MODEL DINAMIKA CINTA DENGAN MEMPERHATIKAN DAYA TARIK PASANGAN

MODEL DINAMIKA CINTA DENGAN MEMPERHATIKAN DAYA TARIK PASANGAN SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH : SUCI RAHMA NURA BP. 1010432018 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS PADANG 2014

KATA PENGANTAR Puji syukur atas kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat, dan karunia-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Model Dinamika Cinta dengan Memperhatikan Daya Tarik Pasangan ini, sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S. Si) di Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Andalas. Dalam pembuatan skripsi ini, penulis banyak mendapatkan bantuan serta pengarahan dari berbagai pihak sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Untuk itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penulisan skripsi ini, terutama kepada : 1. Bapak Dr. Mahdhivan Syafwan selaku pembimbing yang telah dengan sabar, tulus dan ikhlas meluangkan waktu, tenaga dan pikiran, memberikan bimbingan, motivasi, serta saran-saran yang sangat berharga kepada penulis sehingga penulis mampu menyelesaikan skripsi ini dengan baik. 2. Bapak Dr. Admi Nazra, Bapak Efendi, M.Si, dan Ibu Riri Lestari, M.Si selaku penguji yang telah memberikan pengarahan, kritikan dan saran untuk perbaikan isi serta penulisan skripsi ini. 3. Bapak Budi Rudianto, M.Si selaku pembimbing akademik yang telah membimbing, memberikan ilmu dan nasihat serta memberikan motivasi kepada penulis selama masa studi. iii

4. Bapak Dr Admi Nazra selaku Ketua Jurusan Matematika dan Bapak Dr. Madhivan Syafwan selaku Sekretaris Jurusan Matematika yang telah banyak memberikan bantuan dan kemudahan kepada penulis selama masa studi. 5. Bapak/Ibu Dosen yang telah memberikan banyak ilmu bermanfaat bagi penulis dan seluruh staf karyawan tata usaha Jurusan Matematika yang telah banyak membantu penulis selama masa studi. 6. Seluruh sahabat dan teman-teman yang telah mendukung serta memberikan bantuan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. 7. Keluarga tercinta, kedua orang tua Papi Ramlan dan Mami Nuraiza serta kakak Putri, abang Aulia dan adik ku Ilham yang selalu memberikan cinta, do a, dan dorongan kepada penulis. Penulis menyadari bahwa tulisan ini masih mempunyai banyak kekurangan. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritikan, ataupun saran untuk kesempurnaan skripsi ini di masa mendatang. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua yang membaca terutama dalam perkembangan ilmu matematika. Padang, Oktober 2014 Suci Rahma Nura, S.Si iv

ABSTRAK Pada skripsi ini dibahas model hubungan cinta antara dua orang individu dengan memperhatikan pengaruh daya tarik yang dimiliki oleh kedua individu tersebut. Ada tiga hal penting yang diperhatikan dalam model ini, yaitu oblivion (proses melupakan), return (perasaan yang tumbuh karena pasangannya mencintainya), dan instict (perasaan cinta yang disebabkan oleh daya tarik yang dimiliki pasangannya). Beberapa sifat-sifat dinamik dari model dan interpretasinya masing-masing juga dijelaskan pada skripsi ini. Kata kunci : Sistem dinamik, daya tarik pasangan, kestabilan. v

ABSTRACT This final project discusses a model of a love affair between two individuals by taking into account the effect of the appeal of each individual. There are three important things that must be considered in this model ; i.e, oblivion (the forgetting process), return (the pleasure of being loved), and instict (reaction to the partner s appeal). Some dynamical properties of the model and its interpretations are also elaborated in this final project. Keywords : Dynamical system, partner s appeal, stability. vi

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR...................... iii ABSTRAK............................ ABSTRACT........................... v vi DAFTAR ISI........................... vii DAFTAR GAMBAR....................... ix BAB I PENDAHULUAN.................. 1 1.1 Latar Belakang............................ 1 1.2 Perumusan Masalah......................... 2 1.3 Pembatasan Masalah......................... 2 1.4 Tujuan Penelitian........................... 2 1.5 Sistematika Penulisan......................... 3 BAB II LANDASAN TEORI................ 4 2.1 Persamaan Diferensial........................ 4 2.2 Matriks................................ 6 2.3 Sistem Persamaan Diferensial dan Potret Fasa........... 9 2.4 Kestabilan Sistem Linier Nonhomogen............... 14 2.5 Model Dinamika Cinta Sederhana.................. 17 BAB III PEMBAHASAN.................. 19 3.1 Konstruksi Model........................... 19 3.2 Sifat-sifat Model........................... 21 vii

BAB IV PENUTUP..................... 27 4.1 Kesimpulan.............................. 27 4.2 Saran.................................. 28 DAFTAR PUSTAKA....................... 29 DAFTAR PUSTAKA....................... 29 viii

DAFTAR GAMBAR 2.3.1 Simpul stabil............................. 13 2.3.2 Pusat................................. 14 3.2.1 Potret fasa dari sistem (3.1.2) [3].................. 26 ix

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Kajian tentang dinamika cinta digagas pertama kali oleh Strogatz [2] dengan tujuan untuk menarik mahasiswa dalam mempelajari kuliah sistem persamaan diferensial biasa. Strogatz menghubungkan sifat-sifat dinamik suatu sistem dengan suatu topik yang sudah ada di pikiran banyak mahasiswa, yaitu kisah cinta antara sepasang kekasih. Dengan pendekatan pembelajaran seperti ini suasana perkuliahan menjadi lebih menarik, bahkan lebih lanjut mahasiswa mampu berperan aktif dalam mengkonstruksi model, mencari solusi dan menginterpretasikan hasil yang diperoleh. Meskipun model dinamika cinta pada awalnya berasal dari keisengan Strogatz saja, namun banyak peneliti lain yang kemudian mencoba mengembangkan model tersebut untuk kasus-kasus yang lebih realistis. Salah satu pengembangan model tersebut dilakukan oleh Rinaldi [3] dimana beliau memperhitungkan faktor daya tarik dari pasangan. Model ini beliau kembangkan untuk menjelaskan mengapa dua orang yang awalnya sangat berbeda dan tidak saling kenal dapat menjalin sebuah hubungan cinta. Kajian tentang model Rinaldi tersebut akan dieksplorasi kembali dengan lebih detail pada skripsi ini.

1.2 Perumusan Masalah Permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah bagaimana sifatsifat dinamik dari model hubungan cinta antara dua orang individu dengan memperhatikan pengaruh daya tarik yang dimiliki oleh kedua individu tersebut. 1.3 Pembatasan Masalah Permasalahan pada skripsi ini dibatasi oleh hal-hal berikut : 1. Model hubungan cinta yang dibentuk hanya melibatkan dua pihak (wanita dan laki-laki) tanpa adanya pihak ketiga. 2. Hubungan cinta yang terjadi bersifat linier. 1.4 Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk : 1. Mengkonstruksi model dinamika cinta dengan memperhitungkan faktor daya tarik pasangan. 2. Menjelaskan beberapa sifat dinamik yang muncul dari model. 3. Menginterpretasikan sifat-sifat dinamik tersebut. 2

1.5 Sistematika Penulisan Penulisan pada skripsi ini terdiri atas empat bab. Bab I berisi latar belakang, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, dan sistematika penulisan. Bab II membahas beberapa konsep dan dasar-dasar teori yang berkaitan dengan permasalahan yang akan dikaji. Selanjutnya pada Bab III dijelaskan konstruksi model dan beberapa sifat dinamik yang muncul. Terakhir pada Bab IV disajikan kesimpulan dan saran. 3

BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini dijelaskan terlebih dahulu beberapa konsep dan dasar-dasar teori yang berkaitan dengan permasalahan yang akan dibahas. 2.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan suatu fungsi dan turunannya. Berikut beberapa contoh persamaan diferensial : 1. x 2 d2 y dx 2 5x dy dx = 0, 2. d 3 y dx 3 + y 2 = cos x, 3. 2 U x 2 + U 3 U t 3 + t = 0. Pada contoh di atas, y dan U disebut variabel tak-bebas, sedangkan x dan t disebut variabel bebas. Berdasarkan jumlah variabel bebasnya, persamaan diferensial dibagi dalam dua kelas yaitu : 1. Persamaan diferensial biasa (PDB), yaitu persamaan diferensial yang memiliki satu variable bebas.

2. Persamaan diferensial parsial (PDP), yaitu persamaan diferensial yang memiliki lebih dari satu variable bebas. Pada contoh di atas, persamaan 1 dan 2 merupakan PDB, sedangkan persamaan 3 adalah PDP. Pada skripsi ini, istilah persamaan diferensial merujuk pada persamaan diferensial biasa. Disamping banyaknya variabel bebas yang terlibat, persamaan diferensial juga dapat diklasifikasikan atas dasar sebagai berikut : 1. Orde Orde dari persamaan diferensial didefinisikan sebagai tingkat dari turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. 2. Kelinieran Suatu persamaan diferensial dikatakan linier jika variable tak-bebas dan turunannya muncul dalam bentuk linier. Jika tidak demikian, persamaan diferensial tersebut dikatakan nonlinier. 3. Kehomogenan Suatu persamaan diferensial dikatakan homogen jika variabel tak bebas dan turunannya muncul pada semua suku. Jika tidak demikian, maka persamaan diferensial tersebut dikatakan nonhomogen. Pada contoh sebelumnya, persamaan 1 merupakan persamaan diferensial orde 2, homogen, dan linier, sedangkan persamaan 2 adalah persamaan diferensial orde 3, nonhomogen, dan nonlinier. 5

Suatu fungsi yang memenuhi persamaan diferensial dinamakan solusi dari persamaan diferensial tersebut. Solusi yang memuat konstanta sebarang dinamakan solusi umum. Untuk membuat solusi umum menjadi solusi khusus, diperlukan syarat awal dan/atau syarat batas. Syarat awal menentukan nilai variabel tak-bebas atau beberapa turunannya pada satu titik (variabel bebas) tertentu, sedangkan syarat batas diberlakukan pada dua atau lebih titik (variabel bebas) yang berbeda. 2.2 Matriks Pada subbab ini akan dibahas penjelasan dasar mengenai matriks, nilai eigen, vektor eigen dan matriks Metzler yang merujuk pada buku Anton-Rorres [6] dan buku D. G. Luenberg [4]. Matriks didefinisikan sebagai jajaran empat persegi panjang dari bilanganbilangan. Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks. Ukuran matriks dinyatakan dalam jumlah baris (arah horizontal) dan kolom (arah vertikal) yang dimilikinya. Jadi suatu matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berukuran m n. Jika a ij R menyatakan entri-entri dari suatu matriks A, maka dapat ditulis A = [a ij ]. Selanjutnya didefinisikan matriks diagonal dan determinan matriks sebagai berikut. Definisi 2.2.1. [6] Suatu matriks yang berukuran n n dimana semua entri di 6

luar diagonal utamanya bernilai nol disebut matriks diagonal. Definisi 2.2.2. [6] Diberikan matriks A berukuran 2 2 sebagai berikut : A = a c Determinan dari matriks A, dinotasikan dengan det(a), didefenisikan sebagai b d. det(a) = ad bc. (2.2.1) Berikut akan dijelaskan definisi nilai eigen dan vektor eigen untuk matriks berkukuran n n. Definisi 2.2.3. [6] Jika A adalah sebuah matriks n n, maka sebuah vektor taknol x pada R n disebut vektor eigen dari A jika Ax adalah sebuah kelipatan skalar dari x, yaitu Ax = λx. (2.2.2) Skalar λ disebut nilai eigen dari A. Perhatikan bahwa persamaan (2.2.2) ekivalen dengan (λi A)x = 0, (2.2.3) dimana I adalah matriks identitas, yaitu matriks diagonal dengan semua entri diagonal utamanya bernilai satu. Persamaan (2.2.3) memiliki solusi taknol jika dan hanya jika determinan matriks (λi A) bernilai nol [6]. Oleh karena itu, 7

syarat perlu dan syarat cukup bagi λ untuk menjadi nilai eigen dari matriks A adalah det(λi A) = 0. (2.2.4) Jika A matriks 2 2, maka persamaan (2.2.4) dapat ditulis λ 2 (a + d)λ + ad bc = 0. (2.2.5) Persamaan (2.2.5) disebut persamaan karakteristik atau polinomial karakteristik dari A dan akar-akarnya merupakan nilai-nilai eigen dari matriks A. Definisi 2.2.4. [6] Jika v = (v 1, v 2,..., v n ) adalah vektor di R n, maka norm dari v, dinotasikan dengan v, didefinisikan sebagai v = v 2 1 + v 2 2 +... + v 2 n. Teorema 2.2.5. (Ketaksamaan Segitiga) [6] Jika u, v adalah vektor-vektor di R n, maka u + v u + v. Bukti. Perhatikan bahwa u + v 2 = (u + v).(u + v) (2.2.6) = (u.u) + 2(u.v) + (v.v) (2.2.7) = u 2 + 2(u.v) + v 2 (2.2.8) u 2 + 2 u.v + v 2 (2.2.9) u 2 + 2 u. v + v 2 (2.2.10) = ( u + v ) 2. (2.2.11) 8

Selanjutnya didefinisikan matriks Metzler sebagai berikut. Definisi 2.2.6. [4] Suatu matriks A = [a ij ] berukuran n n dikatakan matriks Metzler jika semua entri selain diagonal utamanya bernilai nonnegatif, yaitu a ij 0 untuk i j; i, j = 1, 2,..., n. 2.3 Sistem Persamaan Diferensial dan Potret Fasa Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang terdiri dari beberapa buah persamaan diferensial. Dalam subbab ini akan dibahas sistem persamaan diferensial yang berbentuk x 1 = ax 1 + bx 2, x 2 = cx 1 + dx 2, (2.3.1) dimana x i x i (t) dan ẋ i berarti turunan x i terhadap t. Sistem di atas disebut sistem linier homogen dengan koefisien konstan. Gambar beberapa kurva atau lintasan solusi dari suatu sistem (dalam hal ini pada bidang (x 1, x 2 )) disebut potret fasa dari sistem tersebut. Bidang (x 1, x 2 ) yang berisi potret fasa tersebut dinamakan bidang fasa. Perhatikan bahwa sistem (2.3.1) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut ẋ = Ax, (2.3.2) dimana x = x 1 x 2 dan A = a c b d. 9

Solusi dari sistem (2.3.2) dapat ditulis dalam bentuk x = ve λt (2.3.3) dengan v = r s, dimana r, s dan λ adalah suatu konstanta. Substitusi persamaan (2.3.3) ke persamaan (2.3.2) menghasilkan (λi A)v = 0, yang sebentuk dengan persamaan (2.2.3). Dengan demikian λ adalah nilai eigen dari matriks A dan v adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Tulis ulang persamaan (2.2.5) sebagai λ 2 + pλ + q = 0, (2.3.4) dimana p = (a + d) dan q = ad bc. Solusi dari persamaan (2.3.4) diberikan oleh λ 1 = p + p 2 4q 2, λ 2 = p p 2 4q. (2.3.5) 2 Jika λ 1 λ 2, maka solusi umum dari persamaan (2.3.1) adalah x 1 = kr 1 e λ 1t + lr 2 e λ 2t, x 2 = ks 1 e λ 1t + ls 2 e λ 2t, (2.3.6) dimana r 1 s 1 dan r 2 s 2, (2.3.7) 10

adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ 1 dan λ 2, sedangkan k dan l adalah konstanta sebarang. Sekarang tulis x 2 x 1 = ks 1e λ1t + ls 2 e λ2t kr 1 e λ 1t + lr 2 e λ 2t. (2.3.8) Perhatikan bahwa kurva x 2 /x 1 yang membentuk potret fasa dari sistem (2.3.1) tergantung dari nilai-nilai eigen matriks A. Terdapat beberapa kasus nilai eigen yang ditentukan oleh nilai entri-entri matriks A, yaitu a, b, c, dan d. Pada subbab ini hanya akan ditinjau dua kasus : (i) b, c > 0 dan (ii) a, d = 0, b < 0, c > 0. Kasus (i): b, c > 0. Untuk kasus ini berlaku teorema berikut. Teorema 2.3.7. Jika b, c > 0 pada sistem (2.3.2), maka nilai eigen λ 1 dan λ 2 pada persamaan (2.3.5) bernilai riil dengan λ 2 < λ 1. Bukti. Pandang p dan q pada persamaan (2.3.4). Karena b, c > 0, maka p 2 4q = ( (a + d)) 2 4(ad bc) = a 2 + d 2 + 2ad 4ad + 4bc = a 2 + d 2 2ad + 4bc = (a d) 2 + 4bc > 0. Karena p 2 4q > 0, maka nilai eigen λ 1 dan λ 2 pada persamaan (2.3.5) mestilah bernilai riil dengan λ 2 < λ 1. 11

Khusus untuk kasus p 2 > 4q dan p, q > 0 berlaku teorema berikut. Teorema 2.3.8. Jika p 2 > 4q dan p, q > 0, maka λ 2 < λ 1 < 0. Bukti. Dari Teorema 2.3.7, jelas bahwa p 2 > 4q mengakibatkan λ 2 < λ 1. Selanjutnya, karena p, q > 0, maka 4q > 0 p 2 4q < p 2 p 2 4q < p p 2 4q p < 0. (2.3.9) Dari hubungan terakhir, jelas bahwa λ 1 < 0. Jadi λ 2 < λ 1 < 0. Berikut akan dibahas potret fasa untuk kasus p 2 > 4q dan p, q > 0. Karena λ 2 < λ 1 < 0, maka x 1, x 2 0 untuk t, x 1, x 2 untuk t. (2.3.10) Kemudian pandang tiga kemungkinan nilai k, l pada persamaan (2.3.8) sebagai berikut: (a) Jika k, l 0, maka x 2 s 1 untuk t +, x 1 r 1 (2.3.11) x 2 s 2 untuk t. x 1 r 2 (2.3.12) (b) Jika l = 0, maka (c) Jika k = 0, maka x 2 x 1 = s 1 r 1. (2.3.13) x 2 x 1 = s 2 r 2. (2.3.14) 12

Kasus (b) dan (c) di atas memberikan dua lintasan solusi berupa garis lurus. Berdasarkan analisis di atas, maka potret fasa untuk kasus p 2 4q > 0 dan p, q > 0 diberikan oleh Gambar 2.3.1. Potret fasa tersebut dinamakan simpul stabil karena bentuknya seperti simpul dengan semua lintasannya menuju ke titik asal (lihat penjelasan tentang kestabilan pada subbab berikutnya). Gambar 2.3.1: Simpul stabil Kasus (ii): a, d = 0, b < 0, c > 0. Pada kasus ini dapat diperiksa bahwa p = 0 dan p 2 < 4q. Akibatnya, nilai eigen λ 1 dan λ 2 bernilai imajiner murni, yaitu λ 1 = iβ, λ 2 = iβ, (2.3.15) dimana β = 4q p 2 2 = q = bc. (2.3.16) Dari persamaan (2.3.1) sistem pada kasus (ii) ini berbentuk x 1 = bx 2, x 2 = cx 1. (2.3.17) 13

Dengan demikian dx 2 dx 1 = dx 2/dt dx 1 /dt = cx 1 bx 2. (2.3.18) Solusi umum dari persamaan diferensial di atas diberikan oleh cx 2 1 bx 2 2 = K, (2.3.19) dimana K suatu konstanta sebarang dengan K 0. Karena b < 0 dan c > 0, maka potret fasa dari sistem (2.3.17), berdasarkan grafik persamaan (2.3.19), berbentuk kumpulan elips (tergantung nilai K) [lihat Gambar 2.3.2]. Potret fasa tersebut dinamakan pusat. Gambar 2.3.2: Pusat 2.4 Kestabilan Sistem Linier Nonhomogen Diberikan suatu sistem linier nonhomogen berikut : ẋ(t) = Ax(t) + b, (2.4.1) dengan A R n n dan b R n. Pada sistem (2.4.1), x(t) juga disebut dengan vektor keadaan karena vektor ini merupakan deskripsi lengkap dari sistem pada 14

waktu t. Definisi 2.4.9. [4]Untuk sistem (2.4.1), titik x R n dikatakan titik kesetimbangan jika A x + b = 0. Titik kesetimbangan ini juga disebut dengan titik kritis atau titik tetap. Untuk selanjutnya pada skripsi ini kita gunakan istilah titik kesetimbangan. Berikut diberikan definisi stabil, stabil asimtotik, dan tak-stabil bagi suatu sistem linier secara umum. Definisi 2.4.10. [4]Suatu sistem linier dikatakan stabil jika setiap vektor keadaan dari sistem tersebut selalu menuju ke titik kesetimbangan atau setidaknya tidak terus bergerak menjauh. Jika tidak demikian, sistem tersebut dikatakan takstabil. Definisi 2.4.11. [4] Jika setiap vektor keadaan dari suatu sistem linier selalu menuju ke titik kesetimbangan, maka sistem tersebut dikatakan stabil asimtotik. Berikut diberikan kriteria stabil asimtotik bagi sistem (2.4.1). Teorema 2.4.12. [4] Sistem (2.4.1) stabil asimtotik jika dan hanya jika semua nilai eigen dari A mempunyai bagian riil negatif. Lebih lanjut, sistem (2.4.1) tidak stabil jika dan hanya jika terdapat nilai eigen yang bagian riilnya positif. Bukti. Misalkan z = x x dimana x adalah titik kesetimbangan dari sistem 15

(2.4.1). Karena x adalah suatu vektor konstan, maka ż = ẋ. Perhatikan bahwa ẋ = Ax + b ż = A(z + x) + b (2.4.2) ż = Az + A x + b. (2.4.3) Karena x adalah titik kesetimbangan, maka berlaku A x + b = 0, sehingga (2.4.3) menjadi ż = Az. (2.4.4) Sebagaimana penjelasan pada subbab sebelumnya, solusi sistem (2.4.4) dapat ditulis z = ve λt, dimana λ adalah nilai eigen dari A dan v adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Secara umum nilai eigen λ dapat ditulis dengan λ = µ + iω, dimana i = 1 dan µ dan ω bernilai riil. Jelas bahwa z = ve µ e iωt = v(e µt e iωt ) 0 untuk t jika dan hanya jika µ < 0, atau dengan kata lain bagian riil dari nilai eigen λ bernilai negatif. Karena z = x x dan z = 0, maka pernyataan terakhir setara dengan mengatakan bahwa x x jika dan hanya jika semua nilai eigen dari A mempunyai bagian riil yang negatif. Lebih lanjut, untuk suatu nilai eigen λ, z = ve λt = v e λt untuk t jika dan hanya jika µ > 0. Karena z = x x x + x, maka berlaku x untuk t jika dan hanya jika terdapat nilai eigen yang mempunyai bagian riil positif. 16

Pada skripsi ini, model dinamika cinta yang dibahas merupakan sistem linier positif. Berikut dijelaskan terlebih dahulu definisi sistem linier postif tersebut. Definisi 2.4.13. [4] Sistem linier positif adalah sistem linier yang seluruh vektor keadaannya selalu bernilai nonnegatif untuk setiap x i (0) 0. Teorema berikut memberikan kriteria kepositifan untuk sistem (2.4.1). Teorema 2.4.14. [7] Sistem (2.4.1) adalah positif jika dan hanya jika A adalah suatu matriks Metzler dan b adalah vektor yang memiliki entri positif. 2.5 Model Dinamika Cinta Sederhana Pada subbab ini akan dibahas ulang model dinamika cinta yang paling sederhana yang digagas oleh Strogatz [2]. Model dinamika tersebut menjelaskan skenario kisah cinta berikut : Juliet jatuh cinta kepada Romeo. Tetapi pada cerita ini, Romeo adalah kekasih yang perasaan cintanya selalu bertolak belakang dengan Juliet; semakin Juliet mencintainya, semakin tidak suka ia kepada Juliet, tetapi ketika Juliet membencinya, perasaan cintanya kepada Juliet tumbuh kembali. Di sisi lain, cinta Juliet cenderung mengikuti cinta Romeo; cintanya akan tumbuh saat Romeo mencintainya, dan akan berubah menjadi benci ketika Romeo membencinya. Skenario cinta di atas dimodelkan oleh sistem persamaan dr(t) dt = aj, dj(t) dt = br, (2.5.1) 17

dimana r(t) menyatakan besaran cinta/benci Romeo pada Juliet pada waktu t, sedangkan j(t) menyatakan besaran cinta/benci Juliet pada Romeo pada waktu t. Nilai positif dari r(t) dan j(t) menyatakan cinta, sedangkan nilai negatifnya menandakan benci. Agar sesuai dengan skenario cinta di atas, nilai parameter a dan b haruslah positif. Perhatikan bahwa sistem (2.5.1) sama persis dengan sistem (2.3.17) sehingga potret fasa dari sistem (2.5.1) membentuk pusat. Hal ini menandakan bahwa kisah cinta antara Juliet dan Romeo pada skenario di atas tidak akan pernah berakhir, karena perasaan cinta dan benci yang dimiliki keduanya selalu mengalami pasang surut dan pasang naik tanpa henti (mengalami proses siklik). 18

BAB III PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas konstruksi model dan sifat-sifat dinamik dari model dinamika cinta yang memperhatikan daya tarik pasangan. 3.1 Konstruksi Model Model yang dikembangkan pada skripsi adalah suatu sistem dinamik yang terdiri dari dua variabel keadaan x 1 dan x 2, dimana x 1 menyatakan ukuran perasaan individu pertama terhadap individu kedua dan x 2 menyatakan ukuran perasaan invidu kedua terhadap individu pertama. Nilai positif pada x i menandakan perasaan positif (mulai dari persahabatan hingga cinta berat), sedangkan nilai negatif menandakan perasaan negatif (mulai dari bertentangan hingga benci sekali). Apabila tidak memiliki perasaan apapun, maka hal itu ditandai dengan x i = 0. Ada tiga hal penting yang diperhatikan dalam model ini, yaitu oblivion, return dan instict. Oblivion adalah suatu keadaan yang dapat mengakibatkan berkurangnya ketertarikan atau perasaan cinta seseorang terhadap pasangannya. Oblivion ini disebut juga proses melupakan. Sebagai contoh, perasaan cinta seseorang yang ditinggal mati oleh pasangannya lama kelamaan akan menurun seiring

berjalannya waktu. Berbeda dengan oblivion, return dan instict justru menjadi sumber ketertarikan seseorang terhadap pasangannya. Return berkaitan dengan perasaan cinta yang tumbuh karena pasangannya mencintainya. Semakin besar cinta yang dimiliki pasangannya terhadap dirinya maka akan membuat perasaan cintanya kepada pasangannya semakin besar pula. Sedangkan instinct berkaitan dengan perasaan cinta yang disebabkan oleh daya tarik yang dimiliki pasangannya, seperti fisik, kepribadian, kecerdasan, kekayaan, dan lain-lain. Adapun asumsi pada model ini adalah : 1. Hubungan cinta antara dua individu hanya dipengaruhi oleh kedua individu tersebut (keikutsertaan pihak lain diabaikan). 2. Daya tarik yang dimiliki seseorang, seperti sifat, kepribadian, fisik, kecerdasan, kekayaan dan lain-lain diasumsikan bersifat konstan. 3. Sinergisme (interaksi antara dua individu) diabaikan, artinya oblivion dan return hanya tergantung pada satu variabel. 4. Mekanisme cinta (oblivion, return dan instict) dianggap saling bebas dan dimodelkan oleh fungsi linier. Berdasarkan penjelasan dan asumsi di atas, maka dinamika cinta yang akan dibahas dimodelkan oleh sistem persamaan diferensial x 1 (t) = α 1 x 1 (t) + β 1 x 2 (t) + γ 1 A 2, x 2 (t) = α 2 x 2 (t) + β 2 x 1 (t) + γ 2 A 1, (3.1.1) 20

dimana α i, β i, γ i, A i, adalah konstanta positif. Adapun α i x i (t), β i x i (t) dan γ i A i pada sistem di atas berturut-turut menjelaskan aspek oblivion, return dan instict. Jadi masing-masing individu diidentifikasi oleh empat parameter, yaitu besarnya proses melupakan (α i ), besarnya reaksi terhadap cinta pasangannya (β i ), besarnya reaksi terhadap daya tarik pasangannya (γ i ), dan besarnya daya tarik pasangan yang diasumsikan konstan (A i ). Model (3.1.1) dapat ditulis ulang dalam bentuk matriks sebagai berikut : ẋ = Ax + b, (3.1.2) dimana A = α 1 β 1 β 2 α 2, b = γ 1 A 2 γ 2 A 1. Perhatikan bahwa matriks A merupakan matriks Metzler dan vektor b memiliki komponen positif. Dengan demikian, berdasarkan Teorema 2.4.14, sistem (3.1.2) positif. 3.2 Sifat-sifat Model Pada subbab ini akan dibahas empat sifat sederhana, tetapi menarik, dari model (3.1.1) [atau sistem (3.1.2)]. Sifat 1. Sistem (3.1.2) tidak memiliki potret fasa pusat. Bukti. Karena α i, β i > 0, maka menurut Teorema 2.3.7 nilai eigen λ 1 dan λ 2 dari matriks A bernilai riil atau dengan kata lain tidak bernilai imajiner murni. 21

Karena hal ini bukanlah kasus (ii) pada Subbab 2.3, maka sistem (3.1.2) tidak mungkin memiliki potret fasa pusat. Interpretasi. Kisah cinta yang dimodelkan oleh sistem (3.1.2) tidak mengalami proses siklik, artinya perasaan cinta yang dimiliki setiap pasangan akan naik atau turun menuju ke suatu nilai (hingga atau takhingga). Selanjutnya sifat berikut memberikan syarat cukup untuk kestabilan sistem (3.1.2). Sifat 2. (i) Jika α 1 α 2 β 1 β 2 > 0, maka sistem (3.1.2) stabil asimtotik, (ii)jika α 1 α 2 β 1 β 2 < 0, maka sistem (3.1.2) tidak stabil. Bukti. Perhatikan bahwa nilai eigen λ 1 dan λ 2 dari matriks A pada sistem (3.1.2) diberikan oleh λ 1 = p + p 2 4q 2, λ 2 = p p 2 4q, 2 dimana p = ( α 1 α 2 ) = α 1 + α 2 dan q = α 1 α 2 β 1 β 2. Diketahui α i, β i > 0, sehingga p > 0 dan p 2 4q > 0. (i) Jika q = α 1 α 2 β 1 β 2 > 0, maka berdasarkan Teorema 2.3.8, λ 2 < λ 1 < 0. Akibatnya, berdasarkan Teorema 2.4.12, sistem (3.1.2) stabil asimtotik. (ii) Jika q = α 1 α 2 β 1 β 2 < 0, maka 4q > 0 p 2 4q > p 2 p 2 4q > p (karena p > 0) p + p 2 4q 2 > 0 λ 1 > 0. 22

Karena nilai eigen λ 1 > 0, maka menurut Teorema 2.4.12, sistem (3.1.2) tidak stabil. Interpretasi. Sifat 2 menjelaskan bahwa kedua pasangan akan memiliki perasaan yang terbatas jika rata-rata (geometrik) dari koefisien reaksi terhadap perasaan cinta yang dimiliki pasangan ( β 1 β 2 ) lebih kecil daripada rata-rata (geometrik) dari proses melupakan ( α 1 α 2 ). Jika hal ini tidak berlaku, maka perasaan yang dimiliki kedua pasangan menjadi tidak terbatas. Tentu saja kasus dengan perasaan yang tidak terbatas menjadi tidak realistik. Dengan demikian pembahasan selanjutnya diasumsikan memenuhi syarat berikut: β 1 β 2 < α 1 α 2. (3.2.1) Selanjutnya sifat berikut menjelaskan tentang titik kesetimbangan dari sistem (3.1.2). Sifat 3. Titik kesetimbangan x = ( x 1, x 2 ) dari sistem (3.1.2) bernilai positif, yaitu x i > 0 untuk i = 1, 2. Bukti. Titik kesetimbangan x = ( x 1, x 2 ) dari sistem (3.1.2) dapat dihitung dari sistem persamaan α 1 x 1 (t) + β 1 x 2 (t) + γ 1 A 2 = 0, α 2 x 2 (t) + β 2 x 1 (t) + γ 2 A 1 = 0. Solusi sistem persamaan di atas untuk x 1 dan x 2 adalah x 1 (t) = x 1 = α 2γ 1 A 2 + β 1 γ 2 A 1 α 1 α 2 β 1 β 2, x 2 (t) = x 2 = α 1γ 2 A 1 + β 2 γ 1 A 2 α 1 α 2 β 1 β 2. (3.2.2) 23

Karena semua konstanta bernilai positif dan dari syarat (3.2.1), maka nilai x 1 dan x 2 tentulah positif. Interpretasi. Jika dua individu bertemu untuk pertama kalinya pada saat t = 0, artinya mereka belum mempunyai perasaan apa-apa satu sama lain (yaitu x i (0) = 0), maka seiring berjalannya waktu kedua individu yang awalnya tidak saling kenal ini akan saling membentuk perasaan positif (yaitu x i (t) > 0) yang menuju ke suatu nilai kesetimbangan yang positif. Sifat 4. Fungsi x i (t), dengan syarat awal x i (0) = 0, monoton naik kuat, yaitu ẋ i (t) > 0 t, untuk i = 1, 2. Bukti. Perhatikan bahwa sistem (3.1.2) pada dasarnya sama dengan sistem (2.3.2) tetapi dengan menggeser semua titik sejauh x positif. Dengan demikian potret fasa sistem (3.1.2) sama dengan potret fasa sistem (2.3.2) namun dengan menggeser titik kesetimbangannya ke suatu titik positif (katakanlah titik E) [lihat gambar 3.2.1]. Selanjutnya perhatikan bahwa ẋ 1 = 0 dan ẋ 2 = 0 berturut-turut memberikan garis lurus dan l 1 x 2 = α 1x 1 β 1 γ 1A 2 β 1, l 2 x 2 = β 2x 1 α 2 + γ 2A 1 α 2. Kedua garis ini membagi daerah potret fasa atas 4 bagian [lihat Gambar 3.2.1] 24

Perhatikan daerah I, yaitu yang dibatasi oleh dan α 1 x 1 β 1 γ 1A 2 β 1 < x 2 < β 2x 1 α 2 + γ 2A 1 α 2, (3.2.3) 0 x 1 < E. (3.2.4) Dari interval (3.2.3) berlaku α 1 x 1 β 1 γ 1A 2 β 1 < x 2 dan x 2 < β 2x 1 α 2 + γ 2A 1 α 2 0 < x 2 α 1x 1 β 1 + γ 1A 2 β 1 dan 0 < x 2 + β 2x 1 α 2 + γ 2A 1 α 2 0 < β 1 x 2 α 1 x 1 + γ 1 A 2 dan 0 < α 2 x 2 + β 2 x 1 + γ 2 A 1 0 < ẋ 1 dan 0 < ẋ 2. Jelas bahwa semua lintasan di daerah I memenuhi ẋ 1 > 0 dan ẋ 2 > 0. Jadi lintasan solusi yang dimulai dari x i (0) = 0 selalu monoton naik kuat. Interpretasi. Misalkan terdapat dua individu yang pada awalnya tidak saling kenal sehingga belum mempunyai perasaan apa-apa satu sama lainnya (dalam hal ini x i (0) = 0). Sifat 4 ini menjelaskan bahwa seiring berjalannya waktu, benih-benih cinta antara dua individu ini dapat muncul dan akan terus tumbuh bersemi menuju ke suatu titik kesetimbangan positif. Lebih lanjut, jika syarat awalnya tidak nol, artinya salah satu atau kedua individu tersebut pada awalnya memiliki perasaan tertentu kepada pasangannya, maka salah satu dari mereka bisa jadi pertama-tama mengalami penurunan rasa cinta, namun lama kelamaan rasa cinta itu dapat tumbuh kembali hingga mencapai titik kesetimbangan, atau 25

Gambar 3.2.1: Potret fasa dari sistem (3.1.2) [3]. sebaliknya. Sebagai contoh, misalkan pada awalnya individu 1 berada di titik kesetimbangan, namun di lain pihak individu 2, untuk suatu alasan, kehilangan ketertarikan terhadap individu 1. Akibatnya, individu 1 akan menderita dalam selang waktu tertentu terlebih dahulu hingga pasangan tersebut mencapai titik kesetimbangan (lihat lintasan AE). Sebaliknya, jika ketertarikan individu 2 terhadap individu 1 pada mulanya melebihi titik kesetimbangan, maka hal itu akan membuat ketertarikan individu 1 terhadap individu 2 meningkat pula. Namun ketertarikan tersebut menurun kembali hingga mencapai titik kesetimbangan (lihat lintasan BE). 26

BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpulan Model dinamika cinta yang dibahas pada skripsi ini diberikan oleh : x 1 (t) = α 1 x 1 (t) + β 1 x 2 (t) + γ 1 A 2, x 2 (t) = α 2 x 2 (t) + β 2 x 1 (t) + γ 2 A 1, dimana α i, β i, γ i, A i, adalah konstanta positif. Adapun α i x i (t), β i x i (t) dan γ i A i pada sistem di atas berturut-turut menjelaskan aspek oblivion, return dan instict. Beberapa sifat dinamik dari model di atas adalah : 1. Sistem tidak memiliki potret fasa pusat. 2. Sistem stabil asimtotik jika α 1 α 2 > β 1 β 2. 3. Titik kesetimbangan sistem bernilai positif. 4. Jika x i (0) = 0, maka ẋ i (t) > 0 untuk setiap t, dengan i = 1, 2. Interpretasi yang dapat disimpulkan berdasarkan sifat-sifat di atas adalah : 1. Kisah cinta antara dua individu pada model di atas tidak mengalami proses siklik.

2. Perasaan kedua individu menuju ke suatu titik kesetimbangan jika ratarata (geometrik ) dari koefisien reaksi terhadap perasaan cinta yang dimiliki pasangan ( β 1 β 2 ) lebih kecil daripada rata-rata (geometrik) dari proses melupakan ( α 1 α 2 ). 3. Titik kesetimbangan perasaan kedua individu bernilai positif. 4. Dua individu yang pada awalnya tidak saling kenal (belum mempunyai perasaan apa-apa satu sama lainnya) dapat membentuk hubungan cinta yang terus tumbuh hingga mencapai titik kesetimbangan yang positif. 4.2 Saran Model dinamika cinta pada skripsi ini mengasumsikan daya tarik pasangan yang bernilai konstan. Untuk pembahasan selanjutnya, pembaca dapat mengkonstruksi model dengan memperhatikan daya tarik pasangan yang tidak konstan dan mengkaji sifat-sifat dinamik yang muncul dari model tersebut. 28

DAFTAR PUSTAKA [1] Diprima, C Richard. Boyce, William E. 2012. Elementary Differential Equations 10th Edition. New York: John Wiley and Sons Inc. [2] Strogatz, H Steven. 1988. Love Affairs and Differential Equations. Mathematic Magazine. 61: 35 [3] Rinaldi, Sergio. 1998. Love Dynamics: The Case of Linier Couples. Applied Mathematics and Computation. 95: 181-192 [4] D. G. Luenberger. 1979. Introduction to Dynamic Systems. New York: John Wiley and Sons Inc. [5] Farina, Lorenzo dan Sergio Rinaldi. 1963. Positive Linear Systems Theory and Applications: New York: John Wiley and Sons Inc. [6] Anton, H. 1991. Aljabar Linier Elementer Edisi Kedelapan-Jilid 1. Jakarta: Erlangga. [7] Leenheer. P. dan Aelyels. D. 2001. Stabilization of Positive Linear Systems. Systems and Control Letters. 44: 259-271 29

RIWAYAT HIDUP Penulis bernama Suci Rahma Nura, dilahirkan pada tanggal 4 Desember 1992 dari pasangan Ramlan dan Nuraiza. Penulis merupakan anak ketiga dari empat bersaudara. Penulis menamatkan Sekolah Dasar di SDN 16 Pulau Karam Padang pada tahun 2004, SMPN 3 Padang pada tahun 2004, dan SMAN 2 Padang pada tahun 2010. Pada tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Andalas melalui Ujian Seleksi Nasional Mahasiswa Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN). Selama menjadi mahasiswa, penulis aktif dalam organisasi/lembaga kemahasiswaan yaitu sebagai Pengurus Himpunan Mahasiswa Matematika tahun 2012-2013 dan tahun 2013-2014. Selain itu, penulis juga ikut aktif sebagai pengurus Badan Eksekutif Mahasiswa Keluarga Mahasiswa (BEMKM) FMIPA pada tahun 2012-2013. Penulis juga pernah mengikuti Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Nagari Bukit Bais Kecamatan Sungai Lasi, Kabupaten Solok pada bulan Juni 2013-Juli 2013 dalam rangka melaksanakan salah satu mata kuliah wajib fakultas. Puji syukur atas semangat, usaha dan motivasi serta seizin yang Maha Kuasa, penulis dapat menyelesaikan studi di Universitas Andalas selama empat tahun dua bulan untuk meraih gelar Sarjana Sains (S.Si) pada tanggal 29 Oktober 2014. Selama menjalani masa-masa yang penuh tantangan ini, penulis mendapatkan banyak pelajaran serta pengalaman yang nantinya dapat berguna bagi penulis, baik dalam ilmu pengetahuan maupun dalam kehidupan nyata selanjutnya.