PENENTUAN HARGA OPSI ASIA

Transkripsi

1 PENENTUAN HARGA OPSI ASIA KHURIYANTI UNIVERSITAS INDONESIA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM DEPARTEMEN MATEMATIKA DEPOK 009 Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

2 PENENTUAN HARGA OPSI ASIA Skrps dajuka sebaga salah satu syarat utuk memperoleh gelar Sarjaa Sas Oleh : KHURIYANTI DEPOK 009 Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

3 SKRIPSI NAMA : PENENTUAN HARGA OPSI ASIA : KHURIYANTI NPM : SKRIPSI INI TELAH DIPERIKSA DAN DISETUJUI DEPOK, 7 JULI 009 MILA NOVITA, S.S., M.S PEMBIMBING I SARINI, S.S., M.Stats PEMBIMBING II Taggal Lulus Uja Sdag Sarjaa: 7 Jul 009 Peguj I : Mla Novta, S.S., M.S Peguj II : Dra St Amah M.Kom Peguj III : Dra St Nurrohmah M.S Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

4 La haula wala Quwwata lla Bllah (Tada daya da upaya melaka kekuata Allah) Dedcated to my beloved famly, my lovely freds ad everybody who loves me Sesuatu yag belum dkerjaka, sergkal tampak mustahl; kta baru yak kalau kta bsa, setelah berhasl melakukaya (Evely uderhll) Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

5 KATA PENGANTAR Segala puj da syukur haya kepada Allah Subhaahu wa Ta ala, Tuha semesta alam, yag membuat peuls dapat meyelesaka tugas akhr. Shalawat da salam peuls latuka kepada sur taulada kta, Muhammad Shalallahu alah wa sallam, beserta keluargaya yag mula, sahabatya yag tercta, da pegkutya yag seta hgga akhr zama. Terselesakaya tugas akhr tdak lepas tapa batua, bmbga, doroga, semagat da doa yag tulus dar bayak phak. Oleh karea tu, peuls g meyampaka ucapa terma kash sedalam-dalamya kepada:. Orag tua peuls. Mamaku tercta yag selalu berdoa utuk peuls dalam tap sujudya, Ayahku tersayag yag selalu memberka dukuga da motvas yag luar basa tapa batas. Terma kash atas doa da kash sayag kala yag tdak permah putus da membuat peuls mampu meyelesaka tugas akhr.. Mba Mla Novta, selaku pembmbg peuls. Doseku tersayag yag dega amat sagat sabar membmbg da membatu peuls dalam meyelesaka tugas akhrya. Terma kash utuk semua batuaya yag tdak terhtug bayakya, dukuga, semagat juga motvas yag selalu dcurahka utuk peuls. Terma kash juga utuk bmbga yag selalu meyeagka. Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

6 3. Mba Sar, selaku pembmbg peuls. Terma kash yag teramat dalam utuk pegorbaaya membatu peuls meyelesaka tugas akhr. Terma kash juga utuk suam Mba Sar, Ka Taufk, yag bayak berpera dalam pemrograma tugas akhr Tapa batua pembmbg-pembmbg yag luar basa, peuls tdak aka mampu meyelesaka tugas a berat. 4. Ibu Nur, selaku pembmbg akadems yag telah memberka ashat da bmbgaya selama. 5. Seluruh dose Departeme Matematka atas segala lmu yag peuls dapatka selama mejad mahasswa Matematka UI. 6. Seluruh karyawa, bak TU maupu Perpustakaa Matematka yag telah bayak memberka batuaya dem kelacara peyusua skrps. 7. Kakak da adk peuls. Mba Ra, yag suatu saat at aka meghadap taggug jawab yag sama, semoga dapat meyelesakaya dega bak. Semagat!!. Terma kash Vv utuk seyumaya yag selalu dberka kepada peuls. 8. Seluruh keluarga besar peuls. Khususya keluarga peuls yag ada d pemalag, pasar baru da bogor. 9. Utuk sahabat-sahabatku tercta. Nsma, terma kash dukugaya selama, sahabat terbak yag selalu ada utuk peuls. Othe, terma kash atas segala sara-saraya yag sagat berart bag peuls. Met, sahabatku yag sagat meyeagka. Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

7 0. Tema-tema terbak peuls. Iul, fka, da, shta, rath, puj, cha, mrat, ra, mer, jesse, va, e, syarah, da teme-tema yag la. Terma kash atas persahabata yag kala berka kepada peuls.. Seluruh tema-tema 05 d matematka. Terma kash atas kebersamaa yag dah selama.. Ka bemb, yau, da ka maap. Terma kash atas batuaya yag sagat berart dalam peyusua tugas akhr. 3. Tema-tema SMA peuls. Ftr, agg, krsta, as, yag selalu meyemagat peuls. 4. Tema-tema agkata Terma kash atas batuaya selama kepada peuls. 5. Phak laya (yag mugk lupa dsebutka oleh peuls) yag telah membatu peuls dega dukuga da doaya. Moho maaf jka pada skrps terdapat kesalaha atau kekuraga. Semoga skrsp dapat bergua bag sapa saja yag megkajya, serta dapat dkembagka da dsempuraka agar lebh bermafaat utuk kepetga orag bayak. Depok, jul 009 Peuls Khuryat Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

8 ABSTRAK Ops Asa dega Europea style adalah ops yag payoff-ya bergatug pada rata-rata harga aset selama masa hdup ops da haya dapat deksekus pada saat jatuh tempo saja. Tujua dar peulsa tugas akhr adalah meetuka harga ops Asa megguaka rata-rata geometrk da rata-rata artmatk melalu pedekata terhadap rata-rata geometrk. Utuk meetuka harga ops Asa megguaka rata-rata geometrk dapat dlakuka dega ddekat ke keragka Black-Scholes sehgga ddapat formula Black-Scholes utuk ops call Asa da ops put Asa. Sedagka utuk meetuka harga ops Asa megguaka rata-rata artmatk, dlakuka melalu pedekata terhadap rata-rata geometrk yag dkemukaka oleh Mchael Curra. Kata kuc : Ops eksotk, Black-Scholes, aproksmas Curra, tegras umerk. v + 5 hlm.; lamp. Bblograf: 5 (99-006) Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009. v

9 DAFTAR ISI Halama KATA PENGANTAR... ABSTRAK... DAFTAR ISI... DAFTAR LAMPIRAN... v v v BAB I. PENDAHULUAN.... Latar Belakag.... Perumusa Masalah Tujua Peulsa Pembatasa Masalah Sstematka Peulsa... 4 BAB II. LANDASAN TEORI Ops Ops Eksotk Rata-Rata Geometrk Rata-Rata Artmatk Proses Stokastk....6 Gerak Brow... Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009. v

10 v.7 Proses Harga Saham Model Black-Scholes... 0 BAB III. PENENTUAN HARGA OPSI ASIA Peetua Harga Ops Asa Megguaka Rata-Rata Geometrk Karakterstk Rata-Rata Geometrk Dalam Ops 3 Asa Pembetuka Formula Black-Scholes utuk 30 Meetuka Harga Ops Asa Megguaka Rata- Rata Geometrk Ops Call Asa Ops Put Asa Put-Call Party Peetua Harga Ops Asa Megguaka Rata- 5 Rata Artmatk yag Pedekataya Berdasarka Rata-Rata Geometrk Karakterstk Rata-Rata Artmatk Ops Call Asa... 5 BAB IV. APLIKASI PENENTUAN HARGA OPSI ASIA Tujua Aplkas Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

11 v 4. Peetua Harga Ops Asa Megguaka Rata-rata 75 Geometrk Peetua Harga Ops Asa Megguaka Rata-rata 76 Artmatk... BAB V. PENUTUP DAFTAR PUSTAKA... 8 LAMPIRAN Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

12 DAFTAR LAMPIRAN Lampra Halama. Lampra Lampra Lampra Lampra Lampra Lampra Lampra Lampra Lampra v Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

13 BAB I PENDAHULUAN. LATAR BELAKANG Dalam pasar keuaga dkeal beberapa jes betuk strume keuaga, dataraya adalah berupa kotrak. Kotrak yag laya dturuka dar la aset dasar pada kotrak tersebut dsebut strume dervatf atau strume turua. Oleh karea tu, pasar yag memperjualbelka strume jes dkataka pasar dervatf. Cotoh kotrak yag popular dperdagagka d pasar dervatf adalah forward, future, da opto (ops). Ops adalah salah satu kotrak keuaga yag memberka hak kepada pembel ops, tap buka kewajba, utuk membel atau mejual aset dasar dega harga yag dtetuka d awal da dlakuka pada saat atau sebelum masa ops berakhr. Berdasarka waktu pegeksekusaya, ops terbag mejad jes, yatu Europea style da Amerca style. Europea style adalah jes ops yag haya dapat deksekus pada saat masa ops berakhr, sedagka Amerca style adalah ops yag dapat deksekus kapapu selama masa hdup ops. Ops terbag mejad jes, yatu ops vala da ops eksotk. Ops eksotk adalah ops yag payoff-ya tdak haya bergatug pada harga aset saat deksekus, tap juga bergatug pada harga-harga aset selama masa Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

14 hdup ops. Cotoh ops eksotk adalah barrer opto, lookback opto da Asa opto (ops Asa). Ops Asa adalah ops yag payoff-ya bergatug pada rata-rata harga aset selama masa hdup ops. Terdapat tpe rata-rata yag aka dguaka dalam tugas akhr, yatu rata-rata artmatk da rata-rata geometrk. Salah satu karakterstk dar rata-rata geometrk adalah ketka harga saham berdstrbus logormal, rata-rata geometrk harga sahamya juga berdstrbus logormal. Karea karakterstk tersebut, rata-rata geometrk memeuh salah satu asums dar model Black-Scholes. Sehgga utuk meetuka harga ops Asa megguaka rata-rata geometrk dapat dlakuka dega ddekat ke keragka Black-Scholes. Sedagka karakterstk utuk rata-rata artmatk adalah dstrbus dar rata-rata artmatk harga sahamya tdak dketahu. Hal meyultka dalam peetua harga ops Asa, oleh karea tu perlu dlakuka aproksmas dstrbus rata-rata artmatk. Beberapa metode yag dapat dguaka utuk megaproksmas dstrbus rata-rata tersebut, dataraya adalah aproksmas Turbull & Wakema, aproksmas Levy, aproksmas Curra, da Mote Carlo valuato. Dalam tugas akhr aka djelaska megea peetua harga ops Asa megguaka rata-rata geometrk yag aka ddekat ke dalam Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

15 3 keragka Black-Scholes, da megguaka rata-rata artmatk melalu pedekata terhadap rata-rata geometrk berdasarka aproksmas Curra.. PERUMUSAN MASALAH Bagamaa cara meetuka harga ops Asa megguaka rata-rata geometrk da rata-rata artmatk melalu pedekata terhadap rata-rata geometrk..3 TUJUAN PENULISAN Tujua peulsa tugas akhr adalah meetuka harga ops Asa megguaka rata-rata geometrk da rata-rata artmatk melalu pedekata terhadap rata-rata geometrk..4 PEMBATASAN MASALAH Pembatasa yag dguaka dalam peulsa tugas akhr adalah :. Waktu pegeksekusa ops megguaka Europea style.. Aset dasar yag dguaka berupa saham. 3. Betuk dasar ops Asa yag dguaka adalah average prce opto. 4. Utuk kasus ops Asa megguaka rata-rata artmatk, haya meghtug ops call Asa. Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

16 4.5 SISTEMATIKA PENULISAN Secara sgkat, sstematka peulsa dar tugas akhr adalah sebaga berkut: Bab I : Pedahulua Bers latar belakag masalah, perumusa masalah, tujua peulsa, pembatasa masalah, da sstematka peulsa. Bab II : Ladasa Teor Bers ops, ops eksotk, proses stokastk, gerak Brow, proses harga saham da model Black-Scholes utuk Europea opto. Bab III : Membahas tetag bagamaa meetuka harga ops Asa megguaka rata-rata geometrk da rata-rata artmatk melalu pedekata terhadap rata-rata geometrk. Bab IV : Aplkas dar peetua harga ops Asa megguaka ratarata geometrk da rata-rata artmatk. Bab V : Kesmpula da sara utuk tugas akhr. Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

17 BAB II LANDASAN TEORI Sebelum membahas bagamaa meetuka harga ops Asa megguaka rata-rata geometrk da megguaka rata-rata artmatk pada bab III, berkut aka dbahas terlebh dahulu megea dasar-dasar teor yag dguaka dalam peulsa tugas akhr. Dataraya megea ops, ops eksotk, proses stokastk, gerak Brow, proses harga saham da model Black-Scholes utuk Europea opto. OPSI Dalam dua ekoom, dkeal beberapa jes pasar keuaga, salah satuya adalah pasar dervatf. Pasar dervatf adalah pasar keuaga yag memperdagagka strume keuaga yag laya dturuka dar la aset yag la. Istrume yag dperjualbelka dalam pasar dervatf, dataraya berupa kotrak. Cotoh kotrak yag palg populer dperdagagka dalam pasar dervatf adalah forward, future, da ops. Ops adalah salah satu kotrak keuaga yag memberka hak kepada pembel ops, tap buka kewajba, utuk membel atau mejual aset dasar dega harga yag dtetuka d awal da dlakuka pada saat atau sebelum masa ops berakhr. Hak tersebut dperoleh pembel ops dega 5 Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

18 6 membayarka sejumlah uag kepada pejual ops yag damaka harga ops. Berdasarka waktu pegeksekusa, ops terbag mejad, yatu:. Europea style, adalah jes ops yag haya dapat deksekus saat masa ops berakhr.. Amerca style, adalah jes ops yag dapat deksekus kapapu selama masa hdup ops. Istlah-stlah yag bayak dguaka dalam ops:. Holder adalah phak yag membel kotrak ops.. Wrter adalah phak yag megeluarka kotrak ops. 3. Strke prce (K) adalah harga yag harus dbayarka holder kepada wrter jka megeksekus ops. 4. Maturty tme (T) adalah waktu jatuh tempo. 5. Payoff adalah sejumlah la yag dterma holder saat masa ops berakhr. 6. Aset dasar adalah aset yag mejad dasar dar kotrak ops. 7. Harga ops adalah harga awal yag dberka holder ke wrter utuk memperoleh hak ops. 8. Volatltas adalah stadar devas dar harga aset keuaga. 9. Rsk-free rate atau tgkat suku buga bebas resko ( r ) adalah tgkat suku buga yag dasumska dperoleh jka bervestas aset yag bebas resko. Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

19 7 Ops terdr dar jes, yatu ops vala da ops eksotk. Karea pada tugas akhr haya aka dbahas megea ops Asa yag merupaka salah satu betuk ops eksotk, maka berkut aka dpaparka seklas megea ops eksotk.. OPSI EKSOTIK Ops eksotk adalah ops yag payoff-ya tdak haya bergatug pada harga aset saat megeksekus ops, tap juga bergatug pada harga-harga aset selama masa hdup ops. Cotoh ops eksotk atara la adalah: barrer opto, lookback opto, ops Asa, GAP opto, exchage opto,da compoud opto. Dar cotoh ops eksotk tersebut, terdapat beberapa ops yag sagat bergatug pada ltasa harga aset selama masa hdup ops, yag dsebut path-depedet opto. Cotoh dar path-depedet opto adalah barrer opto, lookback opto da ops Asa. Ops Asa adalah ops yag payoff-ya bergatug pada rata-rata harga aset selama masa hdup ops. Ada betuk dasar dar ops Asa, yatu:. Average prce opto Average prce opto adalah ops Asa yag payoff-ya bergatug pada perbedaa atara rata-rata harga aset selama masa hdup ops dega harga eksekus yag telah dtetuka. Payoff dar average prce opto saat jatuh tempo adalah Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

20 8 T max S( τ) dτ K,0, T 0 utuk ops call Asa T max K S ( τ) dτ,0, T 0 utuk ops put Asa.. Average strke opto Average strke opto adalah ops Asa yag payoff-ya bergatug pada perbedaa atara harga aset saat jatuh tempo dega rata-rata harga aset selama masa hdup ops. Payoff dar average strke opto saat jatuh tempo adalah T max S( τ) dτ S( T),0, T 0 utuk ops call Asa T max S ( T ) S ( τ) dτ,0, T 0 utuk ops put Asa. Ops Asa dapat ddefska kembal dega meggat rata-rata kotu T T 0 S( τ ) dτ dega megguaka rata-rata artmatk St ( ) = atau rata-rata geometrk St ( ) =, dmaa 0 t < t <... < t T [4]. Dalam tugas akhr aka dbahas bagamaa meetuka harga average prce opto dega megguaka kedua rata-rata d atas. Payoff dar ops tersebut dapat dtuls kembal mejad: Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

21 9 Payoff dar average prce opto megguaka rata-rata artmatk saat jatuh tempo adalah max S( t ) K,0, = utuk ops call Asa (..) max K S( t ),0, = utuk ops put Asa (..) Payoff dar average prce opto megguaka rata-rata geometrk saat jatuh tempo adalah max S( t ) K,0, = utuk ops call opto (..3) max K S ( t ),0, = utuk ops put opto (..4).3. RATA-RATA GEOMETRIK Jes rata-rata yag aka dguaka dalam tugas akhr adalah ratarata geometrk da rata-rata artmatk, sehgga aka djelaska seklas megea kedua tpe rata-rata tersebut. Rata-rata geometrk dyataka sebaga: ( ) ( ) ( )... ( t ) (.3.) = G = S t = S t S t S Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

22 0 dmaa, St ( )= harga aset pada saat = bayakya harga aset yag drata-rataka. t Dega dketahu bahwa harga saham berdstrbus logormal, teryata rata-rata geometrkya juga berdstrbus logormal. Karea karakterstk tersebut, rata-rata geometrk memeuh salah satu asums dar model Black-Scholes. Sehgga harga ops Asa dapat dtetuka dega cara ddekat ke keragka Black-Scholes yag merupaka metode dasar dalam meetuka harga teorts Europea opto..4 RATA-RATA ARITMATIK Rata-rata artmatk dotaska dega ( St ( ) + St ( ) St ( )) A= S( t ) = = (.4.) dmaa, St ( )= harga aset pada saat t = bayakya harga aset yag drata-rataka. Rata-rata artmatk merupaka jes rata-rata yag populer da serg dguaka dalam praktek vestas. Namu dalam kasus ops Asa, rata-rata artmatk memlk beberapa kelemaha. Dataraya adalah ketka harga saham berdstrbus logormal, rata-rata artmatk harga sahamya tdak Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

23 berdstrbus logormal. Hal tu meyultka dalam peetua harga ops Asa. Karea dstrbus rata-rata artmatk tdak dketahu, maka dperluka aproksmas dar dstrbus rata-rata artmatk tersebut. Hal megakbatka tdak adaya solus eksak utuk meetuka harga ops Asa. Beberapa metode yag dapat dguaka utuk meetuka harga ops Asa megguaka rata-rata artmatk tersebut, atara la:. Aproksmas Turbull & Wakema.. Aproksmas Levy. 3. Aproksmas Curra. 4. Mote Carlo Valuato. Dalam tugas akhr aka dbahas bagamaa meetuka harga ops Asa megguaka aproksmas Curra, yatu melalu pedekata terhadap rata-rata geometrk..5 PROSES STOKASTIK Defs.5. (Proses Stokastk): Suatu proses stokastk = { ( t), t T} adalah hmpua varabel radom () t yag dapat ddeks dega parameter t, dalam hmpua deks T yag mempuya uruta. Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

24 Jka T dskrt, maka hmpua deks T dapat dtuls T = {0,,...}. Jka T kotu, maka hmpua deks T dapat dtuls T = [0, ). Nla yag mugk dar () t dsebut state. Hmpua la yag mugk dar () t adalah state space. Berdasarka state space-ya, proses stokastk dapat dbedaka mejad state space dskrt da state space kotu. Karea harga saham adalah varabel radom yag pergerakaya tdak dketahu secara past, maka dapat dkataka bahwa pergeraka harga saham merupaka sebuah proses stokastk..6 GERAK BROWN Proses gerak Brow merupaka cotoh dar proses Markov waktu kotu da state space kotu, da ddefska sebaga berkut: Defs.6. (Gerak Brow): Gerak Brow atau dsgkat GB dega parameter varas σ adalah suatu proses stokastk { Wt (); t 0}, dega sfat-sfat sebaga berkut :. Setap keaka W( s+ t) W( s) adalah berdstrbus ormal dega mea 0 da varas σ t. Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

25 3. Utuk setap pasag terval waktu yag salg lepas, ( uv, ],( wy, ], dega 0 u < v w< y, maka keaka W( y) W( w) da W() v W() u adalah varabel radom yag depede. 3. Wt () kotu sebaga fugs dar t; da W (0) = 0. Defs.6. (Gerak Brow stadar): Jka { Wt () 0 t } < adalah GB dega parameter varas σ, maka Bt () = W();0 t t< adalah GB dega parameter varas. GB sepert σ dsebut GB stadar. GB stadar juga memeuh sfat-sfat dar gerak Brow. Proses GB stadar dsebut juga sebaga proses Weer. GB stadar atau proses Weer aka sagat bergua dalam memodelka pergeraka harga saham. Dar defs GB stadar, proses Weer utuk perubaha waktu Δt mempuya dstrbus ormal dega mea keaka 0 da varas keaka Δ t. Secara formal, jka suatu varabel B() t megkut proses Weer, maka berlaku dua sfat berkut: Sfat. Perubaha ΔB() t selama perode waktu Δt yag kecl, adalah Δ Bt () = Z Δ t, dega Z ~ N(0,). Sfat. B() t megkut proses Markov. Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

26 4 Proses Markov adalah proses stokastk yag jka dketahu la B() t, maka B( s+ t) dmaa s+ t > t tdak dpegaruh B( u ) dmaa u < t. Artya jka dberka keadaa saat sekarag da keadaa d waktu lampau, maka keadaa medatag haya bergatug pada keadaa waktu sekarag da tdak bergatug pada waktu lampau. da 0 Msalka { Bt (); t 0} adalah suatu proses GB stadar, da msalka μ σ > tertetu, maka proses stokastk { (); 0} sebaga berkut: t t yag ddefska () t = μt+ σ B() t utuk t 0 (.6.) dsebut gerak Brow dega drft μ da parameter varas σ. Dega megguaka GB dega drft, aka dperoleh GB yag sagat bergua dalam bdag fasal saat, yatu dalam membetuk model Black-Scholes [5]. Defs.6.3 (Gerak Brow Geometrk): Jka { ( t); t 0} adalah GB dega drft dega parameter μ da proses stokastk { Zt (); t 0} yag ddefska dega σ, maka ( ) ( μ σ ) Z( t) = Z(0)exp ( t) = Z(0)exp t+ B( t) (.6.) dsebut gerak Brow geometrk dega parameter μ da σ. GB geometrk yag dmula dar Z (0) adalah GB stadar yag dmula dar B (0) = 0. Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

27 5 Jka persamaa (.6.) ddferesalka, aka dperoleh persamaa, dzt () = μztdt () + σ ZtdBt () (). (.6.3) Sfat-sfat yag dpeuh GB geometrk adalah :. Zt ( + s),, ts> 0 adalah berdstrbus logormal dega parameterya Zt () adalah μs da σ s.. Raso pada terval waktu yag salg lepas adalah varabel radom yag depede. Utuk tap pasag terval waktu yag dsjo ( uv, ],( wy, ], dega 0 u < v w< y, maka raso Z ( y) Z ( w) da Z() v Z( u ) adalah depede. 3. Z () t kotu, dega Z( t = 0) = Z(0)..7 PROSES HARGA SAHAM Msalka St ( ) adalah harga saham pada saat t. Utuk perode waktu Δt, ekspektas perubaha Δ S adalah μst ( ) Δ tdega μ adalah tgkat pegembala dar harga saham yag dharapka. Jka volatltas dar tgkat pegembala selalu ol maka tgkat pegembala aka berla tetap utuk setap terval waktu. Sehgga dperoleh ( tgkat pegembala = c) E = c μ =c Utuk tgkat pegembala yag dharapka per perode waktu Δt, ddapat Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

28 6 μ = ( + ) S( t) S( t ) S t Δt maka perubaha harga saham dapat dmodelka sebaga berkut : dmaa, Δ S = μs( t ) Δ t, (.7.) Δ S = S( t ) S( t ) + Namu dalam aplkasya, volatltas dar tgkat pegembala tdak selalu berla ol. Artya vestor memlk tgkat pegembala yag tdak tetu utuk harga saham pada waktu yag berbeda [3]. Hal dapat dtuls ( + ) S( t) S( t ) S t () = μδ t+ σδb t ( ) ( ) ( ) ( ) μ σ ( ) S t+ S t = S t Δ t+ Δ B t Δ S = μs( t ) Δ t+ σ S( t ) ΔB( t) (.7.) dmaa B() t adalah gerak Brow stadar. Jka djabarka, persamaa (.7.) aka mejad St ( + ) St ( ) = μst ( ) Δ t+ σ St ( ) ΔBt ( ) St ( + ) = St ( ) + μst ( ) Δ t+ σ St ( ) Δ Bt ( ) (.7.3) Dar sfat utuk GB stadar, persamaa (.7.3) dapat dtulska kembal mejad, St ( + ) = St ( ) + μst ( ) Δ t+ σst ( ) ΔtZ, (.7.4) dmaa, Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

29 7 St ( + ) = harga saham pada saat t + St ( ) = harga saham pada saat t Z ~ NIID(0, ). Dega Δt 0, maka persamaa (.7.) mejad sebuah persamaa dferesal stokastk dega waktu yag kotu ds() t = μs() t dt + σ S() t db() t, (.7.5) da solus yag dperoleh [4] adalah σ St () = S(0)exp μ t+ σbt () (.7.6) dmaa B(t) adalah proses Weer atau gerak Brow stadar. Model persamaa (.7.6) adalah model yag palg serg dguaka utuk model pergeraka saham [4]. Dperoleh bahwa persamaa (.7.5) memlk betuk yag sesua dega persamaa (.6.3), sehgga dapat dkataka bahwa pergeraka harga saham megkut GB geometrk. Dar persamaa (.7.6), dperoleh σ St () = S(0)exp μ t+ σbt () St () σ = exp μ t+ σb( t) S(0) St () = + S(0) l μt σ t σb( ) t (.7.7) Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

30 8 Jka dketahu B()~ t N(0,) t, maka dapat dcar mea da varas utuk dstrbus harga saham, yatu sebaga berkut: Utuk mea dar dstrbus harga saham, + () = + () [ ] [ t ] E μt σ t σb t E μt E σ t E σb = μ σ + t t 0 = μ σ t Utuk varas dar dstrbus harga saham, μ σ + σ = σ [ ] var t t Bt ( ) var Bt ( ) = σ var[ Bt ( )] = σ t Dega parameter-parameter yag telah dcar, d bawah asums rsk-eutral yatu asums bahwa tgkat pegembala yag dharapka sama dega rsk-free rate, μ = r, dperoleh () l St ~ N r σ t, σ t S(0). Jad, dapat dsmpulka bahwa dstrbus dar logartma harga saham St ()adalah sebaga berkut: Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

31 9 () l St ~ N r σ t, σ t S(0) (.7.8) l St ( ) l S(0) ~ N r σ t, σ t l ( ) ~ l (0) σ, σ St N S + r t t (.7.9) Dega pemsala 0 = t0 < t < t < t3 <... < t da Δ t = t t0 = t t =... = t t, maka persamaa (.7.6) dapat dtulska mejad + σ St () = S(0)exp r ( t 0) + σ Z t 0 σ St ( ) = St ( )exp r t t + Z t t ( ) σ ( ) St ( + ) = St ( )exp r σ Δ t+ σ tz Δ. (.7.0).8 MODEL BLACK-SCHOLES Model Black-Scholes adalah metode yag dpopulerka oleh Fscher Black da Myro Scholes pada tahu 973 utuk meetuka harga teorts Europea ops call. Asums-asums yag dguaka dalam model Black-Scholes adalah : Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

32 0. Harga aset berdstrbus logormal dega parameter μ da σ yag dketahu da kosta.. Cotuously compouded retur berdstrbus ormal dega parameter μ da σ kosta. 3. Pejuala aset utuk efses dperbolehka. 4. Tdak ada baya trasaks atau pajak. 5. Tdak ada dvde selama masa hdup ops. 6. Tdak ada kesempata bag arbtras. 7. Perdagaga aset keuaga bersfat kotu. 8. Tgkat suku buga bebas resko atau rsk-free rate, r, kosta da sama utuk semua perdagaga ops. Harga Europea ops call dapat dhtug dega megguaka rsk eutral valuato yatu meetuka harga ops dega membawaya ke dalam dua rsk-eutral. Yag aka dlakuka adalah megasumska tgkat pegembala yag dharapka adalah rsk-free rate, μ = r, kemuda mecar la saat dar ekspektas cash flow saat jatuh tempo dega megguaka rsk-free rate. Harga ops saat merupaka expected value yag ddsko da dotaska sebaga berkut: rt C = e E[ payoff ] rt = e E[max( S( T) K,0)] dmaa, C = harga ops call. Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

33 r T = rsk-free rate. = waktu jatuh tempo S (0) = harga saham saat, atau harga saham saat t = 0. ST ( ) = harga saham saat jatuh tempo, atau harga saham saat t = T. K = strke prce. Dega megguaka rsk eutral valuato [5], dperoleh harga Europea ops call adalah dmaa, rt [ ] [ ] C = S(0) N d Ke N d d S(0) σ l + r + T K = σ T d S(0) σ l + r T K =. σ T Megguaka cara yag serupa dega Europea ops call, aka ddapat pula harga Europea ops put, yatu dmaa [ ] (0) [ ] rt P= Ke N d S N d d S(0) σ l + r + T K = σ T Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

34 d S(0) σ l + r T K =. σ T Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

35 BAB III PENENTUAN HARGA OPSI ASIA Pada bab aka dbahas bagamaa meetuka harga ops Asa megguaka rata-rata geometrk da rata-rata artmatk melalu pedekata terhadap rata-rata geometrk. 3. PENENTUAN HARGA OPSI ASIA MENGGUNAKAN RATA-RATA GEOMETRIK Peetua harga ops Asa megguaka rata-rata geometrk dapat dlakuka dega cara ddekat ke keragka Black-Scholes, amu sebelum tu harus memeuh asums kelogormala dar rata-rata geometrk harga saham. Sehgga sebelum pembetuka formula Black-Scholes utuk kasus ops Asa, perlu dbuktka terlebh dahulu bahwa rata-rata geometrk berdstrbus logormal. Pembukta kelogormala dstrbus rata-rata geometrk harga saham da pembetuka formula Black-Scholes utuk ops call Asa da ops put Asa aka djelaska pada subbab berkut. 3.. Karakterstk Rata-Rata Geometrk Dalam ops Asa Rata-rata geometrk adalah tpe rata-rata yag jarag dguaka dalam praktek keuaga, amu mudah dpaka utuk meetuka harga 3 Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

36 4 ops dalam kasus ops Asa. Karakterstk utama dar rata-rata geometrk adalah ketka harga saham berdstrbus logormal, rata-rata geometrk harga sahamya juga berdstrbus logormal. Hal tu dapat dtujukka sebaga berkut. Berdasarka persamaa harga aset dalam waktu dskrt, (.7.0), dketahu bahwa, St ( + ) = St ( )exp r σ Δ t+ σ ΔtZ St ( ) exp + = r σ t σ tz St ( ) Δ + Δ St ( ) + l = Δ + Δ St ( ) r σ t σ tz (3..) dmaa St ( + ) = harga saham pada saat t + St ( ) = harga saham pada saat t σ = volatltas dar harga aset. Δ t = t + t. Z ~ NIID (0,). Dar persamaa (.7.9) dketahu bahwa harga saham dega waktu jatuh tempo T berdstrbus logormal. Dstrbus tersebut dperluka utuk medapatka ekspektas payoff yag atya aka ddsko da meghaslka formula Black-Scholes. Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

37 5 Telah dketahu sebelumya bahwa payoff pada Europea ops call adalah max ( ST ( ) K,0). Karea payoff ops Asa bergatug pada rata-rata harga saham, maka harga saham saat jatuh tempo, ST ( ), dsubsttus dega rata-rata geometrk mejad max St ( ) K,0. = = St ( ) merupaka betuk perkala harga saham pada waktu t, yatu = St ( ) = St ( ) St ( )... St ( ) St ( ) = St ( ) St ( )... St ( ) St ( ) dega t =Δ t da Δ t = T. St ( ) St ( ) St ( ) St ( ) St ( ) =... ( St ( 0) ) = St ( ) St ( ) St ( ) St ( 0) kedua ruas dbag dega St ( 0), St ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =. ( ) ( ) ( ) ( ) St St St = St... St 0 St St St0 ( St ( )) Dega memsalka St ( 0) = S(0), persamaa d atas dapat dbuat dalam betuk l, mejad St ( ) St ( ) St ( ) St ( ) = St ( ) = St ( ) St ( ) St ( ) S(0) l l... ( S(0) ) Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

38 6 St ( ) St ( ) St ( ) St ( ) = l + l l + l St ( ) St ( ) St ( ) S(0) St ( ) St ( ) St ( ) St ( ) = l + l ( ) l + l. (3..) St ( ) St ( ) St ( ) S(0) Substtuska (3..) ke dalam (3..), sehgga persamaa (3..) mejad St ( ) ( S(0) ) = l = r σ Δ t+ σ Δ tz r σ t σ tz + Δ + Δ r σ Δ t+ σ ΔtZ0. (3..3) Lagkah selajutya adalah mecar mea da varas utuk dstrbus dar logartma rata-rata geometrk, sebaga berkut: Mea dar logartma rata-rata geometrk adalah St ( ) St ( ) = = E l E l = S(0) S(0) ( ) St l = = E ( S(0) ) = E l = St ( ). ( S(0) ) Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

39 7 Dega megguaka persamaa (3..3), ekspektas d atas dapat dtuls mejad St ( ) E l = = E r σ Δ t+ σ Δ tz + r σ Δ t+ σ ΔtZ S(0) r σ Δ t+ σ ΔtZ 0 = E r σ t σ tz E r σ t σ tz Δ + Δ + Δ + Δ... E + + r σ t σ tz Δ + Δ 0 Dega Z ~ NIID (0,), maka = r σ t σ te[ Z ] r σ t σ te[ Z ] Δ + Δ + Δ + Δ r σ Δ t+ σ ΔtE[ Z0 ]. St ( ) E l = = r σ Δ t + r σ Δ t... + r σ Δt S(0) = σ Δ ( 3... ( ) ) r t (3..4) ( + ) r σ t = Δ (Lampra ) Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

40 8 ( + ) = r σ T. (3..5) Varas dar logartma rata-rata geometrk adalah St ( ) St ( ) = = var l = var l S(0) ( S(0) ) = var l = = St ( ) ( S(0) ) St ( ). var l = (0) ( S ) Dega megguaka persamaa (3..3), persamaa d atas dapat dtuls kembal mejad betuk berkut: St ( ) Var l = = var r σ t σ tz Δ + Δ + r σ Δ t+ σ ΔtZ S(0) r σ t σ tz Δ + Δ 0 = var r t tz σ σ 4 var r σ t σ tz Δ + Δ + Δ + Δ Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

41 9 Dega Z ~ NIID (0,), maka:... var + + r σ t σ tz Δ + Δ 0 = Δ + Δ + + Δ. ( tvar[ Z ] [ ] 4 tvar Z... tvar[ Z0] ) σ σ σ St ( ) = var l =... ( ) S(0) σ Δ + σ Δ + + σ Δ + σ Δ σ ( t t t t) (... ( ) ) = Δ t (3..6) ( )( ) t σ + + = Δ (Lampra ) 6 ( + )(+ ) 6 = σ T. (3..7) Berdasarka hasl pada (3..5) da (3..7), dapat dperoleh St ( ) ( ) ( )( ) l = ~ N r σ T, σ T S(0) 6 St ( ) l = ~ N μ σ T, σ T S(0) (3..8) Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

42 30 dmaa, l St ( ) ~ l (0), N S + μ σ Tσ T = (3..9) S (0) = harga saham saat t = 0 T = waktu jatuh tempo = bayakya harga saham yag dhtug + μ = σ + r σ σ ( + )(+ ) σ = 6 Persamaa (3..9) meujukka bahwa logartma rata-rata geometrk harga saham berdstrbus ormal, yag berart bahwa rata-rata geometrk harga saham berdstrbus logormal. Karea rata-rata geometrk terbukt berdstrbus logormal, maka peetua harga ops Asa megguaka rata-rata geometrk dapat ddekat ke keragka Black-Scholes. Berdasarka pejelasa d atas, maka selajutya aka dbahas megea pembetuka formula Black-Scholes utuk meetuka harga ops Asa megguaka rata-rata geometrk. 3.. Pembetuka Formula Black-Scholes utuk Meetuka Harga Ops Asa Megguaka Rata-Rata Geometrk Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

43 Ops Call Asa Harga ops call Asa dega rata-rata geometrk dapat dhtug dega megguaka formula Black-Scholes berkut, rt μt C = e ( S(0) e N d KN d ) dmaa, d S(0) l + μ+ σ T K =. σ T d = d σ T. + μ = σ + r σ σ ( + )(+ ) σ =. 6 Bukt: Peetua harga ops Asa megguaka rsk-eutral valuato, yatu peetua harga ops yag dbawa ke dalam dua rsk-eutral dega megasumska bahwa la tgkat pegembala yag dharapka sama dega rsk-free rate. Yag aka dlakuka adalah mecar la saat dar ekspektas cash flow pada waktu jatuh tempo dega megguaka rsk-free rate. Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

44 3 Harga ops saat merupaka expected value yag ddsko dar payoff yag dotaska sebaga berkut: rt C = e E[ payoff ]. (3..0) Dega memasukka la payoff (..3) ke persamaa (3..0), ddapat rt C = e E max S( t ) K,0 = ( ) rt = e E max G K,0 dega G adalah rata-rata geometrk. mejad, Dega megguaka defs ekspektas, persamaa d atas berubah 0 ( ) rt C = e max g K,0 p( g) dg K rt = e max ( g K,0 ) p( g) dg+ max ( g K,0 ) p( g) dg 0 K rt = e 0+ max ( g K,0 ) p( g) dg K ( ) rt = e max g K,0 p( g) dg, (3..) K dega p( g) adalah pdf dar varabel radomg, da dtuls p( g ) = l l (0) g S T μ σ exp. (3..) g σ πt σ T Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

45 33 Perhatka kembal persamaa (3..), persamaa tersebut dapat dtulska kembal mejad rt C = e g K p g dg K ( ) ( ) rt rt = e gpgdg ( ) Ke pgdg ( ) K = I II. Dperoleh persamaa, yatu (3..3) K rt rt persamaa I = e gp( g) dg da persamaa II = Ke p( g) dg. K Selajutya aka djelaska peetua la C, melalu proses sebaga berkut:. Lagkah pertama adalah meemuka solus utuk persamaa I. p( g) pada (3..), dmasukka ke baga tegral persamaa I K K gp( g) dg = K l l (0) g S T μ σ g exp g σ πt σ T dg l l (0) g S T μ σ = exp dg. K σ πt σ T Utuk mempermudah perhtuga, aka dlakuka beberapa kal trasformas varabel, yatu: Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

46 34 a) Megubah varabel g mejad varabel b dega memsalka b b= l g, maka g = e, (3..4) dferesalka kedua ruas, dperoleh db = dg dg = gdb g dg b = e db. (3..5) Dega melakuka traformas megguaka persamaa (3..4) da (3..5), baga tegral persamaa I aka mejad K l (0) b S μ σ T gp( gdg ) = exp b db. (3..6) l σ π σ K T T Jka H l (0) b S T μ σ = b, maka persamaa (3..6) σ T dapat dsederhaaka mejad H gpgdg ( ) = e db. (3..7) σ πt K l K Persamaa H dapat dmodfkas dega cara, H l (0) b S T μ σ = b σ T Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

47 35 l (0) bσ T b S μ σ T = σ T ( ) bσ T b l S(0) μ σ T l S(0) μ σ T bl S(0) b μ σ T = σ T ( ) bσ T b l S(0) μ σ T l S(0) μ σ T bl S(0) b μ σ T = σ T ( ) b bl S(0) b T b T l S(0) l S(0) T = μ σ σ + + μ σ + μ σ T σ T b b l S(0) μ σ T σ T l S(0) μ = σ T σ T ( ) = b b l S(0) + μt σ T + σ T + l S(0) + μ+ σ σ T σ T ( ) = b b l S(0) + μt + σ T + l S(0) + μ+ σ T σ T σ T ( ) = b b l S(0) + T μ+ σ + l S(0) + μ+ σ T + σ T σ T l S(0) + μ+ σ T σ T ( ) ( ) 4 l (0) l (0) = b b S + μ+ σ T + S + μ+ σ T + σ T l S(0) σ T+ μσ T + σ T σ T 4 4 = b l S(0) + μ+ σ T + σ T l S(0) σ T μσ T σ T σ T Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

48 36 l (0) = b S + μ+ σ T σ T l S(0) + μt σ T l (0) b S T + μ+ σ = + l S(0) + μt. σ T v Pada akhrya, H dapat dtulska kembal mejad, H = v + l S(0) + μt, da persamaaa (3..7) mejad K gp( g) dg = exp v ls0 μt db + + σ πt l K ( ). (3..8) b) Megubah varabel b mejad varabel v dega memsalka b l S(0) + μ+ σ T v = σ T vσ T b l S(0) μ σ = + + T b vσ T l S(0) μ σ = T, (3..9) dferesalka kedua ruas, dperoleh db = σ T dv. (3..0) Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

49 37 Dega melakuka trasformas megguaka pemsala (3..9) da (3..0), aka megubah persamaa (3..8) mejad, l K l (0) v + S + μt exp v l S(0) T db e Tdv + + μ = σ σ πt σ πt. l l (0) K S T μ+ σ σ T Karea sfat kesmetrsa dar dstrbus ormal, maka persamaa d atas dapat dubah mejad l K σ l (0) l S K+ T μ+ σ σ T v l S(0) μt exp v + l S(0) + μtdb= e e e dv πt π. Msalka d l (0) l S K+ T μ+ σ σ T =, baga tegral persamaa I dapat dtulska kembal mejad K v l (0) S μt gp( g) dg = e e e db σ πt l K d v μt = S(0) e e dv π μt = S(0) e N d. Jad, dapat dsmpulka bahwa solus dar persamaa I adalah rt e T μ S(0) e N d, (3..) Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

50 38 dega N d adalah cumulatve dstrbuto fucto (cdf) ormal stadar dar d, dega d S(0) l + μ+ σ T K =. σ T. Lagkah kedua adalah meemuka solus utuk persamaa II. p( g ) pada (3..), dmasukka ke persamaa II, l l (0) rt rt g S μ σ T Ke pgdg ( ) = Ke exp dg. (3..) K K gσ πt σ T Utuk memudahka, aka dubah varabel g mejad varabel u, dega memsalka l l (0) g S μ σ T u = (3..3) σ T l S(0) T l g μ σ u =, σ T σ T dferesalka kedua ruas terhadap g, aka ddapat du = g σ T dg dg = g σ T du. (3..4) Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

51 39 Dega melakuka trasformas megguaka pemsala (3..3) da (3..4), aka megubah persamaa (3..) mejad rt rt Ke p g dg Ke u du. K ( ) = exp π l l (0) K S μ σ T σ T Karea sfat kesmetrsa dar dstrbus ormal, maka tegral d atas dapat dubah mejad l (0) l S K+ μ σ T σ T rt rt Ke p g dg Ke u du. K ( ) = exp π Msalka d = l (0) l S K+ T μ σ σ T, baga tegral persamaa II dapat dtulska kembal mejad d rt rt Ke p( g) dg = Ke exp v dv π K = Ke rt N d. Jad, dapat dsmpulka bahwa solus dar persamaa II adalah Ke rt N d (3..5) dega N d adalah cdf ormal stadar dar d, dega Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

52 40 d S(0) l + μ σ T K =. σ T Setelah medapat solus dar persamaa I da II, substtus (3..) da (3..5) ke dalam (3..3), dperoleh rt rt C = e gp( g) dg Ke p( g) dg K K rt μt (0) rt = e S e N d Ke N d rt μt = e ( S(0) e N d KN d ) (3..6) dmaa, d S(0) l + μ+ σ T K =. σ T d = d σ T. + μ = σ + r σ σ ( + )(+ ) σ = Ops Put Asa Harga ops put Asa dega rata-rata geometrk dapat dhtug megguaka formula Black-Scholes berkut, Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

53 4 rt μt P= e ( KN d S(0) e N d ) dmaa d, d, μ da σ sama laya dega perhtuga la ops call Asa pada 3... Bukt: Sama halya dega meetuka ops call Asa, utuk peetua harga ops put Asa megguaka rsk-eutral valuato. Yatu peetua harga ops yag dbawa ke dalam dua rsk-eutral dega megasumska bahwa la tgkat pegembala yag dharapka sama dega rsk-free rate. Yag aka dlakuka adalah mecar la saat dar ekspektas cash flow pada waktu jatuh tempo dega megguaka rsk-free rate. Harga ops saat merupaka expected value yag ddsko dar payoff yag dotaska sebaga berkut, rt P = e E[ payoff ] (3..7) memasukka la payoff (..4) ke persamaa (3..7), dperoleh rt P= e E max K S( t ),0 = ( ) rt = e E max K G,0. Dega megguaka defs ekspektas, maka harga ops dapat dtuls sebaga berkut: Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

54 4 ( ) rt P= e max K g,0 p( g) dg. K rt = e max ( K g,0 ) p( g) dg+ max ( K g,0 ) p( g) dg 0 K K rt = e max ( K g,0 ) p( g) dg+ 0 0 K 0 ( ) rt = e max K g,0 p( g) dg. (3..8) Ubah baga tegral (3..8) mejad K 0 ( ) rt P= e K g p( g) dg K rt rt = Ke p( g) dg e gp( g) dg K (3..9) 0 0 = I II. Dperoleh persamaa, yatu persamaa I = Ke K rt pgdg ( ) da persamaa 0 II = e K rt gp( g) dg. 0 Selajutya aka djelaska peetua la P, melalu proses sebaga berkut: Lagkah pertama adalah meemuka solus utuk persamaa I. p( g) pada (3..), dmasukka ke persamaa I, Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

55 43 K K l l (0) g S μ σ T rt rt Ke pgdg ( ) = Ke exp dg. (3..30) 0 0 gσ πt σ T Ubah varabel g mejad varabel u, dega pemsala sepert (3..3) l l (0) g S μ σ T u = σ T l S(0) T l g μ σ u =, σ T σ T dferesalka kedua ruas terhadap g, aka ddapat (3..4) du = g σ T dg dg = g σ T du. Dega melakuka trasformas megguaka pemsala (3..3) da (3..4), persamaa (3..30) aka berubah mejad K l l (0) K S μ σ T σ T rt rt Ke p( g) dg Ke exp u g = σ T du g σ πt 0 l l (0) K S μ σ T rt Ke σ T exp u du = π Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

56 44 l (0) l ( S K+ μ σ ) T rt Ke σ T u du = exp π. Msalka d = l (0) l S K+ T μ σ σ T, baga tegral persamaa II dapat dtulska kembal mejad d rt rt Ke f ( g) dg = Ke exp u du π K rt Ke N d =. Jad, bsa dsmpulka bahwa solus dar persamaa I adalah rt Ke N d (3..3) dega N d adalah cdf ormal stadar dar d, dmaa d S(0) l + μ σ T K =. σ T. Lagkah kedua adalah meemuka solus utuk persamaa II. p( g) pada (3..), dmasukka ke baga tegral persamaa II, Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

57 45 K 0 gp( g) dg = l l (0) K g S μ σ T g exp 0 gσ πt σ T dg l l (0) K g S T μ σ = exp dg. 0 σ πt σ T Utuk mempermudah perhtuga, aka dlakuka beberapa kal trasformas varabel, yatu a) Megubah varabel g mejad varabel b dega pemsala megguaka (3..4) b= l g, maka g b = e, dferesalka kedua ruas sepert (3..5) db = dg dg = gdb g dg b = e db. Dega melakuka trasformas megguaka pemsala (3..4) da (3..5), baga tegral persamaa II aka mejad K l K l (0) b S μ σ T gp( gdg ) exp b = db 0 σ πt σ T Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

58 46 Jka H l (0) b S T μ σ = b, σ T maka persamaa d atas dapat dsederhaaka mejad K 0 l K H gpgdg ( ) = e db. (3..3) σ πt Persamaa H dapat dmodfkas dega cara, H l (0) b S T μ σ = b σ T l (0) bσ T b S μ σ T = σ T ( ) bσ T b l S(0) μ σ T l S(0) μ σ T bl S(0) b μ σ T = σ T ( ) bσ T b l S(0) μ σ T l S(0) μ σ T bl S(0) b μ σ T = σ T ( ) b b l S(0) b T b T l S(0) l S(0) T = μ σ σ + + μ σ + μ σ T σ T b b l S(0) μ σ T σ T l S(0) μ = σ T σ T Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

59 47 ( ) = b b l S(0) + μt σ T + σ T + l S(0) + μ+ σ σ T σ T ( ) = b b l S(0) + μt + σ T + l S(0) + μ+ σ T σ T σ T ( ) = b b l S(0) + T μ+ σ + l S(0) + μ+ σ T + σ T σ T l S(0) + μ+ σ T σ T ( ) ( ) 4 l (0) l (0) = b b S + μ+ σ T + S + μ+ σ T + σ T l S(0) σ T+ μσ T + σ T σ T 4 4 = b l S(0) + μ+ σ T + σ T l S(0) σ T μσ T σ T σ T l (0) = b S + μ+ σ T σ T l S(0) + μt σ T l (0) b S T + μ+ σ = + l S(0) + μt. σ T ( ) v Pada akhrya, persamaa H dapat dtulska kembal sebaga berkut: H = v + l S(0) + μt da persamaaa (3..3) mejad K 0 l K ( ) exp l (0) gp g dg = v S μt db + + σ πt. (3..33) Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

60 48 b) Megubah varabel b mejad varabel v dega pemsala (3..9), yatu b vσ T l S(0) μ σ = T, dferesalka kedua ruas, ddapat (3..0) db = σ T dv. Dega melakuka trasformas megguaka pemsala (3..9) da (3..0), persamaa (3..33) aka berubah mejad l l (0) K S T μ+ σ l K σ T v + l S(0) + μt v + l S(0) + μt e db= e σ Tdv σ πt σ πt l S(0) l K T + μ+ σ σ T v l (0) S μt = e e e dv. π Msalka d l (0) l S K+ T μ+ σ σ T =, baga tegral persamaa II aka berubah mejad K 0 l K v l (0) S μt gp( g) dg = e e e db σ πt d v μt = S(0) e e dv π μt = S(0) e N d. Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

61 49 Jad, bsa dsmpulka bahwa solus dar persamaa II adalah rt e T S(0) e N d μ, (3..34) dega N d adalah cdf ormal stadar dar d, dmaa d S(0) l + μ+ σ T K =. σ T Setelah medapat solus dar persamaa I da II, substtus (3..3) da (3..3) ke dalam (3..9), dperoleh K rt rt P Ke = p( g) dg e gp( g) dg K 0 0 rt rt μt = Ke N d e S(0) e N d rt μt = e ( KN d S(0) e N d ) (3..35) dmaa, d S(0) l + μ+ σ T K =, σ T d = d σ T, + μ = σ + r σ, σ ( + )(+ ) σ =. 6 Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

62 Put-Call Party Pada baga, aka dbahas megea formula put-call party utuk kasus ops Asa. Dketahu put-call party stadar adalah C P= S(0) Ke rt. Dega membuat persamaa yag serupa dega put-call party stadar da megguaka harga ops call Asa (3..9) juga ops put Asa (3..35) yag telah dcar, dapat dperoleh rt μt rt μt C P= e ( S(0) e N d KN d ) e KN d S(0) e N d rt ( (0) μt ) ( ) (0) μt = e S e N d + S e N d KN d + KN d ( ) { } μt { (0) ( ) ( )} rt = e S e N d + N d K N d + N d rt μ T ( (0) ) = e S e K rt μ T ( (0) ) C = P+ e S e K (3..36) Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

63 5 3. PENENTUAN HARGA OPSI ASIA MENGGUNAKAN RATA-RATA ARITMATIK 3.. Karakterstk Rata-Rata Artmatk Karakterstk rata-rata artmatk adalah ketka harga sahamya berdstrbus logormal, rata-rata artmatk dar harga saham tdak berdstrbus logormal. Hal tu dapat dtujukka sebaga berkut: Lhat lag persamaa (3..), St ( ) + l = Δ + Δ St ( ) r σ t σ tz Karea terval waktu yag dguaka sama, sehgga (3..) dapat juga dtuls sebaga berkut,. St ( ) l = Δ + Δ St ( ) r σ t σ tz Persamaa d atas adalah pegembala (mbal hasl) dar harga saham yag berdstrbus ormal da dapat dotaska. St ( ) l ~ N r σ Δt, σ Δt St ( ) l St ( ) ~ N l St ( ) + r σ Δt, σ Δt. Karea l St ( ) berdstrbus ormal, maka dstrbus St ( ) adalah logormal. Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

64 5 Rata-rata artmatk merupaka pejumlaha dar varabel-varabel radom yag logormal, yag dapat dotaska sebaga berkut, A= S t = S t + S t + + S t ( ) ( ( ) ( )... ( ) ). = Dar sfat dstrbus logormal, yatu pejumlaha dar varabel radom (dalam kasus adalah St ( )) yag berdstrbus logormal adalah tdak logormal. Sehgga dapat dsmpulka bahwa ketka harga saham berdstrbus logormal, rata-rata artmatk harga sahamya tdak berdstrbus logormal. Rata-rata artmatk harga saham yag tdak berdstrbus logormal meyebabka peetua harga ops Asa megguaka rata-rata artmatk tdak dapat dlakuka dega megguaka metode Black-Scholes. Hal dkareaka tdak terpeuhya salah satu asums model Black-Scholes yatu varabel radom yag dguaka berdstrbus logormal [9]. Karea dstrbus dar rata-rata artmatk harga saham tdak dketahu secara past, maka perlu dlakuka aproksmas. Metode aproksmas yag dguaka pada tugas akhr adalah aproksmas Curra yatu melalu pedekata terhadap rata-rata geometrk. 3.. Ops Call Asa Peetua harga ops call Asa megguaka rata-rata artmatk, dapat dperoleh dega mecar la expected value yag ddsko, yatu Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

65 53 (,0) rt C = e E Max A K. (3..) Namu karea dstrbus dar rata-rata artmatk tdak dketahu, sehgga sult utuk mecar la ekspektas payoff-ya. Dega megguaka aproksmas Curra, dstrbus rata-rata artmatk dapat dcar melalu pedekata terhadap rata-rata geometrk []. Oleh karea tu, ekspektas payoff dar ops call Asa pada (3..) dapat dubah mejad ( ) rt C = e E E Max A K,0 G, (3..) dmaa, C = harga ops call Asa E = taksra ekspektas r = rsk-free rate T = waktu jatuh tempo A = rata-rata artmatk dar harga saham G = rata-rata geometrk dar harga saham K = strke prce atau Persamaaa (3..) dapat dtulska kembal mejad K max (,0) ( ) rt C = e E a K g p g dg + E max ( a K,0 ) g p( g) dg 0 K C C (3..3) Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

66 54 ( ) rt C = e C+ C dega p( g ) adalah pdf dar G (3..). Sesua dega pertdaksamaa rata-rata artmatk da rata-rata geometrk yag meyataka bahwa A G utuk semua kemugka hargaharga saham (lampra 3), membuat C dapat meghaslka solus yag eksak. Hal tu dkareaka batas tegral C, dmaa lag berada pada terval K G<. Jka A G da G K, maka A G K, da dapat dsmpulka A K. Karea A K, maka ekspektas payoff C dapat dcar da meghaslka solus yag eksak. Namu utuk C, perhtuga aka lebh sult dar C. Hal dkareaka, 0 G K da A G, sehgga aka meghaslka kemugka yatu la utuk A, yatu A K atau A K. Oleh karea tu, ops aka mugk berakhr dalam poss tdak the moey, yatu poss dmaa holder medapat la payoff yag lebh besar dar 0.. Perhtuga C. Dketahu A K, maka baga C C = E max ( a K,0 ) g p( g) dg, (3..4) K taksra ekspektas payoff bersyarat dar persamaa (3..4) dapat dbuat mejad C = E a K g p( g) dg [ ] K Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

67 55 ( [ ] [ ]) = E a g E K g p( g) dg K ( E [ a g] ) = K p( g) dg (3..5) K Sekarag aka dfokuska pada perhtuga ekspektas bersyarat dar persamaa C. Msalka = l St ( ), (3..6) adalah varabel radom yag berdstrbus ormal dega meaya adalah μ da varasya adalah ( ) σ, atau dapat dotaska ~ N μ, σ (3..7) dega =,,3,...,. Da jka ddefska = l G, (3..8) dmaa G adalah rata-rata geometrk harga saham, maka = l St ( ) = = l St ( ) = = =. (3..9) Kemuda dperoleh bahwa varabel berdstrbus ormal dega parameter meaya adalah Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

68 56 μ = μ, = da varasya σ = σσ jρj = j=, dega ρ j adalah korelas atara pegembala (mbal hasl) harga saham ke- da ke-j. Sehgga dapat dotaska kembal mejad ( ) ~ N μ, σ, (3..0) Pembukta dapat dlhat pada lampra 5. Dega dketahu dstrbus da, maka berdasarka [] dstrbus dar bersyarat adalah dmaa σ x N σ x = ~ μ + [ μ ], σ σ σ [ ] σ = []. σρ j j= ( ) ( ) = x ~ N μ, σ Jka [ ] [ ] l St ( ) l g ~ N μ, σ σ, (3..) dega μ adalah parameter mea da σ adalah parameter varas, maka dstrbus St ( ) bersyarat G adalah logormal dega mea exp σ μ + (Lampra 4). Jad dapat dtuls, Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

69 57 σ = μ +. [ ( ) G] exp E S t Dar (3..), ekspektas bersyarat d atas dapat dtulska kembal mejad σ σ E[ S( t) G] = exp μ + [ x μ ] / + σ σ σ. (3..) x Ekspektas A bersyarat G, dapat dtuls E A G = e. Ekspektas bersyarat tersebut dapat dtuls juga mejad, E AG = e x = EA [ = x]. (3..3) Dega megguaka (3..3), baga C dapat dhtug dega cara sebaga berkut: Utuk mempermudah perhtuga, perlu dlakuka trasformas varabel terlebh dahulu dega megguaka pemsala (3..8). Dferesalka kedua ruas aka mejad dx = dg g gdx = dg, Dega megguaka pemsala (3..8) da (3..3), C dapat dtuls kembal mejad C = E a = x K f( x) dx (3..4) ( [ ] ) l K Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

70 58 dmaa f ( x ) adalah pdf dar varabel radom. Jka A= S( t ), maka persamaa (3..4) dapat dubah = mejad, C = E S( t ) = x K f( x) dx l K = = E[ S( t ) = x] K f( x) dx = l K = = l K = E[ S( t ) x] f( x) dx Kf( x) dx (3..5) l K I I = I I a) Lagkah pertama adalah htug baga I. Baga I adalah I = E[ S( t ) = x] f( x) dx l K = = = E[ S( t ) x] f( x) dx. = l K Dega megguaka (3..), dperoleh σ σ σ I = exp μ [ x μ ] ( ) f x dx + + = σ l K σ, (3..6) dega f ( x ) adalah pdf dar varabel radom, yatu Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

71 59 x μ f( x) = exp. (3..7) σ σ π Masukka (3..7) ke persamaa (3..6) σ σ σ x μ I = exp μ [ x μ ] exp dx + + = σ l K σ σ π σ σ σ σ x μ = exp μ [ x μ] dx + + = l K σ π σ σ σ σ σ σ σ x μ = exp x μ + μ + = l K σ π σ σ σ σ dx σ σ σ σ x μ = exp x μ + + μ = l K σ π σ σ σ σ dx σ σ σ σ x μ = exp exp x μ + μ = l K σ π σ σ σ σ dx σ σ σ σ x μ = exp μ + exp x μ = l K σ π σ σ σ σ Q Msal dx σ σ σ x μ Q= exp x μ σ σ σ σ ( x + μ μx) σ σ σ = exp σ σ σ σ x μ Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

72 60 ( x + μ μ x) σ σ σ = exp x μ σ σ σ σ σ x σ μ σ x μ + μ x = exp σ x + μ + σ + σ μ σ x μx = exp σ x μ σ = exp σ (3..8) q Msalka q x μ σ σ =, dferesalka kedua ruas, dq = σ dx σ dq = dx. Dega melakuka trasformas megguaka pemsala q da hasl Q pada (3..8), I berubah mejad σ exp μ exp ( ) = l K σ π I = + q σ dq σ = + exp μ exp q dq = l K μ σ π. σ Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

73 6 Karea sfat kesmetrsa dstrbus ormal, persamaa I dapat dtulska kembal mejad μ l K + σ σ σ I = exp μ + exp q dq = π, maka I mejad I μ + σ μ l K σ = exp N +. (3..9) σ σ b) Lagkah kedua adalah htug baga I. Dega megguaka tekk yag sama dega perhtuga I, yatu jka I = Kf( x) dx l k dar (3..7), dperoleh x μ I = K exp dx. l k σ π σ R Msalka R x μ σ =, dferesalka kedua ruas, dr = σ dx Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

74 6 σ dr = dx. Dega melakuka trasformas megguaka pemsala R, I dapat dubah mejad I = K exp R σ dr l K μ σ π σ K R dr = exp π l K μ σ μ l K K σ R dr = exp π. Jad I dapat dhtug dega formula, ( l K ) =. (3..0) I KN μ σ Dega megguaka I da I pada (3..9) da (3..0), dperoleh la C, yatu C = I I ( μ l K ) μ + σ μ l K σ = +. exp N KN σ σ σ Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

75 63. Perhtuga C Harga ops Asa pada persamaa (3..3) dbag mejad baga yatu C da C. Berdasarka karakterstk C da C, dketahu bahwa baga C lebh mudah utuk dhtug da meghaslka solus yag eksak, sedagka C lebh sult dhtug da tdak meghaslka solus yag eksak, sehgga dperluka estmas la C agar atya dperoleh harga C. Utuk memperoleh estmas C aka dperkealka beberapa otas matrks, dmaa vektor dtada dega huruf yag dgarsbawah sedagka betuk matrks dtada dega huruf tebal. K 0 Nla = ( ) C E max a K,0 g p ( g ) dg dapat dhtug jka dstrbus dar [ A K G] dketahu. Dstrbus tersebut dperluka pada perhtuga ekspektas dar [ A K G] dstrbus [ A K G]. Namu karea tdak dketahu, maka dstrbus tersebut perlu daproksmas, da kemuda dcar taksra parameter-parameterya. Meurut Rtchke, logormal adalah aproksmas terbak utuk jumlah varabel radom logormal []. Curra megasumska bahwa logormal adalah aproksmas terbak pula utuk jumlah varabel radom logormal bersyarat terhadap rata-rata geometrk []. Setelah dketahu aproksmas dstrbus dar [ A K G], yag utuk selajutya [ A K G] Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

76 64 dotaska dega, kemuda aka dcar taksra parameterparameterya. Taksra mea da varas dapat dcar dega lagkah-lagkah sebaga berkut: A. Mecar taksra parameter utuk dstrbus A bersyarat. ) Ambl matrks D yag berukura ( + ) yag dtulska sebaga berkut, I D = T =, (3..) dega I adalah matrks dettas berukura, da I = 0 0 T adalah vektor dega betuk, T =,,...,. (3..) Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

77 65 ) Ambl vektor yag beraggotaka varabel radom sepert pada persamaa (3..6), dega =,,...,, T Msalka, (,,..., ) =. (3..3) + = D (3..4) dega matrks D pada (3..) da vektor, maka vektor = =. (3..5) = Dega megguaka persamaa (3..9), matrks + pada (3..5) dapat dparts mejad + == ==. (3..6)... Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

78 66 Jka adalah vektor dar varabel radom yag berdstrbus ormal sesua dega (3..7), maka vektor berdstrbus ormal da dapat dtuls sebaga berkut ~ N, = ( μ x C). (3..7) Msalka matrks kovaras dar dotaska dega C da ρ j c j =, σ σ j c maka j j j = σ σρ (3..8) dmaa =,,..., da j =,,...,. Dega megguaka (3..8), matrks kovaras C yag elemeelemeya dsmbolka dega c j dapat dtulska C = c j c c c c c c c c c = σ σσ ρ σσ ρ σ σρ σ σσρ =. (3..9) σσρ σσρ σ Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

79 67 3) Car matrks kovaras dar + Berdasarka lampra 6, dketahu bahwa ( ) + ~ N Dμ, C +, (3..30) dmaa matrks kovarasya adalah C = + DCD T c c c c j j= c c c c j j=. = c c c cj j= cj c j cj c j+ c j c j j= j= j= = = = (3..3) Persamaa (3..3) dapat dtulska kembal dalam betuk matrks parts, yatu C + C C = T T T C C C C = T T. (3..3) ( C) C 4) Car taksra parameter-parameter dar dstrbus bersyarat. Berdasarka lampra 6, dketahu bahwa bersyarat berdstrbus multvarat ormal atau dapat dotaska mejad Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

80 68 dmaa C [ ]~ N μ +, T C T C C C= C. T C T [ μ ] C, (3..33) Dega megguaka (3..), persamaa (3..33) dapat dtuls kembal mejad [l St ( ) l g] ~ N( μ, c ). (3..34) 5) Car taksra mea da varas dar A bersyarat. Taksra mea dar A bersyarat, dtuls sebaga berkut: μ = EA [ ] A = E S( t ) = =. = E [ S( t ) ] Dega megguaka (3..34), taksra mea dar A bersyarat, adalah μ A exp c = μ +, (3..35) = dega megguaka pemsala bahwa rata-rata geometrk sama dega strke prce []. Utuk taksra varas bersyarat A, dapat dcar dega Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

81 69 A var [ A ] σ = = var St ( ) = = var St ( ) l K = = var exp ( ) exp ( l( K ) ) = = = var exp( l( K )) = = = var [ exp( = l( K )) + exp( = l( K )) exp( = l( K )) ]. (3..36) Persamaa (3..36) dapat dtulska kembal mejad, ( exp( ),exp( ) ) A = ( j ) σ = j= Cov { E ( exp( )exp( )) [ exp( ) ] j E E exp( j) } = = j= { E exp( ) [ exp( ) ] j E E exp( j) }. = + = j= Karea varabel radom exp ( = l ) ( + j = ) K, exp ( j = l ) K da exp l K adalah berdstrbus logormal, maka varas bersyarat dar adalah Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

82 70 σ A = exp μ + μ j + ( c + c + c ) exp μ exp jj j + c μ j + c jj = j= (3..37) B. Mecar taksra mea da taksra varas dar dstrbus. Taksra mea dar, yatu : μ = E [ A K G] E [ A G] E[ K G] = = μ A K. (3..38) Taksra varasya adalah var [ A K G] σ = var [ AG ] var [ K G] = = σ A. (3..39) Mea bersyarat dar dstrbus logormal dega parameter β da γ adalah γ exp β + da varas bersyarat adalah ( ) ( exp γ ) exp ( β γ ) +. Dar (3..38) da (3..39), dapat dperoleh la β da γ, dega cara sebaga berkut: Berdasarka mea bersyarat, dperoleh persamaa, γ μ = exp β + Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

83 7 l γ μ = β + β + γ l μ = lμ = β + γ l β = μ γ l μ γ β = l γ β = μ. (3..40) Berdasarka varas bersyarat dar dstrbus logormal, dperoleh persamaa, ( exp ) exp ( ) ( ) σ = γ β + γ. Jka dubah dalam betuk l, aka mejad (( ) ( )) ( ) lσ = l exp γ exp β + γ ( ) ( ( )) ( ) lσ = l exp γ + l exp β + γ ( ) ( ) lσ = l exp γ + β + γ ( ) ( ) β γ lσ l exp γ + =. (3..4) Persamaa (3..4) dapat dtulska kembal mejad. σ exp( γ ) = μ Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

84 7 σ exp( γ ) = + μ σ l ( exp( γ )) = l + μ σ γ = l +. (3..4) μ Dar (3..40) da (3..4), dapat dsmpulka la dar β da γ, yatu da σ γ = l + μ γ β = l ( μ ). Utuk baga, telah dketahu aproksmas dstrbus beserta taksra-taksra parameterya (3..38) da (3..39). Namu dalam perhtuga, teryata sult utuk medapatka solus dar tegral C tersebut. Oleh karea tu, C aka dubah ke betuk tegras umerk [], yatu : m e e C = h BS ( h) p( K h) (3..43) = m K 0 ( ) C = E max a K,0 g p( g) dg Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

85 73 dmaa, h p() = lebar terval = pdf logormal dega parameter μ da σ e BS ( k ) = modfkas Black-Scholes k m = mh = bayakya parts dalam tegras umerk. e BS ( k ) pada (3..43) adalah modfkas Black-Scholes dega betuk ( β ) ( β ) l l e β + γ BS ( k) exp N k γ kn k = +. (3..44) γ γ Modfkas Black-Scholes adalah betuk ekspektas payoff dar ops Asa megguaka rata-rata artmatk ( ) E max A K,0 G yag dubah ke dalam perhtuga tegras umerk [], dmaa la β da γ megguaka (3..40) da (3..4). Setelah melakuka perhtuga C da C, harga ops call Asa megguaka rata-rata artmatk dapat dtetuka dega meghtug C = C C. Baga C dapat dhtug dega meyelesaka C = I I Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

86 74 dmaa I μ + σ μ l K σ = exp N + σ σ ( l K ) =. I KN μ σ Sedagka C dapat dhtug dega megguaka tegras umerk m e e C = h BS ( h) p( K h), = m e dega BS ( k ) adalah modfkas Black-Scholes dega betuk sebaga berkut ( β ) ( β ) l l e β + γ BS ( k) exp N k γ kn k = +. γ γ Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

87 BAB IV APLIKASI PENENTUAN HARGA OPSI ASIA Berkut merupaka aplkas dar bagamaa meetuka harga ops Asa megguaka rata-rata geometrk da megguaka rata-rata geometrk. 4. TUJUAN APLIKASI Pada bab, yag g dlakuka adalah meetuka harga ops Asa saham Telekomukas Idoesa Tbk yag dkeal dega ama TLKM da dperdagagka taggal ju 009. Pada har tersebut, harga pembukaa saham TLKM d Bursa Efek Idoesa adalah Rp. 7, Waktu jatuh tempo dar ops tersebut adalah tahu, sehgga taggal jatuh tempoya adalah ju 00, dmaa yag dambl adalah 40. Strke prce yag dguaka adalah Rp. 7,800.00, dega rsk- free rate yag berlaku adalah 7% 4. PENENTUAN HARGA OPSI ASIA MENGGUNAKAN RATA-RATA GEOMETRIK Dar data harga peutupa hara saham Telekomukas Idoesa Tbk (TLKM) da dperdagagka d Bursa Efek Idoesa, per taggal ju 75 Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

88 sampa ju 009, dperoleh volatltas perubaha harga aset per tahu % (lampra 8). Harga pembukaa hara saham TLKM pada taggal ju 009 yatu Rp. 7, dguaka sebaga harga saham awal atau ( S(0) ). Dega megguaka formula Black-Scholes pada persamaa (3..35) da (3..9) da software MATLAB 7, dperoleh harga Ops call Asa: c = Ops put Asa : p = , algortma program dapat dlhat pada lampra PENENTUAN HARGA OPSI ASIA MENGGUNAKAN RATA-RATA ARITMATIK Harga ops call Asa megguaka rata-rata artmatk dapat dperoleh jka dketahu la dar baga C da taksra la dar baga C. Dega dketahu ~ N( μx, σ x ) da ~ N( μ, σ ) la dar baga, aka dperoleh. Sela tu, taksra parameter tersebut juga bergua C Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

89 77 utuk memperoleh taksra parameter β da γ, yag dguaka utuk meghtug modfkas Black-Scholes pada baga umerk C. Dega megguaka software MATLAB 7, dperoleh taksra harga ops Asa megguaka rata-rata artmatk, yatu : c = , algortma dapat dlhat pada lampra 0. Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

90 BAB V PENUTUP 5. KESIMPULAN Dar pembahasa tugas akhr dapat dsmpulka bahwa harga ops Asa megguaka rata-rata geometrk dapat dtetuka dega megguaka formula Black-Scholes sebaga berkut: Ops call Asa: rt μt ( (0) ) C = e S e N d KN d Ops put Asa: dmaa, rt P = e ( KN d S(0) e N d d μt S(0) l + μ+ σ T K = σ T d = d σ T ) σ σ ( + )(+ ) = 6 + μ = σ + r σ 78 Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

91 79 Sedagka utuk meetuka harga ops call Asa megguaka ratarata artmatk tdak ddapat solus yag eksak, sehgga haya ddapat estmas dar harga ops Asa tersebut. Harga ops call Asa, C, dapat dtetuka dega meghtug dmaa, C = C C C = I I I μ + σ μ l K σ = exp N + σ σ ( l K ) =. I KN μ σ Utuk C dapat dhtug dega megguaka tegras umerk m e e C = h BS ( h) p( K h). = m Dega e BS ( k) adalah modfkas Black-Scholes dega betuk sebaga berkut dmaa la ( β ) ( β ) l l e β + γ BS ( k) exp N k = + γ kn k γ γ, σ γ = l + μ da ( γ β = l μ ). Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

92 80 5. SARAN Beberapa sara yag bermafaat gua medaklajut tugas akhr, yatu. Perluya dpelajar metode la dalam peetua harga ops Asa megguaka rata-rata artmatk, dataraya aproksmas Turbull & Wakema, aproksmas Levy, Mote Carlo Valuato, da metodemetode laya.. Perluya dpelajar peetua harga ops put Asa megguaka rata-rata artmatk. 3. Perluya dpelajar pembetuka put-call party utuk ops Asa megguaka rata-rata artmatk. Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

93 DAFTAR PUSTAKA [] Crag, Alle T & Hogg, Robert V Itroducto to Mathematcal Statstcs. Pretce-Hall Iteratoal, Ic. New Jersey: [] Curra, Mchael Valug Asa ad Portfolo Optos by Codtog o the Geometrc Prce, Joural of Maagemet Scece. The Isttute of Maagemet Scece, New York: [3] Fera, Ne Persamaa Dferesal Black-Scholes. Departeme Matematka, Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas Idoesa, Depok: v+93 hlm. [4] Hgham, Desmod J A Itrodusto to Facal Opto Valuato, Mathematcs, Stochastcs ad Computato. Cambrdge Uversty Press, Cambrdge: [5] Hull, Joh C Opto, Future, ad Other Dervatves 5th Edto. Pearso Educato, Ic, New Jersey: [6] Kellso, Stephe G. 99. The Theory of Iterest Secod Edto. Rchard D. Irw, Ic. Australa: -57. [7] Kema, A.G.Z & A.C.F. Vorst. 99. A Prcg Method for Optos Based o Average Asset Values, Joural of Bakg ad Face. Elsever Scece Publshers B.V, North-Hollad: Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

94 8 [8] Kwok, Yue-Kue Mathematcal Models of Facal Dervatves. Sprger Verlag Face, Sgapore. [9] McDoald, Robert L Dervatve Market d Edto. Pearso Educato, Ic., New Jersey. [0] Nelke, Israel The Hadbook of Exotc Opto:Istrumet, Aalyss, ad Aplcatos. Irw, Chcago: [] Recher, Alv C. 00. Methods of Multvarate Aalyss secod edto. A joh Wlley & Sos, Ic. Publcato. USA: [] Rtchke, Peter & L. Sakarasubramaa.99. The Valuato of Path Depedet Cotracts o the Average. Maagemet Scece. 0-3 [3] Taylor, Howard M & Karl Samuel A Itroducto To Stochastc Modelg 3rd Edto. Academc Press, USA [4] Tyara, Myra Gerak Brow Modfkas-Modfkas serta Aplkasya pada Peurua Model Black-Scholes. Departeme Matematka, Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas Idoesa, Depok: v+97 hlm. [5] Yathy, D Perhtuga Prem Opto Megguaka Model Bomal da Model Black-Scholes dega Aplkas pada Saham Telkom Idoesa TBK. Departeme Matematka, Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas Idoesa, Depok: v+ hlm. Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

95 LAMPIRAN Lampra : Persamaa (3..4) dapat dsederhaaka dega memsalka S = ( ) +, (.) dmaa S adalah deret blaga asl dar hgga. Deret tersebut dapat dtuls kembal mejad, S = + ( -) + ( ) (.) Jka deret (.) da (.) djumlahka, maka mejad S = ( ) + S = + ( -) + ( ) S = ( + ) + ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) S = ( +) + S ( + ) = 83 Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

96 Lampra : Persamaa (3..6) dapat dsederhaaka dega memsalka V = (.) dmaa V adalah deret blaga asl kuadrat dar hgga. Megguaka persamaa (.) pada lampra, yatu S = Maka raso dar persamaa (.) dega persamaa (.) adalah V S = V S = , (.) hasl (.) dapat uraka sesua deksya, yatu : V S = V S V S 3 3 V S = = = = = = V S + = 3 84 Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

97 85 Dega (.), ddapatka formula utuk, yatu V V V ( + ) = S 3 (+ ) ( + ) =. 3 Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

98 Lampra 3 : Pertdaksamaa Rata-rata Artmatk da Rata-rata Geometrk Msalka adalah varabel radom, dmaa =,,...,, maka A G dega = A = adalah rata-rata artmatk G = = adalah rata-rata geometrk Bukt : matematka. Pembukta aka dlakuka dega megguaka duks Tahap awal. x Utuk =, a = x = da ( ) g x = x = Jad dapat dsmpulka bahwa utuk =, peryataa bear. Tahap hpotess. Aggap pertdaksamaa rata-rata geometrk da rata-rata artmatk bear utuk k =, dmaa adalah blaga bulat o-egatf. 86 Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

99 87 Tahap duks. Aka dbuktka apakah pertdaksamaa juga berlaku utuk k = +. Bukt : Dketahu bahwa rata-rata artmatk adalah + a= x = = x+ x x + x + + ( ) a= x + x + + x + x. Ada beberapa kemugka kasus yag dapat terjad, o Jka la semua varabel sama atau x = x =... = x = x +. Rata-rata artmatkya mejad a ( + ) x + = = da rata-rata geometrkya adalah x. + g x + = = x. Jad jka la semua varabel sama, maka rata-rata artmatk aka berla sama dega rata-rata geometrk, da la varabelya aka sama dega la rata-rataya. Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

100 88 o Jka tdak semua varabel berla sama. Jka tdak semua varabel berla sama, maka la varabel bsa lebh besar atau lebh kecl dar la rata-rataya. Tapa meghlagka keumuma, msalka x x a> 0 atau a x + > 0, > a atau x+ < a, sehgga dperoleh ( x a)( a x + ) >0. (3.) Rata-rata artmatk dapat dtulska + a= x = = x+ x x + x + + ( ) a + = x + x x + x + a = x + x + + x + x + x a... + x ' Sekarag jka jumlah varabel yag drata-rataka berjumlah, yatu x, x,..., x, x', rata-rata artmatkya dapat dtulska sebaga berkut, a = x+ x + + x + x... ' dega, x ' = x + x a x a> 0 (3.) + Pada tahap hpotess, telah dbearka pertdaksamaa utuk k =, sehgga ddapat a + = a a x... ' x x a. (3.3) Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

101 89 Dar persamaa (3.) yatu ( x a)( a x + ) >0 ( xa xx a + ax ) > ( x + x a) a x x > xa xx + ' > 0 x' > xx +. (3.4) Dega mesubsttuska persamaa (3.3) ke persamaa (3.4), dperoleh a a a x x x + =... ' a atau > xx... x x + x + x x + x + > + + x x... x x + Terbukt pertdaksamaa rata-rata artmatk da rata-rata geometrk berlaku utuk k = +. Jad terbukt bahwa la rata-rata artmatk selalu lebh besar dar la rata-rata geometrk. Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

102 Lampra 4 : Mea da Varas Bersyarat dar Dstrbus Normal Y ~ N ( μ, σ ), maka Jka dketahu [ ] σ exp ( Y) ~ LN exp μ+, ( exp( σ ) ) exp( μ+ σ ). Bukt : Mea bersyarat. W = Y ~ N ( μ, σ ), pdf dar dstrbus ormal dtulska Msal [ ] sebaga berkut, w μ σ f( w) e. (4.) σ π Utuk medapatka mea dar varabel megguaka defs ekspektas, w e, dapat dcar dega w μ σ w w E( e ) = e e dz σ π [( w μ ) σ w ] w σ E( e ) = e dw. (4.) σ π Msal q= ( w μ) σ w, maka q dapat dubah mejad q= ( w μ) σ w 90 Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

103 9 = w + μ w( μ+ σ ) = w + ( μ + σ ) w( μ + σ ) + μ ( μ+ σ ) ( ) 4 = w ( μ + σ ) σ μσ. (4.3) Kemuda substtuska (4.3) ke persamaa (4.), sehgga dperoleh 4 (( ( μ σ )) σ μσ ) w Ee ( ) = exp w + dw σ π σ ( w ( )) exp σ π σ = exp μ+ σ μ+ σ dw = exp μ + σ (4.4) Varas beryarat. W = Y ~ N( μ, σ ), pdf dar dstrbus ormal dtulska Msal [ ] sebaga berkut, w μ σ f( w) e. σ π Utuk medapatka varas dar varabel megguaka defs varas, ( ) w w w Var e = E ( e ) E e w ( E e ) w z e, dapat dcar dega = E e (4.5) I II Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

104 9 Varas dar w e aka dperoleh dega mecar la I da II. Pertama adalah meghtug ekspektas baga I, yatu sebaga berkut: w w μ I= e exp σ π σ = exp w ( w μ) σ π σ dw ( ) dw 4 wσ ( w μ) = exp dw σ π σ = exp ( ) 4 σ π σ ( w μ wσ ) dw (4.6) Msal p w w = ( μ) 4 σ, maka dapat dubah mejad p p= ( w μ) 4wσ = w + w μ μ 4wσ = w + μ w( μ+ σ ) ( μ σ ) w( μ σ ) μ ( μ σ ) = w ( ( )) 4 = w μ + σ 4σ 4μσ. (4.7) Kemuda substtuska (4.7) ke persamaa (4.6), sehgga dperoleh 4 (( w ( μ σ )) σ μσ ) I= exp σ π σ ( ) = exp + exp + σ π σ ( μ σ ) w ( μ σ ) ( μ σ ) dw dw = exp +. (4.8) Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

105 93 Selajutya aka dhtug la ekspekstas baga II. Dketahu ( E w e ) II =, berdasarka hasl yag ddapat pada (4.4), dperoleh σ II = exp μ + ( σ ) = exp μ +. (4.9) Dar hasl I pada (4.8) da hasl II pada (4.9), dperoleh varas dar adalah ( ) w w w Var e = E e E e ( μ σ ) ( μ ) = exp + exp +σ ( μ σ σ ) ( μ σ ) = exp + + exp + ( μ σ ) ( σ ) ( μ σ ) = exp + exp exp + ( ) ( μ σ ) ( σ ) = exp + exp (4.0) w e Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

106 Lampra 5 : Mea da Varas dar Varabel Radom =lg Jka dketahu = l S( t ) sepert persamaa (3..6), dmaa N (3..7), maka = l g (3..8) adalah berdstrbus ormal ~ ( μ, σ ) dega parameter meaya adalah μ = μ, varasya adalah = σ = σσ ρ j j = j= Bukt: Meaya adalah Bukt : μ = μ = μ = E [ ] = E = = E = = E [ ] = ( E[ ] E[ ]... E[ ]) ( μ μ... μ ) = Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

107 95 = μ = Varasya adalah σ = σσ ρ j j = j= Bukt : Var = [ ] +, Var Cov j = =, j= j = σ σ ρ j j = j= Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

108 Lampra 6 : Dstrbus-Dstrbus Petg Pada lampra aka dberka pejelasa sgkat tetag dstrbusdstrbus yag bayak dguaka dalam tugas akhr. Dataraya adalah dstrbus ormal, dstrbus bvarate ormal, dstrbus multvarate ormal da dstrbus logormal.. Dstrbus Normal Jka suatu varabel radom parameter meaya adalah adalah berdstrbus ormal dega μ da parameter varasya adalah σ, maka dapat dotaska ( ) ~ N μ, σ. Probablty desty fucto (pdf) dar, adalah x μ σ f( x) = e, dega < x <. σ π Jka ~ (, ) N μ σ, maka varabel radom Z x μ = ~ N σ ( 0,) Cumulatve dstrbuto fucto (cdf) ormal stadar dar varabel, adalah x u N( x) == e du π 96 Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

109 97. Dstrbus Bvarate Normal Jka ada varabel radom da Y yag masg-masg berdstrbus ormal yatu ~ N( μ, σ ) da Y ~ N( μ, σ ) dega ρ adalah korelas atara varabel da Y, maka pdf dar dstrbus bvarate ormal adalah f ( xy, ) = πσ σ ρ e q dega dmaa q x μ x μ y μ y μ, = ρ + ρ σ σ σ σ < x <, < y <, σ > 0, σ > 0, < ρ <. 3. Dstrbus Multvarate Normal. T Sebuah vektor = (,,..., ) dkataka berdstrbus multvarat ormal, dega pdf sbb: ( ) ( π ) ( ) ( μ ) μ f, = exp μ T Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

110 98 Ada beberapa teorema yag berlaku pada dstrbus multvarat ormal, dataraya Teorema Jka ~ N(, ) da Y = A, dmaa A adalah matrks μ berukura k. Maka vektor Y = ( Y, Y,..., Y k ) aka berdstrbus T multvarat ormal dega mea μy = Aμ da matrks kovarasya adalah = A A T. Y Bukt: Msal = ~ N, ( μ ) da t t t, t = maka mgf utuk adalah Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

111 99 ( ) M ( t) = M t, t,..., t x x T = E exp( t ) ( ) = E exp t+ t t T T = exp t μ + t t Jka Y = A, maka T M () = exp( ) Y t E t Y T = E exp( t A ), T msalka s= A t s = t A, T M () = exp( ) Y t E s T T T T = exp s μ + s s = exp t Aμ + t A A T T T t. Karea MY () t adalah mgf dar Y = A, sehgga dapat dsmpulka, T ( ) Y = A ~ N Aμ, A A. Teorema. Jka da Y adalah varabel radom yag depede, maka Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

112 00 Cov(, Y ) = 0. Bukt : Dketahu ( ) [ ] Cov, Y = E Y μ μ Y. Jka da Y adalah varabel radom yag depede, maka [ Y ] E[ ] E[ Y ] E =. Sehgga dperoleh ( ) [ ] Cov, Y = E Y μ μ Y = E[ ] E[ Y ] μ μ Y = μ μ μ μ = 0 Y Y. Jka μ Σ Σ ~ N, Y μ Σ, maka da Y Y Σ depede Σ = 0. Bukt : - Matrks kovaras adalah Σ Σ = 0., berdasarka teorema o. maka - Jka Σ =, maka 0 da Y depede. mgf dar dstrbus bvarate ormal adalah Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

113 0 M t t t t karea T T T t t + t t + t t T T (, ) = exp μ + μy + Σ = 0 M t t t t, maka mgf-ya aka berubah mejad T T (, ) = exp μ + μy + M(t,t )=M(t,0)M(0,t ). T T t t t t + Sehgga dapat dsmpulka bahwa jka Σ = 0, maka da Y depede. 3. Berdasarka o., jka da Y depede dega dstrbus masg-masg adalah N( μ, ) Σ da ( μ Y, ) N Σ, maka μ Σ 0 ~ N, Y μ Y 0 Σ. Teorema 3 Jka Z = ~ Y N ( μ, ), dmaa μ μ = da μy, Y = Y YY maka dstrbus bersyarat dar dberka Y adalah ormal dega meaya adalah Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

114 0 [ ] = μ + Y YY ( Y μ Y) E Y da matrks kovarasya adalah Bukt: Y YY Y. Msalka I Y YY A =, 0 I maka μ I μ Y YY A = Y μ Y 0 I Y μy ( Y μ ) μ Y YY Y =. Y μy Berdasarka teorema, maka dperoleh dmaa, ( Y μ ) μ μ Y YY Y T A = ~ N ( 0, A A ) *) Y μy Y μy I I 0 T Y YY Y A A = 0 I Y YY Y YY I T Y YY Y 0 =. 0 YY Berdasarka teorema, dapat dkataka bahwa ( Y μ ) μ da Y μ depede karea mempuya Y YY Y Y Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

115 03 kovaras 0. Oleh karea tu, dstrbus μ Y YY ( Y μy) bersyarat Y μ Y adalah sama dega dstrbus ( Y μ ) μ. Y YY Y Berdasarka persamaa *), dketahu bahwa ( ) ~ (, ) μ Y YY Y μy N 0 Σ Y YY ΣY, ( μ ( μ ) Y YY Y Y YY Y ) ~ N + Y, Σ Σ. Sehgga dperoleh dstrbus bersyarat Y, ( ) ~ (, ) μ Y μ Y N 0 Σ Σ Y YY Y Y YY Y ( + Y YY Y Σ Y YY Σ Y ) [ Y] N μ ( Y μ ) ~, 4. Dstrbus Logormal. Jka dar suatu varabel radom yag berdstrbus Normal, dega parameter meaya adalah μ da parameter varasya adalah σ, maka x Y = e ddefska sebaga suatu varabel radom yag berdstrbus logormal. Pdf dar Y dyataka sebaga berkut, l y μ f( y) = exp, y 0. yσ π σ Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

116 Lampra 7 : Harga peutupa hara saham Telekomukas Idoesa Tbk (TLKM) d Bursa Efek Idoesa per taggal ju 008 sampa ju 009. Har 8,00.00 St ( ) St ( ) y = l St ( ) St ( ) St ( ) 7, , , , , , , , , , E-05 7, , , E , , , E , , , , , , y 04 Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

117 05 4 7, , , E , , , , , , , E , , E , , , E , , , , , , E , , , , , , , , , E , , , E-05 Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

118 , , , , , E , E , , , E , , , E , E , , , , , , , , , , , , , , , E , E , E , , , Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

119 , , , , , , E , , , , , , , , , , E , , E , E , , , , , , E , , , , , , E-05 5, , Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

120 08 3 5, , E , , , , , , , , , , , E , , , , E , , , , , , , , , , , , , E , , , Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

121 , E , , E , , , , , , , E , , , E , , , , E , , , , , , , , E , , E , , , E , , E , Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

122 0 89 6, , , E , , , , E , , , , , , , , , , , , E , , , , , , E , , , , , , , , Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

123 7, , , , , , , , , E , , , , , E , E , , , , Dega = 40, dperoleh = y = = y = Volatltas per har = σ = y y = ( ) = = Volatltas per tahu = volatltas per har Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

124 = = = % Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

125 Lampra 8 : Algortma Peetua Harga Ops Asa Megguaka Ratarata Geometrk dega Software MATLAB 7 8. Algortma Peetua Harga Ops Asa Megguaka Rata-rata Geometrk. clc; clear; % prcg asa opto megguaka rata-rata geometrk % %%% prcg dega megguaka Black-Scholes formula %%% % salsas fugs fucto (C P)= blackscholesgeo(s0, K, r, sgma,, T) % kalkulas varcap varcap = (sgma^*(+)*(*+))/(6*^); % kalkulas mucap mucap = 0.5*varcap+(r-0.5*sgma^)*((+)/(*)); % kalkulas dcap dcap = (log(s0/k)+(mucap+0.5*varcap)*t) /(sqrt(varcap)*sqrt(t)); % kalkulas dcap dcap = dcap - sqrt(varcap)*sqrt(t); % kalkulas harga asa call opto 3 Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

126 4 C = exp(- r*t)*(s0*exp(mucap*t)*cdf('ormal',dcap,0,)- K*cdf('ormal',dcap,0,)); % kalkulas harga asa put opto P = exp(-r*t)*(k*cdf('ormal',-dcap,0,)- s0*exp(mucap*t)*cdf('ormal',-dcap,0,)); ed 8. Algortma Peetua Harga Ops Asa Megguaka Rata-rata Artmatk. clc;close all;clear; %salsas fugs s0=7700; k=7800; r=0.07; T=; =00; sgma=0.5; m=00; h=k/m; % kalkulas MuCap & SgmaCap sgmacap=sqrt(sgma^*(+)*(*+)/(6*^)); mucap=sgmacap^/+(r-0.5*sgma^)*(+)/*; % geerate x~n(mux,sgmax^) % s()=s0 & s()=s(+) s=zeros(,+);dt=t/;s()=s0; for =: s(+)=s()*exp((r- 0.5*sgma^)*dt+sgma*sqrt(dt)*rad); ed % kalkulas g, salsas product arthmatc Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

127 5 g=; for =:+ g=g*s(); ed g=g^(/); % Meghtug x=x x=zeros(,); for =:+ x(-)=log(s()); ed % Meghtug mu_ & sgmax for =: mu_()=log(s())+(r-0.5*sgma^)*dt; sgma_()=sqrt(sgma^*dt); ed % kalkulas rhoj, dega pertama-tama megeerate S,j,j=,..., SS=zeros(+,);SS(,:)=s0;SS(:,)=s'; % Ukura SS buka +*+ kr S +, tap dgeerate x for =: for j=: SS(+,j)=SS()*exp((r- 0.5*sgma^)*dt+sgma*sqrt(dt)*rad); ed ed % kalkulas rhoj rho=corr(ss); % kalkulas retur l(s+/s) ss=zeros(,); for =: Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

128 6 for j=: ss(,j)=ss(j+,)./ss(j,); ss(,j)=log(ss(,j)); ed ed % kalkulas mux mux=mea(mu_); % kalkulas sgmax sum=0; for =: for j=: sum=sum+sgma_()*sgma_(j)*rho(,j); ed ed sgmax=sqrt(sum/^); % kalkulas sgmax for =: sumproduct=0; for j=: sumproduct=sumproduct+sgma_(j)*rho(,j); ed sgmax()=sgma_()/*sumproduct; ed % C matrx c_matrx=zeros(,); for =: for j=: c_matrx(,j)=sgma_()*sgma_(j)*rho(,j); ed ed Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

129 7 vec=oes(,)*(/); ccap=c_matrx- (c_matrx*vec*vec'*c_matrx')/(vec'*c_matrx*vec); for =: mu_cap()=mu_()+(sgmax()/sgmax^)*(mux);%=log(k) ed %kalkulas sgmacap_a sum=0; for =: for j=: sum=sum+exp(mu_cap()+mu_cap(j)+0.5*(c_matrx(,)+c_ matrx(j,j)+*c_matrx(,j)))- exp(mu_cap()+0.5*c_matrx(,))*exp(mu_(j)+0.5*c_mat rx(j,j)); ed ed sum=sqrt(sum/^);sgmacap_a=sum; %kalkulas mucap_a sum=0; for =: sum=sum+exp(mu_cap()+c_matrx(,)*0.5); ed mucap_a=sum/; sgmacap_e=sgmacap_a; mucap_e=mucap_a-k; gamma=sqrt(log(sgmacap_e^/mucap_e^+)); beta=log(mucap_e)-gamma^*0.5; %kalkulas c c=0; for =:m Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

130 8 c=c+bse(*h,beta,gamma)*logpdf(k-*h,0,); cc()=c; ed c=c*h; I=k*ormcdf((mux-log(k))/sgmax,0,); %kalkulas I sum=0; for =: sum=sum+exp(mu_()+sgma_()^*0.5)*ormcdf(((muxlog(k))/sgmax)+sgmax()/sgmax,0,); ed I=sum/; c=i+i; C=c+c Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

131 Lampra 9 : Tabel Notas, Tabel Persamaa da Tabel dstrbus 9. Tabel Notas No Notas Art Notas. C harga ops call. P harga ops put 3. St () harga saham pada waktu t 4. S( T ) harga saham pada waktu t = T 5. S( t ) harga saham pada waktu t 6. S ( 0 ) harga saham pada waktu t = 0 7. K strke prce 8. bayakya harga aset yag drata-rataka 9. t waktu ke-, dmaa = 0,,,... 0 T waktu jatuh tempo Δ t Perode waktu G rata-rata geometrk harga saham 3 A rata-rata artmatk harga saham 4 W() t 5 B ( t ) 6 Z() t gerak Brow gerak Brow stadar gerak Brow geometrk 9 Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

132 0 7 μ Tgkat pegembala harga saham 8 σ Volatltas dar harga saham 9 r Tgkat suku buga bebas resko atau rsk-free rate 0 N ( 0,) otas utuk dstrbus ormal stadar N[ x ] f ( x ) 3 p( g ) 4 ρ j cdf ormal stadar utuk varabel x pdf dar varabel x pdf dar varabel G korelas atara (pegembala) mbal hasl dar harga saham ke- da ke- j 5 E Taksra ekspektas 6 *) h lebar terval 7 *) e BS ( k ) Modfkas Black-Scholes 8 *) m bayakya parts dalam tegras umerk *) dguaka pada perhtuga tegras umerk dalam peetua harga ops call Asa megguaka rata-rata artmatk 9 vektor 30 T vektor traspose 3 D matrks D Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

133 T 3 D matrks traspose D 33 C matrks kovaras dar dstrbus vektor 34 C + matrks kovaras dar dstrbus + 35 C matrks kovaras dar dstrbus vektor bersyarat 36 ~ ( x, x ) N μ σ Notas utuk varabel berdstrbus ormal dega 37 ~ ( y, y ) parameter μ x da σ x Y LN μ σ Notas utuk varabel Y berdstrbus logormal dega parameter μ y da σ y Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

134 9. Daftar Persamaa = l S( t ) = l g 3 d S(0) σ l + r + T K = σ T 4 5 d d S(0) σ l + r T K = σ T S(0) l + μ+ σ T K = σ T 6 + μ = σ + r σ 7 σ ( + )(+ ) σ = 6 8 l (0) b S T μ σ H = b σ T 9 b l S(0) + μ+ σ T v = σ T 0 l l (0) g S μ σ T u = σ T σ σ σ l K μ Q = exp l K μ σ σ σ σ μ l K σ G = exp + σ σ π σ 3 x μ σ q = σ 4 l K R μ = σ 5 = [ a K g] 6 μ a exp c = μ + = 7 σ a = exp μ μ j ( c c c ) jj j = j= exp μ c exp μ j c + + jj 8 μ = μa K 9 σ = σ a 0 γ β = l ( μ ) σ γ = l + μ Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

135 3 = 3 T =,,..., 4 + = D I D = = T I = σ σσ ρ σσ ρ σ σρ σ σσρ C = σσρ σσρ σ T 8 C DCD + = 9 C C C= C T C T T Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

136 9.3 Daftar Dstrbus 4 Dstrbus ormal stadar Z ~ NIID (0,). Z ~ NIID (0,) Dstrbus logartma harga saham l St ( ) ~ N l S(0) + r σ t, σ t 3 Dstrbus l St ( ) 4 Dstrbus l g = ~ N( μ, σ ) = ~ N( μ, σ ) ~ N l S( t ) + r σ Δt, σ Δt 5 Dstrbus bersyarat ~ l (0) N S μ σ T, + σ T ( ) [ ] ~ N μ, σ x N σ x = ~ μ + [ μ ], σ σ σ [ ] 6 Dstrbus vektor ~ N( μ, C ) σ 7 Dstrbus vektor T + + ~ N( Dμ, DCD ) Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.

137 ( ) 8 Dstrbus vektor bersyarat [ ]~ N μ, C 5 9 Dstrbus ~ LN μ, C [ ]~, N μ + x μ T C C ( σ ) ~ LN ( μ a K, σ a ) Peetua harga..., Khuryat, FMIPA UI, 009.