Seminr Nsionl Apliksi Teknologi Informsi 2004 Yogykrt, 19 Juni 2004 Visulissi Aljbr Mtriks sebgi Alt Bntu Pembeljrn Ami Fuzh, Ir Fitrini Widiningrum Jurusn Teknik Informtik, Universits Islm Indonesi, Yogykrt e-mil: mi@fti.uii.c.id Abstrct Visuliztion is one of the use of technology for lerning process. This ppliction used for mtrix lgebr which more complex clculted opertion, to mke the lerning process more ttrctive nd hence will motivte student to study more ctively. Keywords: visuliztion, lerning, mtrix lgebr 1. Pendhulun Metode pembeljrn yng berlku di Indonesi pd umumny msih bersift mnul yitu dengn perntr orng lin yng disebut guru tu dengn perntr tulisn dn/tu gmbr di dlm buku sehingg proses pembeljrnny terkdng sngt membosnkn dn tidk efisien. Demikin jug pd proses pembeljrn mtriks. Selm ini proses pembeljrn mtriks dilkukn secr berkelompok dengn cr mengikuti peljrn di sekolh, diskusi ntr temn, dn/tu secr individu dengn cr beljr mellui buku. Pd kenytnny proses pembeljrn mtriks merupkn proses yng penuh dengn opersi penghitungn ngk-ngk, yng bisny membosnkn dn pd khirny menurunkn mint beljr. Untuk itu perlu dny sutu metode pembeljrn bru yng efektif dn efisien untuk lebih merngsng mint beljr. Komputer merupkn slh stu lterntif bru yng dpt dipliksikn dlm metode pembeljrn. Dengn kenytn ini, mk dlm penelitin ini dibut progrm pliksi untuk pembeljrn mtriks yng diserti dengn visulissi gr proses pembeljrn mtriks menjdi menrik dn tidk membosnkn. Opersi penghitungn mtriks terbts pd opersi penjumlhn, pengurngn, perklin, dn pencrin nili determinn dengn metode Srrus, metode Ekspnsi, dn metode Dekomposisi. 2. Lndsn Teori 2.1 Teori Pembeljrn Pembeljrn merupkn dsr dri pol perilku mnusi. Ap yng dibw oleh seseorng sewktu memuli sutu kegitn yng berup pengethun, ketrmpiln, dn sikp merupkn kibt dri proses pembeljrn. Btsn dri pembeljrn yng diterim secr lus yitu bhw pembeljrn dlh sutu perubhn yng permnent sebgi hsil peltihn tu penglmn untuk meningktkn kemmpun dlm mencri jwbn dri sutu persoln. [4] Kemudin Crisnll (1995) mengemukkn bhw pembeljrn didefinisikn sebgi perubhn permnen dlm berperilku yng terjdi sebgi hsil prktek. [1]
2.2 Komputer sebgi Alt Bntu Pembeljrn Pemnftn teknologi dlm proses pembeljrn mempunyi krkteristik yng relevn bgi peningktn mutu pendidikn kren [1]:. Dimungkinkn penyebrn informsi secr lus, mert, cept, sehingg dengn demikin pesn dpt dismpikn sesui dengn isi yng dimksud, b. Dpt menyjikn mteri secr logis, ilmih, dn sistemtis sert mmpu melengkpi dn memperlus konsep-konsep mteri peljrn, c. Dpt menjdi prtner teng pengjr dlm rngk mewujudkn proses beljr mengjr yng efektif, efisien, produktif sesui dengn kebutuhn sert dpt menyjikn mteri menjdi lebih menrik sehingg dpt memcu mint beljr nk didik. Komputer sebgi lt bntu pembeljrn (Computer Assisted Instructions) kini semkin menunjukkn peningktn yng cukup signifikn. Beberp istilh yng bnyk digunkn dlh CAL (Computer Aided Lerning), CBE (Computer Bsed Eductions), dn CMI (Computer Mnged Instructions). Istilh-istilh tersebut digunkn pd pliksipliksi untuk sistem pembeljrn dn sistem yng menunjng sistem pembeljrn seperti mengolh dt, menctt kehdirn dn sebginy. Apliksi bidng pembeljrn dengn komputer sebgi lt bntu dintrny dlh:. Drill nd Prctice (ltih dn prktek), dengn CAI menggntikn pengjr untuk memberikn ltihn kepd sisw, b. Tutoril (penjelsn), dengn sistem computer digunkn untuk menympikn jrn, c. Simulsi dn gme yng dpt menmbh pengethun. 2.3 Mtriks dn Opersi Mtriks Mtriks didefinisikn sebgi himpunn obyek (bilngn riil tu kompleks, vribelvribel tu opertor dn sebginy) yng disusun secr persegi pnjng (yng terdiri ts bris dn kolom) yng dibtsi dengn tnd kurung siku tu kurung lengkung. Bnykny bris dn kolom menentukn ukurn (orde) sebuh mtriks.[2] Mtriks merupkn sutu susunn bilngn-bilngn (riil tu kompleks) dlm empt persegi pnjng, yng berbentuk: 1 n 2n A A mxn (1) : : : m1 m2 mn Bilngn mn diktkn sebgi unsur mtriks A tu elemen mtriks A. Gris horizontl disebut sebgi bris tu vektor bris, dn gris vertikl disebut sebgi kolom tu vektor kolom dri mtriks A. Mtriks dengn m bris dn n kolom, secr singkt disebut sebgi mtriks m x n. [3] Opersi terhdp sutu mtriks merupkn opersi terhdp elemen-elemenny. Umumny elemen-elemen itu terdiri dri bilngn sejti, mupun kompleks yng tunduk terhdp turn ljbr sklr. Opersi penjumlhn dn pengurngn hny dpt dilkukn pd mtriks yng berorde sm. Apbil [A] dn [B] mtriks yng berorde sm mk [A]+[B]=[C] berorde sm pul dn elemen-elemenny c = + b (2) [A]-[B] =[D] jug berorde sm dn elemen-elemenny d = - b (3)
Menglikn mtriks dengn sklr dpt dituliskn di depn tu di belkng mtriks, setr dengn menglikn tip elemen mtriks itu dengn sklr. [C] = k [A] = [A] k dn c = k (4) Sift perklin mtriks dengn mtriks:. Perklin mtriks dengn mtriks pd umumny tidk komuttif b. Apbil mtriks diklikn dengn mtriks menurut urutn tertentu, mk hrus dipenuhi beberp syrt tertentu. Apbil cch kolom [A] = cch bris [B] mk [A] dpt diklikn dengn urutn: [C] = [A] [B] n c b (5) r 1 ir rj Mtriks [A] dn [B] disebut comformble Apbil mtriks [A] berorde (m,q) dn [B] berorde (q,n) mk [C] kn berorde (m,n). 2.4 Determinn Mtriks Determinn dlh susunn elemen-elemen yng termut ts bris dn kolom, dengn bnyk bris dn kolom dlh sm. Determinn mempunyi nili, sedngkn mtriks tidk. Sutu determinn mempunyi susunn elemen yng diberi bts gris tegk sebgi berikut: D n1 n2 1n 2n nn Besrn-besrn,, nn tu lebih lzim disebut elemen-elemen determinn dn disebut determinn orde ke-n. NILAI DETERMINAN 1. Nili / hrg sutu determinn dpt diperoleh dengn berbgi cr ntr lin :. lngsung dengn turn Srrus b. Metode Ekspnsi menggunkn konsep minor dn kofktor. 2. Cr lngsung (untuk mencri nili determinn orde 2 dn 3). Bil terdpt sutu determinn orde 2 D = - + b. Bil terdpt determinn orde 3 D 31 13 23 33 31 - - - + + + = 33 + 23 31 + 13 13 31-23 - 33
MINOR DAN KOFAKTOR Sutu minor dlh bgin dri sutu determinn yng mempunyi sift-sift seperti determinn. Minor ini terjdi kren dny pencoretn bris ke-i dn kolom ke-j. M berrti minor yng diperoleh kren pencoretn bris 1 dn kolom1. D 31 41 42 43 mk minor elemen dlh M 13 23 13 23 33 14 24 14 24 34 44 41 43 44 Kofktor dlh sutu determinn bgin yng diperoleh kren pencoretn slh stu bris dn kolom yng diikuti tnd positif / negtif. Tnd positif/negtif ini didpt dri bentuk (-i) i+j dengn i dlh bris yng dicoret dn j dlh kolom yng dicoret C = (-i) i+j M (6) METODE EKSPANSI DETERMINAN Metode ekspnsi, menggunkn konsep minor dn kofktor sert elemen yng tercoret du kli. Ekspnsi menurut bris ke-i dlh n D C i= 1, 2, 3, j 1 Ekspnsi menurut kolom ke-j dlh n i1 D C j= 1, 2, 3, 3. Implementsi Sistem Pembeljrn Mtriks Implementsi progrm menggunkn Borlnd Delphi 5 dn Mcromedi Flsh 5. Untuk pembutn visul dn nimsi menggunkn Flsh, sedngkn opersi ljbr mtriks dibut dlm Delphi 5. Form utm terdiri ts tig bgin, bgin pertm terdpt tombol-tombol yng berfungsi untuk membuk file, pengturn keceptn, bntun progrm, tentng progrm, dn kelur dri progrm. Bgin kedu terdpt tombol-tombol untuk opersi mtriks yitu penjumlhn, pengurngn, perklin mtriks dn pencrin determinn. Bgin ketig berisi pengturn msing-msing opersi mtriks, mislny jumlh kolom, jumlh bris, tu jumlh mtriks. Gmbr 1. Form utm
Opersi dn visulissi mtriks ditunjukkn pd form berikutny jik pilihn menu opersi sudh dipilih. Contoh pd opersi pengurngn mtriks. Proses visulissi opersi pengurngn mtriks dimuli dengn mengisikn jumlh bris, kolom, dn mtriks. Setelh diklik tombol ok, kn membuk form proses visulissi seperti terliht pd Gmbr 2. Sebelum proses dimuli, diisikn dulu nili-nili elemen dlm mtriks. Setip elemen mtriks pd posisi bris dn kolom yng sm, mempunyi wrn dsr yng sm. Keceptn pergerkn proses dpt ditur pd menu pengturn. Setelh seluruh elemen mtriks diproses, mk mtriks hsil opersi pengurngn kn ditmpilkn dengn mengklik tombol hsil, seperti ditunjukkn dlm Gmbr 3. Proses yng sm jug dilkukn untuk pencrin nili determinn, perbednny hny pd pemilihn metode pencrin. Ad tig pilihn metode yitu Srrus, Dekomposisi, dn Ekspnsi. 4. Anlisis Kinerj Sistem Pd thp pengujin dn nlisis ini, dilkukn dengn membndingkn hsil perhitungn pd progrm dn teori-teori yng d sert uji cob pd lingkungn proses pembeljrn mtriks. Pengujin norml dilkukn dengn memberikn msukn yng sesui dengn teori ljbr mtriks. Hsil pengujin ini menunjukkn bhw progrm sudh sesui dengn teori. Untuk pengujin tidk norml dilkukn dengn memberikn msukn yng menurut spesifiksi wl dn pengethun priori yng d tidk diinkn. Hsil pengujin menunjukkn progrm sudh memberikn informsi tentng keslhn yng dilkukn kren msukn yng tidk sesui dengn teori. Progrm visulissi berisi kotk-kotk berwrnwrni sebgi identifiksi elemen mtriks yng dpt bergerk sesui opersi yng diinginkn, sehingg memudhkn pemhmn tentng opersi mtriks yng d lngkh per lngkh. Keceptn bergerk dri visulissi elemen-elemen mtriks dpt ditur sesui keinginn dengn nili defult keceptn dlh 15. Gmbr 2. Visulissi proses pengurngn mtriks Gmbr 3. Hsil khir visulissi Teori-teori ljbr mtriks dpt jug diliht dlm menu bntun. Pd menu bntun ini diberikn informsi tentng progrm yng meliputi spesifiksi sistem, ntrmuk, lngkh kerj, dn penyelesin mslh. Keterbtsn progrm d pd keterbtsn lyr monitor untuk menmpilkn mtriks dengn orde lebih dri 5, kren opersi yng melibtkn seluruh elemen dn lngkh-lngkhny. Keterbtsn yng lin pd penngnn opersi yng bervrisi seperti A+B-C*D kren progrm hny dpt menngni opersi yng homogen.
5. Kesimpuln Kesimpuln yng dpt ditrik dlh bhw komputer sebgi lt bntu pembeljrn dpt diwujudkn dlm bentuk progrm visulissi. Aplgi untuk mteri yng berup opersi penghitungnn ngk-ngk seperti ljbr mtriks. Progrm visulissi ljbr mtriks ini dpt menjdi prtner teng pengjr dlm rngk mewujudkn proses beljr mengjr yng efektif, efisien, produktif sesui dengn kebutuhn sert dpt menyjikn mteri menjdi lebih menrik sehingg dpt memcu mint beljr nk didik. Dftr Pustk [1] Dnim Sudrwn, (1995) Medi Komuniksi Pendidikn, Bumi Aksr Jkrt. [2] Krtono, (2002) Aljbr Linier, Vektor dn Eksplorsiny dengn Mple, Grh Ilmu, Yogykrt. [3] Kreyszig Erwin, (1990) Mtemtik Teknik Lnjutn, Erlngg, Jkrt. [4] Munndr, A.S, (2001) Psikologi Industri dn Orgnissi, Universits Indonesi Jkrt.