BAB II KAJIAN TEORI A. Kemampuan Penalaran Matematis Menurut Majid (2014) penalaran adalah proses berpikir yang logis dan sistematis atas fakta-fakta yang empiris yang dapat diobservasi untuk memperoleh simpulan berupa pengetahuan. Suriasumantri (1996) menjelaskan bahwa penalaran merupakan suatu proses berpikir dalam menarik kesimpulan yang berupa pengetahuan, artinya dalam proses bernalar akan menghasilkan suatu penarikan kesimpulan baru yang dianggap shahih (valid). Dengan kata lain kegiatan penalaran terfokus pada upaya merumuskan kesimpulan berdasarkan beberapa pernyataan yang dianggap benar. Penalaran merupakan suatu aktivitas berpikir, berpikir adalah suatu kegiatan akal manusia untuk menemukan pengetahuan yang benar. Menurut Ihsan (2010) penalaran sebagai suatu proses berpikir didasarkan pada dua hal utama, yaitu logis dan analitis. Berpikir logis adalah suatu kegiatan berpikir menurut suatu pola tertentu atau logika tertentu. Kegiatan berpikir dikatakan logis bila ditinjau dari logika tertentu dan tidak logis bila ditinjau dari logika yang lain. Ciri kedua dari penalaran adalah analitis, analitis adalah kegiatan berpikir yang mendasarkan diri pada suatu analisis. Kerangka berpikir yang dipergunakan untuk analisis adalah logika penalaran yang bersangkutan. Dalam kemampuan 6
7 penalaran tidak hanya dibutuhkan bagi siswa ketika mereka belajar matematika maupun mata pelajaran lainnya, namun sangat dibutuhkan dalam kehidupan sehari-hari yaitu dalam mengambil suatu keputusan. Shadiq (2009) menjelaskan penalaran merupakan suatu proses atau suatu aktivitas berpikir untuk menarik suatu kesimpulan dalam rangka membuat suatu pernyataan baru yang benar berdasar pada beberapa pernyataan yang kebenarannya telah dibuktikan atau diasumsikan sebelumnya. Secara lebih lanjut, dapat didefinisikan bahwa penalaran merupakan suatu kegiatan, suatu proses atau suatu aktivitas berfikir untuk menarik kesimpulan atau membuat suatu pernyataan baru yang benar berdasar pada beberapa pernyataan yang kebenarannya telah dibuktikan atau diasumsikan sebelumnya Ada dua tipe penalaran yang digunakan dalam menarik sebuah kesimpulan, yaitu : 1. Penalaran Induktif Menurut Nahrowi (2006) penalaran induktif merupakan kemampuan seseorang dalam menarik kesimpulan yang bersifat khusus. Sedangkan menurut shadiq (2009) penalaran induktif adalah suatu proses atau suatu aktivitas berpikir untuk menarik suatu kesimpulan atau membuat suatu pernyataan baru yang bersifat umum (general) berdasar pada beberapa pernyataan khusus yang diketahui benar. Jadi dapat disimpulkan bahwa penalaran induktif adalah proses 7
8 penarikan kesimpulan dari kasus yang bersifat khusus menjadi kesimpulan yang bersifat umum. Beberapa kegiatan yang tergolong pada penalaran induktif adalah sebagai berikut: a. Transduktif Transduktif adalah menarik kesimpulan dari satu kasus atau sifat khusus yang satu diterapkan pada kasus khusus lainnya. Penalaran bentuk ini merupakan bentuk penalaran induktif yang paling sederhana. Transduktif dalam matematika dapat diartikan sebagai penarikan kesimpulan matematis dari suatu kasus matematika yang diterapkan pada kasus matematika lain. Dalam pola berpikir transduktif, rawan sekali terjadi kesalahan dalam penarikan kesimpulan, karena ini merupakan pola berpikir yang paling rendah tingkatannya. b. Generalisasi Keraf (2007) menyatakan bahwa generalisasi adalah suatu proses penalaran yang bertolak dari sejumlah fenomena individual untuk menurunkan suatu inferensi yang bersifat umum yang mencakup semua fenomena tadi. Artinya bahwa siswa akan mampu mengadakan generalisasi, yaitu menangkap ciri-ciri atau sifat umum yang terdapat dari sejumlah hal-hal khusus, apabila siswa telah memiliki konsep, kaidah, prinsip 8
9 (kemahiran intelektual) dan siasat-siasat memecahkan masalah tersebut. c. Analogi Menurut Ahmadi dan Supriyono (2004) kesimpulan analogis adalah kesimpulan yang ditarik dengan cara membandingkan situasi yang satu dengan situasi yang lain. Kemudian menurut Keraf (2007) analogi adalah suatu proses penalaran yang bertolak dari dua peristiwa khusus yang mirip satu sama lain, kemudian menyimpulkan bahwa apa yang berlaku untuk suatu hal akan berlaku pula untuk hal yang lain. Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa analogi dalam matematika adalah membandingkan dua hal matematis yang berlainan namun memiliki karakteristik matematis yang sama. Dalam analogi yang dicari adalah keserupaan dari dua hal yang berbeda, dan menarik kesimpulan atas dasar keserupaan itu. d. Hubungan kausal. Penalaran hubungan kausal (sebab akibat) adalah keadaan atau kejadian yang satu menimbulkan atau menjadikan keadaan atau kejadian yang lain. Hubungan antara sebab dan akibat tersebut bukan hubungan urutan biasa atau hubungan yang kebetulan. Hubungan sebab akibat merupakan suatu hubungan intrinsik, azasi, hubungan yang begitu rupa, sehingga 9
10 jika salah satu (sebab) ada/ tidak ada, maka yang lain (akibat) juga pasti ada/ tidak ada. Agar hubungan antara sebab dan akibat menjadi jelas, dalam logika sebab dipandang sebagai suatu syarat atau kondisi yang merupakan dasar adanya atau terjadinya sesuatu yang lain, yaitu akibat. Sama halnya pada matematika. 2. Penalaran Deduktif Menurut Nahrowi (2006) penalaran deduktif merupakan penalaran yang berlangsung dari hal yang umum ke hal yang khusus. Sedangkan menurut Shadiq (2009) penalaran deduktif, yaitu kebenaran suatu konsep atau pernyataan diperoleh sebagai akibat logis dari kebenaran sebelumnya. Jadi dapat disimpulkan bahwa penalaran deduktif adalah proses penarikan kesimpulan dari kasus yang bersifat umum menjadi kesimpulan yang bersifat khusus. Penarikan kesimpulan secara wacana atau argumentasi yang memenuhi syarat-syarat logis (Wiramihardja, 2009). Dalam hal ini penalaran deduktif memberlakukan prinsip-prinsip matematika umum untuk mencapai kesimpulan yang spesifik. Penarikkan kesimpulan secara deduktif biasanya mempergunakan pola berpikir yang dinamakan silogisme. Silogisme adalah suatu upaya untuk menghubungkan atau menggabungkan atau menyintesiskan suatu pendapat (yang lebih umum, mayor) dengan pendapat lainnya (yang lebih khusus, minor) 10
11 secara teratur dan tersusun bertingkat sehingga terbangun suatu wacana atau argumentasi yang memenuhi syarat-syarat logis (Wiramihardja, 2009). Silogisme yang standar tersusun atas dua buah pernyataan dan sebuah kesimpulan. Pernyataan yang mendukung silogisme ini disebut sebagai premis yang kemudian dibedakan menjadi premis mayor dan premis minor. Premis mayor adalah premis yang mengandung term predikat sedangkan premis minor adalah premis yang mengandung term subjek. Berdasarkan kedua uraian di atas mengenai kemampuan penalaran induktif dan kemampuan penalaran deduktif, maka diperoleh beberapa indikator kemampuan penalaran matematis, yaitu sebagai berikut : a. Indikator penalaran induktif i. Mampu menggunakan pola untuk menganalisis situasi matematika. ii. Mampu melakukan analogi ataupun generalisasi matematika. iii. Mampu menganalisis soal cerita ke dalam bentuk matematika (grafik). 11
12 b. Indikator penalaran deduktif i. Mampu memperkirakan jawaban dan proses solusi ii. Mampu menentukan pola untuk menyelesaikan masalah matematika iii. Mampu menarik kesimpulan logis. Berdasarkan uraian di atas mengenai kemampuan penalaran induktif dan kemampuan penalaran deduktif, maka diperoleh beberapa indikator kemampuan penalaran matematis, yaitu sebagai berikut: 1) Mengajukan Dugaan. 2) Melakukan manipulasi matematika. 3) Menarik kesimpulan, menyusun bukti, memberikan alasan atau bukti terhadap kebenaran solusi. 4) Menarik kesimpulan dari pernyataan. 5) Memeriksa kesahihan suatu argumen. 6) Menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk membuat generalisasi. B. Materi Perbandingan Kompetensi Inti (KI) KI. 1. Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya. KI. 2. Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (toleransi, gotong royong), santun, 12
13 percaya diri, dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam dalam jangkauan pergaulan dan keberadannya. KI. 3. Memahami pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata. KI. 4. Mencoba, mengolah, dan menyaji dalam ranah konkret (menggunakan, mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak (menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari disekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori. Kompetensi Dasar (KD) KD. 1.1 Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya. KD. 2.1 Menunjukkan sikap logis, kritis, analitik, konsisten dan teliti, bertanggung jawab, responsif, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah. 2.2 Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri, dan ketertarikan pada matematika serta memili rasa percaya pada daya dan kegunaan matematika, yang terbentuk melalui pengalaman belajar. 13
14 2.3 Memiliki sikap terbuka, santun, objektif, menghargai pendapat dan karya teman dalam interaksi kelompok maupun aktivitas sehari-hari. KD. 3.4 Memahami konsep perbandingan dan menggunakan bahasa perbandingan dalam mendeskripsikan hubungan dua besaran atau lebih. KD. 4.4 Menggunakan konsep perbandingan untuk menyelesaikan masalah nyata dengan menggunakan tabel dan grafik. Materi Pembelajaran: 3.4.4 Menentukan perbandingan dua besaran dengan satuan yang berbeda 4.4.1 Menyelesaikan masalah nyata menggunakan konsep perbandingan 4.4.2 Menjelaskan proporsi sebagai suatu pernyataan dari perbandingan yang ekuivalen 4.4.3 Menyelesaikan masalah proporsi menggunakan tabel dan grafik 14