Modul PELATIHAN GUIDE MATLAB UNTUK PEMBUATAN ANTARMUKA PEMBELAJARAN PERSAMAAN MATEMATIKA DAN GRAFIKNYA PENGENALAN PROGRAM MATLAB MENGGUNAKAN OPERASI OPERASI MATRIKS Oleh : Nur Hdi Wrnto, S.Si Lbortorium Komputer Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Negeri Yogkrt 7
MATRIKS A. Mendefinisikn Mtriks Mtriks dlh kelompok bilngn ng disusun dlm sutu jjrn berbentuk persegi tu persegi pnjng ng terdiri ts bris-bris tu kolom-kolom. Mislkn mtriks A terdiri ts m bris dn n kolom, mk mtriks A diktkn berordo m n ng ditulis A m n. Bnkn elemen mtriks A dlh ( m n ) buh dengn elemen-elemen mtriks dilmbngkn ij untuk i m dn j n. Bentuk umum mtriks A dlh A m m n n n mn Sebuh mtriks dlm Mtlb didefinisikn dengn beberp cr, itu :. Menuliskn semu elemen mtriks dlm stu bris dengn dipishkn tnd titik kom (;) >> A[ ; ; ] A. Menuliskn semu elemen mtriks per brisn >> A[ ] A. Menuliskn/mendefinisikn terlebih dhulu elemen mtriks per bris mtriks >> [ ]
>> [ ] >> [ ] >> A[;;] A Ltihn Definisikn mtriks dibwh ini dlm Mtlb. A. D ( 9). B. E 7 9. C 8 6. F 8 9 B. Merujuk Elemen Mtriks Mislkn terdpt mtriks A 8 9 8 9 7. Merujuk elemen mtriks dlm bris tertentu Elemen bris pertm >> A(,:) ns -9 Elemen bris kedu >> A(,:)
ns 8 9 Elemen bris ke-n >> A(n,:). Merujuk elemen mtriks dlm kolom tertentu Elemen kolom pertm >> A(:,) ns 8 Elemen kolom kedu >> A(:,) ns 9 8 Elemen kolom ke-n >> A(:,n). Merujuk elemen bris ke-m dn kolom ke-n Elemen bris ke- kolm ke- >> A(,) ns Elemen bris ke- kolom ke- >> A(,) ns 8 Elemen bris ke-m kolom ke-n >> A(m,n). Merujuk elemen bris ke-m kolom tertentu Elemen bris ke- kolom smpi >> A(,:) ns 9
. Merujuk elemen bris tertentu kolom ke-n Elemen bris ke- smpi kolom ke- >> A(:,) ns -7 Ltihn 9 8 7 8 9 8 8 Mislkn dikethui mtriks A 6, B, 9 8 9 8 9 8 9 6 9 9 88 9 9 C 8 9 Tentuknlh :. Elemen-elemen bris ke- mtriks A. Elemen-elemen bris ke- mtriks B. Elemen-elemen kolom ke- mtriks C. Elemen-elemen bris ke- smpi ke- kolom ke- mtriks B. Elemen-elemen kolom ke- smpi ke- bris ke- mtriks C 6. Elemen bris ke- kolom ke- mtriks A, mtriks B, mtriks C C. Ukurn Mtriks Mislkn mtriks A 9 Menentukn ukurn bris dn kolom mtriks A >> A[ - ; - - - ; - 9] A - - - - - 9 >> Ssie(A) S
>> [m,n]sie(a) m n (m bris dn n kolom) Bnkn bris sutu mtriks >> msie(a,) m Bnkn kolom sutu mtriks >> nsie(a,) n Ltihn Tentuknlh bnkn bris dn kolom dri mriks-mtriks berikut ini A ( 6) B C D 7 D. Menghsilkn vector dn mtriks berturn >> A:6 A 6 Mtriks A dlh mtriks bris dengn intervl elemenn 6 dengn bed >> A:: A 7 9 Mtriks A dlh mtriks bris dengn intervl elemenn dengn bed >> A:-: A Mtriks A dlh mtriks bris dengn intervl elemenn dengn bed -
>> A[:;::6;:] A 6 Mtriks A dlh mtriks berordo dengn elemen bris intervln dengn bed, bris ke- intervl elemenn..6 dengn bed, dn bris ke - intervl elemnn.. dengn bed E. Mtriks Khusus. Mtriks Identits Mtriks Identits dlh sutu mtriks digonl berordo n dengn elemenelemen pd digonl utm bernili >> Iee() I >> Iee() I >> Iee() I >> Iee(,) I >> Iee(,) I
. Mtriks Ones Mtriks ones dlh sutu mtriks berordo stu >> Aones(,) A >> Aones(,) A >> Aones(,) A >> Aones(,) A >> Aones(,) A m n ng setip elemenn bernili. Mtriks Zeros Mtriks Zeros dlh sutu mtriks berordo bernili nol >> Aeros(,) A m n ng setip elemenn >> Aeros(,) A >> Aeros(,) A
>> Aeros(,) A >> Aeros(,) A. Mtriks Hilbert Mtriks Hilbert dlh sutu mtriks berordo m n, ng nili setip elemenn mempuni turn A ( i, j) ( i j ) >> Ahilb() A >> Ahilb() A / / / >> Ahilb() A / / / / / / / /. Mtriks Pscl Mtriks Pscl dlh sutu mtriks berordo mengikuti turn teorem segitig pscl >> Apscl() A m n, ng nili setip elemenn >> Apscl() A 6
>> Apscl() A 6 Mtriks Mgic Mtriks mgic dlh sutu mtriks berordo mengikuti turn kidh bujursngkr jib >> Amgic() A >> Amgic() A 8 6 7 9 >> Amgic() A 6 8 9 7 6 m n, ng nili setip elemenn 6. Mtriks Digonl Mtriks digonl dlh sutu mtriks persegi berordo n dengn elemen-elemen mrriks ng berd di bwh dn di ts digonl utm semun bernili nol >> v v >> Adig(v) A
7. Mtriks Segitig Mtriks segitig dlh sutu mtriks persegi berordo n dengn elemen-elemen mtriks ng berd di bwh digonl utm tu di ts digonl utm semun bernili nol Mtriks Segitig Bwh >> A[:;::6;:] A 6 >> Btril(A) B Mtriks Segitig Ats >> Btriu(A) B 6 F. Mnipulsi Mtriks Mislkn mtriks A 9 6 7 8. Mengubh elemen bris ke-m kolom ke-n sutu mtriks berordo m n >> A(,) A 6 8 9 (mengubh elemen bris ke- kolom ke- mtriks A dengn )
>> A(,)- A 6 7 8 9 - (mengubh elemen bris ke- kolom ke- mtriks A dengn - >> B A(:,:) B 6 7 (membentuk mtriks B, ng elemenn dlh bris dn mtriks A dn kolom dn mtriks A). Menggbungkn Mtriks Misl A, B >> A[ -; ] A - >> B[ ; ] B >> C[A B] C - >> C[A;B] C -
Ltihn Dengn menggunkn fungsi penghsil mtriks khusus mgic, eros, ones,ee, pscl dn penggbungn mtriks, tentukn perinth untuk membut mtriksmtriks berikut: A B C 6 D E G. Penjumlhn dn Pengurngn Mtriks Misl A, B. Penjumlhn Sutu Bilngn Rel Terhdp Mtriks >> CA C >> CB C. Penjumlhn Du Buh Mtriks >> CAB C 6 >> CBA C 6
. Pengurngn Sutu Bilngn Rel Terhdp Mtriks >> CA- C - >> CB- C. Pengurngn Du Buh Mtriks >> CA-B C - >> CB-A C - Ltihn 8. Jik dikethui mtriks P, Q, R tentuknlh : 9 6 7. P Q c. ( P Q) R e. P Q g. ( P Q) R b. Q R d. P ( Q R) f. Q P h. Q ( R Q). Jik dikethui 6 A, B, 6 7 C tentuknlh :. A B c. B (:, : ) C e. B A B b. A C d. A B f. B(:, : ) C A(:,: )
H. Perklin Mtriks Misl A, B, C. Perklin Sutu Bilngn Rel Terhdp Mtriks >> D*A D - 6 6 >> D*B D 6 >> D*C D 6. Perklin Du Buh Mtriks >> DA*B D >> DB*A D >> DA*C D - >> DA*B*C D 6 7. Perklin Elemen Mtriks >> DA.*B D - 9 6
>> DB.*A D - 9 6 >> DC.*C D 9 Ltihn Jik dikethui mtriks A, 9 7 8 B 8, 8 C 6 Tentuknlh :. A * B c. C * A e. A.* B g. ( C * A). * B b. B * A d. C * B f. B.* A f. ( C.* C) * C 9 8 9 I. Trnspose Mtriks Misl A 7 >> A[ ; 7] A 7 >> A' ns 7 >> (A')' ns 7
Ltihn Tentukn trnspose mtriks-mtriks berikut ini : 8 7 9 6 6 A 8 8 8 B, 9 9 8 9 C J. Determinn Mtriks Misl A, B >> A[ ;- ] A - >> B[ ; ; ] B >> det(a) ns >> det(b) ns - K. Invers Sutu mtriks Misl A, B, 7 9 C, 9 7 D >> inv(a) ns /7 -/ /7 /7 >> A*inv(A) ns
>> inv(b) ns -/ / -/ / -/ >> B*inv(B) ns >> C[9 ;7 ] C 9 7 >> D[ -;-7 9] D - -7 9 >> inv(c) ns - -7 9 >> inv(d) ns 9 7 >> C*D ns L. Perpngktn Mtriks Misl A, B A ^ A * A, A ^ A* A* A
>> A^ ns 7 8 6 9 >> A^ ns 9 9 >> B^ ns 8 8 7 >> B^ ns 7 6 96 8 6 8 8 Perpngktn Elemen Mtriks >> A.^ ns 9 6 >> A.^ ns 8 7 6 >> B.^ ns 9 6 >> B.^ ns 8 8 7 6 8
M. Pembgin Mtriks 9 Misl A, B 7 7 9. Pembgin Knn Jik A d, mk B / A B * A >> A[9 ;7 ] A 9 7 >> B[ -;-7 9] B - -7 9 >> inv(a) ns - -7 9 >> B/A ns -6-9 6 >> B*inv(A) ns -6-9 6 Opersi Elemen C B. / A, c b /, >> CB./A C /9 - - 9/ ij ij ij ij
. Pembgin Kiri Jik A d, mk A \ B A * B >> A\B ns -6-9 6 >> inv(a)*b ns -6-9 6 Opersi Elemen C A. \ B, c / b, b ij ij ij ij >> CA.\B C /9 - - 9/ Ltihn. Jik dikethui mtriks A, B tentuknlh. ( A B)( A B) d. B g. A/ B j. A./ B b. c. A e. ( A B) f. A B h. A ( A B) i.. Jik dikethui mtriks A,. Tunjukknlh bhw. A A b. B I c. C I B / k. B. \ A A AB B B, C d. D f. BA B / A e. A A g. A B A \ B ' ' C f. ( A ) ( A ) h. (det( A ) B). Dikethui mtriks A, B, Tentuknlh 7. AB c. ( AB ) e. A g. A B
b. BA d. ) ( BA f. B h. A B. Dikethui mtriks A, B, 6 C. Tentuknlh :. ABC c. C B A e. ) ' ) (( ABC b. ) ( ABC d. A B C f. ( ) ( ) ' ABC N. Menelesikn Sistem Persmn Liner dengn Mtriks. Sistem Persmn Liner Du Vribel c b c b SPDLV dits dpt dituliskn dlm bentuk mtriks, itu : Misl b b A, X, c c C, mk c c b b C AX Sehingg C A X tu XA\C Atu,, D D D D dengn b b D,, c c D b c b c D SPLDV mempuni penelesin : Tungggl, jik D Tk hingg, jik D D D Tidk Pun Penelesin, jik,, D D D Contoh :. Tentukn penelesin SPLDV berikut 6 7
Penelesin >> A[ -; ] A - >> det(a) ns 7 >> C[7;6] C 7 6 >> Xinv(A)*C X 8 >> XA\C X 8 Jdi penelesin dri SPLDV di ts dlh 8, b. Tentukn penelesin SPLDV Penelesin >> A[ -; -] A - - >> C[;-] C - >> Xinv(A)*C Wrning: Mtri is singulr to working precision. X / /
>> XA\C Wrning: Mtri is singulr to working precision. X / / >> det(a) ns SPLDV di ts tidk mempuni penelesin kren D, D, D >> A[ -; -] A - - >> det(a) ns >> D[ -;- -] D - - - >> det(d) ns -9 >> det(d)/det(a) Wrning: Divide b ero. -Inf >> D[ ; -] D - >> det(d) ns -9 >> det(d)/det(a)
Wrning: Divide b ero. -Inf c. Tentukn penelesin SPLDV 6 Penelesin >> A[ ; ] A >> det(a) ns >> C[;6] C 6 >> Xinv(A)*C Wrning: Mtri is singulr to working precision. X / / >> XA\C Wrning: Mtri is singulr to working precision. X / / SPLDV di ts pun tk hingg penelesin kren D D D >> A[ ; ] A >> det(a) ns >> D[ ;6 ]
D 6 >> det(d) ns >> D[ ; 6] D 6 >> det(d) ns >> det(d)/det(a) Wrning: Divide b ero. NN >> det(d)/det(a) Wrning: Divide b ero. NN. Sistem Persmn Liner Tig Vribel Misl 7 Mk penelesin SPLTV tersebut dlh >> A[ -; ; ] A - >> det(a) ns - >> C[-;;7] C - 7
>> Xinv(A)*C X - >> XA\C X - Jdi penelesin SPLTV di ts dlh,, Ltihn Tentukn penelesin dri sstem persmn liner berikut ini :. 7.. 6 76 8. 6. 9... 6.. 7 7. 6. 8 6 9. 7. Dftr Pustk Shid,. Petunjuk Prktikum Apliksi Komputer dengn Mtlb (Edisi Revisi), Lborturium Komputer Jurusn Pendidikn Mtemtik FMIPA UNY.,. Mtlb : The Lnguge of Technicl Computing Version 6 Relese.. The Mthwork Inc. www.mthwork.com,