BAB 2 PELUANG Standar Kompetensi :. Menggunakan aturan statistik, kaidah pencacahan dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar :.4 Menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah.5 Menentukan ruang sampel suatu percobaan.6 Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya Alokasi waktu : 52 jam pelajaran (26 x pertemuan) Dilaksanakan : pada pertemuan ke- s.d 36 Rangkuman Materi A. Kaidah pencacahan (Aturan Perkalian dan Penjumlahan) Jika suatu peristiwa terjadi dengan p cara yang berbeda dan ada peristiwa lain terjadi dengan q cara yang berbeda, maka kedua peristiwa itu dapat terjadi dengan :. m.n cara berbeda (aturan perkalian) yang ditandai dengan kata perangkai dan 2. (m + n) cara berbeda (aturan penjumlahan) Yang ditandai dengan kata perangkai atau Contoh ;. Seorang anak akan menempuh perjalanan dari kota A ke C dengan rute perjalanan sebagai berikut : C B C 2 A C 3 C.C B 2 C 2 C 3
Dari gambar di atas, terlihat ada 6 rute berbeda dari kota A ke C, yang diperoleh dari 2 rute dari A ke B dan masing-masing 3 rute dari B ke C, sehingga banyaknya rute dari A ke C adalah 2.3 = 6 rute berbeda. 2. Ibu ingin menempuh perjalanan dari kota P ke Q dengan rute seperti gambar berikut: Dari gambar disamping, terlihat rute perjalanan dari P ke Q yaitu : x - melalui P x Q ada 2.3 = 6 rute P Y Q - melalui P y Q ada.2 = 2 rute Sehingga banyaknya ada 6+2 = 8 rute perjalanan dari P ke Q B. Pengisian Tempat yang Tersedia (Filling Slots) Dalam pembahasan mengenai filling slots ini biasanya berkaitan dengan angka atau bilangan. Contoh. Disediakan bilangan-bilangan,2,3,4 dan 5 yang akan dibuat nomor peserta yang terdiri dari 3 angka. Beberapa banyak bilangan ganjil yang dapat terbentuk jika tidak boleh terdapat angka yang sama. Jawab : untuk menyelesaikan soal di atas buatlah 3 kotak I II III Karena yang diminta bilangan ganjil, maka yang dapat menempati kotak/ kolom ke III hanya 3 angka yaitu :, 3 dan 5. Setelah kolom III terisi kemudian kotak ke III diisi dengan angka lain yang belum diletakkan di kotak III yaitu 5- = 4, demikian seterusnya untuk kotak satu dengan 4- = 3 angka. Secara skema seperti berikut : 3 4 Jadi banyak bilangan = 3. 4. 3 = 36 angka,3,5 3 2. Dari bilangan-bilangan 3,5,6,7,9,2 akan disusun bilangan yang terdiri dari empat bilangan yang berbeda dan lebih besar dari 3.000. Berapakah banyak bilangan yang terbentuk?
Jawab : Buatlah kotak seperti berikut! I II III IV Bilangan yang dapat menempati : Kolom I Kolom II : 3,5,6,7,9 (5 buah) : 5 buah Kolom III : 4 buah Kolom IV : 3 buah Sehingga banyak bilangan yang terbentuk 5.5.4.3 = 300 buah C. Definisi dan Notasi Faktorial Bilangan Asli Notasi dan definisi faktorial adalah n! dibaca n factorial, n bilangan asli yang artinya perkalian bilangan bulat positif dari sampai dengan n atau ditulis : Contoh :. 2. 3. n! = n x (x-) x (n-2) x.x 2 x 2 4! + 5! + 3 6! = 2. 6.5 +.6 + 3 60 + 6 + 3 = = 6! 6! 69 6! (k + 2)! (k + 2) (k + ) (k) (k )! = = k (k + ) (k + 2) (k -)! (k )! 9! 2!6! 4. Hitung n jika Jawab : 9.8. 7. 6! = = 252 2.. 6! (n + 2)! = n (n + 2)! = 30! n (n + 2) (n + ) n! = 30 n! (n + 2) (n+) = 30 n 2 + 3n + 2 30 = 0 n 2 + 3n 28 = 0 (n + 7) (n 4) = 0
n = -7 atau n = 4 n = -7 (tidak memenuhi) Jadi n = 4 Catatan! = dan 0! = D. Permutasi dan Permutasi Siklis. Pengertian permutasi dan penentuan banyaknya permutasi a. Permutasi dari k unsur dan n unsur dimana n k, adalah semua urutan yan berbeda yang mungkin dari k unsur diambil dari n unsur yang berbeda. b. Banyak permutasi k unsur dari n unsur disimbolkan : np k atau P k n atau p (n, k) c. Nilai dari : np k = n! (n k)! Contoh : ) Hitung! a. 8 P 5 b. 0 6 P P 4 2 jawab ; a. a. 8 P 5 = 8! 8.7. 6. 5. 4.3! = = 8.7.6.5.4 = 6.720 (8 5)! 3! b. 0P 4 0! (6 2)! 0. 9.8. 7.6! 4! =. =. = 6P2 (0 4)! 6! 6! 6.5. 4! 6.5 68 2) Tentukan nilai n jika 3P (n,2) + 20 = P (2n, 2)! Jawab : 0.9.8. 7 =
3. 3. n! 2n! + 20 = (n 2)! (2n 2)! ( n )( n 2) (n) (n 2)! 3n (n ) + 20 = 2n (2n ) 3n 2 3n + 20 = 4n 2 2n 3n 2 4n 2 3n + 2n + 20 = 0 -n 2 n + 20 = 0 n 2 + n 20 = 0 (n 4) (n + 5) = 0 (2n) (2n -) (2n - 2)! + 20 = (2n 2)! n = 4 atau n = -5 (tidak memenuhi) jadi n = 4 2. Permutasi dengan beberapa elemen yang sama a. Permutasi dari n unsur dengan p, q, r, dan seterusnya unsur yang sama dimana p < n, q < n, r < n, dan seterusnya Persamaan: np p,q,r = n! p!q!r! Contoh ) Tentukan banyaknya susunan huruf yang berbeda pada suatu baris yang dibentuk dari huruf pada kata SURAKARTA Jawab : SURAKARTA terdiri dari n = 9 huruf Huruf A sebanyak p = 3 Huruf R sebanyak q = 2 Jadi banyaknya susunan huruf yang berbeda = 9 P 3,2 = 9! 3!2! = 30.240 9.8.7.6.5. 4.3! 9.8.7.6.5.4 = = = 9.8.7.6.5.2 3!2! 2
2) Dalam sebuah keluarga terdiri dari ayah, ibu, 3 orang anak lakilaki, 2 orang anak perempuan, dan kakek. Mereka duduk dalam satu baris, berapa banyak cara mengatur tempat duduk mereka? Jawab : Jumlah semua anggota keluarga = 8 Anak laki-laki (dianggap sama) = 3 Anak perempuan (dianggap sama) = 2 Jadi banyaknya cara = 8 P 3,2 = 8! 3!2! 8.7. 6.5. 4.3! = =3.360 3!2! b. Permutasi dari n unsur yang disusun r unsur dan terdapat unsur yang sama P = n P r k! n! = (n r)!k! Contoh dari kata BANDAR LAMPUNG akan disusun 4 huruf secara acak, berapa banyak susunan huruf yang mungkin? Jawab : kata BANDAR LAMPUNG terdiri dari n = 3 dan r = 4. Huruf yang sama A = 3, N = 2. Jadi banyak susunan huruf yang mungkin = 3 P 4 3! 3.2..0.9! = = = 430 3! 2! (3 4)!3!2! 9!3. 2. 2 3. Permutasi berulang Jika terdapat n unsur akan disusun r unsur dan boleh ada unsur yang sama atau berulang, maka permutasinya dirumuskan sebagai berikut : np r (berulang) =n r Contoh : Disediakan angka-angka,2,3,4, dan 5 akan disusun 3 angka -3 angka dan boleh ada angka yang sama.
Jawab : n = 5 r = 3 Jadi 5 P 3 (berulang) = 5 3 = 25 4. Permutasi siklis a. Permutasi siklis adalah permutasi yang disusun melingkar b. Jika ada n unsur berbeda akan disusun melingkar, maka banyaknya susunan yang mungkin adalah : Contoh : Jika terdapat enam rang yang akan duduk melingkar, dengan 2 orang yang selalu duduk berdekatan, maka berapa cara yang mungkin? Jawab : - Dua orang yang selalu duduk berdekatan kita anggap satu orang, sehingga cara pengaturan 2 orang ini adalah 2 P 2 = 2! - Dua orang kita anggap satu, sehingga terdapat 5 orang yang akan duduk melingkar dengan banyak cara pengaturan duduk n P n (siklis) = (n )! = (5 )! = 4! - Jadi banyak cara pengaturan duduknya ada = 4! 2! = 4. 3. 2.. 2 = 48 LEMBAR KERJA SISWA Isilah titik-titik berikut dengan jawaban yang benar!. Penta akan pergi ke kota C dari kota A melalui B, jika dari A ke B ada 4 jalan, dari kota B ke C ada 3 jalan. Berapa banyak cara Penta berangkat dari A ke C dan kembali ke A lagi dengan tidak melewati jalan yang sama. Jawab : Dibuat ilustrasi seperti berikut Jadi berangkat dari A ke C A B C adalah = (4) ( )
=.. Kembali ke A, karena tidak boleh lewat jalan yang sama, maka ada = (.) (.) =. Jadi total = ( ) (.) =. 2. Disediakan bilangan-bilangan 3, 4, 5, 6, 7 dan 8, akan disusun bilangan yang terdiri 3 angka. Tentukan banyak angka yang terbentuk jika angka tersebut lebih besar dari 500. Jawab : karena yang diminta bilangan terdiri dari 3 angka maka dibuat tiga Kotak : I II III Bilangan yang diinginkan lebih besar dari 500, jadi diisi mulai kotak I Yang mungkin masuk kotak I ada. Bilangan sudah bilangan di kotak II ada bilangan seterusnya kotak III ada bilangan sehingga bilangan yang mungkin dibentuk adalah ( ) (.) (.) = 3. Lima orang A, B, C, D, dan E akan berfoto bersama secara berjajar ada berapa banyak kemungkinan posisi foto jika : a. A selalu diujung b. DE selalu berdekatan Jawab : a) A x x x x = 4! =. Jadi ada cara x x x x x = =. b) DE x x x =! =. ED x x x =! = 4. Tentukan nilai n jika (3n + 2)! = 3n! 56 Jadi ada cara
Jawab : (3n + 2)! = 3n! 56 (3n + 2) (3n + ) (3n!) 56 = 3n!... 56 =.. =. = 0 ( ) ( ) = 0 n = atau n =. Jadi, n =. 5. Ibu mau meletakkan buku-bukunya dalam satu baris, jika terdapat 4 buku fisika yang sama, 2 buku sosiologi dan 3 buku geografi maka terdapat berapa cara berbeda yang dapat dibuat oleh ibu untuk meletakkan buku-buku tersebut dengan masing-masing jenis pelajaran bukunya sama. Jawab : Jumlah semua buku = n =. Fisika = p = Sosiologi = q = Geografi = r = Jadi banyak cara berbeda = P,, =...... =...... =...... Pelatihan 3 A. Berilah tanda silang (x) hururf a, b, c, d atau e pada jawaban yang paling benar!. Dari angka 0,, 2, 3 akan disusun angka yang terdiri dari 4 angka (ribuan), banyak susunan angka yang terbentuk adalah a. 24 c. 9 e. 6 b. 20 d. 8 2. Pada suatu Konferensi hadir 7 negara, yaitu A, B, C, D, E, F dan G. Bendera masing-masing negara akan dikibarkan pada tiang yang diatur
menjadi satu baris (7 tiang). Banyaknya cara mengatur 7 bendera itu agar bendera negara A dan B terletak di ujung 5! a. 2 b. 5! 7! c. 2 d. 2 (5!) 3. Bila terdapat 8 formatur yang siap jadi pengurus Club PMR, dan akan dipilih orang ketua, orang sekretaris, dan orang bendahara, maka banyak cara memilihnya ada a. 436 b. 426 c. 336 d. 56 e. 42 4. Tesedia angka : 0,, 2, 3, 4, 5 bila akan dibuat bilangan yang terdiri 4 digit (angka) tanpa ada bilangan yang berulang dan lebih besar dari 3000 ada sebanyak. Bilangan a. 720 b. 360 c. 300 d. 20 e. 20 80 5. Disediakan huruf-huruf dalam kata GALANG, akan disusun huruf-huruf yang terdiri dari 3 huruf, banyaknya susunan yang terbentuk adalah. a. 24 30 b. 8 c. 2 d. 6 e. 4
6. 50 siswa akan mengadakan karya wisata. Banyaknya cara untuk memilih dua siswa sebagai ketua dan wakil ketua rombongan adalah. Cara a. 25 b. 00 c..225 d. 2.450 e. 2.500 7. Banyak cara 5 orang untuk menempati 2 buah kursi yang tersedia adalah. a. 5 b. 6 c. 0 d. 20 e. 20 8. Dari angka 0,, 3, 5, 7, dan 8 akan disusun bilangan yang terdiri dari 4 angka yang berbeda, banyaknya susunan bilangan yang didapat jika bilangan tersebut lebih besar dari 3400 adalah a. 206 b. 26 c. 234 d. 236 e. 248 9. Zakiyah mempunyai 7 gaun dengan dua pasang gaun sama persis dan tiga yang lainnya berbeda, banyak cara menyusun 7 gaun tersebut dalam satu baris adalah a. 2520 b. 200 c. 960 d. 260 e. 060
0. Terdapat keluarga tanpa ayah, mempunyai 3 putri dan 3 putra, bila dalam posisi berjajar dengan ibu selalu di tengah, urutan yang berbeda yang dapat dibuat adalah 9! a. 2! b. 8! c. 7! d. 6! 7! e. 2!. Ada 6 jalan antara A dan B dan 4 jalan antara B dan C. Banyak cara dapat ditempuh dari A ke C melalui B pergi pulang adalah cara a. 24 b. 44 c. 256 d. 52 e. 576 2. Dari huruf ABCD dapat diurutkan dengan cara a. 6 b. 8 c. 2 d. 24 e. 36 3. Banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka berlainan yang dapat disusun dari angka-angka,2,3,4,5,6 dan a. 6 b. 24 c. 20 d. 630 e..260
4. Disediakan 3 macam hadiah yang masing-masing senilai Rp.50.000,00, Rp.00.000,00 dan Rp.50.000,00 akan diberikan kepada peserta balap sepeda sebanyak 0 orang, banyak cara yang mungkin adalah a. 720 b. 70 c. 680 d. 620 e. 590 5. Di sebuah toko buku, seseorang membeli 0 buku yang terdiri dari 2 buku tentang politik, 3 buku tentang agama, dan 5 buku novel. Yang tersedia di toko itu ada 5 buku tentang politik, 7 buku tentang agama, dan 8 buku novel. Banyak cara untuk memilih buku adalah cara. a. 280 b. 8.400 c. 9.600 d. 6.950 e..4.200 6. Nilai n yang memenuhi persamaan (n+)! = 2. n! adalah a. 0 b. c. 2 d. 3 e. 4 7. Nilai n yang memenuhi persamaan 3n P 2 = 30 adalah a. 5 b. 4 c. 3 d. 2 e.
8. Disediakan angka 2, 3, 5, 6, dan 7 akan disusun angka yang terdiri dari 3 angka yang lebih besar dari 450, banyaknya angka yang terbentuk adalah a. 24 b. 32 c. 36 d. 45 e. 60 9. Sepuluh bendera, 4 putih, 5 merah dan hijau akan dijajarkan dalam satu barisan dengan 0 tiang, banyak cara berbeda untuk meletakkan bendera tersebut adalah a. 820 b. 860 c. 890 d. 60 e. 260 20. Banyaknya cara sebuah organisasi dengan 20 angka dapat memilih seorang ketua, seorang bendahara, dan seorang sekretaris adalah cara a. 8.000 b. 8.840 c. 6.840 d. 6.400 e. 4.860 2. Enam buku matematika dan 2 buku fisika yang berbeda disusun pada sebuah rak buku, dengan buku matematika harus disusun secara bersamasama \, maka banyak cara penyusunan yang mungkin adalah a. 4.860 b. 4.320 c. 8.400 d. 8.460 e. 8.640
22. Seorang anak mempunyai 3 baju, 4 celana dan 2 sepatu, banyak cara memasangkan ketiga hal tersebut adalah a. 36 b. 24 c. 8 d. 2 e. 9 23. Banyak cara 6 orang duduk secara melingkar, jika yang seorang selalu duduk di satu tempat duduk adalah a. 44 b. 20 c. 60 d. 48 e. 42 f. 36 24. Dari 7 orang pengurus sebuah organisasi akan dipilih seorang ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara. Banyak cara pemilihan tersebut adalah a. 20 b. 250 c. 252 d. 420 e. 840 25. Ada 6 siswa dan dan 2 guru duduk melingkar mengelilingi api unggun, bila guru tersebut selalu berdampingan, maka banyak susunan duduk yang dapat terjadi adalah a. 5! b. 6! c. 8! 2! d. 7!
e. 8! B. Jawablah soal berikut dengan singkat dan benar!. Disediakan angka-angka 0,, 2, 3, 4 dan 5. Dari angka-angka tersebut akan dibuat bilangan yang terdiri dari 3 angka. Jika tidak ada angka yang berulang, berapa banyak bilangan yang terbentuk. a. Seluruhnya b. Bilangan genap c. Kurang dari 350 2. Seseorang ingin pergi ke suatu tempat yaitu C, ia berangkat dari kotanya A lewat B. Jika dari A ke B ada 4 jalan, dari B ke C ada 3 jalan, maka berapa banyak cara ia dapat pergi dari A ke C lewat B dan kembali lagi ke A lewat B dengan tidak melalui jalan yang sama? 3. Berapa banyaknya cara menyusun kata yang terdiri dari empat huruf dari kata SURAKARTA? 4. Sebuah keluarga terdiri dari ayah, ibu dan lima orang anaknya. Mereka akan berfoto dengan posisi sejajar, jika ayah, ibu selalu berdekatan dan si sulung harus selalu di tengah maka berapa banyak cara mereka dapat berpose. 5. Perusahaan taksi memiliki 3 sopir dengan 4 taksi, jika seorang pengusaha ingin menyewa 2 taksi beserta sopirnya. Ada berapa banyak cara berbeda untuk memasangkan sopir dan taksinya! E. Kombinasi. Pengertian kombinasi dan penentuan banyaknya kombinasi Dari sekumpulan n unsur dapat disusun (diambil) k unusr dimana k n dengan tanpa memperhatikan urutannya dinamakan kombinasi k unsur dari n unsur yang dilambangkan n C k, C k n atau C (n k) dan dirumuskan : nc k = n! (n k)!k! Catatan : Perbedaan antara permutasi dan kombinasi adalah sebagai berikut
Permutasi = urutan diperhatikan (23 # 32) Kombinasi = urutan tidak diperhatikan (merah, biru = biru, merah) Contoh : ) Hitunglah nilai dari 8 C 6! Jawab : 8! 8! 8. 7.6! = = 28 8C 6 = ( 8 6 )!6! 2!6! 2..6! = 2) Tentukan nilai n dari 6 ( n P 2 ) = 5 ( n C 2 ) + 7 ( n C 3 )! Jawab : 6. n! n! n! = 5. + 7. (n 2)! (n 2)!2! (n 3)!3! 6n (n ) (n 2)! 5n (n ) (n 2)! 7n (n ) (n 2) (n 3) = + (n 2)! (n 2)!2! (n 3)!3.2. 6 n (n ) = 5n (n ) 7n (n ) (n 2) + 2 6 36n (n ) = 5n (n ) + 7n (n ) (n 2) 2n (n ) 7n (n ) (n 2) = 0 n (n ) [2 7 (n 2)] = 0 n (n ) ( 2 7n + 4) = 0 n (n ) (-7n + 35) = 0 n = 0 atau n = atau n = 5 Jadi yang memenuhi n = 5 3) Dari sebuah kotak terdapat 5 kelereng putih dan 4 kelereng merah. Tentukan banyaknya cara pengambilan 2 kelereng sekaligus. Jika terambil 2 putih. Jawab : C 5 2 = = 5! (5 2)!2! 5.4.3! 3!.2 = 0 cara
2. Kombinasi dari unsur yang berbeda diambil sembarang banyaknya sekaligus Banyaknya kombinasi C dari n unsur berbeda diambil, 2, 3,, n sekaligus dirumuskan : C =2 n Contoh : Jika kita mempunyai sejumlah barang berupa cincin, anting, gelang, kalung, jam tangan dan peniti, maka berapa banyak macam barang yang dapat diambil dari sekumpulan barang tersebut? N = 6, maka C = 2 n - = 64 = 63 3. Binomial Newton a. Jika n bilangan asli, maka : (a + b) n = n C 0 a n + n C a n- b + n C 2 a n-2 b 2 + n C 3 a n-3 b 3 + + n C n b n n = n k= 0 C a b n k k k b. Jika (k a + k 2 b) n, dimana k dan k 2 adalah koefisien-koefisien a dan b, maka suku ke-m adalah : U m = k n-m+. k m- 2. n C m- (a n-m+ b m- ) Contoh ) Uraikan (2a + ) 4! Jawab : (2a + ) 4 = 4 C 0 (2a) 4 + 4 C (2a) 3 + 4 C 2 (2a) 2 2 + 4 C 4 4 = 6 a 4 + 4. 8a 3 + 6. 4a 2 + 2a + = 6a 4 + 32a 3 24a 2 + 2a +
2) Jika (3a + 2b) 0 diuraikan atas suku-sukunya, maka berapakah suku ke-5! Jawab : U 5 = 3 0-5+. 2 5-. 0 C 4. a 0-5+. b 5- = 3 6. 2 4. = (729) (6). = 244940 a 6 b 4 0!. a 6 b 4 6!4! 0.9.8.7 4.3.2. a 6 b 4 Jadi suku ke-5 adalah 2.449.440 a 6 b 4 Lembar Kerja Siswa. Sebuah klub bulu tangkis mempunyai 6 pemain ganda yang siap untuk turnamen nasional antar klub, ada berapa pasang pemain yang dapat dibuat. Jawab : banyak pemain = n = 6 Untuk pertandingan ganda diperlukan pemain = r = Jadi banyak pasangan yang mungkin adalah : C 6 6!...... = = = =... (...)!(...)!...... 2. Tentukan nilai n jika (n+2) C 3 = 5n Jawab : (n+2)c 3 = 5n (n + 2)! = 5n (n )!3! (n + 2)(n + )(...)(...)! (n )!3.2 = 5n (n + 2) (n + ) ( ) = n (n + 2) (n + ) ( ) - n = 0 n (n 2 + n + -.) = 0 n (n 2 + - ) = 0
n (n - ) (n + ) = 0 n = 0 atau n = atau n = jadi n = 3. Buktikan C n n n + r + C r- = C r Jawab : ruas kiri : C n n r + C r- n! n! = + (n r)!r! (n r + )!(r )! = = = = n! n! + (n - r + )!r! (n r + )! n... +... (n... +...) n! + (...) n! (n r + )!r! (n... +...) n! (n r + )!r! (n +...) n! (n r + )!r! r!... (... +...)! = (n r + )!r! n + = C r 4. Dalam sebuah tas terdapat 6 permen coklat, 4 permen kopi dan 2 permen buah. Jika akan diambil 3 permen sekaligus maka berapa banyak kemungkinan terambil 2 permen coklat dan sebuah permen kopi. Jawab : permen coklat = 6 Permen kopi = 4 Permen buah = 2 Kemungkinan terambil 2 permen coklat dan permen kopi adalah 6... 6!...... C.... C... =. = =............ 5. Tentukan konstanta dari 2 2 2x! x
Jawab : Konstanta bentuk 2 2 2x akan diperoleh saat a = 2x 2 ; b = - x berbentuk a 4 b 8 sehingga lengkapnya berbentuk : x 8 2C (2x 2 ) 4 2! 2! = (...) = (...) =... =... 8 x (2...)!...! x...!...! Pelatihan A. Berilah tanda silang (x) huruf a, b, c, d atau e pada jawaban yang paling benar!. Seorang siswa diminta mengerjakan 8 soal dari 2 soal yang disediakan, banyak cara pemilihan soal adalah a. 460 b. 465 c. 470 d. 485 e. 495 2. Himpunan H = {a, b, c, d, e, f}. Banyak himpunan bagian dari H yang terdiri atas 3 elemen adalah. a. 6 b. 0 c. 5 d. 20 e. 25 3. Banyak segitiga yang berbeda yang dapat dibentuk dengan menghubungkan keenam titik ujung dari sebuah segienam dengan titiktitik ujung dari setiap segitiga yang terletak pada segienam tersebut adalah a. 60 b. 40
c. 20 d. 8 e. 4 4. Seorang pelatih bola basket menentukan banyaknya atlet tim bola basket yang ikut pertandingan lanjutan ada 9 atlet. Jika seorang atlet harus ikut, maka banyaknya tim yang harus dibentuk oleh pelatihan tersebut adalah a. 5 b. 35 c. 70 d. 26 e. 2.024 5. Jika P (n,4) = 30 C(n,5), maka nilai n P adalah. a. 64 b. 32 c. 6 d. 8 e. 4 6. Suku kelima dari penjabaran (2x y) 8 adalah. a. 70 x 4 y 4 b..20 xx 4 y 4 c. -2 x 4 y 4 d. -448 x 3 y 5 e. -70 x 4 y 4 7. Dari penjabaran bentuk adalah a. 28 b. 25 c. 24 d. 8 e. 5 6 xy, koefisien suku yang memuat x 2 y 4 x
8. Seorang pembatik mempunyai pewarna 5 macam yaitu merah, kuning, biru, coklat dan hijau. Ia ingin mencampuri 3 warna sekaligus untuk mendapatkan warna yang berbeda, banyak warna yang diperoleh adalah. a. 20 b. 8 c. 6 d. 4 e. 0 9. Di sepanjang jalan terdapat 8 tiap bendera lengkap dengan 8 bendera berbeda, akan diambil 3 bendera untuk konvoi, banyaknya pasangan bendera yang mungkin adalah a. 36 b. 48 c. 56 d. 65 e. 76 0. Dalam suatu ruangan terdapat 8 kursi dan ada 0 orang yang akan menempati kursi tersebut. Satu kursi hanya boleh diduduki oleh seorang. Banyaknya cara mereka duduk di kursi itu adalah. Cara. a. 90 b. 80 c. 45 d. 0 e. 8. Dari 5 orang sebagai tim pemain sepak bola, 2 orang diantaranya khusus sebagai penjaga gawang. Banyaknya cara penyusunan kesebelasan dengan 0 pemain dan penjaga gawang adalah. a. 65 cara b. 455 cara c. 572 cara d. 3432 cara
e. log 20 cara 5 2. Suku kedua dari penjabaran 2x 2 adalah x a. -80x 2 b. -60x 2 c. -80x d. -6x 2 e. -6x 3. Diketahui titik, tanpa 3 titik yang terletak pada satu garis. Banyaknya garis yang dapat dilukis melalui dua titik adalah. a. 8 b. 22 c. 33 d. 55 e. 0 4. Sebuah kotak terdapat 8 bola merah, 6 bola biru dan 4 bola putih, dari dalam kotak diambil 2 bola merah, 3 bola biru dan 2 bola putih secara bersamaan, banyak kemungkinan hasil pengambilan adalah a. 3360 b. 3340 c. 3260 d. 340 e. 320 5. Dari 4 apel merah, 5 hijau, dan 6 kuning, banyak kemungkinan pilihan yang terdiri dari 9 apel jika setiap warna harus diambil tiga adalah. a. 600 b. 750 c. 800 d. 860 e. 900
6. Banyaknya segitiga yang dapat dibuat dari 7 titik tanpa ada tiga titik yang terletak segaris adalah. a. 30 b. 35 c. 42 d. 70 e. 20 7. Dari 5 orang penyanyi diacak, 3 orang direncanakan akan menyanyi di hotel A dan 2 orang menyanyi di hotel B, banyak cara formasi penyanyi yang mungkin dibentuk adalah. a. 5 b. 0 c. 2 d. 5 e. 8 8. Dua belas wanita akan dibagi menjadi dua kelompok, terdiri dari 8 wanita dan 4 wanita untuk kelompok yang lain, banyak cara yang dapat dilakukan adalah a. 385 b. 395 c. 460 d. 475 e. 495 9. Ali, Bagong, Candra dan Dadang akan bekerja secara bergilir. Banyaknya urutan bekerja yang dapat disusun dengan syarat Ali selalu pada giliran terakhir adalah. a. 3 b. 6 c. 2 d. 8 e. 24
20. Banyaknya diagonal sebuah segi delapan adalah. a. 48 b. 28 c. 20 d. 6 e. 2 B. Jawablah soal-soal berikut dengan singkat dan benar!. Dari 50 orang anggota PKK entah dimana, 35 orang suka memasak, 20 orang suka menjahit dan 5 orang tidak suka keduanya. Akan dipilih 3 orang yang suka kedua-duanya. Berapa kemungkinan cara terpilihnya 3 orang tersebut. 2. Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola biru, 3 putih, dan 5 merah. Diambil tiga bola sekaligus, berapakah kemungkinan terambil : a. 2 merah biru, b. salah satunya putih! 3. a) Jabarkan bentuk (2x-y) 4 dengan binomial Newton! b) Dari bentuk yang memuat a -2 5 2 a +, tentukan suku ke 4 dan koefisien dari suku 2 a 4. Dalam sebuah perjamuan makan, disediakan satu piring laku yang terdiri dari 0 ayam goring dan 8 bebek goring. Jika masing-masing orang mengambil secara acak maka berapa kemungkinan mendapatkan 2 ayam dan bebek goring. 5. Sebuah keluarga mempunyai 8 orang anak, suatu ketika ibunya mau mengajak 4 orang anaknya pergi berbelanja. Jika anak yang bungsu harus ikut, tentukan banyaknya kemungkinan diajaknya ke4 anaknya. Ulangan Harian 2 A. Berilah tanda silang (x) huruf a, b, c, d atau e pada jawaban yang paling benar!
. Selesai suatu rapat kerja, para peserta ditawari paket wisata. Setiap hari satu paket selama 3 hari dengan tidak boleh pilih paket yang sama. Jika ada 6 paket wisata maka banyak susunan paket wisata yang dapat dipilih adalah. a. 8 b. 36 c. 72 d. 20 e. 26 2. Hasil dari 3P 2 5. C 3 6 = a. 600 b..200 c..400 d..620 e..800 3. Banyak macam susunan huruf yang berbeda dari huruf-huruf KATULISTIWA adalah. a.! b. c. d. e. 5!! 2!2!! 2! 2! 2! 4. Dari 0 soal yang tersedia, yang harus dikerjakan hanya 6 soal. Cara pemilihan soal sebanyak. cara. a. 5.040 b. c. 0! 4! 0! 6!
d. 20 e. 60 5. Nilai n yang memenuhi a. 2 b. 2 atau 3 c. 5 d. 5 atau e. 6 ( n + 3 )! ( n + )! 2! = 5n adalah. 6. Untuk membuat nomor peserta suatu lomba sepeda hias, akan dibuat nomor yang terdiri dari 2 huruf depan kemudian diikuti 3 angka yang berbeda. Jika tersedia 3 huruf dan 6 angka maka banyak nomor peserta yang dapat dibuat adalah. a. 360 b. 420 c. 560 d. 620 e. 720 7. Banyak cara sebuah regu bola volley dapat menjadwalkan 3 pertandingan dengan 3 regu lainnya jika semuanya bersedia pada 5 kemungkinan hari yang berbeda adalah a. 5 b. 30 c. 45 d. 60 e. 80 8. Bilangan antara 3.000 dan 5.000 akan dibentuk dengan menggunakan 7 angka, yaitu 0,, 2, 3, 4, 5 dan 6. Apabila setiap angka tidak boleh dibagi dalam setiap bilangan, maka banyak bilangan yang mungkin disusun adalah. a. 720
b. 480 c. 360 d. 240 e. 20 9. Hasil dari 4 P 2 = 0 a. 5 7 b. 5 8 c. 2 6 d. 6 5 e. 5 6 0. Banyaknya nomor telepon yang terdiri atas 5 angka dari angka-angka, 2, 3, 4, dan 5 dimana tidak boleh ada angka yang sama adalah. a. 5 b. 2 c. 24 d. 20 e. 720. Penelitian medis terhadap seseorang dikelompokkan menurut salah satu dari 2 jenis kelamin, salah satu dari 4 macam golongan darah, dan salah satu dari 3 macam warna kulit. Banyaknya seluruh kriteria yang mungkin dalam penelitian medis tersebut adalah. a. 8 b. 9 c. 2 d. 20 e. 24
2. Banyak susunan yang berbeda jika kita ingin membuat sebuah rangkaian lampu hias untuk acara 7 Agustus dari 4 lampu hijau, 3 lampu kuning dan 2 lampu merah adalah. a. 6 b. 200 c. 260 d. 280 e. 480 3. Dalam suatu pesta terdapat 42 orang yang saling berjabat tangan, banyaknya jabat tangan yang terjadi adalah. a. 83 b. 846 c. 86 d. 875 e. 88 4. Dalam suatu ujian terdapat 0 soal dari nomor sampai nomor 0. Jika soal no 3, 5 dan 8 harus dikerjakan dan peserta ujian hanya diminta mengerjakan 8 hari 0 soal yang tersedia, maka banyak cara seorang peserta memilih soal yang dikerjakan adalah. Cara. a. 4 b. 2 c. 45 d. 66 e. 2520 5. Nilai r C n r = 220 dan P n r = 320 adalah a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7
6. Jika Q adalah himpunan huruf-huruf yang terdapat pada kata PARADOKS, maka banyaknya himpunan bagian yang bercacah anggota 4 unsur adalah. a. 28 b. 56 c. 64 d. 70 e. 99 7. Hasil dari 4C 5 2 + 2C 3 adalah. a. 56 b. 46 c. 38 d. 36 e. 28 8. Jika C n n r menyatakan banyaknya kombinasi r elemen dari n elemen dan C 3 = 2n, maka C 2n 7 = a. 60 b. 20 c. 6 d. 90 e. 80 9. Jika (n+4) P : (n+3) P = 4 : 3, maka n = a. 2 b. c. 0 d. 9 e. 8 20. Jika (2n.) C (2n.3) = 05, maka n = a. 5
b. 6 c. 7 d. 8 e. 9 2. Suatu regu gerak jalan terdiri dari 7 orang, 5 orang pria dan 2 orang wanita, banyak susunan baris berbaris yang dapat dibentuk jika asal terbentuk barisan (hanya dibedakan pria dan wanita saja) adalah. a. 42 b. 36 c. 26 d. 2 e. 8 22. Banyak cara 8 orang dapat menginap dalam 2 kamar tripel dan kamar dobel adalah a. 260 b. 560 c. 580 d. 670 e. 860 23. Dari bentuk x 3 adalah a. -240 b. -80 c. -60 d. 60 e. 80 6 2 2x x jika dijabarkan, koefisien dari suku yang memuat 24. Di dalam suatu ruangan terdapat 3 kursi yaitu A, B, dan C. Jika terdapat 5 orang berbeda akan duduk di kursi tersebut dan masing-masing posisi duduk mempunyai arti berbeda maka banyak cara mereka duduk adalah. Cara a. 60
b. 30 c. 20 d. 8 e. 5 25. Disediakan 6 buah angka 2, 3, 5, 6, 7 dan 9, akan dibuat bilangan yang terdiri dari 4 angka yang berlainan, jika bilangan yang diharapkan habis dibagi 5 maka banyaknya bilangan yang diperoleh adalah a. 54 b. 60 c. 65 d. 68 e. 70 B. Jawablah soal berikut dengan benar!. Suatu perusahaan real estate menawarkan kepada calon pembeli 3 tipe rumah, 3 macam pemanasan dan 2 bentuk garasi. Berapa macam rancangan rumah yang tersedia bagi calon pembeli? 2. Misalkan kita mengadakan undian satu demi satu kepada 6 orang dengan aturan anam yang terundi pertama kali berhak atas hadiah sebuah kulkas, nama kedua yang terundi berhak atas hadiah TV 20 inci. Sisanya diambil secara acak 2 orang berhak atas hadiah masing-masing TV 4 inci. Ada berapa cara hasil yang mungkin terjadi? 3. Tentukan koefisien dari ; a. x 6 y 8 dalam penjabaran (x + 2y) 4 b. x 5 y 6 dalam penjabaran (x y)! 4. Dari 5 orang penari diacak, 3 orang direncanakan akan menari di hotel P dan 2 orang menari di hotel Q dalam waktu yang bersamaan. Ada berapa cara hasil formasi penari yang mungkin! 5. Dalam sebuah kantong terdapat 5 bola lampu, 8 diantaranya adalah rusak. Akan diambil 3 bola lampu secara acak sekaligus, tentukan banyaknya kemungkinan pengambilan jika minimal ada satu bola lampu yang baik. 6. Suatu ulangan terdiri dari 4 soal pilihan ganda, masing-masing dengan 5 kemungkinan jawaban dan hanya satu yang benar. Berapa banyak
kemungkinan susunan jawaban ulangan tersebut jika untuk setiap pertanyaan hanya diperbolehkan memilih satu kemungkinan. 7. Disediakan angka-angka, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. Dari angka-angka tersebut akan dibuat bilangan yang terdiri dari 4 angka. Jika tidak boleh ada angka yang berulang, berapa banyak bilangan yang dapat dibuat : a. seluruhnya b. angka tersebut ganjil c. lebih dari 3.600! 8. Tentukan nilai n dari persamaan berikut! a. ( n + )! = 5n + 5 ( n )! 2n + b. 3 P 4 n + 4 3 = 2P 4 9. Setumpuk buku yang terdiri dari 5 buku matematika, 4 buku sejarah, dan 5 buku geografi. Jika Ali akan mengambil 5 buku sekaligus secara acak, berapa banyak kemungkinan pengambilan jika yang diinginkan 2 buku matematika, buku sejarah dan 2 buku geografi. 0. Dari lima kunci disusun dalam gelang tempat kunci. Tentukan banyaknya cara penyusunan tersebut! Rangkuman Materi A. Pengertian Kejadian dan Ruang Sampel Ruang sampel adalah semesta pembicaraan atau semua kejadian (peristiwa) yang mungkin muncul atau kejadian pada suatu percobaan. Biasanya disimbolkan dengan S. Kejadian adalah suatu kejadian (unsur) yang khusus dan merupakan himpunan bagian dari S. biasanya disimbolkan dengan huruf besar, misalnya kejadian A. Contoh : S = {, 2, 3, 4, 5, 6} A = {, 4, 6} A c = {2, 3, 5} Catatan :
A c = A = komplemen dari kejadian A atau kejadian tidak terjadinya kejadian A B. Pengertian Peluang Suatu Kejadian Suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditentukan dengan persamaan sebagai berikut : P(A) = n (A) = n (S) k n Contoh!. Pada percobaan pelemparan tiga mata uang logam, tentukan : a. banyaknya ruang sampel b. peluang kejadian muncul paling sedikit satu gambar c. peluang kejadian muncul dua angka Jawab : a) Ruang sampel : AAA GGG jadi n (S) = 8 AAG AGA AGG AGG GAG GAA b) Muncul paling sedikit satu gambar, jadi n(a) = 8 = 7 P (A) = 8 7 c) Muncul dua angka, jadi n (8) = 3 Jadi P (B) = n (B) 3 = n (S) 8 2. Jika 2 dadu dilempar sekaligus satu kali, maka tentukan : a. Ruang sampel b. Peluang muncul 2 mata dadu berjumlah 6!
Jawab : a) Ruang sampel Dadu 2 2 3 4 5 6 (,2) (,2) (,3) (,4) (,5) (,6) Dadu 2 (2,) (2,3) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) b) Peluang muncul 2 mata dadu berjumlah 6 = (,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,) Jadi n (A) = 5 sehingga peluang muncul 2 mata dadu berjumlah 6 adalah : P(A) = n (A) = n (S) 5 36 C. Kisaran Nilai Peluang Jika P(A) adalah peluang muncul kejadian A, maka kisaran nilai P(A) adalah 0 P (A) Untuk kejadian yang peluangnya = 0 dinamakan kejadian mustahil Untuk kejadian yang peluangnya = dinamakan kejadian pasti Contoh : Tentukan peluang dari ;. Angka dan gambar dalam pelemparan satu mata uang sekali 2. Suatu hari manusia akan mati Jawab :. Peluangnya = 0 (mustahil) 2. Peluangnya = (pasti terjadi)
D. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian Jika P(A) adalah kejadian A pada ruang sampel S, maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah ; F n (A) = n x P(A) Contoh : Dari seperangkat kartu bridge akan dilakukan pengambilan secara acak sebanyak 260 kali. Tentukan frekuensi harapan terambilnya : a. Kartu AS b. Kartu bernomor 4 c. Kartu berwarna hitam d. Kartu hati Jawab : a. P(AS) = 52 4 jadi Fh (AS) = 52 4.260 = 20 kali b. P (bernomor 4) = 52 4 = 3 jadi Fh (bernomor 4) = 3.260 = 20 kali 3 + 3 c. P (warna hitam) = =, jadi Fh =.260 = 30 kali 52 2 2 d. P (kartu hati) = 3 =, jadi Fh =.260 = 65 kali 52 4 4 E. Peluang Komplemen Suatu Kejadian Jika peluang munculnya kejadian A adalah P(A), maka kejadian tidak munculnya kejadian A adalah : P c (A) = P (A) = P(A) Contoh : Sebuah dadu berbentuk segi delapan dengan nomor, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Berapa peluang munculnya mata dadu bukan bilangan kelipatan 3? Jawab : n (S) = 8
Kejadian muncul mata dadu bilangan kelipatan 3 3, 6 n (A) = 2 jadi, P(A) = n (A) = n S) 2 8 = 4 sehingga peluang muncul mata dadu bilangan bukan kelipatan 3 adalah ; P (A) = P (A) = - Lembar Kerja Siswa = 4. Dari seperangkan kartu bridge ditambah 2 jokers. 3 4 Tentukan peluang terambil secara acak : a. Sebuah kartu AS b. Sebuah kartu jokers c. Sebuah kartu berwarna hitam Jawab : banyaknya kartu bridghe + jokers = + 2 = a) Banyaknya kartu AS = r =. Jadi P(AS) =... =......... b) Banyaknya kartu jokers = Jadi P(jokers) =... =......... c) Banyaknya kartu berwarna hitam = Jadi P(hitam) =... =......... 2. Sebuah dadu bermuka 8 dilempar 200 kali, tentukan frekuensi harapan munculnya mata dadu prima Jawab : S = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} n (S) = Kejadian A = {2, 3,,.,.} n (A) = F n (A) = P(A). 200 kali = n n ( A) ( S)....200 kali =. 200 kali = kali...
3. Jika kemungkinan Amir diterima PTN adalah 67% maka tentukan kemungkinan Amir tidak diterima PTN. Jawab : P(A) = 765% jadi P(A ) = -. =. - =. 4. Dari data hasil ulangan matematika di bawah ini : Nilai 5 6 7 8 9 Frekuensi 6 9 2 8 5 Akan dipilih seorang siswa untuk mewakili lomba antar kelas, tentukan peluang terambil seorang siswa yang nilainya diatas nilai rata-rata. 30 +... +... + 64 +...... Jawab : x = = =... 40... Banyak siswa yang nilainya di atas rata-rata = Jadi P =... =......... 5. Suatu keluarga mempunyai 3 orang anak, tentukan peluang mereka mempunyai 2 anak laki-laki dan perempuan. Jawab : Sebelumnya dibuat kemungkinan ruang sampelnya Misalkan A = anak laki-laki dan B = anak perempuan Jadi ruang sampelnya : AAA BBB jadi n(s) = AAB ABA ABB BBA BAB BAA Banyaknya kemungkinan 2A dan B adalah n(q) = Jadi P(Q) = n (Q)... = =. n (S)... Pelatihan A. Berilah tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d atau e di depan jawaban yang benar!
. Sebuah team nasyid mempunyai 8 vokalis dengan 5 orang bersuara bass dan 3 orang bersuara sopran, akan dipilih seorang lomba solo nasyid, peluang terpilih yang bersuara bass adalah 3 a. 5 3 b. 8 5 c. 8 7 d. 8 e. 2. Tiga mata uang logam dilempar bersama-sama, peluang munculnya 2 gambar dan angka adalah 2 a. 3 3 b. 4 c. 2 3 d. 8 5 e. 8 3. Sebuah dadu yang homogen bermata enam dilempar satu kali, maka peluang untuk mendapatkan mata dadu 3 lebih adalah a. 6 b. 3 c. 2
2 d. 3 5 e. 6 4. Dalam seperangkat kartu bridge, akan diambil sebuah kartu acak, peluang terambilnya kartu AS adalah a. 3 2 b. 3 c. 4 d. 2 2 e. 3 5. Sebuah home industri mempunyai 6 karyawan laki-laki dan 4 karyawan perempuan. Akan dipilih 3 orang karyawan untuk mengikuti diklat, peluang terpilih 2 perempuan dan laki-laki adalah a. 8 b. 6 c. 5 3 d. 0 3 e. 2 6. Dua dadu dilempar bersama-sama 72 kali, maka frekuensi harapan munculnya mata dadu berjumlah 3 atau 7 adalah a. 20
b. 8 c. 6 d. 4 e. 2 7. Sebuah kantong berisi 0 kelereng biru, 8 kelereng kuning dan 2 kelereng merah. Sebuah kelereng diambil secara acak dari kantong. Peluang terambil kelereng biru atau kuning adalah 6 a. 20 4 b. 20 2 c. 20 8 d. 20 7 e. 20 8. Bila sebuah permutasi dari kata come diambil secara acak, peluang bahwa permutasi itu dimulai dengan huruf vokal adalah. a. 5 b. 4 c. 3 d. 2 e. 5 2 9. Jika sebuah huruf dipilih dari kata WATIMENA, peluang terpilihnya huruf vokal adalah a. 4
b. 3 c. 2 d. 5 e. 0. Tiga buah dadu bermuka enam dilempar bersama-sama, peluang muncul dadu yang berjumlah 5 a. 36 5 b. 8 c. 20 d. 36 e. 72. Pada pelemparan 6 buah mata uang logam, peluang munculnya gambar sebanyak dua buah atau lebih adalah 29 a. 32 57 b. 64 5 c. 64 d. 6 e. 2. Diantara 30 siswa, 22 siswa suka matematika, 5 siswa suka ekonomi dan 2 siswa tidak suka keduanya. Akan diambil seorang siswa secara acak, peluang terpilih siswa yang suka matematika saja adalah
22 a. 30 6 b. 30 5 c. 30 4 d. 30 3 e. 30 3. Dalam sebuah kotak terdapat 0 permen gulas, 8 kopiko dan 2 nanonano, dari kotak tersebut diambil sebuh permen, peluang terambil permen gulas adalah a. 5 b. 4 c. 3 2 d. 3 e. 0 4. Peluang bahwa sebuah bilangan puluhan merupakan kelipatan 5 adalah 8 a. 90 9 b. 90 9 c. 45 d. 90
7 e. 8 5. Tiga mata uang logam dilempar bersama-sama 240 kali, frekuensi harapan terambilnya satu gambar dan 2 angka adalah a. 90 b. 00 c. 20 d. 30 e. 50 B. Jawablah soal berikut dengan singkat dan benar!. Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola putih, 6 bola kuning dan 3 bola hitam. Dari dalam kotak diambil 3 sekaligus. Tentukan peluang terambil : a. 2 bola kuning dan hitam b. paling sedikit 2 bola putih 2. Pada pelemparan tiga buah dadu sekaligus, berapa peluang hasil kali ketiga mata dadu yang muncul itu sama dengn 6? 3. Tiga puluh peserta tes karyawan yang diadakan oleh suatu perusahaan 0 diantaranya putri. Akan terpilih 5 orang untuk menjadi karyawan. Berapa peluang untuk diterima jika yang dipilih 3 putra dan 2 putri? 4. Pada pelemparan 5 mata uang logam tentukan ; a. banyaknya ruang sampel b. peluang muncul gambar dan 4 angka c. peluang muncul 2 gambar dan 3 angka 5. Sejumlah kartu bernomor 2 2 4 3 2 5 7 3 8 5 2 3 2 akan diambil sebuah kartu secara acak dan diulang 50 kali tentukan frekuensi harapan terambil kartu bernomor bilangan prima. Pertemuan ke 25 s/d 36 F. Peluang Suatu Kejadian Majemuk. Gabungan dua kejadian Jika diketahui dua kejadian A dan B, maka gabungan keduanya adalah :
Keterangan : (A B) = kejadian A atau B Contoh : (A B) = kejadian A dan B Dari seperangkat kartu bridge diambil sebuah kartu. Jika A kejadian terambil kartu bergambar daun waru dan B kejadian terambil kartu AS, maka peluang muncul kejadian A atau B. Jawab : n(s) = 52 n(a) = 3 n(b) = 4 n(a B) = P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = = 3 52 + 6 = 52 4 52 4 3 52 2. Kejadian-kejadian saling lepas Dua kejadian disebut saling lepas jika A B = 0 sehingga P (A B) = 0 dengan demikian : P (A B) = P(A) + P(B) Contoh Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah, 3 bola putih dan 4 bola hijau. Berapakah peluang terambilnya bola merah atau bola hijau pada sekali pengambilan? Jawab : 5 A = kejadian terambil bola merah P (A) = 2 4 B = kejadian terambil bola hijau P(B) = 2
(A B) = jadi, P ( B) = P (A) + P (b) P (A B) = 2 5 + 2 4-0 = 2 9 = 4 3 3. Kejadian bersyarat (kejadian tidak saling bebas) Diketahui P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi. Jika P (A B) = adalah peluang terjadinya A dan B maka : P (A B) = P (B) x P (A B) Atau P (A B) P (A B) = P(B) Contoh : Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola putih dan 8 bola hitam. Diambil 2 bola berturut-turut satu persatu tanpa pengembalian. Berapa peluang terambilnya kedua bola hitam? Jawab : n (S) = 5 + 8 = 3 8 Jika B kejadian terambil bola hitam yang pertama, P (B) = 3 Jika A kejadian terambil bola hitam kedua terjadi maka P (A B) = 8 7 4 Sehingga P (A B) = P(B) x P (A B) = x = 3 2 39 4. Teorema Bayes Teorema Bayes adalah adanya hubungan antara P (A B) dan P(B A) yaitu : P (A B) x P(A) = P (A B) x P(B)
Contoh : Jika A dan B suatu kejadian pada ruang sampel S dengan P(A) = 0,35, P(B) = 0,25 dan P(A B) = 0,08 maka tentukan : Jawab : a. P (A B) = P (A B) = P(B) 0,08 0,25 = 0,32 P(A B) = P(B A) = 0,08 b. P (A B) = P (B A) = P(A) 0,08 0,35 = 8 3,5 5. Kejadian saling bebas Kejadian saling bebas (stokhastik) adalah dua kejadian yang kemunculan kejadian yang satu tidak dipengaruhi kejadian lainnya. Diketahui 2 kejadian A dan B saling bebas (stokhastik), maka P (A B) = P(A), sehingga : Jika A dan B dua kejadian saling bebas (stokhastik), maka A c dan B c juga merupakan kejadian saling bebas (stokhastik). Contoh : S = AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG n(s) = 8 A = AGGG, GAG, GGA n(a) = 3 B = AGG, GAG, GGA n(b) = 3 P(A B) = P(A) x P(B) = 3 x 8 3 8 = 9 64 Keterangan : kemunculan A dan B saling bebas Lembar Kerja Siswa
. Sebuah koind dan sebuah dadu bermata enam dilempar bersama-sama, tentukan peluang muncul koin dengan muka gambar dan dadu bermata prima. Jawab : Antara koin dan dadu tidak saling mempengaruhi maka kejadian ini saling bebas. Peluang muncul maka gambar dan mata dadu prima adalah P = P(G). P(prima) =................ =... 2. Dua dadu biru dan hijau dilempar bersama-sama, jika A kejadian muncul mata dadu berjumlah 6 dan B kejadian muncul mata dadu biru selalu angka 4, maka berapa peluang kejadian A atau B? Jawab : Hijau 2 3 4 5 6 Biru (,) (,2) (,3) (,4) (,5) (,6) 2............ 3 (3,).......... 4 (4,).......... 5............ 6............ n(s) = A = {(,5),.,..,.., } n(a) =. B = {(3,),.,.,.,.} n(b) = A B = {.} n(a B) =. 3. Di sebuah kelas terdapat 50 orang murid, 20 murid suka pelajaran matematika dan 30 murid menyukai akuntansi. Diketahui 5 murid
menyukai kedua-duanya. Tentukan peluang bahwa seorang murid di kelas tersebut menyukai matematika atau akuntansi. Jawab : Agar lebih mudah dibuat dulu diagram himpunan Misal, A = siswa yang menyukai matematika B = siswa yang menyukai akuntansi Sehingga diagram Vennnya adalah : 50 A B n(s) = 50 n(a) = 20 5 5 n(b) = 30 n(a B) =. n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) Jadi P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 20... +............ =...... =...... 4. Tiga orang kandidat kepala sekolah saling bersaing memperebutkan satu jabatan. Calon A dan B mempunyai peluang berhasil yang sama, sedangkan calon C mempunyai peluang berhasil dua kali lebih besar dari A maupun B. a. Berapa peluang C berhasil? b. Berapa peluang B tidak berhasil? PELATIHAN 6 A. Berilah tanda silang (x) huruf a, b, c, d atau e di depan jawaban yang paling benar!. Tiga mata uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali bersama-sama, peluang muncul tiga gambar pada uang logam dan dadu bermata bilangan kelipatan 3 adalah a. 2
b. 5 c. 20 d. 24 e. 24 2 2. Dari setumpuk kartu bridge, akan diambil 3 kartu sekaligus secara acak, peluang terambil 2 kartu AS dan kartu Quen adalah 2 a. 5525 3 b. 5525 4 c. 5525 5 d. 5525 6 e. 5525 3. Dalam sebuah kotak terdapat manik-manik, 6 berwarna biru, 3 putih, dan 5 hitam dari dalam kotak akan diambil 3 manik-manik secara acak satu persatu tanpa pengembalian. Peluang terambil putih pada pengambilan pertama dan biru pada pengambilan kedua dan ketiga adalah 45 a. 83 35 b. 85 5 c. 83 5 d. 69
45 e. 69 4. Seorang penembak mempunyai kemampuan membidik dengan tepat sebesar 90%. Jika hasil bidikan yang diulang adalah bebas dan berkemampuan tetap, maka peluang menembak 3 kali dengan hasil untuk pertama kali meleset dan dua kali berikutnya tepat adalah a. 0,8 b. 0,8 c. 0,09 d. 0,08 e. 0,027 5. Sekeping uang logam dilemparkan 4 kali. Peluang muncul gambar 3 kali adalah a. 0,2 b. 0,24 c. 0,25 d. 0,30 e. 0,50 6. Seorang peneliti memprediksi dampak kenaikan harga BBM terhadap kenaikan harga sembako dan kenaikan gaji pegawai negeri. Peluang harga sembako naik adalah 0,92 sedangkan peluang gaji pegawai negeri tidak naik hanya 0,5. Bila prediksi ini benar, maka besar peluang gaji pegawai negeri dan harga sembako naik adalah. a. 0,78 b. 0,75 c. 0,68 d. 0,65 e. 0,2 7. Sebuah kotak berisi lima bola merah dan tiga bola putih. Jika diambil dua bola sekaligus dari kotak itu, peluang (probabilitas) bola yang terambil adalah bola merah dan bola putih adalah
2 a. 28 3 b. 28 4 c. 28 5 d. 28 6 e. 28 8. Dalam sebuah tas berisi manik-manik berwarna-warni, 5 manik hijau, 4 kuning dan 6 merah akan diambil 2 manik-manik satu per satu tanpa pengembalian, peluang terambil dua manik pertama warna merah dan kedua warna kuning adalah. a. 35 4 b. 36 5 c. 36 6 7 d. 36 8 e. 35 9. Misalkan A dan B adalah dua peristiwa lepas pada suatu eksperimen dengan P(A) = 0,3 dan P(B) = 0,6. peluang munculnya peristiwa A atau B adalah. a. 0,8 b. 0,3 c. 0,6 d. 0,8 e. 0,9
0. Jika peluang seseorang untuk diterima di perguruan tinggi negeri sebesar 0,05 dan peluang untuk diterima sebagai pembersih toko pada malam harinya adalah 0,4 maka peluang untuk diterima kedua-duanya. a. 0,9 b. 0,07 c. 0,09 d. 0,007 e. 0,009. Pada suatu ujian peluang Rahma lulus 47% dan peluang Nurma lulus 58%. Peluang bahwa hanya salah satu yang lulus adalah a. 0,974 b. 0,5048 c. 0,6048 d. 0,604 e. 0,648 2. A, B, C, dan D akan berfoto bersama secara berdampingan. Peluang A dan B selalu berdampingan adalah a. 2 b. 6 c. 3 d. 2 2 e. 3 3. Lima orang anak akan berfoto bersama berjajar, peluang seorang dari mereka (misal ; A) selalu ditengah adalah a. 6
b. 5 c. 4 d. 3 e. 2 4. Suatu kantong berisi 6 bola putih dan 8 bola merah, diambil satu bola dua kali berturut-turut tanpa pengembalian. Peluang bola yang terambil berlainan warna adalah 48 a. 9 46 b. 9 48 c. 8 24 d. 9 24 e. 8 5. Pada suatu perlombaan loncat indah, peluang A akan menang 2 : 3 dan peluang B akan menang :4 maka peluang A dan B akan menang adalah a. 2 b. c. 5 3 2 2,5 3 d. 25 e. 2 2
B. Jawablah soal berikut dengan singkat dan benar!. Dari seperangkat kartu bridge diambil 2 kartu sekaligus, berapa peluang muncul sebuah kartu As dan sebuah kartu bernomor tujuh? 2. Tabel disamping adalah data Nilai Frekuensi kelompok 3 40 2 nilai ulangan matematika kelas 4 II IS 3 50. 3 Dari sekelompok siswa tersebut 5 diambil 60 7 secara acak 8 siswa. Tentukan 6 peluang 70 8 siswa yang terambil 3 7 80 5 orang nilainya 60 ke bawah dan 5 orang 8 90 3 nilainya di atas 60 dan maksimal 80. 9 00 2 3. Bila kode dalam sebuah catalog di perpustakaan dimulai dengan dua huruf yang berbeda dan diikuti empat angka bukan nol yang berbeda, hitunglah peluang diperoleh kode yang diawali dengan huruf hidup dan keempat angkanya membentuk bilangan ganjil, jika pengambilannya secara acak. 4. Tujuh mata uang logam dilempar bersama-sama, tentukan peluang muncul 4 gambar dan 3 angka! 5. Dari 42 siswa kelas II IS 3, 23 siswa suka bakso dan 2 siswa suka mie ayam, jika 8 orang tidak suka keduanya. Tentukan peluang terpilihnya dua orang yang suka keduanya. ULANGAN HARIAN 3 A. Berilah tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d atau e di depan jawaban yang benar!. Sekeping uang logam dilemparkan 6 kali berturut-turut. Peluang sekurangkurangnya muncul sisi angka adalah a. 64
b. 32 c. 2 63 d. 64 54 e. 63 2. Sebuah kartu diambil dari satu set kartu bridge. Peluang terambilnya kartu As atau kartu King adalah a. 52 b. 52 3 c. 52 7 d. 3 2 e. 3 5 3. Dari 25 siswa putri, 5 anak senang memasak dan 20 anak senang membaca. Dipilih seorang anak peluang mendapatkan satu anak yang senang memasak dan membaca adalah a. 4 3 b. 7 5 c. 5 2 d. 25 e. 35
4. Pada pelemparan 5 mata uang logam, peluang muncul 3 angka dan 2 gambar adalah a. 32 6 b. 32 9 c. 6 5 d. 6 3 e. 6 6 5. Dari seperangkat kartu bridge akan diambil 3 kartu secara acak. Peluang terambil 2 kartu King dan kartu AS adalah 4 a. 5545 3 b. 5525 6 c. 5545 8 d. 5525 6 e. 5525 6. Seorang anak melakukan tiga tahap pemeriksaan kesehatan. Peluang ia dinyatakan sehat pada tiap tahap berturut-turut adalah /5, /3, 3/5 peluang anak tersebut sehat hanya pada tahap pertama adalah 5 a. 65 7 b. 75 8 c. 75
9 d. 75 5 e. 75 7. Dalam sebuah keranjang terdapat manik-manik hijau, 6 manik-manik putih, dan 0 manik-manik merah. Seorang anak akan mengambil 3 buah manik-manik satu per satu tanpa pengembalian, peluang terambil manikmanik hijau, merah dan terakhir putih adalah a. 57 4 b. 57 3 c. 57 2 d. 4 3 e. 4 8. Dua buah dadu dan dua mata uang logam dilempar bersama-sama. Kejadian A adalah munculnya mata dadu berjumlah 8 dan B adalah kejadian munculnya paling sedikit angka. Peluang kejadian A dan B adalah. 5 a. 44 7 b. 44 8 c. 44 60 d. 44 64 e. 44
9. Pada pelemparan dua buah dadu, peluang munculnya mata dadu yang hasil kali dua dadu sama dengan 6 adalah a. 8 b. 2 c. 9 d. 36 5 e. 6 0. Dari setumpuk kartu bridge diambil sebuah kartu secara acak. Peluang muncul kartu raja (king) adalah a. 52 b. 26 c. 3 d. 3 2 e. 4. Dari seperangkat kartu bridge diambil sebuah kartu acak peluang muncul kartu As atau kartu merah hati adalah 8 a. 52 7 b. 52 6 c. 52
d. 3 8 e. 3 6 2. Jika 3 mata uang logam dilempar bersama-sama, maka banyaknya anggota ruang sampelnya adalah a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 8 3. Sebuah koin yang seimbang dilempar 6 kali. Peluang muncul 3 gambar dan 3 angka adalah a. 6 5 b. 6 3 c. 6 6 d. 6 7 e. 6 9 4. Dalam sebuah kotak terdapat 4 topi merah, 2 topi hijau dan 5 topi putih, dari dalam kotak tersebut diambil 2 topi satu per satu dengan pengambilan secara acak. Peluang terambil paling sedikit topi putih adalah 42 a. 2 55 b. 2 53 c. 2
62 d. 2 68 e. 2 5. Dalam pemilihan pelajar berprestasi, terdapat 5 siswa putar dan 4 siswa putri. Peluang terpilih dua orang pemenang satu putar dan satu putri adalah a. 9 b. 9 2 c. 9 3 d. 9 4 e. 9 5 6. Dari seperangkat kartu bridge diambil 2 kartu sekaligus, peluang terambilnya 2 kartu tersebut king adalah a. 22 3 b. 22 4 c. 22 2 d. 22 5 e. 22 7. Tiga bola diambil sekaligus secara acak dari dalam kotak yang berisi 6 bola merah, 7 bola hitam, dan 4 bola putih. Peluang terambil ketiganya berwarna merah adalah
3 a. 340 b. 34 c. 7 3 d. 7 6 3 e. 7 8. Dalam pembentukan suatu panitia bakti sosial, 5 wanita dan 8 pria mencalonkan diri. Dari semua calon ini akan dipilih secara acak 3 orang sebagai pemimpin. Peluang terpilih 2 pemimpin pria adalah 70 a. 43 64 b. 43 40 c. 43 4 d. 43 5 e. 43 9. Sebuah dadu bermata delapan yaitu,2,3,4,5,6,7,8 peluang muncul mata dadu bilangan prima pada pelemparan dadu tersebut adalah a. 5 b. 4 c. 3 d. 2
e. 20. Jika tiga mata uang dilempar bersama-sama, maka peluang untuk memperoleh dua sisi muka dan satu sisi belakang adalah a. 6 2 b. 6 c. 8 2 d. 8 3 e. 8 2. Sebuah kotak berisi 3 buah kelereng putih dan 2 kelereng hitam. Pada pengambilan dua kali berurutan, peluang untuk mendapatkan sebuah kelereng hitam pada pengambilan pertama dan sebuah kelereng hitam pada pengambilan yang kedua adalah a. 0,08 b. 0,0 c. 0,6 d. 0,20 e. 0,30 22. Sebuah permutasi dari kata HOUSE diambil secara random, peluang terambil bahwa permutasi itu mempunyai huruf hidup dan huruf mati berselang-seling adalah a. 5 b. 8 c. 0
d. 5 2 e. 0 3 23. Dalam sebuah yayasan terdapat 8 wanita dan 6 pria sebagai calon pengurus harian, peluang terpilih 2 wanita dan pria adalah a. 6 b. 3 6 c. 3 4 d. 4 e. 3 7 24. Sebuah kantong berisi 25 buah kelereng yang terdiri dari 0 kelereng merah dan yang lain berwarna putih. Diambil sekaligus dua kelereng secara acak. Peluang terambilnya dua kelereng merah adalah a. 3 2 b. 5 2 c. 5 3 d. 20 3 7 e. 20 25. Dari 5 putra dan 0 putri dipilih 5 orang pemain bulu tangkis yang terdiri 3 putra dan 2 putri, peluang terpilihnya 3 putra dan 2 putri adalah 75 a. 258
65 b. 258 75 c. 58 67 d. 58 65 e. 58 B. Jawablah soal di bawah ini dengan singkat dengan benar!. Dari seperangkat kartu bridge akan diambil 3 kartu secara acak satu per satu. Tentukan peluang terambilnya kartu AS, kartu king dan kartu queen, jika diambil dan tidak dikembalikan! 2. Sebuah uang logam tidak seimbang sehingga peluang munculnya sisi gambar dua kali lebih besar daripada sisi angka. Jika uang tersebut dilempar undi 3 kali. Berapa peluang muncul dua sisi gambar dan satu sisi angka. 3. Dalam pembentukan suatu panitia amal, 0 wanita dan 6 pria mencalonkan diri. Dari semua calon akan dipilih secara acak 3 orang sebagai pimpinan. Tentukan peluang terpilih : a. ketiganya pria b. 2 wanita dan pria 4. Tiga ekor kuda yaitu A, B, dan C sedang berpacu. Harapan untuk menang A adalah dua kali harapan menang B, dan harapan menang B adalah dua kali harapan menang C. a. Hitunglah peluang kemenangan A, B, dan C! b. Tunjukkan bahwa peluang B atau C menang adalah 7 3! 5. 6 mata ung logam dilempar 320 kali bersama-sama, tentukan : a. Peluang muncul 4 angka dan 2 gambar b. Frekuensi harapan muncul 3 angka dan 3 gambar PELATIHAN AKHIR SEMESTER GASAL