LINER PROGRMMING METODE GRFIK Metode Grafik Setelah membuat formulasi model matematika, langkah selanjutnya dalam penerapan program linear untuk mengambil keputusan adalah menentukan pemecaham dari model. Karena hubungannya linear, beberapa model pemecahan dapat di ilustrasikan secara grafik. Metode grafik terbatas untuk model-model yang hanya mempunyai dua variabel, yang dapat digambarkan dalam dua dimensi grafik. 3 - Taufiqurrahman 3 - Taufiqurrahman 1
Sistem dan idang Kerja Sistem untuk menyatakan hubungan antara aljabar (model matematika) dan geometri (grafik) adalah bidang yang dibagi menjadi empat oleh sumbu tegak (absis) dan sumbu datar (ordinat). idang tersebut dikenal sebagai kuadran. 3 - Taufiqurrahman 3 Langkah-langkah Metode Grafik 1. Gambarkan model batasan (fungsi kendala) sebagai persamaan pada grafik, kemudian dengan mempertimbangkan ketidaksamaan batasan, tunjukkan daerah memenuhi kendala (DMK).. a) Gambarkan fungsi tujuan, lalu geser menjauh dari titik awal (,) ke titik solusi yang optimal, atau: b) Selesaikan persamaan-persamaan pada titik tiap sudut untuk memperoleh nilai solusi pada tiap sudut. 3. a) Selesaikan persamaan-persamaan pada titik solusi untuk menemukan nilai solusi yang optimal, atau: b) Masukkan nilai-nilai ke dalam fungsi tujuan untuk menentukan kumpulan nilai yang menghasilkan nilai Z yang optimal. 3 - Taufiqurrahman 4 3 - Taufiqurrahman
Menentukan Titik Koordinat Misal: X 1 + 4 Ubah pertidaksamaan ( ) menjadi persamaan (=), maka: X 1 + = 4 Mencari nilai X 1 dan dengan mengasumsikan salah satu variabel bernilai (nol). Jika X 1 =, maka: () + = 4 = 4 = Jika =, maka: X 1 + () = 4 Jadi titik koordinatnya adalah: X 1 = 4 dan = X 1 = 4 4 3 1 X 1 + = 4 1 3 4 X 1 3 - Taufiqurrahman 5 Menggambar Daerah Penyelesaian Persamaan ( ) misal: X 1 + 4 Persamaan ( ) misal: X 1 + 4 Persamaan (=) misal: X 1 + = 4 4 3 1 1 3 4 X 1 4 3 1 1 3 4 X 1 4 3 1 1 3 4 X 1 X 1 + 4 X 1 + 4 X 1 + = 4 3 - Taufiqurrahman 3 - Taufiqurrahman 3
Daerah Memenuhi Kendala (DMK) Persamaan ( ), misal: X 1 + 4 4X 1 + 3 1 4 3 1 DMK 1 3 4 X 1 Persamaan ( ), misal: X 1 + 4 4X 1 + 3 1 4 3 DMK 1 1 3 4 X 1 Persamaan ( dan =) X 1 + 4 X 1 = 4 = 4 4 3 DMK 1 1 3 4 X 1 3 - Taufiqurrahman 7 ontoh # 1 Metode Grafik Fungsi Tujuan : Maksimalkan Z 4 X 1 5 Fungsi Kendala : (1) Tenaga kerja : X 1 + 4 () Tanah liat : 4X 1 + 3 1 (3) Non-negatifnegatif : X 1 ; 3 - Taufiqurrahman 8 3 - Taufiqurrahman 4
Solusi Grafik ontoh # 1 1. Menggambar fungsi kendala (Langkah 1) 4 4 3 4X 1 + 3 1 3 1 X 1 + 4 1 DKM 1 3 4 X 1 1 3 4 X 1 3 - Taufiqurrahman 9 Solusi Grafik ontoh # 1. Menggambar garis fungsi tujuan (Langkah.a) 4 4 3 8 = 4X 1 + 5 3 1 1 = 4X 1 + 5 1 = 4X 1 + 5 (erada di luar DMK) 1 8 = 4X 1 + 5 Titik Optimal 1 3 4 X 1 1 3 4 X 1 3 - Taufiqurrahman 1 3 - Taufiqurrahman 5
Solusi Grafik ontoh # 1 3. Menyelesaikan persamaan-persamaan pada titik solusi untuk nilai solusi optimal (Langkah 3.a) X 4X 1 + 3 = 1 X 1 + = 4 4X 1 = 1 3 4 4X 1 + 3 = 1 X 1 = 4 X 1 = 3 (3 /4) 3 4 = 3 (3 /4) 5 /4 = 1 = 8 1 X 1 + = 4 1 3 4 X 1 X 1 X 1 = 4 X 1 = 4 (8) X 1 = 4 X 1 3 - Taufiqurrahman 11 Solusi Grafik ontoh # 1. Menyelesaikan persamaan-persamaan pada titik tiap sudut untuk memperoleh nilai solusi pada tiap sudut. (Langkah.b) 4 3 1 8 X 1 = = 1 3 4 X 1 4 X 1 = 4 = 8 X 1 = 3 = 3. Masukkan nilai-nilai ke dalam fungsi tujuan untuk menentukan kumpulan nilai yang menghasilkan nilai Z yang optimal. (Langkah 3.b) Pada titik Z = 1 Pada titik Z = 13 Pada titik Z = 1 Maka solusi optimal adalah pada titik dengan laba $13 3 - Taufiqurrahman 1 3 - Taufiqurrahman
ontoh # Metode Grafik Variabel Keputusan X 1 = jumlah pupuk SG yang dibeli = jumlah pupuk Q yang dibeli Fungsi Tujuan Minimalkan Z = X 1 + 3 Z = total biaya pemupukan X 1 = harga/biaya dari SG 3 = harga/biaya dari Q Fungsi Kendala X 1 + 4 1 4X 1 + 3 4 X 1 ; (kendala nitrogen) (kendala fosfat) (kendala non-negatif) 3 - Taufiqurrahman 13 Solusi Grafik ontoh # 8 8 X 1 = = 8 DKM DKM 4 4 X 1 = X 1 = X 1 = 8 = 4 8 X 1 X 1 4 8 X 1 3 - Taufiqurrahman 14 3 - Taufiqurrahman 7
Solusi Grafik ontoh # Pada titik, koordinat X 1 dan adalah: X 1 + 4 = 1 * 4X 1 + 8 = 3 4X 1 + 3 = 4 *1 4X 1 + 3 = 4 X 1 + 4 = 1 X 1 + 4(1,) = 1 X 1 = 1,4 X 1 = 4,8 X 1 5 = 8 = 8/5 1, 3 - Taufiqurrahman 15 Solusi Grafik ontoh # 8 X 1 = = 8 Pada titik Z = 48 Pada k Z = 33, DKM Pada k Z = 4 4 1, X 1 = 4,8 = 1, X 1 = 8 = Maka solusi optimal terletak pada titik dengan total biaya $4 4 4,8 8 X 1 3 - Taufiqurrahman 1 3 - Taufiqurrahman 8
Latihan #3 1 Perusahaan sepatu membuat macam sepatu. Yang pertama merek I 1, dgn sol karet, dan merek I dgn sol kulit. Diperlukan 3 macam mesin. Mesin 1 membuat sol karet, mesin membuat sol kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merek I 1 mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama jam, kemudian tanpa melalui mesin terus dikerjakan di mesin 3 selama jam. Sedang untuk sepatu merek I tidak diproses di mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari mesin 1 adalah 8 jam, mesin adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 3 jam. Sumbangan terhadap laba setiap lusin sepatu merek I 1 =Rp.3. sedang merek I =Rp.5.. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merek I 1 dan merek I yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba. 3 - Taufiqurrahman 17 Solusi Latihan #3 1 (entuk Tabel) Mesin Merek I 1 (x 1 ) I (x ) Kapasitas Maksimum 1 8 3 15 3 5 3 Sumbangan laba 3 5 3 - Taufiqurrahman 18 3 - Taufiqurrahman 9
Solusi Latihan #3 1 (entuk Matematis) Maksimumkan Z = 3x 1 + 5x atasan (constrain) (1) X 1 8 () 3 15 (3) X 1 + 5 3 3 - Taufiqurrahman 19 x Solusi Latihan #3 1 Fungsi atasan (1) -> X 1 8 X 1 8 dan X 1, X 1 = 8 Gambar tersebut merupakan bagian yang memenuhi batasanbatasan: X 1,, dan X 1 8 4 x 1 3 - Taufiqurrahman 3 - Taufiqurrahman 1
Solusi Latihan #3 1 (Fungsi atasan/ll) X 1 + 5 = 3 x X 1 = 8 D 5 3 = 15 Daerah feasible 4 5 x 1 3 - Taufiqurrahman 1 Solusi Latihan #3 1 (Titik Optimal) X 1 + 5 = 3 Titik D: Pada titik ini nilai X = 5; X1 = Nilai Z = 3() + 5(5) = 5 D 5 X 1 = 8 Titik : X = 5. Substitusikan batasan (3), maka X1 + 5(5) = 3. Jadi nilai X1 = (3 5)/ = 5/. Nilai Z = 3(5/) + 5(5) = 7,5 3 = 15 Titik : X1 = 4. Substitusikan batasan (3), maka (4) + 5X = 3. Jadi nilai X = (3 4)/5 = /5. Nilai Z = 3(4) + 5(/5) =18 Daerah feasible 4 5 Titik : Pada titik ini nilai X1 = 4; X = Nilai Z = 3(4) + = 1 X 1 3 - Taufiqurrahman 3 - Taufiqurrahman 11
Latihan #3 Produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan adalah meja dan kursi. Dengan ahan mentah dalam satu minggu yang tersedia adalah sebanyak 1 gelondong kayu dan jumlah jam kerja buruh yang tersedia adalah 3 jam kerja. Informasi mengenai penggunaan sumber daya dan hara jual per unit, dijelaskan dalam table dibawah ini : 3 - Taufiqurrahman 3 Jenis Produk Meja Kursi Kebutuhan sumber daya uruh(jam/unit) ahan(kg/unit) 1 Harga ($/unit) 4 5 Dengan melihat kepada informasi diatas, berapakah jumlah Meja dan Kursi yang harus dihasilkan agar keuntungan yang didapat perusahaan maksimum? Variabel keputusan X1 = Jumlah Meja yang dihasilkan X = Jumlah Kursi yang dihasilkan Fungsi Tujuan Jumlah keuntungan yang di dapat adalah sebesar : Z 4X 1 5X 3 - Taufiqurrahman 4 3 - Taufiqurrahman 1
Solusi Latihan #3 (Sistem Kendala) a. Kendala Jam Kerja X X 1 3 b. Kendala ahan aku X 1 X 1 c. Jumlah X1, X yang harus dihasilkan X X 1 ; 3 - Taufiqurrahman 5 Solusi Latihan #3 (Kendala) 5 4 3 1 X 1 = = 5 DMK Titik temu antara Kendala 1 dengan Kendala : X 1 3 1 X 1 3 X 1 1 3 3X 1 3 3X 1 = X 1 = 1 3 4 5 7 8 9 1 X 1 = = X 1 X 1 + = 1 + = 1 = 8 = 4 3 - Taufiqurrahman 3 - Taufiqurrahman 13
Solusi Latihan #3 (Titik Optimal) Pada titik X 1 = ; = ; Z = 4 Pada titik X 1 = ; = 4 ; Z = 8 Pada titik X 1 = ; = 5 ; Z = 5 Dari hasil diatas dapat disimpulkan bahwa keuntungan yang terbesar didapatkan apabila memproduksi Meja sebanyak unit dan memproduksi Kursi sebanyak 4 unit dengan mendapatkan keuntungan sebesar $8. 3 - Taufiqurrahman 7 SEKIN & TERIM KSIH 3 - Taufiqurrahman 8 3 - Taufiqurrahman 14