PERMUTASI, KOMBINASI DAN PELUANG A. KAIDAH PENCACAHAN Kaidah pencacahan membantu dalam memecahkan masalah untuk menghitung berapa banyaknya cara yang mungkjin terjadi dalam suatu percobaan. Kaidah pencacahan meliputi aturan pengisian tempat, permutasi dan kombinasi. 1. Aturan Pengisian Tempat Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam m cara dan kejadian kedua dapat terjadi dalam n cara, pasangan kejadian dapat terjadi dalam mn cara. Prinsip ini dapat digeneralisasikan untuk memasukan banyak kejadian yang dapat terjadi dalam n1, n2, n3,... nk cara. Banyaknya k kejadian dapat terjadi dalam n1 n2 n3. nk cara. Contoh 1 Gunakan Asas Perkalian untuk menyelesaikan masalah ini. Setiap Minggu sebuah surat kabar mempublikasikan daftar 15 buku fiksi terbaik dan 10 buku non fiksi terbaik. Dalam berapa cara yang berbeda dalam memilih satu buku fiksi dan non fiksi dari daftar? Penyelesaian Buku fiksi dapat dipilih dalam 5 cara dan buku non fiksi dalam 10 cara. Buku fiksi dan non fiksi dapat dipilih dalam cara, atau 150 cara 2. Permutasi Definisi: Permutasi Permutasi dari sejumlah objek adalah susunan objek dalam urutan berhingga. 1
Definisi: Notasi Faktorial Untuk masing-masing bilangan bulat positif n, n! = Demikian juga, 0! = 1. Definisi: Notasi npr Untuk semua bilangan positif n dan r, dengan, banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek pada satu waktu adalah npr = Contoh 2 Berapa banyaknya permutasi dari pengambilan 5 kartu pada 52 kartu? Penyelesaian Banyaknya permutasi dari 52 kartu yang diambil 5 pada suatu waktu adalah 52P5, atau. Jawaban Ada 311.875.200 permutasi dari pemilihan 5 kartu dari 52 kartu. Contoh 3 Dalam berapa caraseorang presiden, wakil presiden, sekretaris dan bendahara dapat dipilih dari sebuah klub yang beranggotakan 35? Penyelesaian 2
Jika asumsikan bahwa tidak ada orang yang dapat menduduki fua jabatan, dan semua anggota mampu menjadi pengurus, masalah ini menyertakan banyaknya permutasi dari 30 orang yang diambil 4. 30P4 = Jawaban Ada 657.720 cara. Permutasi dengan Pengulangan Untuk semua bilangan positif n dan r dengan, banyaknya permutasi yang berbeda dari n objek, r diantaranya sama, adalah n r Pr P r n! r! Secara umum, jika ada r1 objek jenis pertama, r2 objek jenis kedua, dan seterusnya, ada permutasi dari n objek yang berbeda. Contoh 4 Berapa banyaknya permutasi yang berbeda dari kata MISSISSIPI? Penyelesaian Ada 11 huruf yaitu 4 huruf I, 4 huruf S, dan 2 huruf P. Sehingga, ada 4 P 4 4 P P 11 1 4 4 P 2 11! 4!4!2! permutasi yang berbeda. Jawaban Ada 34.650 permutasi yang berbeda dari kata MISSISSIPI. 3. Kombinasi 3
Definisi: Kombinasi Kombinasi adalah pemilihan objek tanpa memperhatikan urutannya. Definisi: Notasi C n r Untuk semua bilangan positif n dan r, dengan, banyaknya kombinasi n objek yang diambil 4 objek pada suatu waktu adalah n C r n r Pr P r n! ( n r)! r! Contoh 1 Sederhanakan C 8 5 Penyelesaian 8! 8! 87 6 (8 5)!5! 3!5! 321 8C 5 56 Contoh 2 Berapa banyaknya cara 5 kartu dapat dibentuk dari 52 kartu? Penyelesaian Urutan kartu tidak diperhatikan. Oleh karena itu, kita harus menemukan banyaknya kombinasi C = 52 5 Contoh 3 Selesaikan Berapa banyaknya cara untuk memilih 3 siswa SMP dan 4 siswa SMA dari sebuah sekolah kursus dengan 10 mahasiswa tingkat pertama, 15 mahasiswa tingkat kedua, 18 siswa SMP, dan 20 siswa SMA untuk bernyanyi? 4
Penyelesaian 3 Siswa SMP dapat dipilih dalam C cara. 18 3 4 siswa SMA dapat dipilih dalam C cara. 20 4 Siswa SMP dan SMA dapat dipilih dalam C C cara. 18 3 20 4 C C 18 3 20 4 B. Peluang 1. Pengertian percobaan, ruang sampel dan kejadian a. Percobaan Sifat dasar percobaan: 1. Setiap jenis percobaan mempunyai kemungkinan hasil atau peristiwa (kejadian) yang akan terjadi. 2. Hasil dari setiap percobaan secara pasti sulit ditentukan Ilustrasi: Percobaan Melempar 1 keping mata uang Kemungkinan Hasil Mucul gambar (G) atau angka (A) logam Melempar 1 buah dadu Muncul mata 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 b. Ruang Sampel Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan dilambangkan dengan S Titik Sampel adalah elemen-elemen (anggota-anggota) dari ruang sampel c. Kejadian Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel atau bagian dari hasil percobaan yang diinginkan. 5
2. Menentukan Peluang Kejadian a. Definisi Peluang Misalnya S adalah rung sampel dari suatu percobaan dengan setiap anggota S memiliki kesempatan muncul yang sama. Andaikan A adalah suatu kejadian dengan, maka peluang kejadian A adalah Dengan n(a) : banyak anggota dalam kejadian A n(s) : banyak anggota dalam himpunan ruang sampel S Sifat-Sifat Dasar Peluang Untuk setiap kejadian E dari ruang sampel S: I. II. E = S, maka P(E) = 1 III. Jika IV. Peluang Bersama dari Kejadian yang Saling Asing Jika A dan B kejadian yang saling asing, maka Definisi: Kejadian Independen Dua kejadian A dan B independen jika dan hanya jika Prinsip Penambahan Peluang secara Umum Untuk dua kejadian sebarang A dan B pada ruang sampel S, 6
Dalam kehidupan ini peristiwa yang akan atau belum terjadi masih merupakan ketidakpastian. Ketidakpastian ini yang membawa kita kepada konsep peluang. Peluang digunakan untuk menyatakan besarnya kemungkinan terjadinya suatu peristiwa, resiko dari suatu usaha, atau menyatakan tingkat kepercayaan. Dalam bab ini akan didefinisikan peluang secara matematis. Konsep peluang dibangun menggunakan konsep himpunan. Beberapa istilah yang berkaitan dengan definisi peluang diberikan pada daftar istilah berikut. Contoh 7.1 Misalkan pada percobaan memeriksa tiga barang (komponen elektronik tertentu) yang dihasilkan oleh mesin tertentu di suatu pabrik. Tiap barang diperiksa dan digolongkan sebagai baik (B) atau cacat (C). Ruang sampel dalam percobaan ini adalah S = {BBB, BBC, BCC, CCC, CBB, CBC, BCB, CCB} Misalkan: K adalah kejadian tidak terdapat barang yang cacat, L adalah kejadian terdapat barang yang cacat, M adalah kejadian terdapat satu barang yang cacat, N adalah kejadian terdapat dua barang yang cacat, O adalah kejadian banyaknya barang yang cacat satu atau dua buah, maka K = {BBB} L = {BBC, BCC, CCC, CBB, CBC, BCB, CCB} M = {CBB, BCB, BBC} N = {BCC, CBC, CCB} O = {CBB, BCB, BBC, BCC, CBC, CCB} Perhatikan bahwa kejadian L = = K c, kejadian O = M N Tentukan M N, M L, N L, L O 7
Definisi Peluang Misalkan S ruang sampel dari suatu percobaan dan A, A1, A2,... kejadian yang mungkin pada ruang sampel ini. Suatu fungsi P(A) disebut peluang dari A, jika memenuihi sifat-sifat berikut : a. 0 P(A) b. P(S) = 1 Untuk sembarang kejadian A 1, A 2, A 3 yang saling asing yaitu A i A j = Ø untuk i j maka P i1 i1 i = P ( A i ) Definisi Klasik Tentang Peluang Jika suatu eksperimen menghasilkan sejumlah hingga hasil yang mungkin, misalnya n, dan setiap hasil tidak mungkin terjadi bersama-sama serta masing-masing mempunyai kemungkinan yang sama untuk terjadi, maka dalam A. P ( A) n(a) ns, dengan n(a) = banyaknya hasil Misalkan S ruang sampel dari suatu percobaan acak, maka berlaku: 1. P(A c ) = 1 - P(A) 2. Untuk sebarang kejadian A dan B dengan A B =, P(A B) = P(A) + P(B) 3. Untuk sebarang kejadian A dan B, P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Contoh 7.2 Pengambilan sebuah kartu dilakukan secara acak dari kotak dengan 52 kartu, sehingga setiap kartu mempunyai peluang yang sama untuk terpilih yaitu dengan peluang1/52. Misalkan A adalah kejadian diperoleh sebuah kartu as merah dan B adalah kejadian diperoleh sebuah hati, maka P(A)=2/52 dan P(B)=13/52 8
P(AB) = 1/52. P(AB) = 2/52 + 13/52-1/52 = 14/52 = 7/26 7.2 Peubah Acak Diskret Misal S ruang sampel. Fungsi X yang memetakan setiap anggota ruang sampel S ke suatu bilangan riil disebut peubah acak (variabel random). Peubah acak biasanya dinotasikan dengan huruf besar, misal X, Y, Z, dan sebagainya, sedangkan nilai-nilai dari peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil misal x, y, z, dan sebagainya. Contoh 7.3 Pada percobaan melambungkan satu mata uang logam setimbang satu kali, misalkan yang diperhatikan adalah sisi mata uang yang muncul yaitu Angka (A) atau Gambar (G), maka ruang sampel S = {A,G}. Misal X adalah peubah acak yang menyatakan frekuensi munculnya gambar, maka nilainilai X yang mungkin adalah 0 atau 1. Himpunan semua nilai X yang mungkin dinotasikan dengan X(S), sehingga untuk contoh di atas X(S) ={0,1}. Contoh 7.4 Seorang petugas bagian penerima dan pemeriksa barang di suatu departemen bertugas untuk mengamati barang-barang eletronik yang diterima oleh departemen tersebut apakah baik (B) atau cacat (C). Karena adanya keterbatasan waktu, petugas tersebut tidak dapat mengecek semua barang yang masuk melainkan hanya akan mengambil secara acak 3 barang saja. Seluruh hasil yang mungkin dari pengamatan petugas tersebut adalah S = {BBB,BBC,BCB,CBB,CCB,CBC,BCC,CCC} Misal Y peubah acak yang menyatakan banyaknya peralatan yang cacat, maka nilai-nilai Y yang mungkin adalah 0, 1, 2, atau 3. Jadi Y(S) = {0,1,2,3} Contoh 7.5 9
Jika dua dadu setimbang bermata enam dilambungkan sekali, maka ruang sampel dari percobaan tersebut dapat dinyatakan dalam tabel berikut: percobaan tersebut dapat dinyatakan dalam tabel berikut: Dadu I II 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Misal T peubah acak yang menyatakan jumlah mata dadu yang muncul, maka T(S) = {2, 3, 4,, 12} Selain itu, definisikan contoh peubah acak yang lain dari percobaan melambungkan dua dadu setimbang bermata enam di atas. Jika himpunan nilai-nilai yang mungkin dari peubah acak X merupakan himpunan terhitung yaitu {x1, x2, x3,., xn} atau {x1, x2, x3,. } maka peubah acak tersebut disebut peubah acak diskret. Pada contoh di atas X,Y,T merupakan peubah acak diskret. 7.3 Sebaran Peluang Peubah Acak Diskret Fungsi peluang peubah acak X dinotasikan dengan f(x) didefinisikan sebagai f(x) = P(X = x). ( f(x) didefinisikan sebagai peluang X=x ) Untuk Contoh 7.3 di atas, nilai-nilai f(x) adalah: 1 f (0) P( X 0) 2 1 f (1) P( X 1) 2 Untuk Contoh 7.4, nilai-nilai f(y) dapat dinyatakan dalam tabel berikut: y 0 1 2 3 F (y) = P(Y =y) 1 8 3 8 3 8 1 8 10
Tabel di atas merupakan tabel sebaran peluang peubah diskret Y. Contoh soal: 1. Sebuah kotak berisi 20 kelereng, 5 berwarna merah dan 12 berwarna kuning serta sisanya berwarna hijau. Peluang terambil 1 kelereng berwarna merah adalah Peluang terambil 1 kelereng berwarna kuning adalah Peluang terambil 1 kelereng berwarna hijau adalah 2. Sebuah dadu dilempar satu kali. Kejadian A adalah munculnya angka genap dan kejadian B adalah munculnya angka yang habis dibagi tiga. Tentukan peluang muncul angka genap atau angka yang habis dibagi tiga. Solusi: S: {1,2,3,4,5,6}, n(s) = 6 A : {2,4,6}, n(a) = 3 B: {3, 6}, n(b) =2 {6}, n( ) = 1 Peluang A atau B: = 3. Dalam kotak terdapat 7 bola yang terdiri dari 5 bola berwarna putih dan 2 bola berwarna biru. Akan diambil 2 bola secara acak. Tentukan peluang yang terambil 1 putih dan 1 biru, jika pengambilannya sekaligus! Solusi: n(s) = terambilnya 2 bola dari 7 bola 11
C 7 2 7! (7 2)!2! 7! 5!2! 7 6 21 2 1 n(a) = terambilanya 1 bola putih dan 1 bola biru 5C12 C1 5 2 10 4. Seperti soal no 3, tetapi penambilan satu demi satu tanpa pengembalian Solusi: P(1p,1b) = P(pb) + P(bp) (pada pengambilan kedua bola sudah berkurang jadi penyebutnya adalah 6) 5. Seperti soal no 3, tetapi penambilan satu demi satu dengan pengembalian P(1p,1b) = P(pb) + P(bp) (karena dikembalikan jadi pada pengambilan kedua banyaknya bola tetap, jadi penyebutnya adalah 7) Latihan soal: 1. Doni melempar 3 keping uang logam sekali secara bersama, bila A merupakan kejadian muncul angka paling sedikit satu kali, maka P(A) adalah. 2. Sebuah kotak berisi 4 bola merah dan 3 bola kuning, diambil 2 bola sekaligus. Peluang terambil bola merah dan putih adalah 3. Dari tumpukan kartu bridge diambil 2 lembar kartu. Hitung peluang terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kedua jika a. Kartu pertama dikembalikan lagi sebelum kartu kedua diambil 12
b. Kartu pertama tidak dikembalikan lagi sebelum kartu kedua diambil 13