Bab III Model Matematika Transmisi Filariasis Tanpa Pengobatan

Bab III Model Matematika Transmisi Filariasis Tanpa Pengobatan Situasi filariasis dalam kehidupan nyata telah dijelaskan di Bab I dan II Selanjunya, penyederhanaan masalah untuk memudahkan pembentukan model akan diuraikan pada asumsi berikut : 1 Populasi yang virgin terhadap penyakit filariasis Suatu populasi dikatakan virgin terhadap penyakit filariasis jika anggota dari populasi tersebut belum pernah terkena penyakit filariasis sebelumnya 2 Jarak terbang nyamuk 100-200 meter oleh karena itu penyebaran penyakit diamati pada komunitas tertutup dan berskala kecil Lingkungan yang dimodelkan adalah kelurahan 3 Satu jenis cacing Wuchereria bancrofti 4 Satu jenis vektor Culex quinquefasciatus 5 Hospes reservoir diabaikan 6 Faktor lingkungan diabaikan 7 Populasi total manusia konstan Artinya jumlah penduduk dalam populasi berada dalam keadaan stabil dimana laju kelahiran dan kematian bernilai sama 8 Populasi total nyamuk konstan Artinya jumlah nyamuk dalam populasi berada dalam keadaan stabil dimana laju kelahiran dan kematian bernilai sama 9 Setiap manusia dan nyamuk yang lahir sehat

8 10 Kontak didefinisikan sebagai interksi antara nyamuk dan manusia Setelah proses transmisi berlangsung, populasi manusia dibagi menjadi tiga subpopulasi, pertama, populasi manusia sehat yang rentan terhadap filariasis (S h ), populasi manusia pembawa penyakit (A) yang merupakan populasi manusia terinfeksi filaria tanpa gejala klinis dan dapat menularkan penyakit, populasi manusia cacat kronis (K) dimana populasi manusia yang telah sembuh dari infeksi filaria tetapi organ tubuhnya tidak dapat berfungsi normal karena cacat Semua subpopulasi manusia digabung menjadi populasi total manusia yang didefinisikan dengan ( ) Pada nyamuk yang merupakan vektor pembawa filaria dibagi menjadi dua subpopulasi, pertama, populasi nyamuk sehat yang rentan terinfeksi filaria (S v ), kedua, populasi nyamuk terinfeksi (I v ) Diketahui bahwa umur nyamuk sangat pendek, oleh karena itu nyamuk terinfeksi filaria akan mati sebelum sembuh Dengan demikian subpopulasi nyamuk sembuh tidak ada Semua subpopulasi nyamuk digabung menjadi populasi total nyamuk yang didefinisikan dengan (N v ) Faktor-faktor yang mempengaruhi pembentukan model adalah : 1 Rata-rata pertambahan manusia per satuan waktu (R h ) 2 Rata-rata kematian alami manusia per satuan waktu (µ h ) 3 Rata-rata keberhasilan transmisi filaria dari nyamuk terinfeksi ke manusia sehat (p h ) 4 Rata-rata gigitan pada manusia yang disebabkan satu ekor nyamuk per satuan waktu (b) 5 Laju munculnya gejala klinis per satuan waktu (δ) 6 Rata-rata pertambahan nyamuk per satuan waktu (R v )

9 7 Rata-rata kematian alami nyamuk per satuan waktu (µ v ) 8 Rata-rata keberhasilan transmisi filaria dari manusia terinfeksi ke nyamuk yang belum terinfeksi (p v ) III1 Populasi Manusia Sehat (S h ) Selama selang waktu t, perubahan jumlah populasi manusia sehat (S h ) dipengaruhi oleh : 1 Rata-rata pertambahan manusia per satuan waktu, yaitu R h 2 Banyaknya kematian alami pada (S h ) per satuan waktu µ h S h, yang merupakan perkalian antara rata-rata kematian alami manusia per satuan waktu dengan banyaknya populasi manusia sehat S h 3 Perpindahan populasi S h menjadi populasi A, yang mempunyai konstruksi sebagai berikut : i Peluang terambilnya satu orang dari populasi S h secara acak S h ii Rata-rata satu orang yang berasal dari populasi S h tergigit oleh satu ekor nyamuk terinfeksi per satuan waktu b S h iii Rata-rata satu orang yang berasal dari populasi S h terinfeksi filaria akibat dari gigitan satu ekor nyamuk terinfeksi per satuan waktu p h b S h iv Rata-rata satu orang orang yang berasal dari S h terinfeksi filaria akibat tergigit oleh nyamuk terinfeksi selama selang waktu t I v p h b S h

10 Dengan demikian rata-rata perubahan populasi manusia sehat (S h ) per satuan waktu adalah ds h = R h I v p h b S h µ h S h III2 Populasi Manusia Pembawa Penyakit (A) Selama selang waktu t, perubahan jumlah populasi manusia pembawa penyakit (A) dipengaruhi oleh : 1 Perpindahan populasi S h menjadi populasi A per satuan waktu p h b Iv S h 2 Perpindahan populasi A menjadi populasi K per satuan waktu δa, yang merupakan perkalian antara laju munculnya gejala klinis per satuan waktu dengan banyaknya A 3 Banyaknya kematian alami pada A per satuan waktu µ h A, yang merupakan perkalian antara rata-rata kematian alami manusia per satuan waktu dengan banyaknya A Dengan demikian rata-rata perubahan populasi manusia pembawa penyakit (A) per satuan waktu adalah S h da = bi v p h δa µ h A III3 Populasi Manusia Cacat (K) Selama selang waktu t, perubahan jumlah populasi manusia cacat dipengaruhi oleh :

11 1 Perpindahan populasi A menjadi populasi K per satuan waktu δa 2 Banyaknya kematian alami pada populasi K per satuan waktu µ h K, yang merupakan perkalian antara rata-rata kematian alami manusia per satuan waktu dengan banyaknya populasi K Dengan demikian rata-rata perubahan populasi manusia cacat per satuan waktu adalah dk = δa µ hk III4 Populasi Nyamuk Sehat (S v ) Selama selang waktu t, perubahan jumlah populasi nyamuk sehat (S v ) dipengaruhi oleh : 1 Rata-rata pertambahan nyamuk per satuan waktu (R v ) 2 Banyaknya kematian alami pada populasi S v per satuan waktu µ v S v, yang merupakan perkalian rata-rata kematian alami nyamuk per satuan waktu dengan banyaknya S v 3 Perpindahan populasi S v menjadi populasi I v, mempunyai konstruksi sebagai berikut : i Rata-rata terambilnya satu orang A pada populasi manusia A

12 ii Rata-rata satu ekor nyamuk yang berasal dari populasi S v menggigit satu orang manusia terinfeksi A per satuan waktu b A iii Rata-rata satu ekor nyamuk yang berasal dari populasi S v menggigit satu orang manusia terinfeksi filaria per satuan waktu dan nyamuk tersebut terinfeksi filaria p v b A iv Rata-rata satu ekor nyamuk yang berasal dari populasi S v menggigit satu orang manusia terinfeksi filaria yang menyebabakan nyamuk tersebut terinfeksi filaria selama selang waktu t, S v p v b A Dengan demikian rata-rata perubahan populasi nyamuk sehat (S v ) per satuan waktu adalah ds v = R v bs v A p v µ v S v III5 Populasi Nyamuk Terinfeksi (I v ) Selama selang waktu t, perubahan jumlah populasi nyamuk terinfeksi dipengaruhi oleh : 1 Banyaknya kematian alami nyamuk terinfeksi per satuan waktu µ v I v, yang merupakan perkalian rata-rata kematian alami nyamuk per satuan waktu dengan banyaknya populasi I v 2 Perpindahan populasi S v menjadi populasi I v per satuan waktu S v p v b I h

13 Dengan demikian rata-rata perubahan populasi nyamuk terinfeksi (I v ) per satuan waktu adalah di v = bs A v p v µ v I v III6 Model Matematika Tanpa Pengobatan Dari proses pembentukan model yang sudah dijelaskan sebelumnya diperoleh model transmisi filariasis tanpa pengobatan sebagai berikut : ds h = R h bi v S h p h µ h S h da = bi v S h p h δa µ h A dk = δa µ h K (31) ds v = R v bs v A p v µ v S v di v = bs v A p v µ v I v III7 Populasi Total Manusia Populasi total manusia adalah banyaknya populasi nyamuk secara keseluruhan = S h + A + K (32) Persamaan rata-rata perubahan pada populasi total manusia adalah d = ds h + da + dk = R h (µ h S h + µ h A + µ h K) = R h µ h (S h + A + K) = R h µ h Berdasarkan asumsi bahwa populasi total manusia konstan maka rata-rata perubahan populasi total manusia sama dengan nol d = 0

14 Dengan demikian, pada saat populasi total manusia konstan = R h µ h (33) Dari persamaan (33), populasi total manusia dipengaruhi oleh rata-rata pertambahan manusia per satuan waktu (R h ) dan rata-rata kematian alami manusia per satuan waktu (µ h ) III8 Populasi Total Nyamuk Populasi total nyamuk adalah banyaknya populasi nyamuk secara keseluruhan N v = S v + I v (34) Persamaan rata-rata perubahan pada populasi total nyamuk adalah dn v = ds v + di v = R v (µ v S v + µ v I v ) = R v µ v (S v + I v ) = R v µ v N v Berdasarkan asumsi bahwa populasi total nyamuk konstan maka rata-rata perubahan populasi total nyamuk sama dengan nol dn v = 0 Dengan demikian, pada saat populasi total nyamuk konstan N v = R v µ v (35) Dari persamaan (35), populasi total nyamuk dipengaruhi oleh rata-rata pertambahan nyamuk per satuan waktu (R v ) dan rata-rata kematian alami nyamuk per satuan waktu (µ v )

15 Pada program eliminasi filariasis komponen yang sangat diperhatikan adalah populasi manusia pembawa penyakit (A), populasi manusia cacat (K) dan populasi nyamuk terifeksi (I v ) Asumsi populasi manusia dan nyamuk konstan mengakibatkan sistem dinamik model transmisi filarisis pada persamaan (31) menjadi lebih sederhana, yaitu R h A K da µ = bi h v R h p h δa µ h A µ h dk = δa µ h K di v = b( Rv µ v I v ) A R h µ h p v µ v I v (36) III9 Titik Kesetimbangan Titik stationer dapat dicari pada saat da = 0, dk = 0 dan di v = 0 Dari persamaan (36) diperoleh titik kesetimbangan tak endemik (E 1 ) yang terjadi pada saat populasi manusia terinfeksi (A) dan populasi nyamuk terinfeksi (I v ) masing-masing bernilai nol Akibatnya populasi manusia cacat (K) juga bernilai nol, E 1 = (A, K, I v ) = (0, 0, 0) (37) Kemudian titik kesetimbangan endemik adalah E 2 = (A, K, I v ), (38) dimana A = K = Eksistensi titik endemik ada jika R h (p vb 2 µ h R vp h µ 2 vr h δ µ v 2 R h µ h ) p v bµ h (µ v R h δ+br v δp h +µ v R h µ h +bµ h R v p h ) δr h (p vb 2 µ h R vp h µ 2 vr h δ µ v 2 R h µ h ) p vbµ h 2 (µ vr h δ+br vδp h +µ vr h µ h +bµ h R vp h ) I v = p vb 2 µ h R v p h µ 2 vr h δ µ v 2 R h µ h bµ v p h (p v bµ h +µ h µ v +µ v δ) p v b 2 µ h R v p h µ v2 R h (δ + µ h ) > 1 (39)

16 III10 Basic Reproduction Number Definisi Basic Reproduction Number (R 0 ) adalah ekspektasi banyaknya kasus sekunder yang timbul akibat dari satu kasus primer dalam suatu populasi yang virgin (10) Prosedur mencari R 0 pada persamaan (36) menggunakan next generation matrix (10) sebagai berikut 1 Komponen yang menularkan penyakit pada persamaan (36) adalah A dan I v Misalkan da = f(a, K, I v ) dan di v = g(a, K, I v ) 2 Diketahui titik kesetimbangan bebas penyakit adalah E 1 = (A, K, I v ) = (0, 0, 0) 3 Misalkan J 0,0,0 = f A g A f I v g I v = δ µ h p h b p vbr vµ h µ v R h µ v 4 Misalkan J 0,0,0 ditulis dalam J 0,0,0 = M D, dengan M 0 (m i,j 0) dan D 0 suatu mariks diagonal Dengan demikian M = 0 pb p v br v µ h µ vr h 0 dan D = δ + µ h 0 0 µ v 5 R 0 = ρ(md 1 ) dimana MD 1 disebut next generation matrix Dengan demikian R 0 = ρ 0 p h b µ v p v br v µ h (δ+µ h )µ vr h 0 (310) Sehingga nilai eigen maksimum dari persamaan (310) adalah R 0 = b Rh (δ + µ h )p v µ h R v p h R h (δ + µ h )µ v (311) R 0 adalah suatu kondisi ambang batas untuk menentukan kasus endemik pada populasi manusia Parameter R 0 mempunyai nilai ambang batas 1 Artinya, jika R 0 > 1 maka akan terjadi endemik yang ditandai dengan meningkatnya

17 populasi manusia terinfeksi Jika R 0 < 1 maka tidak terjadi endemik yang ditandai dengan menurunnya populasi manusia terinfeksi (10) Parameter yang bisa dikontrol di R 0 adalah b dan R v dengan cara memakai obat nyamuk atau kelambu dan membasmi tempat-tempat perindukan nyamuk Jika prosentase b dan R v dikurangi maka R 0 akan berkurang secara signifikan seperti yang terlihat pada Gambar III1 berikut 6 b Rv 5 4 R0 3 2 1 0 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 Prosentase Reduksi Gambar III1: Grafik R 0 terhadap prosentase reduksi b dan R v