CATATAN KULIAH Pertemuan III: Model-model linier dan Aljabar Matriks (1)

Transkripsi

1 CTTN KULIH Pertemu III: Moel-moel liier ljr Mtriks () Tuju mempeljri ljr Mtriks : Memerik sutu r peulis sistem persm yg sigkt wlupu persmy lus sekli Memerik sutu r peguji sutu pemeh eg peekt etermi Meptk r pemeh yg rigks (jik solusiy ). Mtriks Vektor. Mtriks segi Susu [rry] sumsik Moel Ekoomi segi system persm lier, i m: : prmeter, eg i.. ris, j.. m kolom, ili m, i : vriel eoge, i : vriel eksoge merupk kostt. Mk Moel terseut pt itulisk segi: m m m Kemui efiisik : Mtriks lh sutu susu segi empt ri ilg, prmeter vriel.

2 Betuk umum ri mtriks iytk segi : [ ] i,,., m ris, j,,., kolom m m m Seljuty eg peulis mtriks, mk sistem persm lier pt itulisk segi: im: mtriks ri prmeter vektor kolom ri vriel eoge vektor kolom ri vriel eksoge erup kostt Seljuty utuk memehk moel ekoomi terseut, kit hrus meri ili vektor, s: m m m *

3 Ilustrsi utuk Moel u persm u vriel ) QQs ) Q P (, >) ) Qs - P (, >) Seljuty tur sehigg meji etuk i wh ii: ) Q P 5) Q P - Seljuty itulis eg ljr Mtriks segi: Solusi ipt eg Ivers Mtriks (Pertemu seljuty). Vektor segi Mtriks Khusus VEKTOR pt iggp tipe khusus ri mtriks, otohy: Vektor ris mtriks yg hy memiliki ris Cotoh : R [ r, r,..r ] Vektor kolom mtriks yg hy memiliki kolom Cotoh : C B. Opersi eg Mtriks Pejumlh Mtriks Ser umum, tury: P Q P Q * * * [ ] [ ] [ ]

4 Pegurg Mtriks Ser umum, tury: 6 [ ] [ ] [ ] Iterpretsi geometrik ri Pejumlh Vektor Mislk v [ ], u [ ], vu [5 5] mk pt igmrk segi: 5 V VU U 5 Perkli sklr Ser umum, tury: [ ] [ ] kostt Perkli sklr ii merupk sl ri kosep ketergtug lier (lier epeee) Himpu vektor slig tergtug lier (lierly epeee) jik semrg ri ggoty pt iytk segi komisi lier ri ggot-ggot yg li.

5 Ketergtug lier ii yg k meyek kesukr lm memehk sistem persm lier. Cotoh: [ ] v 7 v [ 8] v [ 5] Mk vektor V lh ergtug lier, kre: v v v [ 6 ] [ 6] [ 5] v v v Iterpretsi geometrik ri Perkli sklr 6 5 [ 6 ] U [ ] U [ ] U Perkli Vektor (hsilkli titik) Jik z lh vektor ris erikut ii: z [ ] [ z z z ] z Mk hsilkli titik ri u vektor terseut lh: y. z' z [ ] z z z z z z z

6 Ctt p Opersi Vektor Seuh vektor kolom u [m ] ris vektor v [ ] mk hsil kliy uv mempuyi imesi [m ]. Cotoh: u v [ 5] uv Perkli Mtriks Perkli mtriks memutuhk Koisi Kesesui (oformility oitio) Koisi Kesesui lh hw utuk perkli, imesi kolom mtriks ri mtriks yg i wl (le mtri) hrus sm eg imesi ris ri mtriks yg i khir (lg mtri) B. Ji pil B lh semrg mtriks im imesi ri keu mtriks lh (m) B(pq), perkli mtriks B pt ilkuk pil p hsil ri perkli terseut lh seuh mtriks yg erimesi (mq). Cotoh: B [ ] [ ] [ ] C [ 5] Dimesi: (), B(), mk C() Notsi Sigm Σ Simol Yui sigm yg iguk utuk Pejumlh lh r li utuk meyjik Perkli Mtriks. Dlm otsi ii iguk, ieks pejumlh isy isimolk i. Cotoh: Notsi utuk Hsilkli titik: 8 5 i i i

7 C. Hukum Komuttif, sositif Distriutif Hukum Komuttif Pejumlh Mtriks: B B B B Perkli Mtriks, ser umum tik ersift komuttif. Sehigg, B B, hk jik B memeuhi koisi kesesui., B 6 7 B B ( ) ( 6) ( ) ( 7) ( ) ( 6) ( ) ( 7) 5 () ( )( ) ( ) ( ) 6() 7( ) 6( ) ( 7) 7 Kekeuli: BB jik hy jik B seuh sklr, B mtriks ietits I, tu B ivers ri mtriks, tu - D. Mtriks Ietits Mtriks Nol Mtriks Bujursgkr Mtriks segi lh mtriks yg memiliki jumlh ris jumlh kolom yg sm Cotoh : m Mtriks Ietits

8 Mtriks ietits lh mtriks ujursgkr yg memiliki ili sm eg utuk igol utm ol utuk yg liy. Cotoh : I I Mtriks Nol Mtriks Nol lh mtriks yg semu elemey sm eg ol. Cotoh : E. Mtriks Trspos Trspos ri sutu mtriks yg erukur m iotsik segi T yg erukur m im setip elemey lh T ji. Cotoh: s q r p s r q T ρ Sift Mtriks Trspos: ( T ) T F. Determi Sift Dsr Determi Defiisi: Determi sutu mtriks iotsik segi lh ilg sklr yg ihuugk ser tuggl eg mtriks terseut. Cotoh: T

9 Oro Oro Ser umum pt ihitug eg Ekspsi Lple eg megguk Kofktor: Mk eg Ekspsi Lple ipt hw: Di m: j C j sklr j D mtriks M lh mtriks tp ris ke-i kolom ke-j, yitu: Cotoh: 5 6 M M M i j ( ) C M

10 M M M j Sift - sift etermi. T. - I i j ( ) M. 5.( ).( 5) 8 5 j. B B Cotoh : B B.. Mk:.B. B 9.9. pil ris tu kolom mtriks iklik eg sklr k, mk * k., *Mtriks yg ris tu kolomy iklik eg sklr k. Cotoh : (5 ) 5. Pertmh (pegurg) ri sutu kelipt ris mpu ke ris yg li, TIDK meyek ili etermi eruh.

11 Cotoh : k k ( k) ( k) G. Mtriks Sigulr: Krkteristik Ietifiksi Beerp ksus, im sutu sistem persm lier tik mempuyi solusi:. Tik kosiste tergtug lier (lier epeet) y 8 y 9 8 y 9. Tergtug lier (lier epeet) y y y. Terllu yk persm y 58 y 8 y 58 y 8 Syrt sutu sistem persm lier mempuyi solusi:. Mtriks ujur sgkr (), sehigg: jumlh persm jumlh vrile.. Bris tu Kolom Mtriks ersift slig es lier (lierly iepeet). Hl ii ipeuhi jik rk() (syrt ukup osigulr). Jik syrt () () ipeuhi mk mtriks iseut mtriks osigulr. Jik tik mk iseut segi mtriks sigulr, yg megkitk sistem persm lier tik mempuyi solusi.

12 H. Tes Sigulrits. Defiisi: Mislk ierik mtriks eroro (), mtriks iktk mtriks sigulr, il Ietifiksi Mtriks Sigulr. Tes Sigulrits : Tekik Determi Cotoh: pkh mtriks sigulr? Jw: ( ) 5.( ).( ) Kre etermi mtriks sm eg ol, mk mtrik lh mtriks sigulr. Sekrg perhtik p yg meyek mtriks sigulr! P mtriks, Bris ke- Bris ke- merupk kelipt stu eg yg liy. Oleh kre itu etermiy, ersrk sift etermi ke-5.. Kees liier (syrt ukup o-sigulr) Defiisi : Komisi liier Sutu vektor w iktk komisi liier ri V, V, V,, V pil w pt iugkpk segi erikut : W K V K V KV Σ KiVi Defiisi : Kees liier Mislk V { V, V, V,, V } merupk kompoe vektor K { K, K, K,, K } merupk kompoe prmeter sklr, mk perhtik persm vektor lm etuk: Σ K i V i K V K V KV,

13 Persm ii k mempuyi plig seikit stu pemeh trivil yitu K K K K Jik K i, mk V i lh stu-stuy pemeh mk V iktk es liier.jik tik, mk V ergtug liier. (sigulr) Cotoh Tes Sigulrits : B, perikslh pkh Bo-sigulr? 6. Guk tekik etermi: B - B sigulr. Guk tekik kees liier Mislk : V{ V, V } lh vektor-vektor kolom ri mtriks B, s: V 6 V K V K V K K 6 K K 6K K Du Persm i ts ietik, mk guk slh stu Pilih Persm : 5 K K K - K Pemeh ii meujukk y yk solusi gi persm K V K V. Cotoh solusi seli K K, lh K - K, sehigg V V tik es liier (ergtug liier). Seljuty isimpulk mk B lh mtriks sigulr. Ltih:. Periks pkh mtriks erikut ii sigulr?