Ctt Kulih Mtemtik Ekoomi Memhmi d Meglis ljbr Mtriks. Mtriks d Vektor Mtriks Mtriks dlh kumpul bilg, prmeter tu vribel tersusu dlm bris d kolom sehigg terbetuk segi empt. Susu ii bisy diletkk dlm td kurug ( ) tu kurug siku [ ]. Bilg, prmeter tu vribel yg berd dlm kurug tersebut merupk ggot tu eleme dri mtriks. Notsi : huruf besr, misl : Cotoh mtriks deg eleme ij : ij, i, 2,..., m j, 2,..., 2 2 2 2 2 2 mx tu mx m m2 m m m2 m m : jumlh bris : jumlh kolom m : dimesi mtriks i : bris ke-i j : kolom ke-j Cotoh : Mtriks berdimesi 6 4 6 2 2 8
Vektor Susu bilg yg hy terdiri dri stu bris (vektor bris) tu stu kolom (vektor kolom). Vektor bris [ ] ( x) 2 Vektor kolom ( mx) m 2 Jeis-Jeis Mtriks. Mtriks bujur sgkr Mtriks yg memiliki jumlh bris (m) d jumlh kolom () yg sm. Misl mtriks berdimesi 2 2 dim m 2 d 2 2 x 2 2 2 b. Mtriks digol Mtriks disebut mtriks digol jik ij utuk i j. [ ] 2 2 2 c. Mtriks simetris Mtriks bujur sgkr yg memiliki eleme di bwh digol merupk cermi dri eleme di ts digol sehigg trspose mtriks ( ' tu ) sm deg mtriks ( ' ). tu deg kt li, mtriks disebut mtriks simetris jik ij utuk setip i d j. ji 2 5 2 7 [ ] 2 5 7 4 dim 2 2 2
d. Mtriks sklr Mtriks bujur sgkr yg memiliki eleme-eleme ili yg sm pd digol utmy. dim Cotoh : [ ] e. Mtriks Idetits (I tu I ) Mtriks bujur sgkr deg eleme-eleme pd digol utm berili, sedgk eleme yg liy berili ol. I2 I Sift-sift : I I I I I I f. Mtriks Nol Mtriks yg seluruh eleme-elemey terdiri dri bilg ol. 2 2, g. Mtriks segitig Mtriks dim ili semu eleme di ts digol utm tu di bwh digol utm berili ol. 2 Mtriks segitig ts :
Mtriks segitig bwh : h. Mtriks Idempote 2 Mtriks bujur sgkr disebut mtriks idempote jik memeuhi tur. Cotoh :, 4,8,, 6, 4,8, 4,8, 4,8,, 6,, 6,, 6 i. Mtriks Prtisi Sutu mtriks yg dibgi mejdi du tu lebih submtriks. Pembgiy dpt dilkuk meurut bris d (tu) kolom. Mtriks prtisi ii ditdi deg gris horizotl d (tu) gris vertikl secr terputus-putus. Keguy dlh utuk memudhk dlm opersi mtriks. Misl mtriks berukur m : 2 2 2, 2, [ ] j. Mtriks rspose Mtriks yg brisy slig dipertukrk mejdi kolom tu sebliky kolom mejdi bris. Notsi : Cotoh : ' tu 7 9 2 mk 9 7 2 Sift-sift rspose : rspose dri trspose sutu mtriks dlh mtriks itu sediri tu mtriks sliy. rspose dri sutu jumlh tu selisih mtriks dlh jumlh tu selisih mtriks msig-msig trspose. [ ] ± B + B 4
rspose dri sutu hsil kli mtriks dlh perkli dri trsposetrspose dlm urut yg terblik. [ ] B B tu [ ] BC C B 2. Opersi Mtriks. Pejumlh d pegurg mtriks Mtriks dpt dijumlh tu dikurg jik memiliki dimesi (ukur) yg sm. ± B C m m m Sift-sift pejumlh (tu pegurg) : Komuttif : ± B B± sositif : ( ± B) ± C ± ( B± C) b. Perkli mtriks Mtriks dpt diklik jik hy jik ukur kolom sutu mtriks sm deg ukur bris mtriks liy. B C dim p m p q m q Sift-sift : I Perkli sclr (k) : k k B B sositif : ( B) C ( BC) Distributif : ( B+ C) B+ C ( B + C) B+ C. Determi d Sift Dsr dri Determi Determi sutu mtriks dlh sutu bilg sklr yg diperoleh mellui opersi tertetu dri eleme-eleme mtriks tersebut. Determi hy dpt diperoleh pd mtriks bujur sgkr. Peulis sutu determi mtriks ditdi deg kurug, mislk determi mtriks ditulis. 5
Metode peghitug determi: ) Determi tigkt du (secod-order determit) 2 2 2 2 ( ) ( ) Cotoh : 4 {()(5)} {(8)(4)} 8 8 5 b) Determi tigkt (third-order determit) [ ] 2 2 Metode srrus 2 2 2 2 + + ) ( + + ) ( 2 2 Cotoh : 2 4 5 6 (2)(5)(9) + ()(6)(7) + ()(8)(4) (2)(8)(6) ()(4)(9) ()(5)(7) 9 7 8 9 Metode lplce exptio ij C i dim : i+ j C ij ( ) M ij ij ij : eleme mtriks ke-ij C ij : cofktor mtriks ke-ij 6
M ij : mior mtriks ke ij, merupk ili submtriks deg meghilgk bris ke-i d kolom ke-j Sehigg ili determi dri mtriks berdimesi x : + C + 2C2 C + M 2 M 2 M 2 2 + 2 + 2 2 2 + 2 Sift-sift determi :. Pertukr bris deg kolom tidk mempegruhi ili determi. Deg kt li, ili determi sutu mtriks sm deg ili determi trspose mtriks tersebut. ' c b d b c d d bc 4 4 5 Cotoh: 9 5 6 6 2. Pertukr du bris (tu du kolom) mpu k megubh td, tetpi ili dri determiy tidk berubh. b d bc c d pertukr kedu bris meghsilk : c d cb d ( d bc), b Cotoh: 2 5 7 26, pertukr kolom pertm deg kolom ketig meghsilk: 7
7 5 2 26. Perkli dri stu bris (tu stu kolom) mpu deg bilg sklr k k megubh ili determi sebesr k kli. k kb kd kbc k( d bc) c d Perlu diigt bhw: k k Jik meglik sutu mtriks deg bilg kost k, mk semu eleme dlm diklik oleh k. etpi, bil meglik determi deg k, hy stu bris (tu kolom) yg diklik oleh k. b k kb k c d kc kd b k kb k b k c d c d kc d 4. Pembh (tu pegurg) dri sutu kelipt bris tu kolom mpu, ke bris tu kolom yg li k meyebbk ili determiy tidk berubh. b b ( d + kb) b( c + k) d bc c + k d + kb c d 5. pbil stu bris tu kolom dlh idetik tu kelipt dri bris tu kolom liy, mk ili determiy k mejdi ol 2 2b b 2b 2b 4. Kombisi Liier d Rk Kombisi Liier Sutu vektor W diktk sebgi kombisi liier dri himpu vektor-vektor u, u2,..., u pbil W dpt diytk dlm betuk : i i 2 2... ; i i W ku ku + k u + + k u k R 8
Kebebs Liier (Lierly Idepedet) Sutu himpu vektor-vektor u, u 2,..., u bebs liier jik d hy jik ku i i ku + k2u2+... + ku hy utuk k k 2... k i dlh vektor ol., dim erput Liier (Lierly Depedet) Sutu himpu vektor-vektor u, u 2,..., u bebs liier jik d hy jik ku i i ku + k2u2+... + ku deg i i k tidk semuy berili ol. Rk Rk diguk utuk meetuk sigulrits sutu mtriks d lier idepedet pd sutu sistem persm lier. Cr meetuk rk :. Determi jik ili determi sutu mtriks tidk sm deg ol mk mtriks tersebut memilik rk peuh. b. Opersi bris elemeter Sediy determi sutu mtriks itu ol, ili rk msih bis ditetuk deg cr opersi bris elemeter. Ketetu proses opersi bris elemeter: Pertukr tr 2 bris pd mtriks Perkli tu pembgi dri sutu bris deg sutu sklr Pejumlh dri k kli sutu bris deg bris yg li Cotoh : 5 9 9
Cr determi : 5 9 42 rk Cr opersi bris elemeter : 5 5 5 9 E.() 9 E 9 rk.2( 5 2) 5 4 Sol : pkh mtriks mempuyi full rk? Berp rk dri mtriks? Lkuk lisis determi d opersi bris elemeter. 2 ) 2 4 2 2 2 b) c) 2 2 2 4 6 2 2 4 2 2 2 2