx (.4) Pemecahan ini belum lengkap, karena belum ditentukan nilai A dan B, juga belum menghitung nilai energi E yang diperkenankan. Untuk menghitungnya, akan diterapkan persyaratan bahwa ψ(x) harus kontinu pada setiap batas dua bagian ruang. Dalam hal ini, akan dibuat syarat bahwa pemecahan untuk x < 0 dan x > 0 bernilai sama di x = 0. Begitu pula pemecahan untuk x > L dan x < L haruslah bernilai sama di x = L. Jika x = 0, Untuk x < 0 Jadi harus mengambil ψ(x) = 0 pada x = 0. ψ(0) =Asin 0 + B cos 0 ψ(0) = 0 + B.1 = 0 (.5) Jadi,didapat B = 0. Karena ψ =0 untuk x > L, maka haruslah berlaku ψ(l) = 0, Ψ(L) = AsinkL + Bcos kl = 0 (.6) Karena telah didapatkan bahwa B = 0,maka haruslah berlaku: AsinkL = 0 (.7)
Disini ada dua pemecahan yaitu A = 0, yang memberikan ψ(x) = 0 dan ψ (x) = 0, yang berarti bahwa dalam sumur tidak terdapat partikel (Pemecahan tidak masuk akal) atau sin kl = 0, maka yang benar jika: kl = π,π,3π, n=1,,3. (.8) Dengan: (.9) Dari persamaan (.8) dan persamaaan (.9) diperoleh bahwa energi partikel mempunyai harga tertentu yaitu harga eigen. Harga eigen ini membentuk tingkat energisitas yaitu: E n n π h = ml Dimana energy yang kita tinjau disini berbeda dengan energy Born dimana pada energy Born menyatakan energy tingkat atomic sedangkan tingkat energy pada persamaan Schrodinger menyatakan tingkat energy untuk electron. Fungsi gelombang sebuah partikel didalam sumur yang berenergi E n ialah: ψ n = Asin me h n x (.31) Untuk memudahkan E 1 =ħ π /ml, yang mana tampak bahwa unit energi ini ditentukan oleh massa partikel dan lebar sumur. Maka E = n E 1 dan demikian partikelnya hanya dapat ditemukan dengan energi E 1, 4 E 1, 9 E 1, 16 E 1 dan seterusnya. Karena dalam kasus ini energi yang diperoleh hanya pada laju tertentu yang diperkenankan dimiliki partikel. Ini sangat berbeda dengan kasus klasik, misalnya manik-manik (yang meluncur tanpa gesekan sepanjang kawat dan menumbuk kedua dinding secara secara elastik) dapat diberi sembarang kecepatan awal dan akan bergerak selamanya, bolak-balik, dengan laju tersebut.
... Dalam kasus kuantum, hal ini tidaklah mungkin, karena hanya laju awal tertentu yang dapat memberikan keadaan gerak tetap, keadaan gerak khusus ini disebut keadaan stasioner (Disebut keadaan stasioner karena ketergantungan pada waktu yang dilibatkan untuk membuat ψ ( x, t), ψ ( x, t) tidak bergantung waktu). Hasil pengukuran energi sebuah partikel dalam sebuah sumur potensial harus berada pada salah satu keadaan stasioner, hasil yang lain tidaklah mungkin. Pemecahan bagi ψ (x) belum lengkap, karena belum ditentukan tetapan A. Untuk menentukannya, ditinjau kembali persyaratan normalisasi, yaitu ψ ( x) dx = 1. Karena ψ(x)=0, kecuali untuk 0 x Lsehingga berlaku: +. 1 (.3) Maka diperoleh A = gelombang untuk 0 x L adalah: / L. Dengan demikian, Pemecahan lengkap bagi fungsi ψ n nπx = sin n=1,,3, (.33) L L Dalam gambar. dan.3 akan dilukiskan berbagai tingkat energi, fungsi gelombang dan rapat probabilitas ψ yang mugkin untuk beberapa keadaan terendah. Keadaan energi terendah, yaitu pada n =1, dikenal sebagai keadaan dasar dan keadaan dengan energi yang lebih tinggi (n > 1) dikenal sebagai keadaan eksitasi.
Gambar. Tingkat energi dalam sumur secara konstan ( Kamal Sing,005) Gambar.3 Probabilitas keberadaan electron dalam sumur potensial Kita lihat di sini bahwa energi elektron mempunyai nilai-nilai tertentu yang diskrit, yang ditentukan oleh bilangan bulat n. Nilai diskrit ini terjadi karena pembatasan yang harus dialami oleh ψ, yaitu bahwa ia harus berada dalam sumur potensial. Ia harus bernilai nol di batas-batas dinding potensial dan hal itu akan terjadi bila lebar sumur potensial L sama dengan bilangan bulat kali setengah panjang gelombang. Jika tingkat energi untuk n = 1 kita sebut tingkat energi yang pertama, maka tingkat energi yang kedua pada n =, tingkat energi yang ketiga pada n = 3 dan seterusnya.jika kita kaitkan dengan bentuk gelombangnya, dapat kita katakan bahwa tingkat-tingkat energi tersebut sesuai dengan jumlah titik simpul gelombang. Dengan
demikian maka diskritisasi energi elektron terjadi secara wajar melalui Pemecahan persamaan Schödinger. Persamaan (.30) memperlihatkan bahwa selisih energy antara satu tingkat dengan tingkat berikutnya, misalnya antara n=1 dan n =, berbanding terbalik dengan kuadrat lebar sumur potensial. Makin lebar sumur ini, makin kecil selisih energy tersebut, artinya tingkat-tingkat energy semakin rapat. Untuk L sama dengan satu satuan misalnya, selisih energy untuk n= dan n=1 adalah E - E 1 = 3ћ / 8m dan jika L 10 kali lebih lebar maka selisih ini menjadi E E 1 = 0.03ћ /8m. (a) (b) Gambar.4. Pengaruh lebar sumur terhadap energy Jadi makin besar L maka perbedaan nilai tingkat-tingkat energy akan semakin kecil dan untuk L semakin lebar maka tingkat-tingkat energy tersebut akan semakin rapat sehingga mendekati kontinyu.( Neuredine Zettili, 009)
.6 Pemrograman dengan Mathematica 7 Mathematica merupakan perangkat lunak yang diproduksi dan dikembangkan oleh Wolfram Research, Inc. Pendiri dan presiden perusahaan tersebut adalah Stephen Wolfram, P.hD. Beliau adalah fisikawan di bidang fisika teoritis dan berkebangsaan Inggris. Mathematica dapat digunakan untuk aplikasi matematika, ilmu pengetahuan, teknologi, bisnis dan aplikasi lainnya. Pada Penelitian ini, program lebih banyak dibuat dengan menggunakan perintah-perintah berikut ini 1. Graphics: perintah untuk menampilkan grafik dua dimensi berdasarkan data yang diberikan. Sintaks umumnya: Graphics[primitives,options].. Manipulate: perintah untuk memanipulasi secara interaktif ekspresi-ekspresi program, grafik dan objek lainnya. Sintaks umumnya: Manipulate[expr,{u,u min,u max }]. 3. Module: perintah untuk membuat variabel lokal dengan nama tertentu yang dapat dipanggil. Sintaks umumnya: Module[{x,y, },expr]. 4. If: perintah untuk memberikan suatu ekspresi tertentu jika kondisi benar dan ekspresi lainnya jika kondisi salah. Sintaks umumnya: If[condition,t,f]. 5. ListLinePlot: perintah untuk memplot grafik linier dua dimensi berdasarkan pasangan data yang telah ditentukan. Sintaks umumnya: ListLinePlot[{{x 1,y 1 },{x,y }, }]. Untuk informasi yang lebih mendetail tentang Mathematica dapat melihatnya di situs resmi Wolfram (www.wolfram.com).