2. Osilator Harmonik Pada mekanika klasik, salah satu bentuk osilator harmonik adalah sistem pegas massa, yaitu suatu beban bermassa m yang terikat pada salah satu ujung pegas dengan konstanta pegas k. Persamaan gerak beban adalah = = = = (2) dengan adalah frekuensi anguler osilasi Persamaan (2) adalah persamaan diferensial orde dua dengan akar-akar bilangan kompleks yang berlainan, solusinya adalah =sin+cos (3) dan energi potensial sistem adalah = 2 = 2 (4) Lalu bagaimana tinjauan osilator harmonik dalam mekanika kuantum? Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang dari osilator harmonik diperoleh dengan memecahkan persamaan Schrödinger dengan potensial berbentuk = 2 Oleh karena tidak bergantung waktu, maka kita dapat menggunakan persamaan Schrödinger tak bergantung waktu bentuk satu dimensi, yaitu ħ " 2 +"=# "
ħ " 2 + 2 "=#" (5) Gambar. Potensial osilator harmonik Untuk menyelesaikan persamaan (5), kita gunakan metode aljabar, bentuk persamaan (5) dapat ditulis menjadi 2 %ħ & ' "+ 2 "=#" 2 (%ħ & ' + )"=#" (6) dengan menggunakan sifat aljabar bahwa ++ = ( &+)(+&+) maka ruas kiri persamaan (6) kita nyatakan dalam bentuk perkalian dua faktor, yaitu 2 (%ħ & 2 (%ħ & ' + )" 2 %ħ & ' + )" 2 %ħ & 2 (%ħ & ' + )". / " &'%ħ & &' 2 %ħ & +&'" dengan. dan / adalah suatu operator yang didefinisikan sebagai berikut +&'"
. 2 %ħ &' (7) & / 2 %ħ +&' (8) &. dan / adalah operator, dan bukan bilangan biasa. Pada umumnya operator tidak bersifat komut (a op b op b op a op ) sehingga perlu dicek produk dari. / jika bekerja pada suatu fungsi, misalnya 3.. / 3= 2 %ħ &. / 3= 2 %ħ & &' 2 %ħ & &'4ħ & +&'3 3 +&35. / 3= 2 3 & '2 2 +ħ 738 ħ 3 +2 39. / 3= 2 3 & '2 2 +ħ3+ħ 3 3 ħ + 2 3:. / 3= 2 3 & '2 + 2 2 3+ħ39. / 3= 2 & ' + 2 +ħ93 dengan mengeliminasi 3 maka didapatkan produk dari. /, yaitu. / = & ' 2 + 2 9+ ħ 2 + & ' 9= + ħ 2 (9) (0) dengan mensubstitusikan persamaan (9) ke persamaan (6), didapatkan bentuk persamaan Schrödinger baru, yaitu %. / ħ '"=#" 2
. / "=%#+ ħ 2 '" (2) Persamaan dapat dituliskan dengan = >? "=#" (3) dengan = >? =. / ħ@, adalah bentuk satu dari operator Hamiltonian untuk osilator harmonik. Persamaan (3) merupakan persamaan nilai eigen, dengan " adalah fungsi eigen (yaitu solusi dari persamaan Schrödinger) dan nilai eigennya #. Perhatikan kembali uraian untuk mendapatkan produk dari. /! Dengan cara serupa, akan didapatkan produk dari /., yaitu /. = + & ' 9 ħ 2 + & ' 9= + + ħ 2 (4) (5) dengan mensubstitusi persamaan (5) ke persamaan (6), diperoleh bentuk persamaan Schrödinger lain, yaitu % /. + ħ 2 '"=# " (6) /. "=%# ħ 2 ' " (7) Persamaan (6) dapat dituliskan dengan = >? "=#" (8) dengan = >? = /. + ħ@, adalah bentuk dua dari operator Hamiltonian untuk osilator harmonik Selanjutnya kita lihat bagaimana sifat dari operator. jika bekerja pada fungsi eigen ". Misalkan suatu fungsi, A. " maka jika = >? =. / ħ 2 bekerja pada A, menghasilkan
= >? A == >?. " = >? A =%. / ħ 2 '." = >? A =. /. " ħ 2." dengan mensubstitusikan persamaan (7), diperoleh = >? A =. %# ħ 2 ' " ħ 2." = >? A =%# ħ 2 '." ħ 2." = >? A =%# ħ 2 ħ 2 '." = >? A =(# ħ)a (9) Bandingkan persamaan (9) dengan persamaan (3)! Persamaan (9) adalah juga persamaan nilai eigen. Jika fungsi eigen " adalah solusi bagi persamaan Schrodinger dengan nilai eigen # maka fungsi eigen A juga merupakan solusi dari persamaan Schrödinger dengan nilai eigen # ħ. Namun, nilai eigen dari A turun sebesar ħ dibandingkan dengan nilai eigen dari ". Hal ini menunjukkan bahwa operator. menurunkan energi sebesar ħ. Demikian juga jika operator.. bekerja pada " maka akan menurunkan energi sebesar 2ħ, dan seterusnya. Jika Φ= " Φ= D " maka = >? Φ =(# Dħ)Φ (20)
Lalu bagaimana sifat dari operator / jika bekerja pada fungsi eigen "? Misalkan suatu fungsi, A / " maka jika = >? = /. + ħ 2 bekerja pada A, menghasilkan = >? A == >? / " = >? A =% /. + ħ 2 ' /" = >? A = /. / "+ ħ 2 /" dengan mensubstitusikan persamaan (2), menghasilkan = >? A= / %# + ħ 2 '"+ħ 2 /" = >? A =%# + ħ 2 +ħ 2 ' /" = >? A=(# +ħ)a (2) Terlihat bahwa A memiliki nilai eigen #+ħ. Hal ini menunjukkan bahwa operator / bersifat menaikkan energi sebesar ħ. Demikian juga jika operator / / bekerja pada " maka akan menaikkan energi sebesar 2ħ, begitu seterusnya. Sehingga jika Φ= + + + + " Φ= E / " maka = >? Φ =(# +Dħ)Φ (22) Sampai saat ini, kita belum memperoleh bentuk spesifik dari ". Untuk itu, kita perhatikan kembali persamaan (9). Jika kita operasikan. berkali-kali pada " maka suatu saat akan dicapai suatu keadaan dengan energi terendah. Keadaan dengan energi terendah biasa disebut dengan keadaan dasar (ground state). Misalkan " F adalah solusi untuk keadaan dasar maka pengoperasian
operator. pada " F akan menghasilkan nol karena tidak ada lagi keadaan dengan energi yang lebih rendah.. " F =0 2 %ħ & &'" F=0 2 4ħ " F &" F 5=0 & ħ" 0 =&" & 0 " 0 = " 0 ħ " 0 " 0 = ħ G " 0 " 0 = ħ G ln" F = 2ħ 2 +I " F =J. 2ħ 2 +I " F = F J. 2ħ 2 (23) Persamaan (23) merupakan fungsi gelombang dari osilator harmonik pada keadaan dasar yang belum ternormalisasi. Setelah fungsi gelombang untuk keadaan dasar diperoleh maka kita dapat menentukan fungsi gelombang pada keadaan tereksitasi ke n, " E dengan bantuan operator /, yaitu " E =( / ) E " F " E =( / ) E K E J. 2ħ 2 L " E = E ( / ) E J. 2ħ 2 (24)
Selanjutnya kita cari berapa energi osilator harmonik pada keadaan dasar. Caranya adalah dengan memecahkan persamaan Schrödinger pada persamaan (6) untuk " sama dengan " F. % /. + ħ 2 '" F=# F " F /. " F + ħ 2 " F=# F " F oleh karena. " F =0 maka ħ 2 " 0 =# 0 " 0 # F = ħ 2 (25) Ternyata energi pada keadaan dasar dari osilator harmonik juga tidak nol sama seperti kasus partikel dalam sumur potensial tak hingga. Kemudian untuk mendapatkan energi pada keadaan tereksitasi ke n, # E kita diturunkan dari persamaan (22), diperoleh # E = # F +Dħ # E = Dħ+ ħ 2 # E = %D+ 'ħ (26) 2 Akhirnya kita peroleh solusi umum dari persamaan Schrödinger yang bergantung waktu, yaitu Ψ(,) = OP E " E J.QR ST/ħ EWX Ψ(,) = OP E E ( / ) E J. 2ħ 2 J.QKE+ 2 LħT/ħ EWX Contoh
Tentukan fungsi gelombang ternormalisasi bentuk tak bergantung waktu dari osilator harmonik yang berada pada keadan dasar! Solusi Fungsi gelombang tak bergantung waktu dari osilator harmonik yang berada pada keadan dasar adalah " F = F J. 2ħ 2 Syarat normalisasi adalah G " F. = G " F " F =. G F J. 2ħ 2 F J.. 2ħ 2 F G J. ħ 2 =. F 2G J. ħ 2 = F = F 2 [ 2 \]ħ ^ = F = K ]ħ LX/_ Dengan demikian, fungsi gelombang ternormalisasinya adalah " F =K LX/_ J. ]ħ 2ħ 2 Contoh 2
Tentukan fungsi gelombang tak bergantung waktu dari osilator harmonik pada keadaan tereksitasi pertama, kemudian lakukan normalisasi terhadap fungsi gelombang tersebut! Solusi Fungsi gelombang tak bergantung waktu untuk keadaan tereksitasi ke n adalah " E = E ( / ) E J. 2ħ 2 maka untuk keadaan tereksitasi pertama, n = sehingga " X = X / J. 2ħ 2 " X = X 2 %ħ & +&'J. " X = X 2 %ħ & J. 2ħ 2 2ħ 2 +&J. 2ħ 2 ' " X = X 2 %ħ & K ħ J. 2ħ 2 L+&J. " X = X 2 K&J. 2ħ 2 +&J. " X = 2& X 2 KJ. 2ħ 2 L " X =& X 2 J. 2ħ 2 2ħ 2 L " X =IJ. 2ħ 2,ddengan I & X 2 Melakukan normalisasi terhadap " X G " X. = G " X " X =. G KIJ.. 2ħ 2 L IJ. 2ħ 2 = 2ħ 2 '
I G 2 J. ħ 2 =. I (2G 2 J. ħ 2 F ) = G 2 J.2 F = 4 ] I d2 ħ 4 \]ħ e = I \ ] 4 % ħ ' f = I = \ 4 f ] K ħ L I =g 4 f X/_ ] K ħ L h Dengan demikian, " X ternormalisasinya adalah " X =g 4 f ] K ħ L h X/_J. 2ħ 2