GEOMETRI DIMENSI DU SUDUT Pengertin Sudut Sudut dlh ngun ng dientuk dri rus gris ng ertemu pd sutu titik. Titik pertemunn diseut titik sudut. Kedu rus grisn diseut kki sudut / sisi sudut. Perhtikn gmr erikut : O 6 O = = 6 sudut refleks O = 9 Mcm-mcm Stun Sudut. Stun Derjt ( ) = keliling lingkrn sehingg keliling lingkrn = 6. 6 = 6 (6 menit) dn = 6 (6 detik). Stun rdin (rd) rd dlh esrn sudut pust sutu lingkrn ng pnjng usur dihdpn sudut itu sm dengn pnjng jri-jrin. 8 = rd sehingg keliling limgkrn = rd.. Stun entisiml / gone / grde ( g ) g = keliling lingkrn sehingg keliling lingkrn = g. Mengkonversikn Stun Sudut Ntkn : (i) dlm stun rdin (ii) rdin dlm derjt (iii) 7, dlm derjt, menit dn detik (iv) 6 dlm desiml derjt (v) ke stun grde (vi) rdin ke stun grde Jw: (i) = 8 rd = 6 rd (ii) rd =.8 = (iii) 7, = 7 +.6 = 7 +,9 = 7 + + 9.6 = 7 + + = 7 SMK Negeri Kndemn K. tng
(iv) 6 = 6 + (v) =. g = g 8 6 6 = 6 +,8 +, 6 = 6,8 (vi) rd =. g = g D Jenis-jenis Sudut. Sudut lncip : < < 9. Sudut siku-siku : = 9. Sudut tumpul : 9 < < 8. Sudut pelurus : = 8 Ltihn. Ntkn ke dlm stun rdin!.,. 6 c. g d. g. Ntkn ke dlm stun derjt. rd. rd c. g d. g. Ntkn ke dlm stun grde/gon!.. c. 6 rd d. 6 rd. Ntkn derjt erikut ke dlm derjt, menit, dn detik.,. 6,7 c. 6, d.,6 KELILING DN LUS NGUN DTR Mcm-mcm ngun dtr erturn. Segitig erdsrkn sisin segitig diedkn menjdi mcm, itu : ) Segitig semrng ) Segitig sm kki c) Segitig sm sisi erdsrkn sudutn segitig diedkn menjdi mcm, itu : ) Segitig lncip ) Segitig tumpul c) Segitig siku-siku c t L =. t = pnjng ls t = tinggi SMK Negeri Kndemn K. tng
L = Sin = c Sin = c Sin L = s ( s )( s )( s c) dengn s = ( + + c ) K = + + c. Persegi Pnjng L = p. l l K = ( p + l ) p p = pnjng l = ler. Persegi L = s s s K = s s = sisi. Jjr Genjng D t L =. t K = ( + ) = pnjng ls t = tinggi. elh Ketupt d s L = d. d K = s D d s d = = digonl pertm d = D = digonl kedu s = sisi 6. Lng-Lng L = d. d d d K = ( + D) D d = = digonl pertm d = D = digonl kedu SMK Negeri Kndemn K. tng
7. Trpesium Trpesium diedkn menjdi mcm, itu : ) Trpesium semrng ) Trpesium sm kki c) Trpesium siku-siku D t L = ( + D). t K = + + D +D 8. Lingkrn K = r = d r = jri-jri d = dimeter D Q P E P P L juringp = 6 L L juringp juringp r = 6 r L = r = d L temereng = L juring - L segitig 9. Segi-n erturn Jik r dlh jri-jri lingkrn pd segi-n erturn, mk : L segi-n = n r Sin 6 n Jik sisin s dn sudut kelilingn d n, mk : L segi-n = ( n ).8 n. s. Sin n ( n ).8. Sin n Tksirn Lus Derh idng Tk erturn d tig turn ng dipergunkn untuk mencri lus derh idng tk erturn.. turn Trpesoid ngun derh idng tk erturn digi menjdi eerp gin ng lern sm. Msing-msing gin diseut pis / prtisi. SMK Negeri Kndemn K. tng
Perhtikn gmr erikut : n n d d d n Stu idng pis, lusn mendekti trpezium dengn sisi sejjr dn sert jrkn d. Lus pis.d Demikin seterusn untuk lus pis-pis erikutn, sehingg lus totl merupkn jumlh dri msing-msing pis. ordintpertm ordintterkhir L ler pis ordintlin n L d... n Tentukn lus derh pd gmr di wh ini dengn turn trpesoid! 8 8 D E F G Jw: Enm pis verticl dengn ordint :,, 8,, 8,, 7 L d 6 8 8 6 stun lus.. turn Mid Ordint d= Perhtikn gmr erikut : G E d D F H SMK Negeri Kndemn K. tng
,,, menunjukkn ordint-ordint di tengh-tengh ordint terdhulu. Lus pis D x d Lus pis DEF x d Dn seterusn. D D EF EF GH Jdi =, =, =, dn seterusn. Lus totl = jumlh lus msing-msing pis. L. d +.d +.d + d ( + + + ) L d ( jumlh ordint tengh ) Tentukn lus ngun pd gmr di wh ini dengn turn mid ordint! 9 9 8 Jw: L d ( jumlh ordint tengh ) 8 ( + + + 9 + + 9 + + ) 8 () 9 stun lus. turn Simpson Perhtikn gmr erikut! Y n+ X n+ = f(x) Untuk mencri lus derh di wh kurv = f(x) dengn sumu X di ntr x = dn x =, segi erikut : gilh gmr terseut menjdi n uh trpezium ng genp, dengn ler (s) sm dn tinggin,,,, n+ dri intervl [,]. Sehingg diperoleh lus derh menurut kidh Simpson dlh ;: s L [( + n+ ) + ( + + ) + ( + + )] dengn n ilngn genp L s [(F + L) + E + R SMK Negeri Kndemn K. tng 6
Dengn F = ordint pertm intervl L = ordint terkhir intervl E = jumlh ordint ernomor genp R = jumlh ordint ernomor gnjil Tentukn lus derh kurv ng ditsi oleh kurv = x, gris x =, gri x = 6 dn sumu X, dengn menggunkn turn Simpson! Jw: Y = x 6 6 9,,,,,, X O 6 s =, F =, L = 6, E = 9 + =, R = 6 Sustitusi ke rumus s L [(F + L) + E + R [( + 6) + () + (6)] [ + 6 + ] (8) 69, stun lus Ltihn. Hitunglh derh ngun dtr gmr di wh ini!. cm cm cm. Seuh rung dengn m x m kn dipsng kermik ng erukurn cm x cm. erp jumlh kermik ng diperlukn? SMK Negeri Kndemn K. tng 7
. DE ; D = mm ; D = D ; dn D = DE. rilh sudut-sudut ng elum dikethui jik dikethui pul = D E. Hitunglh lus derh ng diperlihtkn oleh gmr di wh ini dengn turn trpesoid, mid ordint, dn Simpson! D 8 9 6 TRNSFORMSI NGUN DTR Trnsformsi pd idng d jenis itu ; - Pergesern (Trnslsi) - Pencerminn (Refleksi) - Perputrn (Rotsi) - Perklin (Diltsi) Trnsformsi isometri dlh sutu trnsformsi ng menghsilkn ngn ng kongruen dengn ngun slin. Misl : trnslsi, refleksi, dn rotsi. ttn: Jrk dn rh sutu pergesern dpt ditentukn dengn : rus gris errh, misl RS tu seuh psngn ilngn, misl. Pencerminn ditentukn dengn sutu gris ng dinggp segi sumu pencerminnn. Perputrn ditentukn dengn : - pust putrn. - esr dn rh sudut putr, misln serh tu erlwnn rh jrum jm. Perklin ditentukn dengn pust dn fctor skln. Misl [P,k] merupkn diltsi erpust di P dn fctor skl k. Trnslsi (Pergesern) Sutu trnslsi ng memindhkn setip titik stun ke knn dn stun ke ts dintkn dengn sutu psngn ilngn entuk kolom. Trnslsi T: dn = +. Ditulis T: (x,) (x, ) = (x +, + ) SMK Negeri Kndemn K. tng memetkn setip titik (x,) ke titik (x, ) sehingg x = x + 8
Dlm entuk mtriks kolom, ditulis : x x Tentukn ngn segi empt O dengn O(,), (,), (,6) dn (,6) segi hsil trnslsi! Jw: O(,) O (,) (,) (6,) (,6) (,9) (,6) (6,9) Jdi ngnn O dengn O (,), (6,), (,9), dn (6,9). r lin : O O 6 6 6 6 9 9 Jdi ngnn O dengn O (,), (6,), (,9), dn (6,9). Refleksi (Pencerminn) Pencerminn Terhdp sumu X (M x ) Y (x,) O (x,-) X M x memetkn setip titik (x,) ke titik (x, ) sehingg x = x dn = -. Ditulis M x : (x,) (x, ) = (x,-) Jik x dn dintkn dengn x dn, didpt : x = x =.x +. = - =.x +. ng dpt disjikn dengn mtriks :. x. x. x Mtriks M x = r lin: Y -(,)., X (,) diseut mtriks opertor pencerminn terhdp sumu X. SMK Negeri Kndemn K. tng 9
Gunkn titik (,) dn (,) segi pementuk mtriks wl, itu : x x Pencerminn terhdp sumu X (,) (,) mtrikn : (,) (,-) Silhkn dico sendiri untuk : Pencerminn terhdp sumu Y Pencerminn terhdp gris = x Pencerminn terhdp gris = -x Pencerminn terhdp titik sl O Pencerminn terhdp gris x = Pencerminn terhdp gris = Tentukn ngn segi empt O dengn O(,), (,), (,6) dn (,6) segi hsil refleksi terhdp sumu X! Jw: M x = Sehingg : O 6 6 = O Jdi ngnn O dengn O (,), (,), (,-6), dn (,-6). 6 6 Rotsi (Perputrn) Y (r, + ) (r, ) O X (r, ) x = r os = r Sin (r, + ) x = r os ( + ) = r Sin ( + ) x = r os ( + ) = r os os - r Sin Sin = x os - Sin = r Sin ( + ) = r Sin os + r os Sin = os + x Sin = x Sin + os SMK Negeri Kndemn K. tng
Secr mtriks dpt ditulis : xos Sin xsin os os Sin Sin os x Sudut rotsi positif jik erlwnn dengn rh perputrn jrum jm, dn negtive jik sesui dengn rh perputrn jrum jm. Tentukn ngn segi empt O dengn O(,), (,), (,6) dn (,6) segi hsil rotsi di O sejuh erlwnn dengn rh jrum jm! Jw: R O, = os Sin Sin os O O = 6 6 Jdi ngnn O dengn O (,), (, ), (, ), dn (, ) Rotsi dengn Pust P(,) x = {(x-) os = {(x-) Sin tu os Sin - (-) Sin } - + (-) os } Sin os x Dikethui titik (,), tentukn ngnn kit rotsi 9 dengn titik pust P(.)! Jw: os9 Sin9 = Sin9 os9 = Jdi, ngn titik (,) kit rotsi 9 dengn titik pust P(.) dlh (-,). D Diltsi (Perklin) Sutu diltsi dengn pust O dn fctor skl k dintkn dengn [O,k]. Diltsi [O,k] memetkn setip titik (x,) ke titik (x, ) sehingg x = kx dn = k. Ditulis [O,k] : (x,) (x, ) = (kx,k) Y (kx,k) (x,) O = k O O X SMK Negeri Kndemn K. tng
Jik x dn dintkn dengn x dn, didpt : x = kx = k.x +. = k =.x + k. ng dpt disjikn dengn mtriks : k. x. k x. x k. k k Mtriks [O,k] = diseut mtriks opertor diltsi dengn pust O dn fctor skl k. k ttn: Jik k> mk ngun sl dn ngn letkn sepihk terhdp pust diltsi. Jik k< mk ngun sl dn ngn letkn erlinn pihk terhdp pust diltsi. Jik <k< mk diltsi merupkn pengeciln. Jik k<- tu k> diltsi merupkn pemesrn. Jik k = - mk diltsi itu sm dengn pencerminn terhdp O dn sm dengn rotsi 8 dengn pust O. Tentukn ngn segi empt O dengn O(,), (,), (,6) dn (,6) segi hsil diltsi [O,]! Jw; [O,] = O O = 6 6 8 8 Jdi ngnn O dengn O (,), (,), (,8), dn (,8). Diltsi dengn Pust P(,) (x,) tu [ P(, ), k ] k k k( x ) k( ) (k(x-) +, k(-) + ) x x k Dikethui titik (,9), tentukn hsil ngnn kren diltsi [P,] dengn titik pust P(,)! Jw: Diltsi [P,]. 9..8 Jdi, titik ngn hsil diltsi dlh: (,). SMK Negeri Kndemn K. tng
E Trnsformsi Liner Trnsformsi liner dlh trnsformsi ng memetkn setip titik (x,) ke titik (x, ) sedemikin sehingg : x x tu cx d c d Dikethui du uh titik dipetkn segi erikut : (,) (,) (,) (,) Tentukn mtriks trnsformsin! (,) c d (,) (,) (,) c d + = c + d = c d = ; d = Sehingg : = ; c = - Jdi mtriks trnsformsin Tel Mtriks Trnsformsi NO TRNSFORMSI PEMETN MTRIKS Identits (x,) (x,) Trnslsi (x,) (x, ) = (x +, + ) M x (x,) (x,-) M (x,) (-x,) M =x (x,) (,x) 6 M =-x (x,) (-,-x) 7 M o (x,) (-x,-) 8 R (O, ) (x,) (xos - Sin, xsin + os ) 9 D[O,k] (x,) (kx,k) ttn: Untuk memperoleh mtriks trnsformi tunggl dri eerp mtriks trnsformsi, dpt dilkukn dengn menglikn mtriks-mtriks trnsformsi terseut. os Sin k k x Sin os SMK Negeri Kndemn K. tng
Jik T = dn T = mentkn mtriks trnslsi, mk tentukn ngn titik (-,) oleh T ot! Jw: T ot = T + T = + = Sehingg : + = Jdi, ngn (-,) oleh T + T dlh (,) Tentukn ngn (,) oleh pencerminn terhdp sumu Y dilnjutkn terhdp sumu X! Jw: M x o M = = Jdi, ngn (,) oleh M dilnjutkn M x dlh (-,-). Ltihn. Dikethui segitig dengn titik-titik (,), (,) dn (,). Tentuknlh ngn segitig terseut setelh digeser oleh T!. Dikethui segi empt D dengn titik-titik sudut (,), (,), (,) dn D(,). Tentukn ngn segi empt D terseut kit pencerminn terhdp sumu X!. Dikethui segitig dengn titik-titik sudut (,), (,), dn (,). Tentuknlh ngn segitig terseut kit pencerminn terhdp titik sl!. Tentuknlh ngn titik (6,) kit diputr dengn turn segi erikut:. 9 dengn pust O(,).. 8 dengn pust O(,). c. 9 dengn pust P(,). d. -9 dengn pust O(,).. Dengn menggunkn mtriks opertor, tentukn ngn segitig PQR dengn titik sudut P(,), Q(-,) dn R(,) kit pencerminn erikut:. terhdp sumu X. terhdp sumu Y c. terhdp gris = x d. terhdp gris = -x e. terhdp titik sl 6. Dierikn segitig sm kki dengn = 6 cm dn = cm. Titik Odi tengh. Tentukn hsil diltsi segitig dengn pust O dn fktor diltsi! SMK Negeri Kndemn K. tng
7. Dierikn persegi D dengn sisi cm. Titik O perpotongn dn D. Tentukn hsil diltsi persegi D dengn pust O dn fktor diltsi! 8. Segitig siku-siku di, = 6 cm dn = 8 cm. Titik O di tengh. Gmrkn hsil diltsi segitig dengn pust O dn fktor dilti! 9. Jjr genjng D dengn = 8 cm dn D = 6 cm. Gmrkn hsil diltsi jjr genjng terseut pil memiliki pust dn fktor diltsi!. Lng-lng PQRS dengn digonl PR QS erpotongn di O sehingg OP = OR = cm, OQ = cm dn OS = cm. Tentukn hsil diltsi ling-lng PQRS dengn pust O dn fktor diltsi! SMK Negeri Kndemn K. tng