i
UKU JR MTEMTIK DSR Mohmmd Fizl mir, M.Pd. yu Hri Prsojo, S.Si., M.Pd. UMSID PRESS Jl. Mojophit 666 Sidorjo ISN: 978-979-40-8-6 ii
UKU JR MTEMTIK DSR Mohmmd Fizl mir, M.Pd. yu Hri Prsojo, S.Si., M.Pd. Sidorjo, 06 Diteritkn ts Progrm ntun Penulisn dn Peneritn uku jr dn Modul Prktikum Universits Muhmmdiyh Sidorjo Thun 05/06 iii
UKU JR MTEMTIK DSR PENULIS Mohmmd Fizl mir, M.Pd. yu Hri Prsojo, S.Si., M.Pd. Diteritkn Oleh: UMSID PRESS Jl. Mojophit 666 Sidorjo ISN: 978-979-40-8-6 Copyright 06. Mohmmd Fizl mir & yu Hri Prsojo. ll rights reserved. iv
KT PENGNTR Puji syukur kehdirt llh SWT ts segl nugerh dn rhmt-ny, sehingg uku jr Mtemtik Dsr untuk Tingkt Pergurun Tinggi ini dpt terselesikn dengn ik. uku jr Mtemtik Dsr ini terdiri dri 8 Mteri Perkulihn, yng terdiri dri () Sistem ilngn Rel; () Himpunn; () Persmn dn Pertidksmn Liner; (4) Fungsi; (5) Mtriks; (6) Limit dn Kekontinun; (7) Turunn; (8) Integrl. Mteri ini merupkn stu kestun mteri yng dipeljri oleh mhsisw ser menyeluruh dn tk terpishkn selm stu semester kren merupkn stu kestun yng utuh dlm Cpin Kompetensi di Renn Pemeljrn Semester. Tujun diteritkn uku ini untuk memntu mhsisw gr dpt mengusi konsep mtemtik dsr ser mudh, dn utuh. Di smping itu pul, uku ini dpt digunkn segi un gi dosen yng mengmpu mt kulih Mtemtik Dsr tupun mt kulih mtemtik yng lin. Isi uku ini memut 5 komponen utm yitu; pendhulun, penyjin mteri, rngkumn, ltihn dn dftr pustk. uku jr Mtemtik Dsr untuk Tingkt Pergurun Tinggi ini diteritkn oleh UMSID Press. uku jr ini merupkn uku teritn edisi pertm yng tentuny msih utuh disempurnkn. Oleh kren itu, srn dn msukn oleh pr penggun sngt kmi hrpkn untuk kesempurnn isi uku jr ini di ms yng kn dtng. Semog uku jr ini dpt ermnft gi mhsisw, dosen dn sip sj yng menggunknny untuk kemjun pendidikn di Universits Muhmmdiyh Sidorjo (UMSID) khususny dn kemjun pendidikn di Indonesi pd umumny. Sidorjo, Juni 06 Tim Penyusun
DFTR ISI KT PENGNTR DFTR ISI... I SISTEM ILNGN REL Pendhulun... 4. Himpunn ilngn... 4. entuk Pngkt kr dn Logritm... 6 C. Rngkumn... 4 D. Ltihn... 6 II HIMPUNN. Pendhulun... 7. Pengertin Himpunn... 7 C. Kenggotn Himpunn dn ilngn... 9 D. Penulisn Himpunn... 9 E. Mm-mm Himpunn... F. Relsi ntr Himpunn... G. Opersi Himpunn... 6 H. Sift-sft Opersi pd Himpunn... 9 I. Rngkumn... 9 J. Ltihn... III PERSMN DN PERTIDKSMN LINIER. Pendhulun... 5. Persmn Linier Stu Vriel... 5 C. Persmn Ekuivlen... 7 D. Persmn Linier entuk Pehn Stu Vriel... 7 E. Pertidksmn Linier Stu Vriel... 8 F. Pertidksmn Linier entuk Pehn Stu Vriel... 40 G. Rngkumn... 4 H. Ltihn... 4 IV FUNGSI. Pendhulun... 4. Pengertin Fungsi... 4 C. Sift Fungsi... 44 D. Jenis Fungsi... 46 E. Rngkumn... 5 F. Ltihn... 55 V MTRIKS. Pendhulun... 57. Pengertin Mtriks... 57 C. Jenis-jenis Mtriks... 58 D. Opersi dn Sift-sift Mtriks... 60 E. Determinn... 6 F. Invers Mtriks... 66 G. Rngkumn... 68 H. Ltihn... 7 VI LIMIT DN KEKONTINUN. Pendhulun... 7. Pengertin Limit... 7
C. Sift-sift Limit... 7 D. Limit entuk Tk Tentu... 74 E. Limit entuk Trigonometri... 77 F. Kekontinun... 78 G. Rngkumn... 79 H. Ltihn... 80 VII TURUNN. Pendhulun... 8. Pengertin Turunn... 8 C. turn-turn Turunn... 8 D. Turunn Trigonometri... 85 E. spitl... 86 F. turn Rnti... 87 G. Turunn Tingkt Tinggi... 89 H. Rngkumn... 89 I. Ltihn... 9 VIII INTEGRL. Pendhulun... 9. Integrl Segi nti Turunn... 9 C. Rumus Dsr Integrl... 94 D. Teknik Integrl Sustitusi... 98 E. Integrl Prsil... 0 F. Integrl Tentu... 0 G. Rngkumn... 04 H. Ltihn... 05 DFTR PUSTK... 07 INDEKS MTERI... 08 IODT PENULIS... 0
I SISTEM ILNGN REL. Pendhulun Dlm Mtemtik Dsr terdpt konsep dri himpunn oyek-oyek, khususny tentng konsep himpunn dri ilngn-ilngn yng nyk sekli diterpkn untuk mtemtik leih lnjut mupun penerpn di idng-idng yng lin. Himpunn ilngn yng penting untuk dikethui dlh himpunn ilngn sli, himpunn ilngn Ch, himpunn ilngn ult, himpunn ilngn Rsionl, himpunn ilngn Irrsionl (tk terukur), dn himpunn ilngn Rel. Sift-sift dri ilngn ini kn digunkn dlm entuk Pngkt, Penrikn kr, dn Logritm. Dihrpkn mhsisw dpt memhmi konsep himpunn ilngn yng penting untuk dikethui dn mmpu menggunkn sift-sift dri himpunn ilngn dintrny yitu entuk Pngkt, Penrikn kr, dn Logritm.. Himpunn ilngn Konsep dri himpunn oyek-oyek yng pling penting dipeljri untuk mtemtik leih lnjut dlh konsep dri himpunn ilngn-ilngn. eerp konsep dri himpunn ilngn-ilngn terseut dintrny dlh himpunn ilngn sli, himpunn ilngn Ch, himpunn ilngn ult, himpunn ilngn Rsionl, himpunn ilngn Irrsionl (tk terukur), dn himpunn ilngn Rel.. Himpunn ilngn sli tu diseut jug himpunn ilngn ult positif dpt ditulis segi : N. Himpunn ilngn Ch ditulis : W. Himpunn ilngn ult ditulis : I -, -, - 4. Himpunn ilngn Rsionl / Terukur ditulis : Q,, I, 0 yitu ilngn yng dpt dinytkn segi hsil gi ntr du ilngn ult (pehn) dengn syrt hw nili penyeut tidk sm dengn nol, ontoh :,, 4, 5 5 7 dn seginy. 4
Dengn demikin ilngn rsionl dlh ilngn yng dpt ditulis dlm entuk pehn dengn dn ilngn ult dn 0. dpun himpunn ilngn rsionl terdiri dri ilngn ult, ilngn pehn murni, dn ilngn pehn desiml. 5. Himpunn ilngn Irrsionl (tk terukur) ditulis : Q' Q yitu ilngn yng tidk dpt dinytkn segi hsil gi ntr du ilngn ult (pehn), tpi dpt dinytkn dengn ilngn desiml tk tentu tu seginy. 6. Himpunn ilngn Rel (nyt) ditulis : R ilngn Rel. ilngn rsionl dn Irrsionl merupkn himpunn ilngn rel. Dengn demikin, himpunn ilngn sli dlh suset dri himpunn ilngn Ch. Himpunn ilngn Ch dlh suset dri himpunn ilngn Rsionl. Sedngkn himpunn ilngn ik Rsionl mupun Irrsionl diseut himpunn ilngn Rel. Himpunn ilngn yng tidk Rel dlh himpunn ilngn Imginer tupun himpunn ilngn Kompleks. Himpunn-himpunn ilngn di ts dpt ditulis dlm entuk suset segi erikut : N W I Q R Sift Ketidksmn ilngn Rel. Semrng ilngn Rel dn, dpt terjdi slh stu dri tig hl yitu : <, <, tu =.. Jik < dn < mk <.. Jik <, mk + < + untuk semrng nili. d. Jik < dn > 0 mk <. e. Jik < dn < 0 mk >. Sistem ilngn Rel dientuk ts dsr sistem ilngn sli, di mn semu sift-siftny dpt diturunkn. Jik, y, dn z dlh ilngn Rel mk sift-sift ilngn Rel dlh :. Sift komuttif untuk penjumlhn + y = y + 5
. Sift komuttif untuk perklin.y = y.. Sift ssositif untuk penjumlhn + (y + z) = ( + y) + z d. Sift ssositif untuk perklin (yz) = (y) z e. Sift distriutif (y + z) = y + z f. Jik dn y du ilngn Rel, mk terdpt sutu ilngn Rel z sehingg + z = y. ilngn z ini kit nytkn dengn y dn diseut selisih dri y dn. Selisih kit nytkn dengn simol 0. Simol 0 ini selnjutny diseut nol. g. Terdpt pling sedikit stu ilngn rel dn y du ilngn Rel dengn z demikin sehingg.z = y. y ilngn z ini kit nytkn dengn dn diseut hsil gi dri y dn. Hsil gi dn dinytkn dengn simol, yng selnjutny diseut stu dn tidk ergntung pd. C. entuk Pngkt, kr dn Logritm. entuk Pngkt ult Definisi Fungsi notsi pngkt slh stuny dlh untuk menyederhnkn penulisn tu meringks penulisn. Contoh, 0.000.000,- dpt ditulis dengn notsi pngkt 0 7. Notsi pngkt dpt menghemt tempt, sehingg notsi pngkt nyk digunkn dlm perumusn dn penyederhnkn perhitungn. Pngkt ult Positif Perklin erulng dri sutu ilngn dpt dinytkn dlm entuk ilngn erpngkt ilngn ult positif. Contoh: =. =.. =... = 4 6
.... = 5..... = 6 entuk 6 6 diseut ilngn erpngkt ult positif. ilngn diseut ilngn pokok tu ilngn dsr dn ilngn 6 yng ditulis gk di ts diseut pngkt tu eksponen. Ser umum ilngn erpngkt dpt ditulis : Jik ilngn rel tu dn n ilngn ult positif, mk n diseut ilngn pokok dn n diseut pngkt. Contoh.. =. = 9. 64 = 4. 4. 4 = 4. 648 =...... =. 4 4.... Contoh. 4 Tentukn nili dri persmn erikut untuk nili vriel yng ditentukn.. 4 untuk = 4 8 8 6 4 6. y y y 4 untuk = - dn y = 4 4 Sift-sift Pngkt ult Positif Pd ilngn erpngkt ult positif dpt dilkukn eerp opersi ljr seperti : perklin, pemngktn, dn pemgin untuk ilngn erpngkt ult positif. Perhtikn teorem-teorem untuk entuk perklin, pemngktn, dn pemgin dri ilngn erpngkt ult positif erikut:. Jik ilngn rel, p dn q dlh ilngn ult postitif mk p. q p q. Jik dn 0, p dn q ilngn ult positif mk 7
p : q p q p q q p ; ; jik p ; jik q jik p q q p. Jik ilngn rel, p dn q ilngn ult positif mk p q p. q pq d. Jik dn ilngn rel, p ilngn ult mk p p p Contoh. Sederhnkn :.. 4 = +4 = 7.. 6 = +6 = 8. 5 4 y y ( ) y 6 y Contoh.4 Kliknlh y y dengn 4 y. Penyelesin y y 4 y ( 4) y ( 4) y 8 5 y 4 y 4 Pngkt ult Negtif dn Nol Jik pd entuk perpngktn pngkt dri ilngn dsr kurng dri stu dn nol mk kn diperoleh pngkt ilngn ult negtif dn nol. Contoh.5 - ; - ; - ; -4 ; -5 ; dn 0 - ; - ; - ; -4 ; -5 -n ; dn 0 Untuk mendefinisikn n dengn ilngn rel dn n ilngn ult negrif dn nol, mk dpt digunkn teorem-teorem perpngktn pd ilngn ult positif, seperti : n n n n n. Jik teorem n 0 p p p ( p n) q p n p q p q digunkn mk kn diperoleh dn untuk q = p + n mk diperoleh n. 8
Dengn demikin mk terdpt teorem erikut, Jik 0, ilngn rel dn n ilngn ult positif mk n n dn 0 =.. entuk kr menytkn kr pngkt du yitu merupkn kelikn dri kudrt. Pernytn yng ditulis dengn tnd kr diseut entuk kr. Contoh.6. Kren 5 = 5 mk 5 5. Kren 8 = 64 mk 64 8 Contoh.7 entuk-entuk erikut merupkn ontoh entuk kr :,, 5, dn seginy. Opersi ljr seperti penjumlhn, pengurngn, perklin, dn pemgin dpt jug dilkukn terhdp entuk kr. Opersi terseut digunkn untuk mersionlkn penyeut yng dinytkn dlm entuk kr. Opersi-opersi ljr terseut dlh segi erikut :.... d.. e. : f. d d Contoh.8 Sederhnknlh.. 4 ( 4) 7. 8 4 ( 4) 6 9
.. 8.8 56 6 4. : 8 4 8 5. 0 5.0 50 50 5. 5 5 Mersionlkn Pehn entuk kr Sutu pehn yng penyeutny mengndung entuk kr dpt disederhnkn entukny dengn r mersionlkn entuk kr yng d pd penyeutny. Untuk mersionlkn entuk pehn dri penyeut terseut mk pemilng dn penyeut hrus diklikn dengn entuk rsionl dri entuk kr yng d pd penyeutny. Di wh ini entuk-entuk rumusn untuk penyederhnn pehn yng mengndung entuk kr :...... d.. e.. Contoh.9 Rsionlkn penyeut pehn erikut :.. 4 4 7 4.. 7 4 4 0
. Pngkt Pehn Definisi ilngn rel yng memenuhi persmn n =, diseut kr pngkt n dri dn ditulis dengn n. kr pngkt n dri tu n dpt jug ditulis segi ilngn erpngkt pehn yitu n. Demikin jug selikny, ilngn erpngkt pehn yitu tu n. Jdi n n. n dpt ditulis segi kr pngkt n dri Jik uknlh pngkt n dri sutu ilngn rsionl mk penentun dri n hsilny kn merupkn ilngn Irrsionl. Jik nili relny diperlukn mk seikny menggunkn lt hitung seperti klkultor tu komputer. Jik m dn n dlh ilngn sli dengn n yng tidk negtif mk : dlh ilngn rel m n m n n m dn m n n m n m Contoh.0 6 6 Sift-sift Pngkt Pehn 4. Jik dlh ilngn rel, p dn q dlh ilngn rsionl mk p. q p q. Jik dlh ilngn rel, p dn q dlh ilngn rsionl mk p : q p q. Jik dlh ilngn rel, p dn q dlh ilngn rsionl mk p q pq d. Jik dlh ilngn rel, p dlh ilngn rsionl mk p e. Jik dn dlh ilngn rel, p, q, dn r dlh ilngn rsionl mk p q r p r q r pr.. p qr
f. Jik dn dlh ilngn rel, p, q, dn r dlh ilngn rsionl mk : p q r pr qr 4. Logritm Definisi Logritm merupkn invers tu kelikn dri eksponen tu perpngktn. Mislny = 9 dpt ditulis dengn log 9 = ; - = dpt ditulis dengn log. Dengn demikin entuk logritm ser umum ditulis : Jik n = dengn > 0 dn mk log = p Pengertin dri penulisn log, diseut ilngn pokok logritm. Nili hrus positif dn. Jik ilngn pokok ernili 0, mk ilngn pokok 0 ini isny tidk ditulis. Mislkn 0 log = log. Jik ilngn pokokny e tu ilngn euler dimn e =,78888 mk nili logritm dinytkn dengn ln yitu singktn dri logritm nturl. Misl : e log = ln Contoh.. Jik = 8 mk log 8 =. Jik - = mk log 9 9. Jik 0 4 = 0.000 mk log 0.000 = 4 4. Jik 0 - = 0,0 mk log 0,0 = - Sift-sift Logritm Sift-sift logritm digunkn untuk menyederhnkn entuk pernytn dlm logritm dn jug dpt memntu dlm penentun nili logritmny. erikut ini dlh sift-sift logritm :. Logritm dri perklin log MN = log M + log N, dimn > 0, M > 0 dn N > 0 Contoh.. log 0 + log 5 = log (0.5) = log 00 =
. Jik log = 0,00 dn log = 0,477 mk tentukn log 6! log 6 = log (.) = log + log = 0,00 + 0,477 = 0,778. Logritm dri pemgin M log = log M - log N, dimn > 0, M > 0 dn N > 0 N Contoh.. log 48 log = log (48/) = log6 = 4. Jik log = 0,00 dn log = 0,477 mk tentukn log,5! log,5 = log (/) = log log = 0,477 0,00 = 0,76. Logritm dri perpngktn log M p = p log M, dimn > 0, M > 0 Contoh.4. log 7 = log = log. Jik log = 0,00 dn log = 0,477 mk tentukn log 6! log 6 = log (. ) = log + log = log + log = (0,00) + (0,477) = 0,600 + 0,954 =,556 d. Menguh sis logritm M log N log N, dimn > 0,, M > 0 dn N > 0 log M Contoh.5. log 5 log 5 log. Jik log = 0,00 dn log = 0,477 mk tentukn log! log log log 0,477 0,00,5850 e. Perpngktn dengn logritm logm M Contoh.6 log. log log log. 8 ( ) 7
D. Rngkumn. Himpunn ilngn Rel (nyt) ditulis : R ilngn Rel ilngn rsionl dn Irrsionl merupkn himpunn ilngn rel.. Sift Ketidksmn ilngn Rel. Semrng ilngn Rel dn, dpt terjdi slh stu dri tig hl yitu : <, <, tu =.. Jik < dn < mk <.. Jik <, mk + < + untuk semrng nili. d. Jik < dn > 0 mk <. e. Jik < dn < 0 mk >. Pngkt ult Positif Jik ilngn rel tu dn n ilngn ult positif, mk n diseut ilngn pokok dn n diseut pngkt 4. Sift Pngkt ult Positif. Jik ilngn rel, p dn q dlh ilngn ult postitif mk p. q p q. Jik dn 0, p dn q ilngn ult positif mk p : q p q p q q p ; ; jik p ; jik q jik p q q p. Jik ilngn rel, p dn q ilngn ult positif mk p q p. q pq d. Jik dn ilngn rel, p ilngn ult mk p p p 5. Pngkt ult Negtif dn Nol Jik 0, ilngn rel dn n ilngn ult positif mk 6. Opersi ljr pd entuk kr. n n dn 0 = 4
... d.. e. : f. d d 7. Mersionlkn pehn entuk kr...... d.. e.. 8. Logritm merupkn invers tu kelikn dri eksponen tu perpngktn. Jik n = dengn > 0 dn mk log = p 9. Sift-sift Logritm. Logritm dri perklin log MN = log M + log N, dimn > 0, M > 0 dn N > 0. Logritm dri pemgin M log = log M - log N, dimn > 0, M > 0 dn N > 0 N. Logritm dri perpngktn log M p = p log M, dimn > 0, M > 0 d. Menguh sis logritm M log N log N, dimn > 0,, M > 0 dn N > 0 log M 5
e. Perpngktn dengn logritm logm M, dimn > 0,, M > 0 E. Ltihn. Gmrkn dlm sutu skem tentng pemgin sistem ilngn rel!. Selesikn sol erikut :. -. 7. (-) 6. (-) 5 5 y. 0y. 4 6 y. Kerjkn sol entuk kr erikut :. Sederhnkn 8. 4 5 8.... Jik L. mk nili L untuk 00 dn 64dlh... d. Hitunglh 7 4 y y 9 e. Untuk hrg = mk tentukn nili dri 4. Kerjkn sol logritm erikut :. Urikn entuk log!. Jik log = dn log 5 = mk tentukn nili log 45!. Jik log 5 = p mk tentukn nili log 40 d. Jik log = p dn log = q mk tentukn.! 6
II HIMPUNN. Pendhulun Konsep himpunn merupkn sutu konsep yng telh nyk mendsri perkemngn ilmu pengethun, ik pd idng mtemtik itu sendiri mupun pd disiplin ilmu linny. Perkemngn pd disiplin ilmu linny terutm dlm hl pementukn model dihruskn menggunkn himpunn / kelompok dt oservsi dri lpngn. Dengn demikin terliht jels egitu penting pern dri konsep himpunn, dn segi wl dri hsn uku jr ini kn dihs pengertin himpunn, r penyjin himpunn, mm-mm himpunn, relsi pd himpunn dn opersi-opersi himpunn. Dihrpkn mhsisw dpt mendeskripsikn pengertin himpunn, menuliskn himpunn dlm ergi r penulisn himpunn, menyeutkn mm-mm himpunn, menentukn relsi pd himpunn dn menggunkn opersi-opersi himpunn.. Pengertin Himpunn Istilh himpunn dlm mtemtik ersl dri kt dlm hs Inggris. Kt lin yng sering digunkn untuk menytkn himpunn ntr lin kumpuln, kels, gugus, dn kelompok. Ser sederhn, rti dri himpunn dlh kumpuln ojek-ojek (rel tu strk). Segi ontoh kumpuln ukuuku, kumpuln mteri, kumpuln mhsisw di kelsmu, dn seginy. Ojekojek yng dimsukn dlm stu kelompok hruslh mempunyi sift-sift tertentu yng sm. Sift tertentu yng sm dri sutu himpunn hrus didefinisikn ser tept, gr kit tidk slh mengumpulkn ojek-ojek yng termsuk dlm himpunn itu. Dengn kt lin, himpunn dlm pengertin mtemtik ojekny / nggotny hrus tertentu (well defined), jik tidk i ukn himpunn. Dengn demikin, kt himpunn tu kumpuln dlm pengertin sehri-hri d perednny dengn pengertin dlm mtemtik. Jik kumpuln itu nggotny tidk is ditentukn, mk i ukn himpunn dlm pengertin 7
mtemtik. Demikin jug dengn konsep himpunn kosong dlm mtemtik, tidk d istilh terseut dlm pengertin sehri-hri. Contoh kumpuln yng ukn himpunn dlm pengertin mtemtik dlh kumpuln ilngn, kumpuln lukisn indh, dn kumpuln mknn lezt Pd ontoh di ts tmpk hw dlm sutu kumpuln d ojek. Ojek terseut is strk tu is jug kongkrit. Pengertin strk sendiri errti hny dpt dipikirkn, sedngkn pengertin kongkrit selin dpt dipikirkn mungkin i is diliht, dirs, dir, tu dipegng. Pd ontoh () ojekny dlh ilngn (strk). Ojek terseut elum tertentu, se kit tidk is menentukn ilngn p sj yng termsuk dlm himpunn terseut. Pd ontoh () dn (), msing-msing ojekny dlh lukisn dn mknn, jdi i kongkrit. Nmun demikin kedu ojek terseut elum tertentu, se sift indh dn lezt dlh reltif, untuk setip orng is erlinn. Sekrng mrilh kit peljri ontoh kumpuln yng merupkn himpunn dlm pengertin mtemtik. Misl () kumpuln ilngn sli, () kumpuln ilngn h kurng dri 0, () kumpuln wrn pd ender RI, (4) kumpuln hewn erkki du, dn (5) kumpuln mnusi erkki lim Pd kelim ontoh di ts kumpuln terseut memiliki ojek (strk tu kongkrit), dn semu ojek pd himpunn terseut dlh tertentu tu dpt ditentukn. Pd ontoh (), (), dn () ojekny strk, sedngkn pd ontoh (4) dn (5) ojekny kongkrit. Khusus untuk ontoh (5) nykny nggot 0 (nol), jdi i tertentu jug. Untuk hl yng terkhir ini is diseut himpunn kosong (empty set), sutu konsep himpunn yng didefinisikn dlm mtemtik. Pemirn leih rini mengeni himpunn kosong kn dihs pd gin lin. Terkit dengn pengertin himpunn, erikut dlh hl-hl yng hrus nd ermti dn ingt, yitu ojek-ojek dlm sutu himpunn mestilh ered, rtiny tidk terjdi pengulngn penulisn ojek yng sm. Segi ontoh, mislkn = {,,,, d, }. Himpunn terseut tidk dipndng mempunyi jumlh nggot senyk 6, tetpi himpunn terseut dipndng segi ={,,, d} dengn jumlh nggot senyk 4. Urutn ojek dlm sutu himpunn tidklh dipentingkn. Mksudny himpunn {,,, 4} dn {,, 4, } menytkn himpunn yng sm. 8
C. Kenggotn Himpunn dn ilngn Krdinl Sutu himpunn dinytkn dengn huruf kpitl, seperti,, C, D untuk menytkn himpunn itu sendiri dinotsikn dengn tnd kurung kurwl (qulde). Ojek yng diirkn dlm himpunn terseut dinmkn nggot (elemen, unsur). nggot-nggot dri sutu himpunn dinytkn dengn huruf keil tu ngk-ngk dn erd di dlm tnd kurwl. Tnd kenggotn dinotsikn dengn, sedngkn tnd ukn nggot dinotsikn dengn. Jik dlh nggot dri mk dpt ditulis, dn jik y ukn nggot himpunn mk ditulis dengn y. nykny nggot dri sutu himpunn diseut dengn krdinl (ilngn krdinl) himpunn terseut. Jik dlh sutu himpunn, mk nykny nggot dri (ilngn krdinl ) ditulis dengn notsi n( Contoh. = {,,, d, e, f}, mk n() = 6 D. Penulisn Himpunn d empt r tu metode untuk menytkn (menuliskn) sutu himpunn, yitu :. Cr Tulsi Cr ini sering diseut jug dengn r pendftrn (roster method) tu enumersi, yitu r menytkn sutu himpunn dengn menuliskn nggotny stu per stu. Untuk memedkn nggot yng stu dengn yng linny digunkn tnd kom (,). Jik nykny nggot himpunn itu ukup nyk tu tk hingg, untuk menyingkt tulisn isny digunkn tnd titik dri himpunn itu is ditunjukn stu perstu (diskrit), misl : () = {0,,,, 4,...} () = {0,, 4, 9, 6,..., 00} () C = {merh, jingg, kuning, hiju, iru} Pd ontoh () nyk nggot dri himpunn dlh tk hingg sehingg tidk mungkin dituliskn semu nggotny stu perstu, oleh kren itu digunkn titik tig setelh turn (pol) ilngn yng disjikn dpt diliht. Perhtikn hw kit tidk oleh menuliskn seperti = {0,...} tu = 9
{0,,...} untuk ontoh () se elum tmpk polny. Penulisn seperti itu is mengndung interpretsi lin, sehingg tidk sesui dengn yng dimksudkn. Pd ontoh (), jug digunkn tnd titik tig kren nyk nggotny ukup nyk dn turn ilngnny sudh tmpk, yitu kudrt dri ilngn h. Krdinl dri setip himpunn di ts dlh n() = ~, n() =, dn n(c) = 5.. Cr Penirin / Deskriptif rule method diseut jug metode pementuk himpunn. Dlm menggunkn metode deskripsi ini, nggot dri sutu himpunn tidk diseutkn stu per stu, tetpi penyjin nggot himpunnny dilkukn dengn mendefinisikn sutu turn / rumusn yng merupkn tsn gi nggot-nggot himpunn. Himpunn yng nggotny diskrit dpt disjikn dengn r deskripsi ini, kn tetpi sutu himpunn yng nggotny kontinu hny is disjikn dengn r deskripsi, dn tidk is disjikn dengn r tulsi. Contoh.. = dlh himpun ilngn h yng leih dri dn kurng dri 8. Himpunn, jik disjikn dengn r tulsi didpt : = {,, 4, 5, 6. 7} sedngkn jik disjikn dengn menggunkn metode deskripsi didpt : = { < < 8, ilngn h}. = { < < 8, ilngn rel}. Himpunn terseut tidk is disjikn dengn r tulsi, kren nggotny kontinu. Kedu himpunn terseut memiliki krdinlits yng ered, yitu n() = 6 sedngkn n() = ~.. Simol-simol ku eerp himpunn yng khusus dituliskn dengn simol-simol yng sudh ku. Terdpt sejumlh simol ku yng menytkn sutu himpunn, yng isny disjikn dengn menggunkn huruf kpitl dn dietk tel. erikut dlh ontoh-ontoh himpunn yng dinytkn dengn simol ku, yng sering kit dijumpi, yitu : N = himpunn ilngn sli = {,,,...} 0
P = himpunn ilngn ult positif = {,,,...} Z = himpunn ilngn ult {...,-, -, 0,,,,...} Q = himpunn ilngn rsionl R = himpunn ilngn riil C = himpunn ilngn kompleks 4. Digrm Venn Dlm digrm venn, himpunn semest S digmrkn dengn persegi pnjng, sedngkn untuk himpunn linny digmrkn dengn lengkungn tertutup sederhn, dn nggotny digmrkn dengn nokth. nggot dri sutu himpunn digmrkn dengn nokth yng terletk di dlm di dlm derh lengkungn tertutup sederhn itu, tu di dlm persegi pnjng untuk nggot yng tidk termsuk di dlm himpunn itu. Contoh. S = {0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} = {,, 5} ; = {, 4, 7, 8} Gmr. E. Mm-mm Himpunn eerp konsep erkenn dengn himpunn yng didefinisikn dlm mtemtik.. Himpunn kosong Definisi Sutu himpunn diktkn himpunn kosong jik dn hny jik n() = 0. Himpunn kosong dilmngkn dengn (di phi). Kren ilngn krdinl dri sm dengn nol, mk himpunn tidk mempunyi nggot, sehingg = { }.
Pengertin jik dn hny jik n() = 0. Selikny, jik n() = 0 mk dlh himpunn kosong. erikut disjikn eerp ontoh tentng himpunn kosong. Contoh.4. = himpunn mhsisw Jurusn Ekonomi dn isnis Umsid ngktn 05/06 yng mempunyi tinggi dn di ts meter.. = { 6 < < 7, ilngn ult}. C = { ilngn prim keliptn 6} 4. D = { < 0, ilngn rel}. Himpunn Semest Definisi Himpunn semest S dlh himpunn yng memut semu nggot himpunn yng diirkn. Jik nd ermti definisi di ts, tmpk hw sutu himpunn tertentu merupkn himpunn semest gi diriny sendiri. Himpunn semest dri sutu himpunn tertentu tidklh tunggl, tetpi mungkin leih dri stu. Co nd perhtikn ontoh erikut : Mislkn = {,, }, mk himpunn semest dri ntr lin dlh : S = {,, } S = {,,, d} S = {,,, d, e} S 4 = {,,, d, e, f} Dri ontoh di ts, jels hw himpunn semest dri sutu himpunn tidklh tunggl. Sutu himpunn is merupkn himpunn semest gi himpunn tertentu slkn semu nggot dri himpunn tertentu itu menjdi nggot dri himpunn semest.
F. Relsi ntr Himpunn. Himpunn yng sm Definisi Du uh himpunn dn diktkn sm, dilmngkn =, jik dn hny jik setip nggot di merupkn nggot di, dn jug setip nggot di merupkn nggot di. Pd definisi di ts, digunkn perktn jik dn hny jik, ini mengndung rti hw :. jik himpunn sm dengn, mk setip nggot di merupkn nggot di, dn. jik terdpt du himpunn sedemikin hingg setip nggot pd himpunn pertm merupkn nggot pd himpunn kedu dn setip nggot pd himpunn kedu merupkn nggot pd himpunn pertm, mk diktkn hw kedu himpunn itu sm. Contoh.5 = {0,,,, 4, 5, 6, 7, 8} dn = { < 9, ilngn h} Himpunn jik dituliskn dengn metode tulsi mk di dpt ={0,,,, 4, 5, 6, 7, 8} Dengn memperhtikn nggot-nggot pd dn, mk jels hw =. Contoh.6 Mislkn C = {,,, d} dn D = {,, }. Meskipun setip nggot di D merupkn nggot di C, kn tetpi tidk setip nggot di C merupkn nggot di D. Dengn demikin C D.. Himpunn gin Definisi. diktkn himpunn gin dri, dilmngkn, jik dn hny jik setip nggot di merupkn nggot di. Jik digmrkn dengn menggunkn digrm venn, mk didptkn segi erikut.
S Gmr. Segi ontoh hw {,, } {,,, d} dn {, 4, 6, 8} {0,, 4, 6, 8, 0,, 4}. nd pstiny jug setuju hw dlh ekivlen dengn. Penulisn lzimny dimkni segi superset dri. Definisi. diktkn himpunn gin sejti (proper suset) dri,, jik dn hny jik setip nggot di merupkn nggot di dn pling sedikit terdpt stu nggot di yng ukn merupkn nggot. Segi ontoh, perhtikn hw {,,, 4, 5} {,, } {,, }.. Himpunn Leps Definisi {0,,,, 4, 5, 6} kn tetpi dn diktkn leps (disjoint) jik dn hny jik tidk terdpt nggot ersm pd dn, tu dengn kt lin dn diktkn leps jik. Simol menytkn irisn dri dn. erikut dlh deskripsi dri leps dengn. Gmr. Contoh.7 Mislkn = {,,, d, e} dn = {f, h, i, j, k} mk didptkn hw. Kren mk dn merupkn himpunn yng leps. 4
4. Himpunn ersilngn Definisi ersilngn dengn jik dn hny jik, tu dengn kt lin irisn dri kedu himpunn terseut tidk kosong. erikut dlh deskripsi dri ersilngn dengn. Gmr.4 Contoh.8 Mislkn = {,,, d, e, f} dn = {d, e, f, g, h, i} mk didptkn hw = {d, e, f}. Kren himpunn yng ersilngn. 5. Himpunn Ekuivlen Definisi = {d, e, f mk dn merupkn ekuivlen dengn himpunn, dilmngkn ~, jik dn hny jik nykny nggot dri sm dengn nykny nggot, tu n() = n(). Contoh.9 = {,, 5, 7, 9, } = {,,, d, e, f } n() = 6 dn n() = 6 Mk ~ 6. Himpunn Kus (Power Set) Definisi Himpunn Kus dri himpunn, dilmngkn P(), dlh sutu himpunn yng nggotny merupkn semu himpunn gin dri, termsuk himpunn kosong dn himpunn sendiri. Contoh.0 = {,, }. Himpunn gin dri dlh, {}, {}, {}, {, }, {, }, {, }, {,, }. Sehingg P() = {, {}, {}, {}, {, }, {, }, {,}, {,, }} 5
G. Opersi Himpunn. Irisn (Intersetion) Definisi Irisn dri dn, dilmngkn, dlh himpunn yng nggotnggotny merupkn nggot dri himpunn dn sekligus nggot himpunn. dn Contoh. Gmr.5 Mislkn = {,,, d, e, f} dn = {, e, g} mk Digrm venn-ny dlh segi erikut. = {, e}. Contoh. Gmr.6 Derh yng dirsir menytkn Mislkn = {,,, d, e, f} dn = { g, h, i, j} mk Digrm venn-ny dlh segi erikut. Kren Gmr.7 mk tidk d derh yng dirsir 6
. Gungn (Union) Definisi Gungn ntr himpunn dn himpunn dilmngkn, dlh himpunn yng nggot-nggotny merupkn nggot himpunn tu nggot himpunn. tu Contoh. Gmr.8 Mislkn = {,,, d, e, f} dn = {, e, g} mk Digrm venn-ny dlh segi erikut. = {,,, d, e, f, g}. Contoh.4 Gmr.9 Derh yng dirsir menytkn Mislkn = {,,, d, e, f} dn = { g, h, i, j} mk i, j}. Digrm venn-ny dlh segi erikut.. = {,,, d, e, f, g, h, Gmr.0 Derh yng dirsir menytkn 7
. Komplemen Definisi Dierikn himpunn universl (semest) S dn himpunn. S, komplemen dri, dilmngkn S yng tidk termsuk di. ' S dn Gmr. Contoh.6 Mislkn S = {0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} dn = {,, 5, 7, 9} mk himpunn ilngn S selin, yitu 4. Selisih Himpunn Selisih dri dn, dilmngkn, dlh himpunn yng nggotnggotny merupkn nggot dri himpunn tetpi ukn merupkn nggot dri himpunn. dn Gmr. Contoh.7 Mislkn = {,,, d, e, f} dn = {, e, g} mk - = {,, d, f}. Digrm venn-ny dlh segi erikut. Gmr. Derh yng dirsir menytkn 8
H. Sift-sift Opersi pd Himpunn. Sift Identits. Sift Dominsi. Sift Komplemen ' S 4. Sift Idempoten 5. Sift Penyerpn 6. Sift Komuttif tu 7. Sift sositif C C tu C C 8. Sift Distriutif C Sift De-Morgn C tu C C ' ' ' tu ' ' ' 9. Sift Komplemen ke- ' S tu S' I. Rngkumn. Himpunn dlm pengertin mtemtik ojekny / nggotny hrus tertentu (well defined), jik tidk i ukn himpunn.. Penulisn Himpunn. d empt metode dlm menuliskn himpunn :. Cr Tulsi Cr ini sering diseut jug dengn r pendftrn (roster method) tu enumersi, yitu r menytkn sutu himpunn dengn menuliskn nggotny stu per stu. Untuk memedkn nggot yng stu dengn yng linny digunkn tnd kom (,). Jik nykny nggot himpunn itu 9
ukup nyk tu tk hingg, untuk menyingkt tulisn lzimny dengn menggunkn tnd titik tig yng errti dn seterusny, sl turnny sudh tmpk pd pernytn nggot yng telh dituliskn.. Cr Penirin / Deskriptif rule method tu diseut jug metode pementuk himpunn. Dlm menggunkn metode deskripsi ini, nggot dri sutu himpunn tidk diseutkn stu per stu, tetpi penyjin nggot himpunnny dilkukn dengn mendefinisikn sutu turn/rumusn yng merupkn tsn gi nggot-nggot himpunn.. Simol-simol ku erikut dlh ontoh-ontoh himpunn yng dinytkn dengn simol ku, yng sering kit dijumpi, yitu : N = himpunn ilngn sli = {,,,...} P = himpunn ilngn ult positif = {,,,...} Z = himpunn ilngn ult {...,-, -, 0,,,,...} Q = himpunn ilngn rsionl R = himpunn ilngn riil C = himpunn ilngn kompleks d. Digrm Venn Dlm digrm venn himpunn semest S digmrkn dengn persegi pnjng, sedngkn untuk himpunn linny digmrkn dengn lengkungn tertutup sederhn, dn nggotny digmrkn dengn nokth. nggot dri sutu himpunn digmrkn dengn nokth yng terletk di dlm di dlm derh lengkungn tertutup sederhn itu, tu di dlm persegi pnjng untuk nggot yng tidk termsuk di dlm himpunn itu.. eerp konsep mm-mm himpunn :. Himpunn Kosong Sutu himpunn diktkn himpunn kosong jik dn hny jik n() = 0. Himpunn kosong dilmngkn dengn (di phi). Kren ilngn krdinl dri sm dengn nol, mk himpunn tidk mempunyi nggot, sehingg = { } 0
. Himpunn Semest Himpunn semest S dlh himpunn yng memut semu nggot himpunn yng diirkn 4. Relsi ntr Himpunn :. Himpunn yng sm Du uh himpunn dn diktkn sm, dilmngkn =, jik dn hny jik setip nggot di merupkn nggot di, dn jug setip nggot di merupkn nggot di.. Himpunn gin diktkn himpunn gin dri, dilmngkn, jik dn hny jik setip nggot di merupkn nggot di.. Himpunn Leps dn diktkn leps (disjoint) jik dn hny jik tidk terdpt nggot ersm pd dn, tu dengn kt lin dn diktkn leps jik d. Himpunn ersilngn ersilngn dengn jik dn hny jik, tu dengn kt lin irisn dri kedu himpunn terseut tidk kosong e. Himpunn Ekuivlen ekivlen dengn himpunn, dilmngkn ~, jik dn hny jik nykny nggot dri sm dengn nykny nggot, tu n() = n(). f. Himpunn Kus (Power Set) Himpunn Kus dri himpunn, dilmngkn P(), dlh sutu himpunn yng nggotny merupkn semu himpunn gin dri, termsuk himpunn kosong dn himpunn sendiri. 5. Opersi Himpunn. Irisn (Intersetion) Irisn dri dn, dilmngkn, dlh himpunn yng nggotnggotny merupkn nggot dri himpunn dn sekligus nggot himpunn. dn
. Gungn (Union) Gungn ntr himpunn dn himpunn dilmngkn, dlh himpunn yng nggot-nggotny merupkn nggot himpunn tu nggot himpunn. tu. Komplemen Dierikn himpunn universl (semest) S dn himpunn. komplemen dri, dilmngkn tidk termsuk di. S, S yng ' S dn d. Selisih Selisih dri dn, dilmngkn, dlh himpunn yng nggotnggotny merupkn nggot dri himpunn tetpi ukn merupkn nggot dri himpunn. dn 6. Sift-sift Opersi pd Himpunn. Sift Identits. Sift Dominsi. Sift Komplemen ' S d. Sift Idempoten e. Sift Penyerpn f. Sift Komuttif tu g. Sift sositif C C tu C C
h. Sift Distriutif C C tu C C i. Sift De-Morgn ' ' ' tu ' ' ' j. Sift Komplemen ke- ' S tu S' J. Ltihn. Mislkn S = {,,, 4, 5, 6}, = {,, 5}, = {,, 4}. Dengn menggunkn r tulsi tentukn himpunn erikut :... ' d. ' e. f. g. ' ' h. ' ' i. pkh ' ' '? j. pkh ' ' '?. Dengn menggunkn digrm venn tunjukkn hw :. C C. C C. Dri 00 orng mhsisw, 60 mhsisw mengikuti kulih hs Inggris, 50 mhsisw mengikuti kulih Sttistik, 0 mhsisw mengikuti kulih Mtemtik Dsr, 0 mhsisw mengikuti kulih hs Inggris dn Sttistik, 6 mhsisw mengikuti kulih hs Inggris dn Mtemtik Dsr, 0 mhsisw mengikuti kulih Sttistik dn Mtemtik Dsr, dn 6 mhsisw mengikuti kulih ketig-tigny. erp nyk mhsisw yng mengikuti kulih hs Inggris, tu Sttistik, tu Mtemtik Dsr? 4. Mnkh dri himpunn erikut ini, yng merupkn himpunn kosong? Jelskn!
. { nm huruf vokl selin, i, u, e, o di dlm lfetl}. { = 9 dn = 4}. d. { + 6 = 6, ilngn sli} 5. Mislkn = {,, }, = {0,, }, C = {,, }, D = {,, }, E = {, }, F = {0,,, }, dn G = {ilngn h ntr 0 dn 4}. Himpunn mnkh yng sm dengn?. Himpunn mnkh yng ekivlen dengn?. Jik H dn I dlh himpunn, sedemikin sehingg erlku H = I, pkh H ~ I? Jelskn! d. Jik J dn K dlh himpunn, sedemikin sehingg erlku J ~ K, pkh J = K? Jelskn! 6. Mislkn = {, {4,5}, 4}. Mnkh pernytn yng slh? Jelskn!. {4, 5}. {4, 5}. {{4, 5}} 4
III PERSMN DN PERTIDKSMN LINER. Pendhulun Dsr dri sutu persmn dlh seuh pernytn mtemtik yng terdiri dri du ungkpn pd rus knn dn rus kiri yng dipishkn oleh tnd vriel. Dn seuh penyelesin dri sutu persmn erup nili yng jik disustitusikn pd vriel menghsilkn seuh pernytn yng enr. Sementr itu, istilh-istilh seperti leih dri, kurng dri, leih esr, leih keil, leih tinggi, leih rendh, tidk sm sudh menjdi hs sehri-hri dlm msyrkt. Istilh-istilh terseut digunkn untuk menentukn nili mksimum tu nili minimum dri sutu permslhn tu pernytn yng dpt dimodelkn ser mtemtis. Dihrpkn mhsisw dpt menentukn penyelesin dri persmn liner stu vriel dn himpunn penyelesin dri pertidksmn liner stu vriel.. Persmn Liner Stu Vriel Definisi Sutu persmn yng memut stu vriel erpngkt stu. Contoh.. = 9. 5 + 4 = 9. = + 4 Seuh penyelesin untuk sutu persmn dlh serng ilngn yng memut persmn itu enr jik ilngn itu disustitusikn pd vriel. Contoh.. = Persmn ini mempunyi penyelesin ilngn 7, kren (7) = dlh enr. Sementr ilngn 5 ukn seuh penyelesin dri =, kren (5) = dlh slh. 5
. = + 4 Jik persmn ini diselesikn mk mempunyi penyelesin ilngn, kren () = + 4. Prinsip Penjumlhn dn Perklin d du prinsip yng diperolehkn untuk menyelesikn ermm-mm persmn. Pertm, Prinsip Penjumlhn Untuk serng ilngn rel, dn, jik = mk erlku + = + = Kedu, Prinsip Perklin Untuk serng ilngn rel, dn, jik = mk erlku. =. Contoh., enr dengn 0. Tentukn penyelesin dri. Penyelesin : Contoh.4 menggunk n prinsip penjumlh n, kedu rus ditmh menggunk n prinsip perklin, kedu rus dikli Tentukn penyelesin dri 5 5 5 Penyelesin : 5 5 5 5 5 5 sift distriutif 4 5 0 4 4 5 0 4 kedu rus ditmh 4 5 6 5 5 5 6 kedu rus ditmh 5 8 6 6
8 8. 6 kedu rus dikli 8 8 = - C. Persmn Ekuivlen Definisi Persmn Ekuivlen dlh persmn yng mempunyi himpunn penyelesin yng sm. Contoh.5 () = () - 5 = - 0 () + 5 = (4) 5 = + Keempt persmn terseut ekuivlen kren mempunyi himpunn penyelesin yng sm yitu = 4. D. Persmn Liner entuk Pehn Stu Vriel Yitu persmn yng memut pehn. Untuk menyelesikn persmn pehn ini digunkn perklin dengn vriel. Contoh.6 Tentukn penyelesin dri Penyelesin : 5 5. 7
5 5 5 5 5 8 5 6 8 6 8 5 6 6 8 8 5 5 9 9 8 8 5 E. Pertidksmn Liner Stu Vriel Definisi 6 9 kedu rus dikli 5 sift distriuti kedu rus ditmh kedu rus dikli Sutu pertidksmn yng hny mempunyi stu vriel dengn pngkt tertinggi vrielny stu. Contoh.7. < 9. 5 + 4 > 9. < + 4 Pd prinsipny penyelesin pertidksmn liner mirip dengn persmn liner. Hl ini dpt diliht pd tel perndingn erikut. No Penyelesin Persmn Penyelesin Pertidksmn. Prinsip Penjumlhn Prinsip Penjumlhn Menmh dengn Menmh dengn ilngn yng sm ilngn yng sm pd pd kedu rus.. kedu rus. Prinsip Perklin Prinsip Perklin Kedu rus diklikn. Jik kedu rus diklikn dengn dengn ilngn yng ilngn positif yng sm mk sm. tnd pertidksmn tidk eruh.. Jik kedu rus diklikn dengn ilngn negtif yng sm, tnd pertidksmn eruh dri < f selikny. 8 6 8
Contoh.8 Tentukn penyelesin dri 4 6. Penyelesin : 4 6 4 4 6 4 kedu rus ditmh 4 0 0 kedu rus dikli 5 5 Jdi himpunn penyelesinny 5 Contoh.9 Tentukn penyelesin dri 5 7. Penyelesin : 5 5 6 7 5 Jdi himpunn penyelesinny 6. Contoh.0 kedu rus ditmh kedu rus ditmh kedu rus dikli Tentukn penyelesin dri 7 4. Penyelesin : 5 7 4 4 4 6 4 sift distriuti f 4 4 4 4 kedu rus ditmh 4 kedu rus ditmh.. kedu rus dikli 4 9
Jdi himpunn penyelesinny 4 Contoh. Tentukn himpunn penyelesin dri 7. Penyelesin : 7 Untuk menyelesikn sol ini menggunkn du lngkh kren menyelesiknny menggunkn kominsi pertidksmn. Lngkh I. 7 7 7 7 kedu rus ditmh 7 4 4...() Lngkh II. 7 7 7 7 kedu rus ditmh 7 4...() Dri () dn () dikominssikn mk himpunn penyelesinny 4 4 F. Pertidksmn Liner entuk Pehn Stu Vriel Yitu pertidksmn yng memut pehn. Untuk menyelesikn pertidksmn pehn ini digunkn perklin vriel. Contoh. Tentukn himpunn penyelesin dri 4. Penyelesin : 4 4 kedu rus dikli 4 4 kedu rus ditmh Jdi himpunn penyelesinny 40
G. Rngkumn. Persmn dlh seuh pernytn mtemtik yng terdiri dri du ungkpn pd rus sm dengn). Penyelesin untuk sutu persmn dlh serng ilngn yng memut persmn itu enr jik ilngn itu disustitusikn pd vriel.. Untuk setip,, R Jik = mk + = + 4. Untuk setip,, R Jik = mk. =. 5. Untuk setip,, R Jik = mk, 0 Jik. = 0 mk = 0 tu = 0 Jik = 0 tu = 0 mk = 0 6. Persmn-persmn yng mempunyi himpunn penyelesin yng sm diseut persmn ekuivlen 7. 8. Prinsip-prinsip untuk menyelesikn pertidksmn :. Prinsip Penjumlhn, kedu rus ditmh dengn ilngn yng sm.. Prinsip Perklin, kedu rus diklikn dengn ilngn yng sm. ) Jik diklikn dengn ilngn positif tnd pertidksmn tidk eruh. ) Jik diklikn dengn ilngn negtif tnd pertidksmn eruh keliknny. 4
H. Ltihn. Tentukn penyelesin dri persmn erikut :. = +. 9 78 + 5 = 0 + 8. ( ) (6 ) = d. (7 ) + ( ) 5( ) = +. Tentukn penyelesin dri persmn erikut :... 4 9 5 5 6 4. Tentukn himpunn penyelesin dri pertidksmn erikut :. - 4 < 8. ( ) (6 ) >. (7 ) + ( ) 5( + 4. Tentukn himpunn penyelesin dri pertidksmn erikut :.. 4. 4 d. 5 5. Himpunn penyelesin dri pertidksmn 4 4
IV FUNGSI. Pendhulun Slh stu konsep dlm mtemtik yng pling penting dlh konsep fungsi. Dengn konsep fungsi, pr mtemtikwn mupun pr hli di idng yng lin dengn jels dpt mengethui pkh sutu struktur identik dengn struktur yng lin. Dn hmpir semu ng mtemtik menggunkn konsep fungsi dlm pengemngnny. Fungsi liner dn fungsi kudrt merupkn slh stu fungsi yng nyk digunkn dlm kehidupn. nyk mslh sehri-hri menjdi leih mudh diselesikn dengn menggunkn konsep fungsi liner dn fungsi kudrt. Dihrpkn mhsisw dpt menerpkn konsep fungsi ik fungsi liner mupun fungsi kudrt dlm ergi permslhn sehri-hri dn ergi idng pengemngn ilmu yng lin. Pengertin Fungsi Definisi Sutu fungsi f dri himpunn ke himpunn dlh sutu relsi yng memsngkn setip elemen dri ser tunggl, dengn elemen pd. pil f memetkn sutu elemen ke sutu y diktkn hw y dlh pet dri oleh f dn pet ini dinytkn dengn notsi f(), dn is ditulis dengn f : f(), sedngkn is diseut prpet dri f(). Himpunn dinmkn derh sl (domin) dri fungsi f, sedngkn himpunn diseut derh kwn (kodomin) sedngkn himpunn dri semu pet di dinmkn derh hsil (rnge) dri fungsi f terseut. Contoh 4. Gmr 4. 4
Digrm segimn pd Gmr di ts dlh fungsi kren pertm, terdpt relsi (yng melitkn du himpunn ykni dn ) dn kedu, pemsngn setip elemen dlh ser tunggl. Contoh 4. Gmr 4. Digrm 4. ukn merupkn fungsi kren d elemen yng dipsngkn tidk ser tunggl dengn elemen pd. C. Sift Fungsi Dengn memperhtikn gimn elemen-elemen pd msing-msing himpunn dn yng direlsikn dlm sutu fungsi, mk kit mengenl tig sift fungsi ykni segi erikut :. Injektif (Stu-stu) Mislkn fungsi f menytkn ke mk fungsi f diseut sutu fungsi stustu (injektif), pil setip du elemen yng erlinn di kn dipetkn pd du elemen yng ered di. Selnjutny ser singkt dpt diktkn hw f : dlh fungsi injektif pil erkit f( f( ) tu ekuivlen, jik f() = f( ) mk kitny =. Contoh 4.. Fungsi f pd R yng didefinisikn dengn f() = ukn sutu fungsi stu-stu se f(-) = f().. Perhtikn gmr erikut. Gmr 4. 44
dpun fungsi pd = {ilngn sli} yng didefinisikn dengn f() = dlh fungsi stu-stu, se keliptn du dri setip du ilngn yng erlinn dlh erlinn pul.. Surjektif (Onto) Mislkn f dlh sutu fungsi yng memetkn ke mk derh hsil f() dri fungsi f dlh himpunn gin dri, tu f(). pil f() =, yng errti setip elemen di psti merupkn pet dri sekurng-kurngny stu elemen di mk kit ktkn f dlh sutu fungsi f memetkn Onto Contoh 4.4. Fungsi f : R R yng didefinisikn dengn rumus f() = ukn fungsi yng onto kren himpunn ilngn negtif tidk dimut oleh hsil fungsi terseut.. Perhtikn gmr erikut. Gmr 4.4 Misl = {,,, d} dn = {, y, z} dn fungsi f : yng didefinisikn dengn digrm pnh dlh sutu fungsi yng surjektif kren derh hsil f dlh sm dengn kodomin dri f (himpunn ).. ijektif (Korespondensi Stu-stu) Sutu pemetn f : sedemikin rup sehingg f merupkn fungsi f dlh fungsi yng dn erd dlm korespondensi stu- 45
Contoh 4.5. Perhtikn gmr erikut. Gmr 4.5 Relsi dri himpunn = {,, } ke himpunn = {p, q, r} yng didefinisikn segi digrm di smping dlh sutu fungsi yng ijektif.. Fungsi f yng memsngkn setip negr di duni dengn iu kot negrnegr di duni dlh fungsi korespondensi stu-stu (fungsi ijektif), kren tidk d stu kotpun yng menjdi iu kot du negr yng erlinn. D. Jenis Fungsi Jik sutu fungsi f mempunyi derh sl dn derh kwn yng sm, mislny D, mk sering diktkn fungsi f pd D. Jik derh sl dri fungsi tidk dinytkn mk yng dimksud dlh himpunn semu ilngn rel (R). Untuk fungsi-fungsi pd R kit kenl eerp fungsi ntr lin segi erikut.. Fungsi Konstn Definisi f : C dengn C konstn diseut fungsi konstn (tetp). Fungsi f memetkn setip ilngn rel dengn C. Contoh 4.6 Fungsi f : f(-) =, f(0) =, f(5) =. Gmr 4.6 46
. Fungsi Identits Definisi Fungsi R R yng didefinisikn segi f : diseut fungsi identits. Gmr 4.7 f() =, f() =, f() =. Fungsi Liner Definisi Fungsi pd ilngn rel yng didefinisikn f() = +, dn konstn dengn Grfik fungsi linier erup gris lurus. Untuk menggmr grfik fungsi linier is dilkukn dengn du r yitu dengn memut tel dn dengn menentukn titik potong dengn sumu- dn sumu-y. Contoh 4.7 Gmrlh grfik fungsi y = + Penyelesin : Dengn memut tel : y = + - 0 y 5 Gmr 4.8 47
Dri tel diperoleh titik-titik erup psngn koordint, kit gmr titik terseut dlm idng Crtesius kemudin dihuungkn, sehingg tmpk mementuk gris lurus. Dengn menentukn titik-titik potong dengn sumu- dn sumu-y y = + Titik potong grfik dengn sumu- : y + = sehingg titik potong grfik dengn sumu dlh, 0 Titik potong grfik dengn sumu-y : y = + y =.0 + y = 0 + y = sehingg titik potong grfik dengn sumu-y dlh (0,) Kedu titik potong terseut digmr dlm idng Crtesius kemudin dihuungkn sehingg tmpk mementuk gris lurus. Gmr 4.9 48
eerp hl penting dlm Fungsi Liner. Grdien Grdien tu koefisien rh (m) dlh konstnt yng menunjukkn tingkt kemiringn sutu gris. Perhtikn gmr erikut ini : Gmr 4.0 m y y y f ( ) f ( ) Persmn gris y = m +, dengn m, R, dlh konstnt, dengn m melmngkn grdien / koefisien rh gris lurus. Pd gmr di ts, ) dn grfik fungsi linier dengn rh putrn erlwnn rh dengn rh putrn jrum jm, mk grdien dpt pul didefinisikn segi Cttn : m y tn ) Jik m = 0 mk grfik sejjr dengn sumu- dn ini sering diseut segi fungsi konstn. ) Jik m ) Jik m. Menentukn Persmn Gris mellui Stu Titik dn grdien m Mislkn gris y = m + mellui titik P (, y ), setelh nili koordint titik P disustitusikn ke persmn gris terseut diperoleh: y = m + y = m + 49
y y = m ( ) Jdi persmn gris mellui titik P (, y ), dn ergrdien m dlh y y = m ( ). Menentukn Persmn Gris mellui Du Titik Persmn gris mellui du titik (, y ) dn (, y ) dpt diri dengn lngkh segi erikut : Persmn gris mellui titik (, y ) dengn memislkn grdienny m dlh y y = m ( )... (i) kren gris ini jug mellui titik (, y ), mk y y = m ( ), sehingg diperoleh grdienny m y y persmn (ii) disustitusikn ke persmn (i) diperoleh y y y y Jdi persmn gris mellui du titik (, y ) dn (, y ) dlh y y y y d. Menentukn Titik Potong ntr Du Gris Mislkn du gris g dn g sling erpotongn di titik P (, y) mk nili dn y hrus memenuhi kedu persmn gris terseut. Titik potong du gris dpt diri dengn metode sustitusi, eliminsi, tu memut skets grfikny. e. Huungn Grdien dri Du Gris ) Gris g yng ergrdien m diktkn sejjr dengn gris g yng ergrdien m jik memenuhi m = m. ) Gris g yng ergrdien m diktkn tegk lurus dengn gris g yng ergrdien m jik memenuhi m. m 50
4. Fungsi Kudrt Definisi entuk umum fungsi kudrt dlh y = + + dengn,, R dn prol. Jik > 0, prol teruk ke ts sehingg mempunyi titik lik minimum, dn jik < 0 prol teruk ke wh sehingg mempunyi titik lik mksimum. Lngkh-lngkh dlm menggmr grfik fungsi kudrt y = + +. y = 0 tu f() = 0 Pemut nol fungsi dri persmn kudrt y = + + diperoleh jik + + = 0. Sehingg diperoleh nili yng memenuhi + + = 0. Nili ini tidk lin dlh sis titik potong dengn sumu-, sedngkn untuk menentukn titik potong dengn sumu-y, dpt dilkukn dengn mensustitusikn nili tdi pd persmn kudrt semul.. Tentukn sumu simetri. Tentukn titik punk P (, y) dengn D 4. dn D y 4, dengn nili Jik ditinju dri nili dn D mk skets grfik prol segi erikut : 5
Cttn : Persmn Kudrt + + = 0 dpt diri kr-krny dengn: ) Pemfktorn ) Melengkpi entuk kudrt sempurn ) Rumus :. 4 Contoh 4.8 Gmrlh skets grfik fungsi y = 6 + 5 Penyelesin :. Menentukn pemut nol fungsi, dengn pemfktorn diperoleh 6 + 5 = 0 ( ) ( 5) = 0 = tu = 5 6. Menentukn sumu simetri (). Menentukn titik punk P (, y) Kren nili sudh diperoleh mk tinggl menri nili y dengn sustitusi = pd fungsi semul y = 6 () + 5 = 9 8 + 8 = 4 Jdi punk prol dlh titik (, pd gmr di wh ini. 4) sehingg skets grfikny seperti 5
E. Rngkumn. Pengertin fungsi Sutu fungsi f dri himpunn ke himpunn dlh sutu relsi yng memsngkn setip elemen dri ser tunggl, dengn elemen pd.. Sift-sift Fungsi. Injektif (Stu-stu) f : dlh fungsi injektif pil erkit f( f( ) tu ekuivlen, jik f() = f( ) mk kitny =.. Surjektif (Onto) f dlh sutu fungsi yng memetkn ke mk derh hsil f() dri fungsi f dlh himpunn gin dri, tu f(). pil f() =, yng errti setip elemen di psti merupkn pet dri sekurng-kurngny stu elemen di mk kit ktkn f dlh sutu fungsi f memetkn Onto. ijektif (Korespondensi stu-stu) f : sedemikin rup sehingg f merupkn fungsi yng injektif dn surjektif sekligus, mk diktkn f dlh fungsi yng dn erd dlm korespondensi stu-. Jenis Fungsi. Fungsi Konstn Fungsi f : C dengn C konstn diseut fungsi konstn (tetp). Fungsi f memetkn setip ilngn rel dengn C.. Fungsi Identits Fungsi R R yng didefinisikn segi f : diseut fungsi identits.. Fungsi Liner Fungsi pd ilngn rel yng didefinisikn f() = +, dn konstn dengn d. Fungsi Kudrt entuk umum fungsi kudrt dlh y = + + dengn,, R dn mk sering jug diseut fungsi prol. Jik > 0, prol teruk ke ts sehingg mempunyi titik lik minimum, dn jik < 0 prol teruk ke wh sehingg mempunyi titik lik mksimum. 5
4. eerp hl penting dlm fungsi liner. Grdien Grdien tu koefisien rh (m) dlh konstnt yng menunjukkn tingkt kemiringn sutu gris. m y y y f ( ) f ( ). Menentukn Persmn Gris mellui Stu Titik dn grdien m Persmn gris mellui titik P (, y ), dn ergrdien m dlh y y = m ( ). Menentukn Persmn Gris mellui Du Titik Persmn gris mellui du titik (, y ) dn (, y ) dlh y y y y d. Menentukn Titik Potong ntr Du Gris Mislkn du gris g dn g sling erpotongn di titik P (, y) mk nili dn y hrus memenuhi kedu persmn gris terseut. Titik potong du gris dpt diri dengn metode sustitusi, eliminsi, tu memut skets grfikny e. Huungn Grdien dri Du Gris ) Gris g yng ergrdien m diktkn sejjr dengn gris g yng ergrdien m jik memenuhi m = m. ) Gris g yng ergrdien m diktkn tegk lurus dengn gris g yng ergrdien m jik memenuhi m. m 5. Lngkh-lngkh dlm menggmr grfik fungsi kudrt y = + +. y = 0 tu f() = 0. Tentukn sumu simetri 54
. Tentukn titik punk P (, y) dengn nili D 4 dn D y 4, dengn F. Ltihn. Dintr fungsi-fungsi erikut, mnkh yng merupkn fungsi injektif, surjektif, sert ijektif? erilh penjelsnny! 55
. Sutu fungsi f : R R ditentukn oleh f() = -. Tentukn f(-), f(), dn f().. Tentukn jik f() =. nggot mnkh dri derh sl yng mempunyi pet 4?. Mnkh yng merupkn fungsi injektif, surjektif, tu ijektif dri fungsi dengn domin {,,, 4}, yng didefinisikn segi erikut?. R = {(, ), (, ), (, 5), (4, 7); jik kodominny {,,, 4, 5, 6, 7}. R = {(, ), (, ), (, ), (4, ); jik kodominny {,, }. R = {(, 4), (, ), (, ), (4, ); jik kodominny {,,, 4} d. R = {(, ), (, ), (, ), (4, 4); jik kodominny {,,, 4, 5, 6} 4. Tentukn persmn gris yng mellui :. titik M(, ) dn N(-, 6). titik (-, ) dn mementuk sudut 45 terhdp sumu positif 5. Dikethui grdien gris g dlh ½. Jik gris terseut mellui titik (, ) dn (k, 6), tentukn nili k! 6. Tentukn persmn gris l yng mellui R (, ) dn tegk lurus gris dimn titik (, ) dn (6, 5)! 56
V MTRIKS. Pendhulun Mtriks dlm mtemtik digunkn untuk menytkn ilngn-ilngn ke dlm jjrn empt persegipnjng, terentukny sutu mtriks dpt diperoleh mellui sutu sistem persmn linier, demikin pul selikny hw sutu sistem persmn linier dpt diperoleh mellui sutu mtriks. Dlm kehidupn sehri-hri penggunn mtriks dpt mempermudh penyjin sutu dt dri tel sekligus opersi-opersi ilngn yng terkndung di dlmny. Oleh kren itu, pemhmn mengeni mtriks ini sngt penting untuk diperoleh. Mellui ini, mhsisw dihrpkn memhmi pengertin mtriks, jenisjenis mtriks, opersi dn sift-sift mtriks, determinn, dn invers, sert dpt menggunknny dlm pemehn mslh.. Pengertin Mtriks Mtriks dlh susunn ilngn-ilngn dlm entuk ris dn kolom yng mementuk sutu persegipnjng. Penulisn susunn terseut ditsi oleh kurung siku tu kurung is. ilngn-ilngn dlm mtriks is erup ilngn rel tupun ilngn kompleks. Nmun dlm uku ini pemhsn mtriks hny ditsi pd ilngn rel, liht ontoh 5.. Contoh 5. Sutu mtriks ditentukn oleh nyk ris (misl m ris) dn kolom (misl n kolom), sehingg sutu mtriks yng terdiri dri m n unsur (is diseut ordo mn). Notsi mtriks menggunkn huruf kpitl, sementr notsi untuk menytkn unsur-unsurny menggunkn huruf keil. Seperti ontoh 5.. Contoh 5. Mtriks di ts terdiri dri ris dn kolom yng memiliki 6 unsur, sedngkn mtriks terdiri dri ris dn kolom. 57
Jik dlh sutu mtriks, mk simol untuk menytkn unsur-unsur pd ris i dn unsur-unsur pd kolom j dlh 5. dpt ditulis dengn. Sehingg mtriks pd ontoh Jdi entuk umum sutu mtriks yng memiliki unsur-unsur pd ris ke i dn unsur-unsur pd kolom j dlh tu Keterngn: : Mtriks : Mtriks erordo : Unsur mtriks pd ris kolom : Unsur mtriks pd ris m kolom n : Mtriks yng memiliki i ris dn j kolom dengn i = C. Jenis-Jenis Mtriks Pd dsrny jenis sutu mtriks tergntung dri ordo dn unsur-unsurny, erikut dijelskn eerp jenis-jenis mtriks.. Mtriks ris dlh mtriks yng hny terdiri dri stu ris, mtriks ini diseut jug vektor ris, misl:. Mtriks kolom dlh mtriks yng hny terdiri dri stu kolom, mtriks ini diseut jug vektor kolom, misl:. Mtriks nol dlh mtriks yng memiliki unsur nol semu, misl: 4. Mtriks negtif dlh mtriks yng semu unsurny diklikn dengn ilngn - tu semu unsureny merupkn ilngn negtif. 58
5. Mtriks ujur sngkr dlh mtriks yng memiliki ordo mm tu memiliki nyk ris dn kolom yng sm, mtriks ini diseut jug mtriks persegi, misl: 6. Mtriks digonl dlh mtriks ujur sngkr yng memiliki semu unsur ilngn di ts dn di wh digonl ilh 0, mtriks ini disimolkn dengn huruf D, misl: 7. Mtriks sklr dlh mtriks digonl yng memiliki unsur ilngn yng sm pd digonlny, misl: 8. Mtriks identits dlh mtriks sklr yng setip unsur ilngn pd digonlny ilh, mtriks ini diseut jug mtriks stun, misl: Sutu mtriks pil diklikn dengn mtriks stun mk kn kemli pd diriny sendiri, misl.i=i.= 9. Mtriks trnspose dlh mtriks yng diperoleh dengn menukrkn letk unsur-unsur pd ris menjdi letk unsur-unsur pd kolom, demikin pul selikny. Simol untuk menytkn mtriks trnspose dri mtriks dlh misl: 0. Mtriks simetris dlh mtriks ujur sngkr yng memiliki sift hw trnsposeny sm dengn mtriks semul, misl. Mtriks singulr dlh mtriks ujur sngkr yng memiliki determinn 0 dn tidk memiliki invers. Selikny pil mtriks ujur sngkr memiliki determinn 0 dn memiliki invers, mk diseut mtriks non-singulr. 59
D. Opersi dn Sift-sift Mtriks Seelum memhs mengeni opersi dn sift-sift mtriks, kn leih ik diphmi terleih dhulu tentng pengertin dri kesmn mtriks hw du mtriks diktkn sm jik kedu mtriks terseut memiliki ukurn yng sm dn unsur-unsur yng ersesuin pd kedu mtriks terseut sm. Perhtikn ontoh 5. erikut. Contoh 5. Pd ontoh 5. mtriks = kren dn memiliki ukurn yng sm dn unsur-unsur yng ersesuin pun sm. kren meski dn C memiliki ukurn yng sm, nmun d unsur ersesuin yng tidk sm ykni 7 dn 9. kren tidk memiliki ukurn yng sm. Opersi-opersi pd mtriks menyekn kekhsn tu sift-sift pd mtriks yng dijelskn segi erikut.. Penjumlhn mtriks Jik dn dlh serng du mtriks yng ukurnny sm, mk + merupkn mtriks yng diperoleh dengn menmhkn unsur-unsur yng ersesuin pd dn. Dlm hl ini rtiny jik du mtriks tu leih memiliki ukurn yng ered, mk mtriks-mtriks terseut tidk dpt dijumlhkn. Contoh 5.4 Perhtikn mtriks-mtriks Sehingg Nmun + C tu + C tidk dpt ditentukn. Sift-sift yng erlku pd penjumlhn mtriks dlh. + = + (sift komuttif). + ( + C) = ( + ) + C (sift sositif). + 0 = 0 + = (memiliki mtriks identits ykni mtriks 0) 60