MODUL MATEMATIKA KELAS XII

Transkripsi

1 MODUL MATEMATIKA KELAS XII LAKSONO BANGUN AS ARI SMA NEGERI KANDANGAN

2 BAB I INTEGRAL -- A. INTEGRAL TENTU DAN INTEGRAL TAK TENTU Integrl dlh kelikn dri turunn (diferensil). Oleh kren itu integrl diseut jug nti diferensil. Ad mcm integrl, itu integrl tentu dn integrl tk tentu. Integrl tentu itu integrl ng nilin tertentu, sedngkn integrl tk tentu, itu integrl ng nilin tk tentu. Pd integrl tentu d ts wh dn ts ts ng nnti ergun untuk menentukn nili integrl terseut. Kegunn integrl dlm kehidupn sehri-hri nk sekli, dintrn menentukn lus sutu idng, menentukn voluem end putr, menentukn pnjng usur dn segin. Integrl tidk hn dipergunkn di mtemtik sj. Bnk idng lin ng menggunkn integrl, seperti ekonomi, fisik, iologi, teknik dn msih nk lgi disiplin ilmu ng lin ng mempergunknn.. INTEGRAL TAK TENTU Kren integrl merupkn kelikn (invers) dri turunn, mk untuk menemukn rumus d integrl kit ernjk dri turunn. Turunn sutu fungsi = f() dlh = f () tu, d sedngkn notsi integrl dri sutu fungsi = f() dlh d f ( ) d ng dic integrl terhdp. Turunn sutu fungsi konstn dlh tu integrl dlh sutu fungsi konstn, isn diwkili oleh notsi c. n n Rumus umum integrl dri dlh c tu ditulis : n n n d c untuk n n Contoh : Tentukn :.. c. d. 8 d d d 6 7 d Penelesin :.. c. d. 8 d d d c c 6 7 d d c c ( ) 9 d c c 7 c Lksono

3 -- LATIHAN SOAL. Integrlkn!.. c. d. e. f. g. h. i. j. 6 d d d d 6 d d d 8 d 7 d d. PEMAKAIAN INTEGRAL TAK TENTU Pd integrl tk tentu terdpt nili konstnt c ng tidk tentu nilin. Untuk menentukn fungsi f dri sutu fungsi turunn, mk hrus d dt ng lin sehingg hrg c dpt dikethui. Contoh : Dikethui f () = dn f() = 8. Tentukn f()! Penelesin : f ( ) ( ) d c f () 8 (). c 8 6 c 8 6 c 8 c Jdi f ( ) Contoh : Jik grdien gris singgung di titik (,) pd seuh kurv ng mellui titik (,) d ditentukn 8, mk tentukn persmn kurv terseut! d Penelesin : f ( ) ( 8 ) d f ().. c 7 6 c c c Lksono

4 -- Jdi f() = LATIHAN SOAL. Tentukn rumus f() jik dikethui :. f () = dn f() =. f () = 8 dn f(-) = c. f () = dn f() = d. f () = - dn f() = - e. f () = - dn f() =. Dikethui titik (,) terletk pd kurv dn grdien gris singgung di titik (,) pd kurv terseut didefinisikn. Tentukn persmn kurv terseut! d. Grdien sutu kurv pd setip titik (,) ditentukn oleh dn kurv itu d mellui titik (-,). Tentukn persmn kurv itu!. Keceptn sutu end ergerk dintkn oleh v ( t) t 6t. Setelh end itu ergerk detik, jrk ng ditempuh m. Tentukn persmn gerk dri end itu!. Dikethui rumus perceptn (t)= t dn keceptn v() = 6. Tentuknlh rumus dv keceptn v(t) jik (t)= dt. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI Kit telh mempeljri turunn fungsi trigonometri ng secr ringks dpt digmrkn segi erikut : sin cos sin cos sin tn sec cot cosec rtin turunn. Kren integrl dlh invers dri turunn mk : Contoh : Tentukn :. (sin cos) d. ( cos sin ) d Penelesin :. (sin cos ) d cos sin c. ( cos sin ) d sin cos c Lksono

5 -- LATIHAN SOAL. Tentukn integrl fungsi erikut!. sin d. c. d. e. sin cos 8cos sin sin 6sin d d d d. INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI Cr menentukn integrl dengn menggunkn cr sustitusi- itu dengn menguh entuk integrl terseut ke entuk lin dengn notsi lin ng leih sederhn sehingg mudh menelesiknn. Cr ini digunkn jik gin ng stu d kitn turunn dri gin ng lin. Contoh :Tentukn integrl dri :. ( ) d. sin Penelesin : cos d. Misl : u Mk: du 8 d du d 8 Sehingg : du 8. ( ) d. u. u du u c ( ). Misl u = sin du cos d du d cos Sehingg : du cos 6 6 sin cos d u.cos u du u c sin 6 c c Lksono

6 -- LATIHAN SOAL Tentukn integrl dri fungsi fungsi erikut dengn menggunkn metode sustitusi! cos 6 sin d d d d d d d cos.sin d 6 d sin d. INTEGRAL PARSIAL Bgimn jik du gin pd sutu integrl tidk d kitn turunn ntr gin ng stu dengn gin linn? Untuk itu perlu d cr lin untuk menelesiknn itu dengn integrl prsil. Seperti telh kit kethui pd turunn jik = uv mk =u v + uv. Jik kit integrlkn kedu ru, mk kn didpt : ' d u ' v d uv' d uv' d u ' v d uv u ' v d Rumus di ts sering disingkt dengn : u dv uv v du Contoh : Tentukn :. ( ). sin d 6 d Penelesin :. Misl = u mk d = du 6 7 d v. ( ) ( ) d. ( ) ( ). d 7 8 ( ).. ( ) c ( ) ( ) c 7 Misl dv = 7. Misl = u mk d = du Misl dv = sin d mk v = -cos Lksono

7 -6- sin d. cos cos d cos sin LATIHAN SOAL Tentukn integrl erikut dengn metode prsil!. 6 d sin d d d sin d cos d d d cos d sin 6 d c 6. INTEGRAL TENTU Perhtikn gmr di wh ini : Y Y = f() P Q R S f() f(+h) T h U X +h Lus derh dri = hingg = dlh L() L().. () Lus RSUT Lus RQUT Lus PQUT h.f() L(+h) L() h.f(+h) L( h) L( ) f ( ) f ( h) h Untuk h mk : Lim Lim L ( h) L( ) Lim f() f(+h) h h h h f ( ) L'( ) f ( ) L'( ) f ( ) L ( ) f ( ) d F( ) c Dri () mk : L f ( ) d L( ) L( ) ( F( ) c) ( F( ) c) F( ) F( ) Jdi : ( ) d F( ) f F( ) F( ) Lksono 6

8 -7- Lksono 7 Contoh : Hitunglh ) ( d Penelesin:.. ) ( d LATIHAN SOAL. Tentukn nili integrl di wh ini : d e d d d c d d. Tentukn nili jik dikethui :. 8. d d. Tentukn jik 6 d. Tunjukkn dengn rsirn, lus derh ng dintkn dengn integrl erikut :.... d d d c d d

9 -8- Lksono 8. Tentukn nili integrl dri : d d d c d d Tentukn nili integrl erikut ini : cos. ) cos (sin. sin. cos. cos. d e d d d c d d

10 -9- B. LUAS DAN VOLUME BENDA PUTAR. DAERAH ANTARA BEBERAPA KURVA Derh ntr du kurv itu derh ng ditsi oleh du kurv terseut dengn selng ts tertentu. Selng ts terseut is ts ng ditentukn tu titik potong kedu kurv terseut. Contoh : Lukislh derh ntr gris = dn kurv! Penelesin : Y = = X LATIHAN SOAL Lukislh derh ntr eerp kurv di wh ini : ,, dn, dn dn dn dn dn, dn sumu X 8,, dn sin, sin, cos, Lksono 9

11 --. LUAS DAERAH ANTARA KURVA DAN SUMBU KOORDINAT Lus derh ntr kurv = f() dengn sumu koordint X pd selng dimn derhn d di ts tu di wh sumu X dlh : L f ( ) d Begitupun untuk derh dengn ts sumu koordint Y, itu : L f ( ) d Contoh : Tentukn lus derh ntr kurv =, sumu X, = - dn =! Penelesin : Y - X L d d ( ) ( ) stun lus. LATIHAN SOAL. Tentukn lus derh ng dirsir pd gmr di wh ini :. Y. Y = + = X X - c. Y = - X Lksono

12 --. Tentukn lus derh ntr kurv erikut dn sumu koordint tu gris ng ditentukn :., sumu X, = - dn =., sumu X, = dn = c. dn sumu X d. e. 8, sumu X dn =, sumu X, = - dn = f., sumu X, = dn =. Tentukn lus derh ng ditsi oleh kurv, sumu X, = - dn =. LUAS ANTARA DUA KURVA Untuk menentukn lus derh ntr du kurv, kit erdsrkn lus ntr kurv dn sumu koordint. Perhtikn gmr di wh ini : Y = f() = g() X Lus derh ng dirsir dlh : f ( ) d g( ) d ( f ( ) L g( )) d Jdi : L f ( ) g( ) Contoh : Tentukn lus derh ntr kurv dn = +! Penelesin : Titik potong kedu kurv itu : ( ) tu Y - X L ( ) ( ) d ( ) d stun lus. Lksono

13 -- LATIHAN SOAL. Hitunglh lus derh ng dirsir pd gmr di wh ini :.. Y = = Y Y = X X =. Hitunglh lus derh ng ditsi oleh du kurv erikut :. dn. c. d. 9 e. f. dn g. dn dn, 6 dn sumu Y dn dn. VOLUME BENDA PUTAR. VOLUME BENDA PUTAR ANTARA KURVA DAN SUMBU KOORDINAT Y = f() X Volume end putr ng ditsi oleh kurv = f(), =, = dn sumu X ng diputr sejuh 6 mengelilingi sumu X dlh : V d Begitu jug pd kurv = f() ng diputr mengelilingi sumu Y sejuh ditsi oleh =, =, sumu Y dn kurv itu sendiri mk volumen : 6 dn V d Lksono

14 Contoh : Tentukn volume end putr ng terjdi jik derh ng ditsi oleh kurv, sumu X dn gris = diputr mengelilingi sumu X sejuh 6! -- Jw : Y X d d V stun volume. LATIHAN SOAL. Pd gmr di wh, hitunglh volume end putrn jik diputr mengelilingi sumu X sejuh 6!. Y. Y = + Y= X - X. Hitunglh volume end putr ng terjdi jik derh ng ditsi oleh kurv-kurv ng dikethui diputr mengelilingi sumu X sejuh 6!. =, = dn =. =, sumu X, sumu Y dn = 6 c. =, sumu X, sumu Y dn = 9 d. =, = dn = e. =, sumu X, = - dn =. Hitunglh volume end putr ng terjdi jik derh ng ditsi oleh kurv-kurv ng dikethui diputr mengelilingi sumu Y sejuh 6!. = dn = 6. = dn = c. =, = dn = Quiss : r. Tentukn rumus volume kerucut V r t dri persmn gris = ng diputr t mengelilingi sumu X sejuh 6. Tentukn rumus volume ol V r dri persmn seperempt lingkrn r ng diputr mengelilingi sumu X sejuh 6 Lksono

15 --. VOLUME BENDA PUTAR ANTARA DUA KURVA = f() = g() X Volume end putr ng diputr mengelilingi sumu X sejuh kurv = f(), = g(), = dn = dlh : 6 ng ditsi oleh V ( ) d dimn f ( ), g( ) dn Begitupun untuk end putr ng diputr mengelilingi sumu Y. Contoh : Hitunglh isi end putr ng terjdi jik derh ng ditsi oleh kurv = diputr mengelilingi sumu X sejuh 6! dn Jw : V ) ( ) d LATIHAN SOAL 6 ( d. Hitunglh volume end putr ng terjdi jik derh ng ditsi oleh du kurv diputr sejuh 6 mengelilingi sumu koordint ng diseutkn!. = dn = mengelilingi sumu X. = dn mengelilingi sumu Y c. =, =, mengelilingi sumu Y d. = dn = mengelilingi sumu X e. = dn = 6 mengelilingi sumu X f. = dn = 9 mengelilingi sumu X Lksono

16 PROGRAM LINIER -- Progrm linier dlh sutu metode untuk mencri nili mksimum tu minimum dri entuk linier pd derh ng ditsi oleh grfik-grfik fungsi linier.. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER Lksono

17 Lksono 6-6-

18 -7- Lksono 7 Contoh Sol : LATIHAN SOAL. Lukislh gris erikut : ). + = 6 c). - + = - ). - + = d). 8. Arsirlh derh penelesin dri sistem pertidksmn linier : ) 6 ) c) d) e) f) 6 g) 6 h) i) j) 8

19 -8-. MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINIER Dlm kehidupn sehri-hri sering kit dihdpkn dengn permslhn ng erhuungn dengn nili optiml (mksimum/minimum). Progrm linier mempuni tujun untuk dpt memnftkn hn-hn (mteri) ng tersedi secr efisien dengn hsil ng optimum. Kren itu progrm linier nk digunkn dlm idng ekonomi, industri, perushn dn idng ush lin.. Model Mtemátik dri Permslhn Progrm Linier Segi ilustrsi perhtikn contoh erikut : PT. Sm Ln memproduksi n motor dn n seped. Proses pemutn n motor mellui tig mesin, itu menit pd mesin I, 8 menit pd mesin II, dn menit pd mesin III. Adpun n seped diprosesn mellui du mesin, itu menit pd mesin I dn menit pd mesin II. Tip mesin ini dpt diopersikn 8 menit per hri. Untuk memperoleh keuntungn mksimum, rencnn perushn ini kn mengmil keuntungn Rp., dri setip penjuln n motor dn Rp., dri setip penjuln n seped. Berdsrkn keuntungn ng ingin dicpi ini, mk pihk perushn merencnkn nk n motor dn nk n seped ng kn diproduksin dengn merumuskn ergi kendl segi erikut. Perushn terseut memislkn nk n motor ng diproduksi segi dn nk n seped ng diproduksi segi, dengn dn ilngn sli. Dengn menggunkn vriel dn terseut, preusn itu memut rumusn kendlkendl segi erikut. Pd mesin I : + 8. Persmn Pd mesin II : Persmn Pd mesin III : 8. Persmn, ilngn sli :,. Persmn Fungsi tujun (ojektif) ng digunkn untuk memksimumkn keuntungn dlh f(, ) =. +.. Dlm merumuskn mslh terseut, PT. Sm Ln telh memut model mtemtik dri sutu mslh progrm liner.. Nili Optimum Fungsi Oektif Untuk menentukn nili optimum fungsi ojektif ini, d du metode, itu metode uji titik pojok dn metode gris selidik... Metode Uji Titik Pojok Untuk menentukn nili optimum fungsi ojektif dengn menggunkn metode uji titik pojok, lkuknlh lngkh-lngkh erikut.. Uh mslh terseut ke dlm model mtemtik itu dengn memut tel, fungsi pemts dn fungsi tujun.tel di sini untuk mempermudh memc dt. Fungsi pemts/kendl itu eerp pertidksmn linier ng erhuungn dengn permslhn terseut. Fungsi tujun/ojektif itu sutu fungsi ng erhuungn dengn tujun ng kn dicpi. Bisn fungsi tujun dintkn dengn f(,) = + tu z = +. Lukislh derh penelesin dri fungsi pemtsn. Tentukn koordint-koordint titik ujung derh penelesin. Ujilh msing-msing titik ujung derh penelesin. Tentukn nili teresr/terkeciln sesui dengn tujun ng kn dicpi Segi contoh dlm dri mslh produksi n PT. Sm Ln di ts diperoleh model mtemátik segi erikut : I : + 8. Persmn II : Persmn III : 8. Persmn Lksono 8

20 -9- IV :,. Persmn Fungís Oektif : f(, ) =. +. Gmr grfik derh penelesin dri model mtemátic terseut hádl segi erikut : Lksono 9

21 Lksono --

22 -- LATIHAN SOAL. Sutu peswt udr mempuni tempt duduk tidk leih dri 8 penumpng. Setip penumpng kels utm oleh memw gsi 6 kg, sedngkn kels ekonomi ditsi kg. Peswt itu hn dpt memw gsi kg. Jik tiket setip penumpng kels utm Rp.. dn kels ekonomi Rp.., mk tentukn keuntungn mksimum ng dpt diperolehn?. Lus derh prkir 6 m. Lus rt-rt untuk prkir seuh moil sedn 6 m dn untuk seuh us m. Derh prkir tidk dpt memut leih dri kendrn. Jik i prkir untuk seuh moil sedn Rp. dn seuh us Rp.7, mk tentukn nkn tip-tip jenis kendrn gr diperoleh pendptn mksimum?. Seorng pengush kendrn rod du kn memproduksi seped lp dn seped is. Bnk seped lp ng kn diproduksi sedikitn unit dn pling nk 6 unit perulnn. Sedngkn untuk seped is pling nk diproduksi unit seulnn. Totl produksi perulnn dlh 6 unit. Hrg jul seped lp Rp.7./unit dn seped is Rp../unit. Tentukn nkn msing-msing jenis seped ng memut keuntungn mksiml!. Seuh utik memiliki m kin stin dn m kin prd. Dri hn terseut kn diut ju pest. Bju pest I memerlukn m kin stin dn m kin prd. Sedngkn ju pest II memerlukn m kin stin dn m kin prd. Hrg jul ju pest I seesr Rp.. dn ju pest II Rp Berp jenis ju pest ng kn diut gr diperoleh hrg jul ng setinggi-tinggin?. Seorng petni memutuhkn pupuk N, P, dn K erturut-turut,, dn unit untuk menuurkn tnmnn. Keutuhn itu dpt dipenuhin dri pupuk erup cirn ng mengndung unit N, unit P dn unit K tip otol dn dri pupuk erentuk tepung ng mengndung unit N, unit P dn unit K tip kntong. Berp nkn tip jenis pupuk dpt dieli gr i pemelin pupuk seminiml mungkin?. Metode Gris Selidik Lksono

23 -- LATIHAN SOAL. Tentukn nili mksimum dn minimum + dengn menggunkn gris selidik dri derh sistem pertidksmn linier 6, 8, 6 dn 8. Dengn menggunkn gris selidik, tentukn nili mksimum + pd derh himpunn penelesin 8, 6, 8 dn 8. Dengn menggunkn gris selidik, tentukn nili mksimum dn minimum pd pertidksmn, 6, dn. Dengn menggunkn gris selidik, tentukn nili mksimum dn minimum q = 6 + pd himpunn penelesin sistem pertidksmn 6,, dn Lksono

24 --. Dengn menggunkn gris selidik, tentukn nili mksimu dn minimum q = 6 + dri derh penelesin 6 8 8, dn 7 Lksono

25 -- M A T R I K S A. PENGERTIAN DAN NOTASI MATRIKS. PENGERTIAN BARIS, KOLOM DAN ELEMEN SUATU MATRIKS Mtriks itu himpunn ilngn-ilngn ng tersusun menurut ris dn kolom erentuk persegi pnjng dn ditulis dintr tnd kurung ( ) tu [ ]. Nm mtriks dengn menggunkn huruf esr. Elemen-elemen sutu mtriks dengn huruf kecil sesui nm mtriks dengn indeks sesui letk elemenn. Contoh : Dikethui mtriks A = Tentukn :. nk ris d. elemen-elemen kolom ke-. nk kolom e.. c. elemen-elemen ris ke- f.. Penelesin :. nk ris = ris. nk kolom = kolom c. celemen-elemen ris ke- =,, - d. elemen-elemen kolom ke- =, -, -. e.. = elemen ris ke- kolom ke- = - f. = elemen ris ke- kolom ke- = Contoh : Dikethui X 6 Tentukn letk elemen dn 6! Penelesin : elemen =. elemen 6 =.. ORDO MATRIKS Yitu nkn ris dn kolom ng mentkn sutu mtriks. A mn rtin mtriks A erordo m n itu nkn ris m uh dn nkn kolom n uh. Contoh : Dikethui P Tentukn ordo mtriks P Lksono

26 -- Penelesin : Ordo mtriks P =. JENIS-JENIS MATRIKS. Mtriks Nol Yitu mtriks ng setip elemenn nol. Misl : A. Mtriks Bris Yitu mtriks ng hn mempuni stu ris B Misl :. Mtriks Kolom Yitu mtriks ng hn mempuni stu kolom. Misl : C. Mtriks Bujur sngkr Yitu sutu mtriks ng jumlh ris dn kolomn sm. Ordo mtriks n n sering disingkt dengn n sj. Misl : D. Mtriks Digonl Yitu mtriks persegi ng semu elemenn nol, keculi elemen-elemen digonl utmn. Misl : E 6. Mtriks Stun (Identits) Yitu mtriks persegi ng semu elemen digonl utmn stu, dn elemen linn nol. Misl : F 7. Mtriks Sklr Yitu mtriks persegi ng semu elemen pd digonl utmn sm, tetpi ukn nol dn semu elemen linn nol. Misl : G 8. Mtriks Segitig Ats Yitu mtriks ng semu elemen di wh digonl utmn nol. Lksono

27 -6- Lksono 6 Misl : H 9. Mtriks Segitig Bwh Yitu mtriks ng semu elemen di ts digonl utmn nol. Misl : K LATIHAN SOAL. Dikethui P Tentukn :. elemen-elemen ris ke-. elemen-elemen kolom ke- c. elemen-elemen kolom ke- d. elemen ris ke- kolom ke- e. elemen ris ke- kolom ke- f. ordo P. Dikethui 6 X Tentrukn :. ordo X. elemen-elemen ris ke- c.. d.. e... Dikethui 6 A Tentukn letk elemen :.. c. 6 d. e.. Berikut ini termsuk jenis mtriks p?. A. B c. C d. D. Berikn contoh lin dri mtriks :. sklr. segitig wh c. segitig ts d. Digonl

28 -7- Lksono 7. KESAMAAN DUA MATRIKS Du mtriks diktkn sm jik ordo dn elemen-elemen ng seletk sm. Contoh : Mn mtriks ng sm? A B C 9 D Penelesin : Mtriks ng sm itu mtriks A dn C Contoh : Tentukn dn dri Penelesin : = = =. TRANSPOSE MATRIKS Trnspose (putrn) mtriks A itu mtriks ng diperoleh dri mtriks A dengn menukrkn elemen-elemen pd ris menjdi kolom dn selikn elemen-elemen pd kolom menjdi ris. Trnspose mtriks A dintkn dengn T A tu A. Contoh : Jik 6 P mk tentukn T P Penelesin : 6 t P LATIHAN SOAL. Tentukn dn dri : c. d.. Tentukn,, c dn d dri : c d c c. d c d d. 8 c d d c

29 -8-. Tentukn trnsposen dri :. A. B c 6. Tentukn c jik A, B c dn T A B B. OPERASI MATRIKS. PENJUMLAHAN MATRIKS Du mtriks dpt dijumlhkn jik ordon sm. Yng dijumlhkn itu elemen-elemen ng seletk. Contoh : Jik A dn B mk tentukn A + B Penelesin : A + B = Contoh : Jik A, B dn C, tentukn :. A + B. B + A c. A + (B + C) d. (A + B) + C Penelesin :. A + B =. B + A = c. A + (B + C) = d. (A + B) + C = Contoh : Dikethui A, A dn O. Tunjukkn :. A + (-A) = (-A) + A = O. A + O = O + A = A Penelesin :. A + (-A) = Lksono 8

30 -9- (-A) + A =. A + O = O + A = Sift-sift penjumlhn mtriks :. A + B = B + A (ersift komuttif). A + (B + C) = (A + B) + C (ersift sositif). A + O = O + A = A (O mtriks identits dri penjumlhn). A + (-A) = (-A) + A = O (-A mtriks invers penjumlhn). PENGURANGAN MATRIKS Du mtriks dpt dikurngkn jik ordon sm. Yng dikurngkn elemen-elemen ng seletk. Contoh : Jik A dn B, mk tentukn :. A B. B A Penelesin :. A B =. B A = Sift-sift Pengurngn mtriks :. A B B A (tidk komuttif). A (B C) = (A B) C (sositif) LATIHAN SOAL. Sederhnknlh!.. c. d. 7 e. 8 7 Lksono 9

31 -- Lksono f. 7 g. 7 h. i.. Tentukn jik. Tentukn jik 6 7. Tentukn,, c dn d dri :. 8 d c. d c c. PERKALIAN MATRIKS. PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL (SKALAR) Hsil perklin sklr k dengn seuh mtriks A ng erordo m n dlh seuh mtriks ng erordo m n dengn elemen-elemenn dlh hsil kli sklr k dengn setip elemen mtriks A. Contoh : Jik A mk tentukn :. A. A Penelesin :. A = 6. A = Contoh : Jik A dn 6 B mk tentukn :. (A + B). A + B c. (A) d. 6A Penelesin :. (A + B) =

32 -- Lksono. A + B = c. (A) = d. 6A = Sift-sift perklin sklr k dengn sutu mtriks :. k(a + B) =. (k + l)a =. k(la) = LATIHAN SOAL. Jik A dn B, mk tentukn :. A + B. A B c. ) ( B A d. (A B). Tentukn mtriks X jik:. 8 6 X. 6 7 X c. X d. X. Tentukn,, c dn d dri :. 7 c d c c d c. Dikethui c A dn 7 c B. Jik T A B, mk tentukn nili c!. PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS Du mtriks A dn B dpt diklikn jik jumlh kolom mtriks A (mtriks kiri) sm dengn jumlh ris mtriks B (mtriks knn). Ordo hsil perklin mtriks mn A dengn np B, misln mtriks C ng kn erordo mp (seperti perminn domino).

33 -- Cr menglikn mtriks A dn B itu dengn menjumlhkn setip perklin elemen pd ris mtriks A dengn elemen kolom mtriks B dn hsiln diletkkn sesui dengn ris dn kolom pd mtriks C (mtriks hsil perklin). p r t Misl : A dn B c d mk : q s u AB = c p d q r s t u p q r s t u = cp dq cr ds ct du 6 A dn D. 7 8 Contoh : Dikethui, B, C Terntukn :. AB. AC c. AD Penelesin :. AB =. AC tidk dpt diklikn, kren c. AD = Contoh : Dikethui A, B dn C. Tentukn :. AB. BA c. (AB)C d. A(BC) e. A(B + C) f. AB + AC g. AI h. IA Penelesin :. AB =. BA = c. (AB)C = Lksono

34 -- d. A(BC) = e. A(B + C) = f. AB + AC = g. AI = h. IA = Sift-sift perklin mtriks :. Umumn tidk komuttif (AB BA). Asositif : (AB)C = A(BC). Distriutif kiri : A(B + C) = AB + AC Distriutif knn : (B + C)A = BA + CA. Identits : IA = AI = A. k(ab) = (ka)b LATIHAN SOAL. Sederhnkn!.. 6 c. 8 9 d. e. f. Lksono

35 -- g. h Dikethui X. Jik X X. X dn X X. X. X mk tentukn :. X. X. Jik A dn B mk tentukn :. T ( BA). T ( AB) d c. Tentukn jik c C. INVERS MATRIKS. INVERS MATRIKS ORDO Jik AB = BA = I, dimn I mtriks stun itu invers. Invers mtriks A dinotsikn A. p q Misl A dn B c d mk : r s p q p r AB = I c d r s cp dr p + r = d c p dn r d c d c cp + dr = I mk A dn B diktkn sling q s cq ds q + s = cq + ds = q dn d c s d c Kren p q B A = r s mk A d d c c d c diseut Determinn (D) tu A tu det(a). Jdi D A det( A) d c. Jik D =, mk mtriks A tidk mempuni invers dn mtriks A diseut mtriks Singulr. Jik d c mk mtriks A diseut mtriks Non Singulr. Lksono

36 -- Contoh : Tentukn determinn A Penelesin : A. Contoh : Tentukn invers dri P Penelesin : P. Contoh : Tentukn jik A 6 merupkn mtriks singulr! Penelesin : d c = Contoh : Tentukn mtriks X jik X Penelesin : XA = B X = BA = Jik d persmn mtriks erentuk : AX = B mk X XA = B mk X = A B BA LATIHAN SOAL. Tentukn determinnn! 6. A. B = c. C d. D. Tentukn inversn! (jik d) 8 6. A. B c. C d. D 6 8 Lksono

37 -6-8. Tentukn jik P singulr. Tentukn mtriks X jik : 8. X. X 8 c. X d. X 8. INVERS MATRIKS ORDO. DETERMINAN MATRIKS ORDO X Cr menentukn determinn mtriks ordo dengn menggunkn digrm SARRUS, itu :. Slin kolom ke- dn ke- pd kolom ke- dn ke-. Kurngkn jumlh perklin elemen-elemen pd digonl ke wh dengn jumlh perklin elemen-elemen pd digonl ke ts. A det (A) = A = (.. ) + (. ) + (. ) ( ) - ( ) ( ) Contoh : Jik P mk tentukn P Penelesin : P = = Lksono 6

38 -7- MINOR, KOOFAKTOR DAN ADJOINT Minor itu seuh determinn ng diperoleh dengn cr menghilngkn ris ke-i dn kolom ke-j, dn ditulis dengn M ij. Sedngkn koofktor diperoleh dri perklin Mij dengn i j dn ditulis dengn A ij. Sedngkn djoint itu koofktor ng ditrnsposekn dn ditulis dengn Adj(A). Contoh : Dikethui M. Tentukn :. M. M c. A d. A e. Adj(M).. Penelesin :. M =..... M =.... A =. c A =. d e. Adj(M) = T = T = Lksono 7

39 -8-. INVERS MATRIKS ORDO X Untuk menentukn invers mtriks A ordo dengn menggunkn rumus : A A Adj( A) Contoh : Tentukn invers dri Penelesin : P P. Adj (P) =. P. LATIHAN SOAL. Tentukn determinn dri :. A. B c. C. Tentukn jik. Dikethui X. Tentukn :. M. M c. A d. A e. Adj(X). Tentukn inversn dri :. P. Q Lksono 8

40 -9- V E K T O R PENGERTIAN VEKTOR Vektor dlh sutu esrn ng mempuni nili (esr) dn rh. Sutu vektor dpt digmrkn segi rus gris errh. Nili (esr) vektor dintkn dengn pnjng gris dn rhn dintkn dengn tnd pnh. Notsi vektor isn dengn menggunkn tnd nk pnh di tsn tu is jug dengn menggunkn huruf kecil ng tel. Sutu vektor isn jug is dintkn dengn psngn terurut ilngn rel tu is jug dengn menggunkn mtriks kolom. Misln :,. Mksudn vektor terseut ke rh knn dn ke rh ts. Vektor AB errti titik A segi titik pngkl dn titik B segi ujung. Vektor BA dengn vektor AB esrn (pnjngn) sm, hn rhn sling erlwnn. Jdi jik vektor AB dintkn dengn u mk vektor suk dintkn dengn - u. B B A u -u A Du vektor diktkn sm jik esr dn rhn sm. Artin sutu vektor letkn is di mn sj slkn esr dn rhn sm. Contoh : Pd lok di wh ini, tentukn vektor lin ng sm dengn vektor AB! H G E F D C A B Jw : Lksono 9

41 -- A. VEKTOR DI RUANG DIMENSI DUA. VEKTOR POSISI Vektor posisi itu vektor ng posisi (letkn) tertentu. Misln AB merupkn vektor posisi dimn pngkln di titik A dn ujungn di titik B. Atu misln OA itu vektor posisi ng wln di titik pust dn ujungn di titik A. Vektor posisi OA, OB, OC dn seterusn isn diwkili oleh vektor dengn huruf kecil misln,, c dn segin. Jdi AB OB OA OA, OB, OC c. Contoh : Jik titik A(,) dn B(,9) mk tentukn AB! Penelesin :.. VEKTOR NEGATIF (VEKTOR INVERS) Vektor negtif (invers) dri vektor sering ditulis - itu vektor ng pnjngn sm tetpi rhn erlwnn. mk = -. OPERASI PADA VEKTOR DI RUANG DIMENSI DUA. PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR Jik k sutu ilngn rel mk k dlh sutu vektor ng pnjngn k kli lipt pnjng. Jik k positif mk serh dengn dn jik k negtif mk erlwnn rh dengn. - Lksono

42 --. PENJUMLAHAN VEKTOR Penjumlhn vektor dpt dilkukn dengn cr, itu turn segitig dn dengn turn jjrgenjng. Penjumlhn vektor dengn turn segitig itu dengn mempertemukn ujung vektor ng stu ( ) dengn wl vektor ng lin ( ), sehingg resultn (hsil penjumlhn vektor) kedu vektor dlh wl vektor ng stu ( ) ke ujung vektor ng lin ( ). Sedngkn penjumlhn dengn turn jjrgenjng itu dengn mempertemukn kedu wl vektor, kemudin memut vektor kemrnn pd msing-msing ujung kedu vektor sehingg mementuk sutu ngun jjrgenjng. Resultn kedu vektor dlh wl pertemun kedu vektor terseut ke ujung pertemun kedu vektor terseut. Contoh : Tentukn dri vektor-vektor di wh ini! Penelesin : Cr I (turn segitig) : Cr II (turn jjrgenjng) : Penjumlhn untuk vektor tu leih digunkn turn poligon ng merupkn pengemngn dri turn segitig. Contoh : Tentukn c d dri vektor-vektor di wh ini : c d Jw : c d c d Lksono

43 --. SELISIH DUA VEKTOR Selisih du vektor dn ditulis dpt dipndng segi penjumlhn dengn - (vektor invers ). Jdi Contoh : Tentukn = jik dikethui : Penelesin : - LATIHAN SOAL. Perhtikn gmr erikut : X Y W M c Z Jik WX =, XY =, dn YZ = c, dn M merupkn titik tengh WZ, ntkn dlm vektor, dn c untuk vektor-vektor erikut :.. c. d. e. WY ZX WZ WM MY. Perhtikn gmr erikut : Q R P F c E S Lksono

44 -- Jik PQ =, QR = dn RS = c. Titik E dn F erturut-turut titik tengh RS dn QS. Ntkn dlm, dn c untuk vektor-vektor :. PR. c. d. e. f. RP PS QE PF FR. Dierikn vektor-vektor erikut : c Jik pnjng vektor = cm, = cm dn c =, cm, mk lukislh dengn turn poligon vektor-vektor di wh ini :. + +c. - + c c. c. Dikethui ABCDEF dlh segienm erturn. Jik BC dn FC msing-msing mewkili vektor dn, mk ntkn vektor-vektor AB, CD dn BE dengn dn. P, Q dn R erturut-turut dlh titik tengh sisi AB, BC dn AC sutu segitig ABC. Jik O dlh semrng titik dlm segitig ABC, mk tunjukkn hw OA OB OC OP OQ OR Lksono

45 -- B. VEKTOR DI RUANG DIMENSI TIGA Vektor sis (vektor stun) di rung dimensi tig isn dintkn dengn i, j dn k. i vektor stun serh sumu OX, j vektor stun serh sumu OY dn k vektor stun serh sumu OZ. Jdi misln vektor OP u i j ck dpt digmrkn segi erikut : Z C P Y X Bentuk vektor di ts dpt jug dintkn dengn vektor kolom OP u c. OPERASI PADA VEKTOR DI RUANG DIMENSI TIGA. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN DUA VEKTOR Jik u i j ck dn v pi q j rk mk : u v u v pi q j c rk pi q j c rk Contoh : Jik i j k dn i 7 j k mk tentukn dn! Penelesin :.. PERKALIAN SKALAR DENGAN VEKTOR Jik u i j ck dn n sutu sklr ilngn rel mk : nu ni n j nck Contoh : Jik i j k mk tentukn! Penelesin : Lksono

46 -- Lksono LATIHAN SOAL. Ntkn dlm vektor-vektor posisi dri titik-titik di wh ini :. A(,,). B(,-,-) c. C(,,) d. D(,,). Dierikn titik P(,,) dn Q(,-,).. Ntkn vektor posisi OP dn OQ dlm vektor stun i, j dn k. Tentukn vektor PQ dlm stun i, j dn k. Ulngi sol no. untuk P(,-,) dn Q(,,-). Ditentukn vektor-vektor r =i+ j k dn r = i + j + k Tentukn :. r = r + r. r = r - r. Crilh nili, dn c jik : c 6. Buktikn hw vektor-vektor, dn mementuk seuh segitig! 7. Tunjukkn hw vektor ng mellui titik-titik (,,) dn (,,) sejjr dengn vektorvektor ng mellui titik-titik (,,-) dn (9,,-) 8. Dikethui P(6,,), Q(8,6,) dn R(,,). Tunjukkn hw OPQR dlh jjrgenjng!

47 -6- C. RUMUS PERBANDINGAN Mislkn titik P pd gris AB dengn perndingn AP : PB = m : n. Perhtikn gmr di wh ini! O A m P p n AP : PB m : n p ( m n) m n p p m n B m n p m n n p n m m p Jdi : p m n m n Jdi jik titik A,, z ) dn B(,, z ) mk koordint : ( A A A B B B ma n P( m n B ma n, m n B mza nz, m n B ) Titik P is memgi AB dengn perndingn di dlm seperti di ts tu is jug dengn perndingn di lur, mksudn titik P di lur rus gris AB. Jik rh perndingnn erlwnn hrus dengn menggunkn tnd negtif. Contoh : Dikethui titik A(,,) dn titik B(,8,). Jik titik P memgi AB di dlm dengn perndingn AP : PB = :. Tentukn koordint titik P! Penelesin :.. Contoh : Dikethui titik A(-,,) dn titik B(,,). Jik titik P memgi AB di lur dengn perndingn AP : PB = : -. Tentukn koordint titik P! Penelesin :.. Lksono 6

48 -7- LATIHAN SOAL. Gmrlh gris AB ng pnjngn 6 cm. Titik C dlh titik pd AB. Tndilh letk titik C sedemikin sehingg :. AC : CB = :. AC : CB = : c. AC : CB = : - d. AC : CB = : -. Tentukn koordint C jik :. A(,), B(9,) dn AC : CB = :. A(-,-), B(7,) dn C titik tengh dri AB c. A(-,-), B(7,) dn AC : CB = :. R dlh titik pd perpnjngn PQ. Tentukn koordint R jik :. P(,), Q(,7) dn PR : RQ = : -. P(-,-), Q(,) dn PR : RQ = - :. M dlh titik pd gris PQ. Tentukn koordint M jik :. P(,,), Q(,,) dn PM : MQ = :. P(-,-,-), Q(,-,) dn PM : MQ = : -. Titik sudut segitig ABC dlh A(6,-9,-), B(,,) dn C(,,). T dlh titik potong gris ert dri B ke sisi AC. Tentukn koordint titik T! 6. Dlm segitig ABC, Z dlh titik ert segitig ABC. Tunjukkn hw z = ( + + c ) 7. Pd segitig ABC, titik E pd AC sedemikin sehingg AE : EC = : dn titik D pd BC sedemikin sehingg BD : DC = :. Tunjukkn hw ED dpt dintkn dengn vektor, dn c segi ( c) D. PANJANG VEKTOR. MODULUS VEKTOR (PANJANG VEKTOR) DI RUANG DIMENSI DUA Modulus (pnjng) sutu vektor itu Contoh : Dikethui vektor u, tentukn u! Jw : Lksono 7

49 -8-. MODULUS VEKTOR (PANJANG VEKTOR) DI RUANG DIMENSI TIGA Pnjng sutu vektor u i j ck dlh u c Contoh : Jik dikethui i j k mk tentukn! Penelesin : LATIHAN SOAL. Hitunglh pnjng vektor. Hitunglh jrk ntr titik A(-,-,-) dn B(,,-). Jik = i j + k dn = i + 6j k, mk hitunglh :.. c.. Vektor posisi titik P dn Q dlh p = i j + k dn q = i + j k. Tentukn PQ. Hitunglh PQ. Segitig ABC dengn A(,-,), B(,,-) dn C(-,,). Jik D merupkn titik tengh sisi BC, hitunglh pnjng gris AD! 6. Koordint titik A(7,-,), B(7,-,) dn C(7,-,). Tunjukkn hw segitig ABC siku-siku sm kki! 7. AB, BC dn CD msing-msing wkil dri vektor, dn. Tunjukkn hw A dn D erimpit dn segitig ABC siku-siku! Lksono 8

50 -9- E. PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR Hsil kli sklr du vektor dn ditulis ng didefinisikn segi erikut : cos dimn sudut ntr vektor dn. Contoh : Jik dn 6 dn sudut ntr dn dlh Penelesin :. 6 mk tentukn! SIFAT-SIFAT HASIL KALI SKALAR. Du vektor ng sling sejjr : cos. Du vektor ng sling tegk lurus : cos9. Du vektor ng erlwnn rh : cos 8. Bersift komuttif :. Bersift distriutif : c c PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR DALAM BENTUK KOMPONEN Jik i j k dn i j k mk Contoh : Dikethui dn mk tentukn! Penelesin :. Lksono 9

51 -- LATIHAN SOAL. Jik i =, j =. i. i. i. j c. i. k d. j. j e. j. k f. k. k dn k =, tentukn :. Tentukn. jik dlh sudut ntr dn dri :. =, = dn 6. =, = dn. Dikethui = i + j + k dn = i j k. Tentukn :.... c... Dikethui A(,,,-), B(-,-,) dn C(,,). Jik wkil dri vektor BA dn wkil dri vektor BC, hitunglh.. Dikethui jjrgenjng ABCD dengn A(,,), B(,,) dn D(,-,). Hitunglh vektor AB. AC 6. Dikethui =, = 6 dn sudut ntr dn dlh.. ( + ).. ( ) c. ( + ). ( + ) d. ( ). ( + ). Hitunglh : 7. Dikethui =, =, c = dn + + c =. Hitunglh. +. c + c. 8. Dikethui vektor. = 6. Hitunglh + jik - = 7 Lksono

52 -- F. SUDUT ANTARA DUA VEKTOR Sudut ntr vektor dn dlh cos Contoh : Dikethui Penelesin :.. dn. Tentukn sudut ntr dn!.... cos LATIHAN SOAL.. Tentukn kosinus sudut ntr vektor dn 6. Hitunglh esr sudut AOB jik :. A(,,-) dn B(,-,). A(,,) dn B(,,-). Tentukn kosinus sudut ntr vektor = i + 7j + k dn = i + j 6k. Tentukn nili m jik = mi j + k dn = mi + mj k sling tegk lurus.. Dikethui A(-,,7), B(-,,7) dn C(-,,7). Perlihtkn hw segitig ABC dlh sikusiku dengn menggunkn perklin sklr! 6. Dikethui A(,,), B(,,) dn C(,,). Hitunglh esr sudut-sudut segitig ABC 7. Dikethui A(-,-,), B(,,) dn D(,-,). C memgi AB dengn perndingn :. Tunjukkn hw sudut ACD siku-siku dengn menggunkn perklin sklr! 8. Dikethui A(,,), B(,6,), C(,-,8) dn D(9,6,6). P memgi AB dengn perndingn : dn Q dlh titik tengh CD.. Tentukn vektor ng diwkili oleh AB, CD dn PQ. Buktikn hw PQ tegk lurus AB dn CD Lksono

53 -- G. PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR. PROYEKSI SKALAR ORTOGONAL Perhtikn gmr di wh ini : A B O c C Kren OC c cos dn cos mk : Pnjng proeksi vektor terhdp itu OC c Contoh : Dikethui Penelesin :... dn. Tentukn pnjng proeksi vektor terhdp! c.. VEKTOR SATUAN Vektor stun vektor = Contoh : Tentukn vektor stun vektor Penelesin :! Lksono

54 --. VEKTOR PROYEKSI Perhtikn gmr di wh ini : A O c C B OC c c vektor stun Jdi proeksi vektor terhdp dlh : c Contoh : Tentukn vektor proeksi dri vektor terhdp pd contoh di ts! Penelesin :. LATIHAN SOAL. Dikethui = i + j - k dn =6 i - j + k. Tentukn :. pnjng proeksi dn vektor proeksi terhdp vektor. pnjng proeksi dn vektor proeksi terhdp vektor. Dikethui P(,,) dn Q(,-,). O dlh titik pngkl. Tentukn :. pnjng proeksi dn vektor proeksi p terhdp vektor q. pnjng proeksi dn vektor proeksi q terhdp vektor p. Dikethui P(,,-) dn Q(-,-,) sert = -i + j + k. Tentukn pnjng proeksi pd vektor PQ. Tentukn pnjng proeksi dn vektor proeksi PQ terhdp. Dikethui P(,,), Q(,,-) dn R(-,,). Hitung pnjng vektor proeksi PQ terhdp vektor PR. Dikethui = 6, = 8 dn sudut ntr dn sm dengn vektor proeksi dn vektor proeksi terhdp. Hitung pnjng 6. Tentukn proeksi = i - j + k pd gris ng mellui titik-titik (,,-) dn (-,-,) 7. Dikethui p = -i + mj + nk dn q =-i + j + k. Jik p = 6, mk tentukn nili m dn n gr pnjng proeksi p pd q sm dengn stun 8. Vektor proeksi i + j + k terhdp vektor i + j pk dlh i + j - k. Tentukn nili p! Lksono

55 -- T R A N S F O R M A S I PENGERTIAN TRANSFORMASI Trnsformsi dlh perpindhn dri sutu posisi ke posisi lin. Dlm geometri, trnsformsi ilh sutu pemetn setip ngun geometri pd sutu idng ke ngun geometri linn pd idng ng sm, ng diseut trnsformsi idng. Ad mcm trnsformsi, itu :. Trnsformsi isometri itu sutu trnsformsi ng tidk meruh ukurn ngun semul. Yng termsuk trnsformsi isometri : pergesern (trnslsi), pencerminn (refleksi) dn pemutrn (rotsi).. Trnsformsi non-isometri itu sutu trnsformsi ng meruh ukurn ngun semul. Yng termsuk trnsformsi non-isometri : perklin (diltsi) Untuk menentukn ngn hsil trnsformsi isn dipergunkn ntun mtriks.. PERGESERAN (TRANSLASI) Sutu titik P(,) ditrnslsikn oleh trnslsi T menjdi P (, ) ditulis P(,) T P (, ) dimn = + = + tu ' ' Secr geometri dpt digmrkn segi erikut : Y P (, ) = P (+, +) O P(,) X Contoh : Tentukn ngn (pet) dri titik A(-,) oleh trnslsi Penelesin :.. T Tidk hn titik ng dpt ditrnslsikn tetpi is jug gris tu kurv. Yitu dengn mentkn dn dengn dn kemudin disustitusikn ke persmn gris tu kurv ng ditrnslsikn. Contoh : Tentukn ngn gris = oleh trnslsi T ' ' Penelesin : ' ' Sustitusi dn ke persmn = sehingg : Lksono

56 -- ' ( ' ) ' ' 9 Jdi ngnn = + 9 LATIHAN SOAL. Titik A(,) dipetkn ke ngnn A oleh trnslsi T. Tentukn koordint titik 7 A!. Jik B merupkn ngn titik B oleh trnslsi I, mk tentukn koordint titik B jik dikethui titik B (-,7) dn I. Jik koordit titik Q(-,8) ditrnslsikn oleh T kemudin ditrnslsikn lgi oleh 7 T, mk tentukn ngn titik Q! h. P (-,8) dlh ngn titik P(-,) oleh trnslsi T. Tentukn nili h dn k! k. Dierikn PQ, QR, RS dn ST. Jik trnslsi tunggl ng 6 9 mewkili jumlh semu trnslsi terseut dlh, tentukn QR! 6. Titik (-,9) ditrnslsikn oleh T menjdi (,-). Tentukn ngn titik P(-,7) oleh trnslsi T! 7. Gris OA mellui titik O(,) dn A(,). Tentukn ngn gris OA oleh trnslsi T 8. Tentukn ngn gris = + oleh trnslsi 9. Tentukn ngn lingkrn ng erpust di titik (,) dn erjri-jri oleh trnslsi 7 9. D C P A B Jik AB mewkili trnslsi dn BD mewkili trnslsi mk ntkn trnslsi ng diwkili oleh AC dn PC! Lksono

57 -6-. PENCERMINAN (REFLEKSI) sutu pencerminn ditentukn oleh sutu gris tertentu segi sumu pencerminn. Jrk ngun mul-mul ke sumu pencerminn sm dengn jrk ngun ngnn ke sumu pencerminn. Sumu pencerminn A K A B B C M C Keterngn : AK = A K, BL = B L dn CM = C M. PENCERMINAN TERHADAP SUMBU X Y P(,) O X P (, ) ' '. PENCERMINAN TERHADAP SUMBU Y Y P (, ) P(,) O X ' ' Lksono 6

58 -7- Lksono 7. PENCERMINAN TERHADAP TITIK ASAL Y P(,) X P (, ) ' '. PENCERMINAN TERHADAP GARIS = k Y P (, ) = k P(,) X k ' '. PENCERMINAN TERHADAP GARIS = k ' ' k.6 PENCERMINAN TERHADAP GARIS = ' '.7 PENCERMINAN TERHADAP GARIS = - ' '

59 -8-.8 PENCERMINAN TERHADAP GARIS = m ' cos ' sin sin cos, rctn m.9 PENCERMINAN TERHADAP TITIK (,) ' '. PENCERMINAN TERHADAP GARIS = k DILANJUTKAN = h P (+(h k), ). PENCERMINAN TERHADAP GARIS = k DILANJUTKAN = h P (, + (h-k)). PENCERMINAN TERHADAP DUA GARIS = k DAN = h YANG SALING TEGAK LURUS P (k, h ) Contoh : Tentukn ngn dri titik P(,) oleh pencerminn terhdp gris = -! Penelesin : Contoh : Tentukn ngn titik P(,-) oleh pencerminn terhdp gris = dilnjutkn oleh pencerminn terhdp gris = 6! Penelesin :.. Contoh : Tentukn ngn titik P(,-) oleh pencerminn terhdp gris = - dilnjutkn pencerminn terhdp gris =! Penelesin : Lksono 8

60 -9- LATIHAN SOAL. Tentukn ngn titik (-,) dn (,-6) jik dicerminkn terhdp :. sumu X. sumu Y. Dikethui persegi pnjng ABCD dengn A(,), B(,), C(,) dn D(,). Tentukn ngn persegi pnjng terseut jik dicerminkn terhdp sumu Y!. Tentukn ngn titik (-,) ng dicerminkn terhdp gris = 8!. Tentukn ngn titik (-,7) ng dicerminkn terhdp gris = -!. Tentukn ngn jjrgenjng ABCD dengn A(,), B(,), C(,) dn D(,) jik dicerminkn terhdp gris = -! 6. Sutu segitig ABC dengn A(,), B(,-) dn C(-,) dicerminkn terhdp gris =. Kemudin dicerminkn lgi terhdp gris =. Tentukn koordintngn khir segitig ABC terseut! 7. Titik-titik sudut segitig ABC dlh A(,), B(,) dn C(,). Segitig terseut dicerminkn terhdp sumu X, dilnjutkn pencerminn terhdp sumu Y dn terkhir pencerminn terhdp titik sl. Tentukn koordint ngn segitig terseut! 8. Persegi pnjng ABCD dengn A(-,), B(-,), C(,) dn D(,) dicerminkn terhdp gris =. Tentukn koordint ngnn! 9. Tentukn ngn titik A(-,) oleh pencerminn terhdp gris = dilnjutkn oleh pencerminn gris =!. Tentukn ngn titik C(,) kren pencerminn terhdp gris = - dilnjutkn oleh pencerminn terhdp gris =! Lksono 9

61 -6-. PERPUTARAN (ROTASI) Pd rotsi d komponen, itu titik pust pemutrn, esr sudut putr dn rh sudut putr. Pemutrn mempuni rh positif jik erlwnn dengn rh putrn jrum jm.. ROTASI DENGAN PUSAT TITIK ASAL Y P (, ) P(,) X r cos r sin P(, ) P'( ', ') P( r, ) P'( r, ) ' r cos ( ) r cos cos r sin sin ' r sin cos sin r sin cos r cos sin sin cos ' cos ' sin sin cos Contoh : Tentukn ngn titik A(,-) jik diputr Penelesin :. 9 dengn pust putrn di titik pust! Rotsi dengn pust (,) seesr sering ditulis R Lksono 6

62 -6- Lksono 6. ROTASI DENGAN PUSAT (,) Y P (, ) P(,) A(,) X Hl ini seenrn sm dengn rotsi dengn pust (,) ng di trnslsikn seesr. cos sin sin cos ' ' cos sin sin cos ' ' Contoh : Tentukn ngn titik B(,) oleh rotsi seesr 9 dengn pust (,)! Penelesin :.

63 -6- LATIHAN SOAL. Tentukn ngn titik A(,6) dn B(-,) kren rotsi : R. 9 R. 8. Dikethui segitig ABC dengn A(,), B(-,) dn C(,).Tentukn ngn segitig terseut kren rotsi R! 9. Tentukn ngn koordint jjrgenjng ABCD dengn A(,), B(,), C(6,) dn D(m,n) kren rotsi R! 8. Tentukn ngn titik (,) dengn pust rotsi (,) ng diputr sejuh. Tentukn ngn titik (-,) dengn pust rotsi (,-) ng diputr sejuh 9! 7! 6. Tentukn ngn titik (-,) dengn pust rotsi (,-) ng diputr sejuh 8! 7. Tentukn persmn gris ng mellui titik A(,-) dn B(-,) ng diputr sejuh - 9 dengn pust rotsi R(,-)! 8. Tentukn ngn titik A(-,) kren rotsi R diljutkn dengn rotsi R Tentukn ngn titik B(,-) kren rotsi R dilnjutkn R 8 9. Tentukn ngn titik X(-,-) kren trnslsi diljutkn refleksi terhdp gris = dn terkhir oleh rotsi R 9 dengn pust (,)! Lksono 6

64 -6-. PERKALIAN (DILATASI) Pd diltsi diperlukn sutu titik segi pust perklin dn fktor skl kr.. DILATASI DENGAN PUSAT O(,) DAN FAKTOR SKALA k Y P (, ) P(,) O Q Q X ' k ' k Diltsi dengn pust O(,) dn fktor skl k sering ditulis D O,k) Contoh : Tentukn ngn titik A(-,) oleh diltsi dengn fktor skl dn pust (,)! Penelesin :. DILATASI DENGAN PUSAT (,) DAN FAKTOR SKALA k Y P (, ) P(,) A(,) X ' k ' Contoh : Tentukn ngn titik P(,7) dengn pust A(,) dn fktor skl! Penelesin : Lksono 6

65 -6- LATIHAN SOAL. Tentukn ngn titik (,7) oleh diltsi O,!. Tentukn ngn titik (,-7) oleh diltsi O,!. Tentukn ngn titik A(,) oleh diltsi P (,),!. Tentukn ngn titik B(-,) oleh diltsi P (, ),!. Tentukn ngn titik C(,-) oleh diltsi P (,),! 6. Tentukn ngn segitig PQR dengn P(,), Q(-,) dn R(-,-) oleh diltsi O,! 7. Tentukn lus segitig hsil ngn dri segitig ABC dimn A(,), B(,) dn C(6,) oleh diltsi O, 8. Tentukn ngn titik A(,) kren rotsi R dilnjutkn refleksi terhdp gris = 9 dilnjutkn lgi dengn trnslsi dn dikhiri dengn diltsi P (,),!. TRANSFORMASI TEMPAT KEDUDUKAN Yng dimksud tempt kedudukn dlm hl ini itu himpunn titik-titik ng mempuni pol tertentu. Seperti gris dn kurv. Trnsformsi terhdp sutu gris tu kurv oleh sutu trnsformsi (trnslsi, refleksi, rotsi tu diltsi) dilkukn dengn dengn mentkn dn dengn dn sesui dengn trnsformsi ng digunkn. Kemudin disustitusikn ke persmn gris tu kurv ng dikethui. Hsiln kn erup persmn ng menggunkn vriel dn segi tnd hsil trnsformsi (ngn). Sehingg tnd ksenn is dihilngkn. Contoh : Tentukn ngn prol kren rotsi seesr Penelesin : Rotsi dengn pust O seesr 9 9 dengn pust O! ' cos9 ' sin 9 sin 9 cos9 ' ' Sustitusi ' dn ' ke sehingg : ' ' tu Lksono 6

66 -6- LATIHAN SOAL. Tentukn persmn gris g terhdp pencerminn sumu X!. Tentukn persmn gris g di ts oleh rotsi R!. Tentukn persmn ngn gris = + oleh trnsformsi!. Tentukn pet dri gris = 7 oleh trnsformsi!. Tentukn ngn gris + = oleh trnsformsi! 6. Tentukn ngn lingkrn 9 oleh trnsformsi! 7. Tentukn pet lingkrn 8 oleh pencerminn terhdp titik pust! 8. Tentukn pet dri prol oleh diltsi, O! 9. Tentukn persmn ngn kurv = jik diputr terhdp titik O seesr!. Tentukn persmn pet lingkrn 9 oleh trnsformsi ng ditentukn : 9 6. KOMPOSISI TRANSFORMASI Komposisi trnsformsi errti trnsformsi ng dilkukn leih dri stu kli terhdp sutu ojek (titik, gris tu kurv) tertentu. 6. KOMPOSISI BEBERAPA TRANSLASI Komposisi dri du trnslsi T dn dilnjutkn dengn T ditulis T T. Jdi dlm sutu komposisi, ng dilksnkn/diopersikn terleih dhulu dlh elemen ng pling knn ( T ). c Misl titik P(,) ditrnslsikn oleh T T dimn T dn T mk ngn d titik P oleh komposisi du trnslsi terseut dpt digmrkn segi erikut : P (++c, ++d) P d P c Jdi untuk menentukn ngn titik P(,) oleh komposisi trnslsi T T dpt jug dengn menjumlhkn terleih dhulu elemen-elemen trnslsin itu c c T T ru hsil komposisi trnslsi terseut itu mtriks d untuk d mentrnslsikn P(,) ke P. Lksono 6

67 -66- Contoh : Jik titik A(,-) mk tentukn ngn titik A oleh trnslsi T T dilnjutkn Penelesin : ( ) ( T T)(, ) Co tentukn ngn titik A(,-) kren trnslsi T T! Apkh hsil ngnn sm? Jik sm sift pkh ng erlku untuk komposisi du trnslsi terseut? 6. KOMPOSISI BEBERAPA ROTASI Ad cr menentukn hsil komposisi du rotsi, itu dengn merotsikn stu per stu tu dengn menentukn terleih dhulu mtriks hsil komposisi rotsi kedu rotsi terseut dengn cr menglikn. Atu is jug dengn menjumlhkn esr rotsi ng digunkn kemudin gunkn mtriks rotsi dri hsil penjumlhn terseut. Contoh : Tentukn ngn titik A(-,) oleh rotsi Penelesin : Sudut hsil komposisi rotsi = 9 8 = 7 cos7 sin 7 A " sin 7 cos7 9 dilnjutkn dengn rotsi 8! 6. KOMPOSISI BEBERAPA DILATASI Untuk komposisi diltsi dengn pust O is dilkukn dengn cr itu dengn diltsi stu per stu tu dengn menentukn terleih dhulu fktor skl hsil komposisi itu dengn menglikn kedu fktor skl diltsi. Untuk komposisi diltsi dengn pust (,) dilkukn stu per stu. LATIHAN SOAL. Tentukn ngn titik (,) oleh refleksi terhdp gris = dn dilnjutkn terhdp gris = 6!. Tentukn ngn titik (-,8) oleh refleksi terhdp gris = dn dilnjutkn terhdp gris = -!. Dikethui segitig PQR dengn P(,), Q(-,) dn R(-,-). Tentukn ngnn jik direfleksikn terhdp gris = - dn dilnjutkn terhdp =!. Tentukn ngn titik (,) ng direfleksikn terhdp gris =, kemudin diljutkn terhdp sumu Y!. Tentukn ngn titik (,) ng dirotsikn terhdp R dn dilnjutkn R! Tentukn ngn titik (-,) ng dirotsikn terhdp R dn dilnjutkn R! Lksono 66

68 7. Jik M dlh pencerminn terhdp sumu Y, M dlh pencerminn terhdp gris = 6 dn M dlh pencerminn terhdp gris =. Tentukn pet segitig ABC dengn A(-,), B(-,6) dn C(-,) oleh komposisi pencerminn :. M M. M M M 8. Jik M, M dn M dlh opersi pencerminn terhdp gris =, = dn = 7 erturut-turut, mk tentukn ngn titik P(,) oleh trnsformsi M M M! 9. Pd no. 8, tentukn ngn gris + = oleh trnsformsi M M M. Dikethui trnsformsi T, R9 dn I. Tentukn ngn titik (7,) oleh trnsformsi T R9 T! -67- Lksono 67