BUKU RANCANGAN PENGAJARAN Mata Ajaran Kalkulus II Disusun oleh: Kasiyah M Junus Heru Suhartanto Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Agustus 2008
INFORMASI UMUM Nama mata ajar : Kalkulus II Kode mata ajar : IKI 20081 Diberikan pada : Semester ke 3 Jumlah sks : 3 tatap muka Jenis sks : 3 x 50 menit tatap muka, 50 menit tutorial, 100 menit latihan mandiri Prasyarat : Kalkulus I Kaitan dengan mata ajar lain : Persamaan Diferensial Grafika Komputer Pengolahan Citra Teori Informasi Dosen : 1. Kasiyah M Junus kasiyah@cs.ui.ac.id Ruang 1226 HP: 08 383 955 355 2. Wisnu Jatmiko, PhD Asisten : Bagan keterkaitan dengan mata ajar lain Kalkulus I Kalkulus II Persamaan Differensial KI Grafika Komputer TPL Pengolahan Citra TPL / KI Penjelasan umum Kalkulus merupakan bagian matematika yang mempelajari gerak dan perubahan, hal ini yang membedakannya dengan Aljabar. Pertama kali
dipelajari orang secara intensif pada abad 17 untuk menjawab masalahmasalah laju perubahan dan luas daerah diantara kurva. Dua masalah yang menjadi akar perkembangan Kalkulus adalah masalah garis singgung dan luas. Pembahasan kedua masalah tersebut berkembang ke dalam dua cabang Kalkulus yaitu Kalkulus Deferensial dan Kalkulus Integral. Mata ajaran Kalulus di Fasilkom diberikan dalam dua semester berturut-turut. Materi dasar Kalkulus I adalah fungsi nyata dengan satu perubah bebas. Sedang pada mata ajar Kalkulus II, dibahas turunan parsial dan integral lipat unuk fungsi-fungsi dengan lebih dari satu perubah bebas. Kalkulus II juga mencakup fungsi bernilai vektor dan barisan dan deret yang merupakan fungsi dengan domain bilangan asli. Pada pembahasan deret, penekanan pada bagaimana menyajikan fungsi-fungsi tertentu dengan deret Taylor dan McLaurin. Deret Fourier diberikan untuk membekali mahasiswa dalam mengambil mata ajar lain terkait. Irisan kerucut pada bidang juga menjadi salah satu topik di Kalkulus II, disamping mengenalkan berbagai sistem koordinat. Sebagaimana tujuan pemelajaran Matematika secara umum, mata ajar ini membekali mahasiswa dengan berbagai metode penyelesaian masalah dan mengenalkan pada penalaran matematis. Oleh karena itu, mata ajar ini menuntut keterlibatan aktif mahasiswa. Untuk membantu mahasiswa fokus pada topik pemelajaran, pada setiap sesi pemelajaran, mahasiswa dilibatkan antara lain dengan mengerjakan lembarlembar kerja. Pertanyaan-pertanyaan pada lembar kerja disusun sedemikian rupa sehingga membantu mahasiswa dalam mengkonstruksi pengetahuannya. Lembar kerja menpunyai fungsi-fungsi penting lain, seperti internalisasi, latihan, evaluasi, dan membantu mahasiswa dalammembuat catatan kuliah. Petunjuk umum pemelajaran
Dalam setiap sesi pemelajaran, mahasiswa diharuskan membawa lembar kerja yang sesuai. Mahasiswa diharapkan untuk terlibat aktif, mengerjakan tugas pada lembar kerja yang sesuai dengan sequence. Dalam mengerjakan tugas rumah, mahasiswa diperkenankan untuk bekerja sama, tidak diperkenankan menyalin buta. Kerja sama akan memperkaya wawasan.
Sasaran Pemelajaran Dalam Kalkulus, mahasiswa tidak hanya mempelajari bagaimana menghitung dengan angka-angka, bagaimana menyederhanakan ekspresi aljabar, menghitung dengan perubah, bernalar tentang titik dan kurva serta mengenalkan konsep-konsep baru dengan lebih mendalam. Setelah mengikuti kuliah Kalkulus II, mahasiswa diharapkan memiliki keterampilan dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan deret tak hingga, irisan kerucut, penurunan dan pengintegralan fungsi dengan dua atau lebih perubah bebas, dan fungsi bernilai vektor. Secara lebih rinci, sasaran pemelajaran terminal adalah sebagai berikut. Sasaran Pemelajaran Terminal: Setelah mengikuti mata ajaran ini diharapkan mahasiswa mempunyai kemampuan sebagai berikut. 1. Mahasiswa mampu menyajikan beberapa fungsi dalam suku banyak dan menghitung kesalahan atas pemenggalan suku banyak tersebut secara tepat. 2. Mahasiswa mampu menyelesaikan masalah yang dapat dimodelkan dalam deret. 3. Mahasiswa mampu mengidentifikasi berbagai bentuk geometri dari persamaan kuadratnya. 4. Mahasiswa mampu menyajikan fungsi sederhana dalam bebagai sistem koordinat. 5. Jika menemui masalah yang terkait dengan fungsi perubah banyak, mahasiswa dapat menggunakan konsep turunan dan integral lipat untuk menyelesaikannya. Sasaran Pemelajaran Penunjang 1. Jika diberikan barisan-barisan tak hingga, mahasiswa dapat menguji konvergensinya.
2. Mahasiswa dapat menyusun diagram alur uji konvergensi deret positif, dan mampu menerapkannya untuk deret-deret sederhana. 3. Jika diberikan fungsi sederhana, mahasiswa mampu menyajikannya dalam suku banyak Taylor dan deret McLaurin, dan mampu menentukan interval konvergensinya. 4. Mahasiswa mampu menerapkan deret-deret tertentu untuk menyelesaikan masalah terkait sederhana. 6. Mahasiswa mampu mengidentifikasi sifat-sifat irisan kerucut dua dimensi, dan menggambar grafiknya jika persamaan diberikan. 7. Mahasiswa mampu mengaitkan representasi grafik sederhana ke dalam berbagai system koordinat dan konversi dari satu 8. Mahasiswa mampu menjeaskan fungsi dalam bentuk polar, parametrik, dan vektor. 9. Jika diberikan fungsi dengan beberapa perubah bebas, mahasiswa mampu menjelaskan secara geometris turunan parsialnya terhadap salah satu perubah. 10. Jika diberikan fungsi sederhana dengan beberapa bebas mahasiswa mampu menghitung luas permukaan, dan volume benda yang grafik fungsi tersebut dan bidang-bidang sejajar bidang koordinat. 11. Mahasiswa mampu menerapkan integral dengan koordinat kutub untuk menyeesaikan masalah-masalah sederhana yang sesuai. 12. Jika diberikan fungsi dengan dua perubah bebas, mahasiswa mampu menentukan domain naturalnya dan rangenya, menggambar grafiknya, menentukan limit fungsi di suatu titik, dan menentukan kontinuitas di suatu titik. 13. Jika diberikan fungsi dengan dua perubah bebas sederhana, mahasiswa mampu meninterpretasikan secara geometris turunan parsialnya terhadap salah satu perubah, dan menghitung turunan parsial di suatu titik.
14. Jika diberikan fungsi dengan dua atau tiga perubah bebas, mahasiswa mamahami prosedur penentuan integral lipat tertentu, dan menerapkannya pada penghitungan sederhana. 15. Jika diberikan fungsi tertentu, mahasiswa dapat menghitung integral dalam koordinat kutub.
Pokok Bahasan dan Sub Pokok Bahasan N o Pokok Bahasan Subpokok bahasan Rujukan pertemu an 1.1. Barisan tak hingga: penyaajian, [1] chap 1, 2, 3, 1 Deret dan barisan tak hingga konvergensinya 1.2. Deret tak hingga: konvergensi 1.3. Test konvergensi deret positif 1.4. Deret pangkat 1.5. Deret ganti tanda: konvergensi absolute, bersyarat 1.6. Deret dan suku banyak Taylor 1.7. Penyajian fungsi dengan deret 1.8. Deret-deret khusus: Deret Fourier 2 Irisan kerucut 2.1. Geometri analitik dan irisan kerucut 2.2. lingkaran 2.3. parabola 2.4. ellips 2.5. hiperbola 2.6. translasi dan rotasi 3 Sistem koordinat 3.1. system koordinat Kertesius R2 dan R3 3.2. Sistem koordinat kutub, fungsi polar 3.3. Kalkulus dalam system koordinat kutub 3.4. Sistem koordinat tabung 3.5. Sistem koordinat bola 3.6. Konversi system koordinat 4 [1] chap 5 [1] chap 6, 7 4 Parametrisasi kurva bidang Test taking strategy dan Ujian 1 9 8 4 Vektor pada bidang dan ruang 4.1. Vektor pada bidang dan ruang 4.2. Fungsi bernilai vektor 4.3. Persamaan garis dan bidang pada ruang 4.4. Kurvatur dan percepatan 5 Penurunan parsial 5.1. Fungi perubah banyak 5.2. limit dan kontinuitas [1] Chap 10 [1] chap 11, 12
5.3. penurunan parsial 5.4. nilai maksimum dn minimum fungsi perubah banyak 5.5. increament dan differentials 5.6. aturan rantai dan penurunan implicit 6 Integral lipat 6.1. Integral lipat dua pada daerah sederhana 6.2. Luas dan volume dengan integral lipat dua 6.3. Integral lipat dua pada koordinat kutub 6.4. integral lipat tiga [1] chap 13, 14, 15 Rujukan Utama [1] Vargerg, Dale; Edwin J. Purcell; Steven E. Rigdon. Calculus, 8 th Edition, Prentice Hall Inc, 2000 Penunjang [2] Edwards, Henry C., Davis E Penney, Calculus with Analytic Geometry 5 th Edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 1998 [3] Finney, Ross L., Maurice D. Weir; Frank R. Giordano (ed),thomas Calculus, Addison Wesley Publ. Co. 2001
BAB IV MATRIKS KEGIATAN Metode pembelajaran: 1. Kuliah Interaktif (KI) 2. Tutorial (T) 3. Diskusi Kelompok (DK) 4. Tugas Individu (TI) 5. Tugas Kelompok (TK) 6. Mengerjakan worksheet (WS) Sumber Pembelajaran 1. Buku Teks 2. Handout 3. Internet 4. Manual Matlab Media Instruksional 1. Whiteboard 2. OHP 3. Worksheet Matriks Kegiatan Perkuliahan Activity Matrix minggu 1 2 3 4 Tanggal Sasaran Pemelajaran Metode Pemelajaran pokok Bahasan Terminal Penunjang O L U 1 KI WS KI Barisan: konvergensi 1 1 KI, WS WS, T Uji konvergensi barisan T 2 KI, DK TK TI Deret 2, 3 KI, WS WS WS Uji konvergensi deret positif 3 KI, WS WS WS, TK Deret Taylor dan McLaurin 4 KI WS Quiz1 Deret Fourier Media 5 5 2 5 KI WS, TI WS Irisan Kerucut: bentukbentuk dan persamaan, essentrisitas KI WS WS Irisan kerucut: dengan suku-xy KI WS, WS, Affine geometry TK Quiz2 3 6 KI WS WS KI Sistem koordinat KI
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 6 KI KI WS Sistem koordinat WS KI, WS KI WS Kakulus polar KI KI WS KI, WS KI WS TK UTS TI TK Quiz3 Fungsi polar Fungsi parametrik KI KI WS Fungsi bernilai vektor WS KI WS WS Kurvatur 7 KI WS WS TI Limit KI, WS WS WS Limit, kontinuitas KI, WS WS WS Differnsial dan increament KI, WS WS WS Geometri Turunan parsial KI, WS WS WS Turunan parsial KI, WS WS WS TK Maksimum minumum KI, WS WS WS Aturan rantai dan Turunan implisit KI, WS WS WS Integral lipat 2 KI, WS WS WS Aplikasi Integral lipat 2 KI, WS WS WS Integral lipat 3 dan aplikasinya KI, WS WS WS Integral lipat kood kutub KI, WS WS WS Fungsi Densitas Normal
BAB V EVALUASI HASIL PEMELAJARAN Bentuk/jenis instrumen 1. Tugas individu 2. Tugas Kelompok (laporan hasil diskusi) 3. Kuis (isian singkat, pilihan ganda, Benar/Salah) 4. Ujian Tertulis (essay, jawaban singkat, pilihan ganda, Benar/Salah) Skema Penilaian Akhir No Komponen Bobot 1. Tugas Individu/Kelompok (3-5) 5% 2. Kuis (2-3 kali) 20% 5. Ujian Tengah Semester 30% 6. Ujian Akhir Semester (komprehensip) 35% Total 100% Materi Ujian 1: Barisan dan Deret Materi Ujian 2: Irisan Kerucut, Sistem Koordinat, Vektor Materi Ujian 3: Penurunan Parsial, Integral Lipat Materi Ujian Akhir Semester: mencakup semua materi untuk Ujian 1, 2, 3 Kisi-kisi naskah Ujian 1, 2, dan 3 Ranah Kognitif Instrumen Jumlah soal bobot K5 K6 Extended response essay (membuat/ mengajukan prosedur penyelesaian, mengaitkan bebera - pa sifat penting, memformulasikan rumus untuk menyelesaiakan masalah yang diberikan, menentukan prosedur yang paling efektif) 3-4 50% K4 Restricted response essay (menerapkan prosedur, analisis 2-4 30%
sifat-sifat sederhana) K3 Pilihan ganda, BENAR/SALAH 5-10 20% dengan alasan, isian singkat Jumlah 10-18 100% Kisi-kisi naskah Ujian Sumatif Ranah Kognitif Instrumen Jumlah soal bobot K6 Extended response essay (memilih/ menilai prosedurprosedur penyelesaian, memberi argumentasi) 1-3 20% K6 Restricted response essay (menghitung, mengidentifikasi, mengklasifikasi) 8-10 40% K5 Pilihan ganda, BENAR/SALAH 10-15 40% (dengan alasan), isian singkat Jumlah 10-16 100%
BAB VI CONTOH SOAL UJIAN Waktu : 90 menit Sifat Dosen : closed book, tanpa kalkulator, open Worksheets : Kasiyah M. Junus Petunjuk: Baca baik-baik soal dan bobot nilainya. Ketelitian amat diperlukan. Manfaatkan waktu dengan baik. Pergunakan sifat-sifat penting yang mempermudah perhitungan /evaluasi. Nilai nol diberikan pada mahasiswa yang melakukan kecurangan. JAWABAN langsung ditulis di LEMBAR SOAL. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat. Perhatikan bobot nilainya. 1. [Bobot 5] Jelaskanlah titik manakah dari parabola yang paling dekat ke garis direktriknya? Jawab: 2. [Bobot 10] Apakah r 1 (t) = (cost, sint) dan r 2 (t) =(cos 2t, sin 2t) menyajikan kurva yang sama? Berikan alasanmu. Jawab: Alasan: 3. [Bobot 15] Untuk nilai-nilai k berapakah irisan kerucut 2x 2 + 3y 2 +4x 12 y = k terdegenerasi? Identifikasi bentuk grafiknya untuk setiap kasus Jawab: 4. [Bobot 10] Diketahui bahwa essentrisitas bumi adalah 0.017. Hitunglah rasio b/a yaitu hasil bagi semi sumbu minor terhadap semi sumbu mayor. Jawab:
5. [bobot 10] Buatlah sketsa kurva parametrik x = t 5 + 5, y = 4t 5 5 Jawab 6. [Bobot 10] Diberikan kurva polar r + 3 = 4 sin(5t). Tentukan persamaan vektornya. Jawab: 7. [bobot 15] Misalkan sebuah partikel bergerak sepanjang helix r(t) = cost i + sint j + 2t k, z menyajikan ketinggian dari permukaan tanah. a.apakah partikel pernah bergerak turun? Kapan? b. Kapan partikel mencapai 10 unit di atas tanah? c. Berapa kecepatannya ketika benda berada 10 unit di atas permukaan tanah? 8. [bobot 15] Hitunglah luas oval limacon r = 4 + 2 cos t. 120 90 6 60 4 150 2 30 180 0 210 330 240 270 300 Jawab: 9. [Bobot 15] (a). Hitunglah kurvatur irisan kerucut r = 3 cos t di titik tertinggi. (b).tentukan persamaan irisan kerucut yang bentuknya sama dan pusatnya juga sama, tetapi di titik tertingginya kurvaturnya setengah dari jawaban di (a). Jawab: