KETERKAITAN GARIS-GARIS SEJAJAR DENGAN SEGIEMPAT DAN SEGITIGA (Jurnl 4) Memen Permt Azmi Mhsisw S2 Pendidikn Mtemtik Universits Pendidikn Indonesi Perkulih geometri pd pertemun keempt pd tnggl 2 oktober 2013 dismpikn oleh Bpk Dr. Endng Mulyn, M.Pd. Mteri yng beliu smpikn dlh mteri dsr pd geometri mengeni keterkitn gris-gris sejjr pd segiempt dn segitig. Menyimk perkulihn yng beliu smpikn, menurut sy p yng beliu jrkn sngt penting kren ternyt msih bnyk hl-hl yng belum sy kethui mengeni segiempt mupun segitig sert msih bnyk terjdi keslhn-keslhn konsep mengeni segiempt dn segitig bik keslhn yng sebbkn oleh guru mupun buku peljrn. Tidk terllu sush memng memhmi mteri ini, tetpi membutuhkn ketelitin. Disini sy kn mengurikn konsep mengeni gris-gris sejjr pd segiempt dn segitig berdsrkn urin yng telh di smpikn Bpk Dr. Endng Mulyn, M.Pd. Mudh-mudhn dpt membuk pikirn kit tentng keslhn-keslhn konsep mengeni gris-gris sejjr pd segiempt dn segitig yng terjdi selm ini dn dpt seger diperbiki sert disebrluskn. Perkulihn dimuli dri psngn sudut yng sling berpelurus tu sling suplemen. Psngn sudut diktkn sling suplemen juk dn hny jik ukurn sudutny 180 o. Perhtikn gmbr 1 berikut: A B P C D Gmbr 1
Psngn sudut yng sling suplemen dlh: APB dengn BPD APC dengn CPD CPD dengn DPB CPA dengn APB Perhtikn gmbr 2 berikut: A C B D F E G Gmbr 2 Permslhn: Apkh ABD dn BEC psngn sudut sehdp? Iy, kren jik du buh gris yng tidk sejjr dipotong gris lin mk sudut-sudutny sehdp. Berrti psngn sudut yng sehdp tidk hrus sejjr, tpi ukurn sudut-sudut sehdpny tidk sm besr. Jik du buh gris sejjr dipotong gris lin mk sudutny psti sehdp dn ukurn sudut yng sehdp sm besr.
Segiempt Sutu segiempt hrus pd stu bidng, pd segiempt memiliki bgin interior dn eksterior. Segiempt terbgi du yitu segiempt cembung dn segiempt tidk cembung. Definisi segiempt cembung: Sutu segiempt diktkn segiempt cembung jik dn hny jik setip mengmbil 2 titik di dlm interior mk rus gris yng dihubungkn semuny d di interior. Gmbr 3 merupkn contoh segiempt cembung: A B Gmbr 3 Definisi segiempt tidk cembung: Sutu segiempt diktkn segiempt tidk cembung jik dn hny jik setip mengmbil 2 titik di dlm interior mk rus gris yng dihubungkn semuny tidk berd di interior. Gmbr 4 merupkn contoh segiempt tidk cembung: A B Gmbr 4
Bngun dtr yng termsuk segiempt dlh trpesium, jjr genjng, persegi, persegi pnjng, belh ketupt dn lyng-lyng. 1. Trpesium Definisi trpesium: Sutu segiempt diktkn trpesium jik dn hny jik memiliki pling sedikit stu psng rus gris yng sejjr. Bngun trpesium dpt digmbrkn ke dlm beberp bentuk, perhtikn gmbr 5 berikut: () (b) (c) (d) (e) (f) Gmbr 5 Berdsrkn definisi trpesium berrti jjr genjng, persegi, persegi pnjng dn belh ketupt merupkn bgin dri trpesium. 2. Jjr Genjng Definisi jjr genjng : Sutu segiempt diktkn jjr genjng jik dn hny jik memiliki 2 psng rus gris yng sejjr. Contoh jjr genjng : Gmbr 5b, 5d dn 5f. Berdsrkn definisi jjr genjng berrti, persegi, persegi pnjng dn belh ketupt merupkn bgin dri jjr genjng 3. Persegi pnjng Definisi persegi pnjng : Persegi pnjng dlh jjr genjng yng keempt sudutny siku-siku
Berdsrkn definisi persegi pnjng berrti persegi merupkn bgin dri persegi pnjng. Contoh persegi pnjng : Gmbr 5d dn 5e. 4. Belh ketupt Definisi belh ketupt : Belh ketupt dlh jjr genjng yng keempt rus grisny sm pnjng. Berdsrkn definisi belh ketupt berrti persegi merupkn bgin dri belh ketupt Contoh belh ketupt : Gmbr 5b dn 5d. 5. Persegi Definisi persegi: Persegi dlh persegi pnjng yng keempt rus grisny sm pnjng. Atu Persegi dlh belh ketupt yng keempt ukurn sudutny sikusiku. Contoh persegi: Gmbr 5d Keterkitn ntr kelim bngun tersebut gr lebih mudh diphmi dn dikelompokkn disjikn dlm digrm venn, sebgi berikut:
Dri kelim bngun segiempt tersebut, mnkh posisi lyng-lyng? Untuk mengethui posisi lyng-lyng pd digrm venn, terlebih dhulu kit hrus mengethui definisi lyng-lyng. 6. Definisi lyng-lyng: Sutu segiempt diktkn lyng-lyng jik dn hny jik memiliki pling sedikit 2 sisi yng berdektn sm pnjng. Bngun lyng-lyng dpt digmbrkn ke dlm beberp bentuk, perhtikn gmbr 6 berikut: () (b) (c) Gmbr 6 Berdsrkn definisi lyng-lyng berrti yng-lyng terditi dri lyng-lyng tidk cembung, yitu pd gmbr 6 sert lyng-lyng cembung, yitu pd gmbr 6b dn 6c. Pd pembeljrn segiempt untuk sekolh dsr dn sekolh menengh hny dijrkn segiempt cembung. Pd gmbr 6b dn 6c bis dimbil kesimpuln bhw belh ketupt merupkn bgin dri lyng-lyng. Kedudukn lyng-lyng pd digrm venn sulit untuk digmbrkn, nmun gr lebih mudh mengethui keterkitn dn pengelompokn lyng-lyng dengn segiempt linny disjikn menggunkn digrm gris, yitu sebgi berikut:
SEGIEMPAT TRAPESIUM LAYANG-LAYANG JAJAR GENJANG PERSEGI PANJANG BELAH KETUPAT PERSEGI Segitig Segitig dlh gbungn tig rus gris yng dibentuk oleh tig titik yng tidk koliner. Segitig dipndng dri jenis-jenis sudutny terbgi menjdi segitig lncip, segitg siku-siku dn segitig tumpul. 1. Segitig lncip Segitig lncip dlh segitig yng ketig ukurn sudutny < 90 0. 2. Segitig siku-siku Segitig siku-siku dlh segitig yng slh stu sudutny memiliki ukurn sudut sm dengn 90 0. 3. Segitig tumpul Segitig tumpul dlh segitig yng slh stu sudutny memiliki ukurn sudut sm dengn lebih dri 90 0 tpi kurng dri 180 0. Berikut merupkn gmbr dri segitig berdsrkn jenis-jenis sudutny. Perhtikn gmbr 7 berikut: Segitig lncip Segitig siku-siku Segitig tumpul Gmbr 7
Menurut ukurn pnjng sisi-sisiny terdiri dri segitig sm kki dn segitig sm sisi. 1. Segitig sm kki Sutu segitig diktkn segitig sm kki jik dn hny jik memiliki pling sedikit du ukurn sisi yng sm pnjng. Contoh gmbr segitig sm kli, pd gmbr 8 berikut: () (b) Gmbr 8 Berdsrkn definisi segitig sm kki berrti segitig sm sisi merupkn bgin segitig sm kki. 2. Segitig sm sisi Sutu segitig diktkn segitig sm sisi jik dn hny jik memiliki tig ukurn sisi yng sm pnjng. Contoh segitig sm sisi yitu pd gmbr 8b. Keterkitn ntr segitig lncip, segitig siku-siku, segitig tumpul, segitig sm kki dn segitig sm sisi gr lebih mudh diphmi disjikn menggunkn digrm gris, yitu sebgi berikut: SEGITIGA SEGITIGA LANCIP SEGITIGA SIKU-SIKU SEGITIGA TUMPUL SEGITIGA SAMA KALI SEGITIGA SAMA SISI
Lus Derh Segiempt dn Segitg 1. Setip lus interior sutu poligon bis dikitkn dengn bilngn rel. L : Pemetn P R 2. Du buh poligon yng kongruen mk lus derhny sm. 3. Jik du tu lebih poligon tidk beririsn, d beririsn pd sisi-sisiny mk lus derh seluruhny dlh jumlh msing-msing lus derh poligon. Contohny: + I tu LI + LII I Yng tidk boleh dijumlhkn dlh lus poligon yng seperti gmbr berikut I LI tidk boleh ditmbhkn dengn LII kren beririsn. 4. Definisi: Persegi yng ukurn sisiny, mk lus perseginy 2. Persegi yng ukurn sisiny 1, mk lus perseginy 1. 5. Teorem: Persegi pnjng yng ukurn sisiny dn b mk lusny.b Pembuktin:. Berdsrkn ksiom persegi, lus derh persegi dengn sisi (+b) = ( + b) 2... (i) b. Perhtikn gmbr persegi berikut: 2 b b 2 b Lus derh persegi dengn sisi (+b) = Lus derh dengn sisi + Lus derh dengn sisi b + 2 lus persegi pnjng Lus derh persegi dengn sisi (+b) = 2 + b 2 + 2 lus persegi pnjng... (ii)
Dri (i) dn (ii) lus derh persegi dengn sisi (+b) = Lus derh persegi dengn sisi (+b) 2 + b 2 + 2 lus persegi pnjng = ( + b) 2 2 + b 2 + 2 lus persegi pnjng = 2 + b 2 + 2.b lus persegi pnjng =.b Jdi lus persegi pnjng dlh perklin pnjng dengn lebr yng sling berkorespondensi (bersesuin). 6. Pembuktin rumus lus segitig Rumus lus segitig kn dibuktikn mellui pembuktin rumus lus segitig siku-siku dn lus segitig sm kki. Ksus I: Pd pembuktin segitig siku-siku menggunkn du buh segitig siku-siku kongruen yng kn dibentuk menjdi sebuh persegi pnjng sehingg kit dpt memnftkn rumus dri persegi pnjng. Perhtikn gmbr berikut: b I dn I merupkn segitig siku-siku. Menurut teorem persegi pnjng yng ukurn sisiny dn b mk lusny.b Lus persegi pnjng dengn sisi dn b = + I.b = 2 ( kren = I) ½..b = = L dengn = sisi dn b = tinggi yng bersesuin dengn sisi Jdi lus segtig siku-siku = ½. sisi. tinggi yng sling berkorespondensi (bersesuin)
Ksus II: Untuk membuktikn rumus lus segitig sm kki kn digunkn du empt segitig siku-siku kongruen yng kn dibentuk menjdi sebuh persegi pnjng sehingg kit dpt memnftkn rumus dri persegi pnjng II V b I Lus persegi pnjng dengn sisi 2 dn b 2..b 2 4..t = 1 = + I + II + V = 4 (Kren LI = I = II + V) 2..t = = L dengn = sisi dn b = tinggi yng bersesuin dengn sisi Jdi lus segtig sm kki = ½. sisi. tinggi yng sling berkorespondensi (bersesuin) Keslhn yng ditemui dlm membut rumus lus segitig dlh setengh perklin ls dengn tinggi, penggunn rumus segitig yng seperti ini kn menimbulkn tfsirn gnd oleh sisw, mislny perhtikn gmbr berikut: C F E A D B
Tfsirn I: L ABC = ½. ls. tinggi L ABC = ½ (AB + BC + AC). (CD+AE+BF) Trsirn II: L ABC = (½. AB.CD) + (½. BC.AE) + (½. AC. BF) Bnyk tfsirn linny jik kit mengjrkn lus segitig menggunkn rumus setengh perklin ntr sisi ls dengn tinggi. Sebenrny lus segitig yng benr dlh setengh perklin ntr sisi dengn tinggi yng sling berkorespondensi (bersesuin). Mislny: Sisi AB bersesuin dengn tinggi CD, tpi sisi AB tidk bersesuin dengn tinggi AE dn BF Sisi BC bersesuin dengn tinggi AE, tpi sisi BC tidk bersesuin dengn tinggi BF dn CD. Sisi AC bersesuin dengn tinggi BF, tpi sisi AC tidk bersesuin dengn tinggi AE dn CD. Jdi yng benr: L ABC = ½. sisi. tinggi yng sling berkorespondensi L ABC = ½. AB. CD = ½. BC. AE = ½. AC. BF 7. Pembuktin rumus lus trpesium. Ksus I: Trpesium yng terdiri dri sebuh persegi pnjng dn du buh segitig siku-siku yng kongruen. Perhtikn gmbr berikut: b I II c c = Lus persegi pnjng + 2 Lus segitig = + 2 I ( keren I = II) = (.b) + 2 (½.b.c)
= (.b) + (b.c) = (½. 2.b) + (½.b.c) + (½.b.c) = ½.b ( 2 + c + c), kren (2 + c + c) dlh jumlh du sisi sejjr mk = ½. b. Jumlh sisi sejjr b dlh tinggi segitig siku-siku yng bersesuin Ksus II: Trpesium yng terdiri dri sebuh persegi pnjng dn du buh segitig siku-siku yng tidk kongruen. Perhtikn gmbr berikut: b I II c d = Lus persegi pnjng + Lus segitig II + Lus segitig III = + I + II = (.b) + (½.b.c) + (½.b.d) = (½. 2.b) + (½.b.c) + (½.b.d) = ½.b ( 2 + c + d), kren ( 2 + c + d) dlh jumlh du sisi sejjr mk = ½. b. Jumlh sisi sejjr b dlh tinggi segitig siku-siku yng bersesuin Ksus III: Trpesium yng terdiri dri sebuh persegi pnjng dn sebuh segitig siku-siku Perhtikn gmbr berikut:
b I c = Lus persegi pnjng + Lus segitig = + I = (.b) + (½.b.c) = (½. 2.b) + (½.b.c) = ½.b ( 2 + c), kren ( 2 + c) dlh jumlh du sisi sejjr mk = ½. b. Jumlh sisi sejjr b dlh tinggi segitig siku-siku yng bersesuin Jdi dpt disimpulkn rumus lus trpesium dlh setengh perklin ntr jumlh sisi sejjr dengn tinggi yng berkorespondensi (bersesuin). 8. Pembuktin rumus lus jjr genjng Jjr genjng terdiri dri sebuh persegi pnjng dn du buh segitig siku-siku yng kongruen. Perhtikn gmbr berikut: c I b II c L jjr genjng L jjr genjng = Lus persegi + 2 Lus segitig = + 2 I, ( kren I = II)
L jjr genjng L jjr genjng L jjr genjng L jjr genjng = (.b) + 2(½.b.c) = (.b) + (b.c) = ( + c) b, kren (+c) sisi ls mk = (sisi ls). b b dlh tinggi segitig yng bersesuin Jdi dpt disimpulkn rumus lus jjr genjng dlh setengh perklin ntr sisi ls dengn tinggi yng berkorespondensi (bersesuin). 9. Pembuktin rumus lus belh ketupt Belh ketupt terdiri dri empt buh segitig siku-siku yng kongruen. Perhtikn gmbr berikut: b I II b V L belh ketupt = + I + II + V L belh ketupt = 4, (kren = I = II = V) L belh ketupt = 4 (½..b) L belh ketupt = ½ (2.2b) L belh ketupt = ½ (+)(b+b), kren (+) dlh digonl, mislkn (+) = digonl 1 = D1 dn (b+b) dlh digonl jug, mislkn (b+b) = digonl 2 = D2 mk L belh ketupt = ½. D1.D2 Jdi dpt disimpulkn rumus lus belh ketupt dlh setengh perklin ntr digonl-digonlny.
10. Pembuktin rumus lus lyng-lyng Lyng-lyng terdiri dri du psng segitig siku-siku yng tidk kongruen. Perhtikn gmbr berikut: I II V L lyng-lyng = + I + II + V L lyng-lyng = 2 + 2 II, (kren = I dn II = V) L lyng-lyng = 2 (½..b) + 2 (½..c) L lyng-lyng = ½ [(2..b) + (2..c)] L lyng-lyng = ½ [ (2) (b+c)], kren 2 dlh digonl, mislkn 2 = D1 dn (b+c) jug digonl, mislkn (b+c) = D2 mk L lyng-lyng = ½.D1. D2 Jdi dpt disimpulkn rumus lus lyng-lyng dlh setengh perklin ntr digonl-digonlny.