PENGHITUNGAN SENSITIVITAS HARGA OPSI EROPA DALAM BERBAGAI METODE NUMERIK Ddt Bud Nugroho Program Stud Matematka, Fakultas Sas da Matematka Uverstas Krste Satya Wacaa Jl. Dpoegoro 5-60 Salatga 507 Jawa Tegah Emal: dt_b@yahoo.co.d; ddt.b@gmal.com ABSTRAK Sestvtas harga ops adalah dervatf dar harga ops terhadap parameter-parameter model. Artkel meglustraska bagamaa meghtug sestvtas harga ops Eropa: delta, gamma, da theta, megguaka metode tromal perluasa, metode beda hgga Crak-Ncolso, da metode eleme hgga Crak-Ncolso. Dperoleh pegamata bahwa metode beda hgga memberka hasl terbak utuk delta da gamma pada harga saham d sektar harga pelaksaaa. Semetara tu, hasl terbak utuk theta dberka oleh metode tromal perluasa. Keywords: sestvtas harga ops, ops Eropa, tromal, beda hgga, eleme hgga. PENDAHULUAN Ops adalah suatu kotrak yag memberka hak kepada pemlk utuk membel (damaka ops call) atau mejual (damaka ops put) aset pokok (msalya saham, bod, mata uag, komodtas, da la sebagaya) kepada peerbt pada waktu da harga yag sudah dtetuka. Ops memberka hak kepada pemlk, tetap sebalkya peerbt berkewajba utuk mejual atau membel aset pokok yag dmta oleh pemlk. Dua jes ops stadar yag terkeal yatu ops Eropa da Amerka. Bedaya yatu ops Eropa haya dapat dguaka pada saat jatuh tempo, sedagka ops Amerka dapat dguaka selama masa hdup ops. Sekarag dperhatka cotoh berkut. Pada suatu saat peerbt mejual suatu ops call Eropa seharga V $30 utuk 00 lembar saham A dega harga pelaksaaa K $3 da waktu jatuh tempo T tahu. Jka pada saat tu dketahu bahwa saham A mempuya harga S $4, smpaga baku σ 30% per tahu, suku buga deposto bak r 5% per tahu, maka megguaka rumus Black-Scholes, lhat [], dperoleh harga ops tersebut yatu sebesar $.9. I berart bahwa peerbt telah mejual ops $8.8 lebh mahal darpada harga teorts. Ketka suatu ops telah dber harga da djual, maka peerbt ops aka meghadap masalah bagamaa strateg yag tepat utuk megelola resko. Strateg yag bsa dlakuka yatu aked posto dmaa peerbt tdak melakuka apa-apa atau covered posto peerbt membel saham sebayak saham yag tercatum dalam ops. Strateg tersebut damaka pemagara (hedgg), lhat []. Dalam cotoh d atas, strateg pertama aka berjala dega bak jka harga saham A d pasar pada saat jatuh tempo adalah kurag dar $3 (harga pelaksaaa). I dkareaka pemlk ops tdak aka megguaka hakya utuk membel saham A dega harga yag lebh tgg darpada harga pasar. Akbatya peerbt memperoleh keutuga sebesar $30. Sebalkya, jka harga saham A pada saat jatuh tempo melebh harga pelaksaaa, msalya $4, maka peerbt aka megalam keruga sebesar 30$ - ($4 - $3) 00 $30 karea pemlk ops aka megguaka hakya utuk membel saham A. Semetara tu, strateg kedua merupaka strateg yag berlawaa dega strateg pertama. 766
Kedua strateg d atas jelas tdak aka memberka keyamaa dalam megelola resko. I dkareaka strateg bsa memberka dua hasl yag mugk yatu utug atau rug. Yag dharapka adalah suatu kejada pemagara sempura (perfect hedgg), yatu suatu pemagara yag megakbatka baya yag dtaggug selalu sama dega harga ops pada saat jatuh tempo []. Terdapat strateg la yag lebh akurat dalam megelola resko, yatu peghtuga dar yag dkeal dega ama Greeks (hedge ratos). Dalam artkel haya aka dperhatka tga Greeks, yatu delta, gamma, da theta. Berkut adalah pejelasa utuk ketga Greeks tersebut. Delta (dsmbolka Δ) meyataka sestvtas harga ops terhadap pergeraka harga aset pokok da ddefska sebaga dervatf parsal pertama dar harga ops terhadap harga aset pokok. I berart bahwa ketka harga aset pokok berubah satu satua maka harga ops berubah sebesar Δ kal perubaha harga aset pokok. Dalam prosedur pemagara tak beresko Black-Scholes, poss call dbaya dega membuat suatu portofolo dmaa peerbt mejual satu satua ops call da memegag Δ satua aset pokok. Jad, jka peerbt telah mejual ops call utuk sebayak N aset pokok maka poss peerbt dapat dpagar dega membel sebayak Δ N aset pokok. Gamma (dsmbolka Γ) meyataka sestvtas strateg pemagara delta terhadap pergeraka harga aset pokok da ddefska sebaga dervatf parsal kedua dar harga ops terhadap harga aset pokok. Akbatya yatu bahwa peyesuaa portofolo yag dperluka utuk mempertahaka delta etral (delta berla ol atau terjad pemagara sempura) perlu dlakuka lebh serg jka gamma berla tgg [3] atau lebh sedkt frekuesya jka gamma berla redah []. Theta (dsmbolka Θ) meyataka sestvtas harga ops terhadap pergeraka waktu da ddefska sebaga dervatf parsal pertama dar harga ops terhadap waktu. I berart bahwa ketka waktu berubah satu perode waktu maka harga ops berubah sebesar Θ kal perubaha waktu. Dalam dua artkel sebelumya, lhat [5,6], peuls telah meujukka bagamaa meghtug sestvtas harga ops megguaka metode bomal, metode tromal, da metode beda hgga (dsgkat MBH). Selajutya d s aka dsajka peghtuga sestvtas harga ops dalam metode eleme hgga (dsgkat MEH) da aka dbadgka dega metode-metode sebelumya. Utuk tu, metode tromal perluasa da metode beda hgga Crak-Ncolso utuk peghtuga sestvtas aka dtjau kembal dalam artkel. Metode peghtuga sestvtas ddasarka pada hampra beda rata-rata: f f ( x + h) f ( x h) f f ( x + h) f ( x) + f ( x h) da x h x h yag mempuya galat pemotoga sebadg dega h. TIGA METODE UNTUK PENGHITUNGAN SENSITIVITAS D s haya aka djelaska mplemetas metode tromal perluasa, metode beda hgga, da metode eleme hgga khusus utuk peghtuga sestvtas harga ops. Implemetas ketga metode utuk peghtuga harga ops dapat dlhat lebh jelas d [4, 5, 6]. Gambar meglustraska poho tromal perluasa mudur satu perode waktu. Poho tersebut dbetuk dar poho tromal baku dega cara cukup meambah perode waktu sebelum perode saat ; perode saat dlabelka dega 0 da terval waktu adalah Δt. 767
Secara teks, meghtug delta adalah megukur perubaha harga ops terhadap perubaha harga aset pokok tapa perubaha waktu. Meghtug gamma adalah megukur perubaha delta terhadap rata-rata perubaha harga aset pokok tapa perubaha waktu. Meghtug theta adalah megukur perubaha harga ops terhadap perubaha waktu tapa perubaha harga aset pokok. Jad rumus hampra beda rata-rata utuk delta, gamma, da theta berturut-turut dyataka oleh V ( S0, ( S0,0 ) V ( S0,0 ( S0, ) V ( S0, ( S0, ) S0, S0,0 S0,0 S0, V ( S, ( S, ) Δ, Γ, Θ. S S S S Δt 0, 0, ( ) 0, 0, Gambar : Poho tromal perluasa mudur perode waktu; Grd pada bdag berhgga yag dguaka utuk meyelesaka persamaa harga ops. Molekul meujukka lokas la-la awal (dketahu). Molekul meujukka lokas la-la batas (dketahu). Molekul meujukka lokas ttk-ttk dalam (dhtug). Berbeda dega metode poho, dalam metode beda hgga da eleme hgga dguaka grd atau mesh sepert yag dtujukka dalam Gambar. Metode beda hgga daplkaska u u utuk meyelesaka Persamaa Paas. I dmula dega megkoverska τ x masuka harga aset pokok S m da S maks berturut-turut mejad x m da x maks, da juga megkoverska masuka waktu t 0 da t T berturut-turut mejad τ maks da τ m 0. Selajutya terval x dbag mejad subterval dega lebar sama da begtu juga utuk terval τ maks. Berbeda dega metode beda hgga, dalam metode eleme hgga dpuya keutuga yatu fleksbel dalam dskrtsas harga saham atau waktu. Artya bahwa lebar subterval harga saham maupu waktu tdak harus sama. Tetap, utuk keperlua perbadga metode, d s dambl harga-harga saham yag sama dega d metode beda hgga. Utuk mplemetas metode, d s peuls megguaka skema Crak-Ncolso. Hampra-hampra beda rata-rata utuk delta, gamma, da theta dalam metode beda hgga da eleme hgga berturut-turut dyataka oleh V+, V, Δ,,,..., m, S S + Γ Δ + ( S S ) + Δ + dmaa Δ V S +, + V S,, Δ V S, V S,,,,..., m, Θ V V,, Δt, 0,,..., m. 768
PERBANDINGAN METODE Dperhatka ops Eropa atas saham dega harga pelaksaaa $0.5 da jatuh tempo tahu. Data pasar megasumska bahwa suku buga bebas resko 0% da smpaga baku 30%. Utuk keperlua perbadga, dalam komputas dambl harga-harga saham dar $0.0 sampa $5, bayak subterval waktu da saham adalah 500. Dalam Gambar dtujukka fugs harga call da put Eropa sebaga fugs dar harga saham saat. Selajutya dar pegamata galat, Gambar 3, dapat dlhat bahwa metode beda hgga da eleme hgga memberka hasl yag lebh dekat ke Black-Scholes. Gambar : Hampra harga ops Eropa sebaga fugs dar harga saham saat. Gambar 3: Galat hampra utuk harga ops Eropa sebaga fugs dar harga saham saat. Gambar 4, 5, da 6 meujukka galat hampra utuk delta, gamma, da theta. Damat bahwa delta da gamma utuk ops call memlk tgkah laku yag sama (dalam hal pergeraka harga) sepert utuk ops put ketka dguaka ketga metode. Semetara tu, utuk peghtuga theta, haya metode tromal yag memberka tgkah laku yag sama atara call da put. Sekarag damat pada harga-harga saham d sektar harga pelaksaaa karea tu merupaka ttk-ttk perhata pada harga ops. Utuk peghtuga delta da gamma, metode beda hgga memberka hasl terbak dbadgka dega dua metode laya. Semetara tu, metode poho tromal perluasa memberka hasl terbak dalam peghtuga theta. 769
Terakhr, damat ops put pada harga saham yag medekat ol. Terlhat bahwa metode beda hgga memberka hampra yag berubah sagat cepat. Karea tu, masalah tersebut perlu mejad perhata pada peelta berkutya utuk mecar pejelasa megapa tu bsa terjad. Gambar 4: Galat hampra utuk delta sebaga fugs dar harga saham saat : Call Eropa; Put Eropa. Gambar 5: Galat hampra utuk gamma sebaga fugs dar harga saham saat : Call Eropa; Put Eropa. 770
Gambar 6: Galat hampra utuk theta sebaga fugs dar harga saham saat : Call Eropa; Put Eropa. KESIMPULAN Artkel telah meujukka bahwa metode beda hgga memberka hasl terbak utuk peghtuga harga ops, delta, da gamma pada harga-harga saham d sektar harga pelaksaaa. Semetara tu, hasl terbak utuk theta dberka oleh metode poho tromal perluasa. DAFTAR PUSTAKA [] Black, F. ad M. Scholes. 973. The prcg of optos ad corporate labltes, Joural of Poltcal Ecoomy 8, 637-659. [] Kwok, Y.K. 998. Mathematcal Models of Facal Dervatves, Sprger-Verlag, Sgapore. [3] Lyuu, Y.D. 999. Facal Egeerg ad Computato: Prcples, Mathematcs, Algorthms, Naskah, Natoal Tawa Uversty. [4] Nugroho, D.B. da A. Sroyer. 008. Numercal Methods for Europea Optos, Prosdg Koferes Nasoal Matematka XIV, Uverstas Srwjaya. [5] Nugroho, D.B. 009. Peghtuga Sestvtas Harga Ops dalam Model Bomal da Tromal, Prosdg Semar Nasoal Matematka, Uverstas Parahyaga. [6] Nugroho, D.B. 00. Peghtuga Sestvtas Harga Ops dalam Metode Beda Hgga, Prosdg Semar Nasoal MIPA, UNY. 77