RANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:

INTEGRAL RANGKUMAN MATERI A. ANTIDERIVATIF DAN INTEGRAL TAK TENTU Jik kit mengmil uku dri temptny mk kit dpt mengemliknny lgi ke tempt semul. Opersi yng kedu menghpus opersi yng pertm. Kit ktkn hw du opersi terseut dlh opersi likn (invers). Dlm mtemtik nyk sekli ditemukn psngn opersi invers, yitu penmhn dn pengurngn, perklin dn pemgin, pemngktn dn penrikn kr, sert penrikn logritm dn penghitungn logritm. Sekrng kit kn mengkji opersi invers dri derivtif yitu ntiderivtif... Definisi F() dinmkn ntiderivtif dri sutu fungsi f() dlm intervl [, ] jik untuk setip titik dlm intervl terseut erlku:.. Contoh: F ' f. Misl dierikn fungsi f() = 5. Dri definisi di ts mk F() = ', kren erlku: 5 F '.. pd (, ). Perhtikn hw jwn terseut ternyt ukn stu-stuny jwn yng enr, kren erlku F() = + 7 mupun F() = 7 jug jwn yng enr, sehingg untuk contoh ini jwn umumny dlh F() = + c. Pengerjn f() sehingg memperoleh F() + c diseut mengintegrlkn f() ke dengn notsi: f ( ) d = F() + c. Integrl terseut dinmkn integrl tk tentu, kren hsilny msih memut c (sutu konstnt). Dlm hl ini: ) f() diseut segi integrn. ) F() diseut segi elemen integrsi. c) c diseut segi konstnt integrsi.

Secr umum, nti derivtive dpt kit nytkn segi erikut: f ()d f() C B. Rumus-rumus Dsr Berikut dlh turn-turn yng d pd integrl tk tentu:.. n n d c, n n d d ln c. d c. sin d cos c m n d m n c m 5. sin cos. cos d sin c m n d m n c m 7. cos sin 8. tn d ln cos c 9. cot d ln sin c. sec d ln sec tn c.... d sec d tn c cos d cosec d cot c sin m m sin cos d sin c m m m cos sin d cos c m 5. sec tn d sec c. csc cot d csc c 7. e d e c 8. d c ln 9. rctn c d. rctn c d. ln c d. rcsin c.. d rcsin d rcsec c d 5. ln c c

Contoh: 5 )... Perhtikn hw: n d n c, syrt n - n Dengn demikin, 5 d 5 c c 5 ) d... n n Perhtikn hw: d c, syrt n - n Dengn demikin, d c Ltihn:.......... 5.... 5.... 7.... 8. 5 9... 9. 5................... 5. 5... 7 8 9 5....

C. Integrl Sustitusi Slh stu metode yng digunkn untuk menyelesikn integrl dlh metode sustitusi, yitu segi erikut: n n f() f '() f() d c n Contoh: ) 5 d... d 5 d 5 Perhtikn hw: d d Dri sini kn kit peroleh: 5 d 5 5 c 5 d 5 d ) 5 5 c 5 5 d... 5 d... Sustitusi du d 9 Sehingg diperoleh: U 5 9 d du 5 d U du 9 Cr lin: Perhtikn hw: U c 9 U 5 c 5 5 5 c 5 Dri sini kn kit peroleh: d 5 d 5 9 d d 9.

5 5 d 5 d Ltihn:.. d 5 9 9. 5 c 9 5 5 c 5 d... 5 d 5 d.... 5 5 d... 8 d.... 5 5 d... 5.. 8 d... 7. 8. d... d... 9. 5 5 d.... 5 5 d... 9 7 D. Integrl Prsil Ad entuk integrl yng tidk mudh untuk diselesikn dengn metode sustitusi, yitu entuk u dv. Untuk menyelesikn entuk integrl seperti ini, kit menggunkn metode prsil. Seelumny kit mislkn y = uv. Perhtikn hw: y uv dy duv dv du u v d d d d duv u dv v du Jik kedu rus kit integrlkn, mk kn kit peroleh hl seperti erikut:

d uv u dv v du uv u dv v du uv v du u dv Dengn demikin, kit peroleh turn untuk menyelesikn integrl prsil, yitu segi erikut: u dv uv v du Contoh: ) sin d... Secr singkt penyelesin integrl terseut dlh segi erikut: sin d sin d sin d d cos cos cos d cos sin c cos sin c Dengn demikin diperoleh: sin d cos sin c. ) cos d. misl : U = du = d Dengn rumus: UdV = UV cos d =.(sin ) dn dv = cos d dn V = cos d VdU V = sin sin d =.sin + cos+c Cr lin:

cos sin - cos + _ Turunkn Integrlkn Mk diperoleh: Ltihn:. cos d =.sin + cos + c sin 7 d.... cos d.... sin d.... sin d... 5. sin- d.... sin + d... 7. cos d... 5 8. cos- d... 9. 5 cos- d.... e + d.... e d... -. e d.... e d... 5. e d... 5-5. e d... E. Integrl Tertentu Integrl tertentu ered dengn integrl tk tentu. Integrl tertentu memiliki ts untuk vrile integrsi, isny dinotsikn dengn: f d

Teorem: Jik f dlh fungsi kontinu pd intervl tertutup [,], mk erlku f d F F F dengn F dlh ntiderivtif dri f, yitu F () = f(). Sift-sift integrl tertentu: ) f d ) f d f d c c c) f d f d f d, c d) k f d k f d dengn k dlh konstnt. f g d f d g d e) Contoh: ) d... d ) - d... - d - d..

Apliksi dri integrl tertentu ini eerp di ntrny untuk menghitung lus derh di ntr du kurv dn menghitung volume end putr. Kedu hl terseut kn dihs di sini. 5.. Lus Derh Secr umum, lngkh-lngkh untuk menghitung lus derh di ntr du kurv y dn y yitu segi erikut: ) Memut skets kurv y dn y yng meliputi selng [,] yng diinginkn. ) Memperhtikn selng tempt kurv verd, pkh di ts sumu tu di wh sumu y. c) Menghitung lus derh di ts dn di wh sumu dengn menggunkn integrl tertentu dengn cr terpish. Jik d yng hsilny negtif mk hrus dimutlkkn gr mendptkn hsil yng positif, kren tidk mungkin lus hsilny negtif. d) Menjumlhkn hsil keduny sehingg didptkn lus totl. Perhtikn kedu gmr di wh ini! L y y d ts wh L y y d d L dy c d c knn kiri L dy

Contoh:. Lus derh yng ditsi oleh kurv y sin, y cos dn sumu untuk dlh. Lus sin d cos d Lus derh yng ditsi oleh prol dn sumu seperti gmr dlh. Ordint punck prol dlh Dengn menggunkn rumus cept diperoleh:

L Lus 8 8 9 9 8. Lus derh yng ditsi kurv y 5 dn sumu dlh Dengn menggunkn rumus cept: D D Lus Syrt:. Jik kedu kurv dipotongkn kn menghsilkn persmn kudrt. Bts integrl dlh titik potong Persmn: y 5 D c ( )( 5) Sehingg lusny dlh: L. Lus derh yng ditsi oleh kurv y sin, sumu dn gris dlh dn gris

L sind sind cos cos cos. cos. cos. cos. cos cos cos cos.... 5. Lus yng ditsi gris y dn kurv y dpt dinytkn segi integrl tertentu, yitu Kunci: d Lus derh yng dirsir dlh: Lus d d ( ) d

5.. Volume Bend Putr Perhtikn kedu hl erikut:. Jik y dn y du fungsi kontinu pd p q, mk volume end putr yng ditsi oleh y dn y il diputr terhdp sumu. q V (y ) (y ) d p q V (y juh ) (y dekt ) d p. Jik dn du fungsi kontinu pd r s, mk volume end putr yng ditsi oleh dn terhdp sumu y s V ( ) ( ) dy r s V ( juh ) ( dekt ) dy r Contoh:. Derh D ditsi oleh kurv y sin, dn sumu. Jik derh D diputr terhdp sumu, mk volume end putr yng terjdi dlh Volume end putr:

v sin d cos d sin Jdi, volume end putr yng terjdi dlh stun volume.. Derh idng dtr yng ditsi y, sumu, gris = dn gris = diputr mengelilingi sumu y. Volume end putr yng terentuk dlh Kunci: 8 v (y ) dy dy y y 5y 8 5 8 Jdi, volume end putr yng terentuk dlh 8 stun volume. Ltihn: ) Hitunglh lus derh yng ditsi oleh kurv y =, gris =, = dn sis! ) Hitunglh lus derh yng ditsi oleh kurv y = (-), =, = dn sis! ) Hitunglh lus derh yng ditsi oleh du kurv y = + dn y = 5! ) Lus derh yng ditsi oleh kurv y =, sumu y, sumu dn gris = dlh 5) Lus derh yng ditsi oleh kurv y = +, sumu y dn sumu dlh ) Lus derh yng ditsi oleh kurv y = dn gris y = dlh

7) Lus derh yng ditsi oleh kurv y = dn gris y = + dlh 8) Dierikn f() = ( ) - dn g() = -f(). Lus derh yng ditsi oleh kurv f dn g dlh 9) Lus derh yng ditsi oleh prol y = di kudrn I, gris y = dn gris y = dlh ) Lus derh yng ditsi oleh kurv y =, sumu, gris = - dn = dlh ) Derh yng ditsi oleh kurv y =, y = dn = diputr mengelilingi sumu. Volume end putr yng terjdi dlh ) Volume end putr yng terjdi jik derh pd kudrn pertm ditsi oleh kurv y, sumu, sumu y dn diputr mengelilingi sumu dlh ) Volume end putr yng terjdi jik derh pd kudrn pertm ditsi oleh kurv y dn sumu dri = - smpi =, diputr mengelilingi sumu dlh ) Volume end putr yng terjdi jik derh pd kudrn pertm ditsi oleh kurv y 9 dn y = 5 diputr mengelilingi sumu y dlh 5) Volume end putr yng terjdi jik derh pd kudrn pertm ditsi oleh kurv y, =, sumu dn sumu y diputr mengelilingi sumu dlh

SOAL DAN PEMBAHASAN TAMBAHAN. cos sin d Dengn menggunkn rumus cept: n n U U d c U' n Syrt: k U' Sehingg: cos sin d cos sin c cos sin c. Jik df() d Dikethui: df() d Mk: dn f() d c Akn dicri nili c: f().. c c c c 5 c Sehingg diperoleh persmn: f(), mk f()d

f() 5 f()d 5 5 5. Turunn pertm dri f() dlh Dikethui: f () Mk: f() c Jik f() =5, mk: 5 c c Sehingg diperoleh persmn: f() Nili f() dlh: f() 7, jik f() =5, mk f() =. Jik p nykny fktor prim dri dn q kr positif persmn 5, mk p q (5 )d Dikethui: fctor prim dri :,, 7 p = Akr positif dri persmn Jdi: 5 dlh = q =

p (5 )d 5 q 7 5 5. Jik f(), Dikethui: f() f()d dn f()d 5, mk + = Jik d, mk:...(i) Jik d 5, mk:...(ii) Dri (i) dn (ii) diperoleh: 5 Sehingg + =. Grdien gris singgung sutu kurv di titik (,y) sm dengn - 5. Jik kurv ini mellui titik (,7), mk kurv terseut memotong sumu y di titik Dikethui grdien = 5 dn mellui titik (, 7), mk persmn kurvny: f() 5 d 5 c f() c 7 c Jdi persmn grisny dlh f() 5 Persmn kurv memotong sumu y f() () 5()

7. Untuk intervl, nili 8 8 tn tn tn...d... tn tn tn...d.. Persmn merupkn deret geometri tk hingg, mk: S r tn sec cos Jdi: tn tn tn...d cos d sin k cos d 8. Derh D ditsi oleh grfik, fungsi y, gris =, gris = dn sumu. Jik gris = c memotong derh D sehingg menjdi derh D dn D yng lusny sm, mk c = d d p p p p p p 9. Jik cos d c,c, mk c sin d c

cos d c c cos d c cos d c c c Sehingg sin d cos d c c cos d c c ( c). Lus derh yng dirsir dlh sin sin sin sin Lus derh yng dirsir dlh:

L sind cos cos. cos. cos cos. cos cos ()

SOAL LATIHAN TAMBAHAN. Hsil dri d.... Hsil dri d... 5. Hsil dri 8 d... 5. Hsil dri 5. Hsil dri 9 d... 8 d.... Hsil dri 7. Hsil dri 8 d... d... 8. Hsil dri d... 9. Hsil dri d.... Hsil dri 5 cos sin d dlh.. Lus derh yng ditsi oleh kurv. cos sin d. Jik d, d f() 5, sumu, = dn = dlh. dn, >, mk nili. Grdien gris singgung fungsi y = f() di setip titik P(,y) sm dengn du kli sis titik P terseut. Jik grfik fungsi mellui (,), mk f() = 5. Lus derh yng ditsi kurv. Jik D dlh derh yng ditsi oleh prol y, sumu, gris = dn = dlh y sert gris yng mellui (,) dn punck prol, mk lus D dlh 7. Lus derh yng ditsi oleh kurv fungsi y cos dn turunnny pd intervl dlh 8. Jik df() d dn f(), mk f()d df() 9. Dikethui. Jik f() = 9, mk f() = d

. Turunn pertm fungsi f() dlh. Jik f() = 5, mk f() =. Jik f(), f()d dn f()d 5 mk + = 9. Dikethui f() d. Jik f(), mk kurv itu memotong sumu pd. d.... Jik p nykny fktor prim dri dn q kr positif persmn 5 =, mk p 5 d =... q 5. Volume end putr il derh dits oleh kurv y = - + dn y = - + diputr mengelilingi sumu y dlh. Volume end putr yng terjdi jik derh ntr kurv y = + dn y = + diputr mengelilingi sumu dlh 7. Volum end putr yng terjdi jik derh yng ditsi oleh kurv y = +, = dn = diputr mengelilingi sumu X seperti pd gmr di wh dlh... Y y = + X 8. Lus derh ntr kurv y = + + 7 dn y = dlh... 9. n d n c, dengn c ilngn tetp, erlku... n. Lus derh ntr kurv y = ( + ), gris y =, gris = - dn = dpt dinytkn segi.... Lus derh yng ditsi oleh kurv y =, sumu y, sumu dn gris = dlh. Lus derh yng ditsi oleh kurv y = +, sumu dn sumu y dlh. Jik > dn memenuhi persmn. Hsil dri sind... 5. Hsil dri sin d... d, mk nili dri - + dlh

. Hsil dri 8sin d... 7. Hsil dri 5cos d... 8. Hsil dri cos 5 d... 9. Hsil dri sin cos d.... Hsil dri sin cos d... 5. Hsil dri sin cos d.... Hsil dri 5sin cos d.... Hsil dri cos d.... Hsil dri sind... 5. Hsil dri e d.... Hsil dri 7 e d... 7. Nili dri 8. Nili dri sin cos d... 9. Nili dri cos cos d... d... 5. Nili dri 8 d...