Pertemuan ke Segiempat Segiempat adalah bidang datar yang dibatasi oleh empat potong garis yang saling bertemu dan menutup D C B Empat persegi panjang d D E a c C B b B = CD dan B // CD D = BC dan D // BC = B = C = D =90 o C dan BD diagonal Keliling = ( panjang + lebar ) Luas = panjang x lebar Politeknik Negeri Bali
Bujur Sangkar D a D a E a a B B = CD dan B // CD D = BC dan D // BC = B = C = D =90 o C dan BD diagonal C = BD E=EC=DE=EB DE C Keliling = 4a Luas = a Politeknik Negeri Bali
Jajaran Genjang Sifat-sifat jajaran genjang: Dua buah pasang sisinya sejajar Sudut yang berhadapan sama besar. D C E B C = DC; D = BC E = EC ; DE = EB = C ; B = D Kll = ( B + BC ). Luas = alas x tinggi atau Luas = ½ ( hasil kali diagonal) Politeknik Negeri Bali
Belah Ketupat Sifat-sifat belah ketupat -. Panjang semua sisi adalah sama -. Sisi yang berhadapan adalah sejajar -. Sudut-sudut yang berhadapan adalah sama besar. D C E B = BC = CD = D B//CD D//BC DE C Luas = ½ ( C x BD ) Luas = alas x tinggi B Politeknik Negeri Bali 4
Trapesium Sifat-sifat dari trapesium yaitu mempunyai satu pasang sisi yang sejajar B//CD + + + = 60 0 Kll = B + BC + CD + D Luas Jumlah sisi sejajar x tinggi Politeknik Negeri Bali
CONTOH Sebuah jajaran genjang dengan panjang sisi yang berdekatannya masing-masing mm dan 8 mm, sudut apitnya sebesar 60 0. Hitunglah: a). Panjang diagonal-diagonalnya b). Luas jajaran genjang c). Jarak antara garis-garis yang sejajar. Penyelesaian D C BE = ½ BC BE = ½ x =, C E CE 60 O F B E C BD (8,) DF FB (, ),6mm G BD (, ) (8,) 49 7mm Jadi BD = 7 mm Politeknik Negeri Bali 6
Luas = alas x tinggi L = B x DF L = 8 x, =4,64 mm DF =, = 4, mm BG = ½ B = ½. 8 = 4 G G B 8 4 BG 48 6,9mm Politeknik Negeri Bali 7
CONTOH Hitunglah luas belah ketupat dengan sisi 7, mm dan diagonal terpanjang 0, mm D 7, 0, D Penyelesaian B Luas belah ketupat adalah jumlah luas buah setiga BC dengan panjang sisi 7,, 7, dan 0, a = 7,; b = 0, dan c = 7, Politeknik Negeri Bali 8
a s Luas b c BC 7, s( s 0, a)( s 7, b)( s,4 c) Luas BC,4(,4 7,)(,4 0,)(,4 7,),87mm L = x,87 =,7 mm Politeknik Negeri Bali 9
Soal Diketahui segitiga OB seperti pada gambar x B y C x D T y O Titik C pada garis B dan titik D pada garis OB. Titik T perpotongan OC dan D sedemikian hingga C:CB = : dan OD : DB = :. Tentukan OT : TC! Politeknik Negeri Bali 0
Penyelesaian Panjang O tidak ditentuka n maka berlaku untuk semua segitiga. Diambil Segitiga OB siku-siku di B, panjang O =, BO = 4 dan B = Perhatikan segitiga BO O D B C T G H F E Perhatikan segitiga OBE siku-siku di E Kesamaan luas segitiga OB = Luas segitiga BO O. EB B. BO.EB =. 4 EB OE OE 4 6 ( BO) ( BE) E = O OE E E 9 6 Politeknik Negeri Bali
Perhatikan OBE ODG OB OD 4 DG BE DG DG OB OD 4 OG OE OG 6 DG 4 B C Jadi Koordinat Titik D 4, D T O G H F E Politeknik Negeri Bali
O D B C T G H F E Perhatikan BE CF B C CF BE CF CF 8 Jadi Koordinat Titik C 9 8, Dan B C CF OF 9 F 6 E F 6 9 Politeknik Negeri Bali
O D B C T G H F E Persamaan grs OC: grs melalui titik O(0,0) dan C( 9/, 8/) Pers. grs OC: x 9 x 9 Jadi pers. grs OC: Persamaan grs D: grs melalui titik O(,0) dan C( 4/, /) x y 0 4 0 x y Jadi pers. grs D: 0 0 y 8 y y 8 y 0 0 x 8 9 7 x Politeknik Negeri Bali 4
y O y D x 8 9 x B C T G H F E 7 Titik T titik tengah perpotongan daris OC dan D, akibatnya: 9 Jadi OH = y = y 8 x 9 6 x 9 7 x 9 9 x x x 7 Politeknik Negeri Bali
O D B C T G H F E Perhatikan OHT OFC OT OC OT OC OT OC OH OF 9 9 kibatnya: OT TC OT TC OT TC OT OC OT Jadi OT : TC = : Politeknik Negeri Bali 6
Soal 0 Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar Penyelesaian Gambar Luas daerah yang diarsir = Luas ΔBD + Luas ΔBE Luas ΔBC = ½ 4 6 + ½ 4 9 ½ 4 = ( + 8 ) cm Jadi luas daerah yg diarsir 8 cm Politeknik Negeri Bali 7
Soal BC adalah sebuah segitiga dengan panjang B = 6. Dibuat sebuah lingkaran dalam yang menyinggung sisi B di K, C di L dan BC di M (lihat gambar ). Jika panjang LC =, tentukan keliling segitiga BC. Gambar Politeknik Negeri Bali 8
Soal Pada segitiga BC diketahui panjang C =, B = 6 dan BC = 7. Dari titik C dibuat garis tegak lurus sisi B memotong sisi B di titik D. Tentukan panjang CD. Politeknik Negeri Bali 9
Soal Perhatikan gambar. B dan CD adalah diameter lingkaran dengan B = CD = 8 serta B dan CD saling tegak lurus. Busur C, CB, BD dan D adalah 4 busur yang kongruen dengan dua busur yang berdekatan saling bersinggungan. Tentukan luas daerah yang diarsir. (Jawaban boleh dinyatakan dalam π. Ingat bahwa π /7 maupun,4.) Politeknik Negeri Bali 0
E C F E C H G D Buat persegi EFGH dengan, B, C dan D adalah pertengahan sisi-sisinya. Luas arsir = Luas persegi EFGH 4 Luas /4 lingkaran B O Misal perpotongan garis B dan CD di titik O Luas arsir = 8 8 4 (¼ π 4 ) Luas arsir = 64 6π Cara Lain : Luas tembereng C = Luas /4 lingkaran Luas ΔOC = 4π 8 Luas arsir = Luas lingkaran 8 Luas tembereng Luas arsir = π 4 8 (4π 8) Luas arsir = 64 6π Politeknik Negeri Bali
lternatif : Misal perpotongan garis B dan CD di titik O Luas tembereng C = Luas /4 lingkaran Luas ΔOC Luas tembereng C = ¼ π 4 ½ 4 4 Luas tembereng C = 4π 8 Luas arsir = Luas lingkaran 8 Luas tembereng Luas arsir = π 4 8 (4π 8) Luas arsir = 64 6π Politeknik Negeri Bali
Soal 4 Pada segitiga BC, titik F membagi sisi C dalam perbandingan :. Misalkan, G titik tengah BF dan E titik perpotongan antara sisi BC dengan G. Tentukan perbandingan, titik E membagi sisi BC Politeknik Negeri Bali
Penyelesaian: Teori: Perbandingan seharga dan segitiga sebangun Karena segita BC berlaku untu semua segitiga termasuk segitiga siku-siku. mbil segitiga BC siku-siku dan siku-siku di Misalkan C = dan B = 4 Politeknik Negeri Bali 4
Y C F G D Jika DG = ½ F maka; D = ½ B = ½.4 = 4 H E B Karena segitiga BF dan DBG sebangun berlaku: F DG BF BG Karena G titik tengah BF maka kibatnya: X F DG DG DG BF BG BF BG Jadi Koordinat titik G(, ) Kemiringan garis DG tg D 4 Persamaan grs G : y x 4 Sedangkank an pers,grs BC :x y 4 x G 4y Politeknik Negeri Bali
Kemiringan garis tg DG D Persamaan grs G 4 G : Sedangkank an pers,grs y BC :x y 4 x 4y 4 x Titik E berpotongan garis G dan BC, maka y = y x 4 maka x 4 x Maka, H kibatnya BE BC dan HB : BE BC Jawaban: B Politeknik Negeri Bali 6
Pertemuan ke Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik- titik yang berjarak tetap terhadap satu titik. Jarak yang tetap itu disebut jari-jari (r) sedangkan titiknya disebut pusat lingkaran.. Sebuah lingkaran yang berjari-jari r dengan pusat P dinyatakan dengan (P,r). P r Politeknik Negeri Bali 7
Unsur-Unsur Lingkaran tali busur diameter Jari-jari Ruas garis yang menghubungkan dua titik di lingkaran dinamakan talibusur. Talibusur yang melalui pusat lingkaran dinamakan garis tengah/diameter Politeknik Negeri Bali 8
Diameter suatu lingkaran yang tegak lurus sebuah tali busur, membagi dua tali bususr itu Diameter lingkaran yang melalui titik tengah ebuah tali busur, tentu tegak lurus talibusur itu Setiap diameter lingkaran adalah sumbu simetri lingkaran itu M B O Politeknik Negeri Bali 9
Keliling, luas, busur, sudut pusat dan juring busur O r = sudut pusat Keliling lingkaran C =.r =.d ; d = diameter lingkaran Luas lingkaran L = r = ¼ d =,4 Politeknik Negeri Bali 0
Panjang busur keliling L busur ) x ( r) 0 0 bila dinyatakan dalam derajat 60 60 L busur keliling ) x. r r dinyatakan dalam radian Luas sektor/juring: r sektor ( r 0 60 ), dalam derajat O L busur sektor ( r r ) Politeknik Negeri Bali
Luas Segmen lingkaran B Luas segmen = luas juring luas OB O Sifat-Sifat Lingkaran r Luas segmen 60 r r 0 Sudut yang terletak dipusat besarnya dua kali sudut yang terletak dikelilinglingkaran dan semua sudut yang terletak di keliling lingkaran dan semua sudut yang terletak dikeliling lingkaran pada busur yang sama adalah sama besar Sebua sudut yang yang terletak pada segmen yang sama adalah sama besar, sehingga sudut yang terletak di kekeling setengah lingkaran adalah siku-siku. sin Politeknik Negeri Bali
C O P O R B M N OB = CO = OC CBO PMR = RNP =90 0 Politeknik Negeri Bali
Bila dua buah tali busur sebuah lingkaran berpotongan, baik di dalam maupun di luar lingkaran tersebut, hasil kali ke dua segmen tali busur yang satu sama dengan hasil kali kedua segmen tali busur yang lain O D D O C B B C O D C O x OB = OD x OC (berpotongan di dalam) O x OB = OC x OD (berpotongan di luar) OxO = OD x OC Politeknik Negeri Bali 4
Dua buah garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran adalah sama panjang, dan sudut yang terletak antara garis singgung dan garis singgung dan garis garis yang ditarik dari titik itu ke pusat lingkaran tersebut adalah sama besar. O C B Bila dua buah lingkaran berpotongan, maka garis antar pusat akan memotong tegak lurus tali busur persekutuannya di tengah-tengah Politeknik Negeri Bali
Tentukan lebar potongan bila sebuah batang bulat berdiameter 74 mm dipotong sedalam mm. ( lihat gambar). Penyelesaian C O B mm 74 mm Kedalaman pemotongan CO = mm Lebar pemotongan = x E O x OB = CO x OE x x.7 x 44 4 x 4 O OB Jadi lebar pemotongannya adalah 4 mm x Politeknik Negeri Bali 6
. Diketahui seperti gambar Jika diameter lingkaran mm, hitunglah M 60 0 B Penyelesaian M 0 O 6 tg0 M 0 M tg0 M 6 8 6 Jadi M = 6 Politeknik Negeri Bali 7
Pada gambar berikut adalah segitiga siku-siku BC dengan lingkaran dalamnya B E D F C a. Hitunglah BC dan C jika D = cm dan BE = cm b. Hitunglah diameter lingkaran dalamnya jika B = 6 cm dan BC = 0 cm Politeknik Negeri Bali 8
Penyelesaian B E D F = D = F BE = BD = B = Misalkan CF = x maka CE = CF = x C BC C B ( x) ( x) 9 x x 6x 9 0 x 9 4 4x x Jadi BC = cm dan C = cm Politeknik Negeri Bali 9
b. Misalkan D = y cm B D y M F E D C C BC 00 D 6 8 BE = BD = 6 y F = D = y CE = CF = 8 y BC = 0 (6 y ) + (8 y) = 0 y = 4 y = = r Jadi diameter lingkaran d = 4 Politeknik Negeri Bali 40
Latihan Jari-jari ketiga lingkaran berikut adalah sama. t a. Jika jari-jari ketiga lingkaran itu adalah cm hitunglah harga t b. Htunglah jari-jari lingkaran yang menyinggung ketiga lingkaran itu untuk didalam dan diluar. Politeknik Negeri Bali 4
Empat bola timah dengan jari-jari cm akan diikat bersama-sama ke dalam lak band platik seperti ditunjukkan pada gambar berikut. Berapakah panjang lak band plastik yang diperlukan agar ke empat bola tersebut dapat terikat secara bersama-sama. Politeknik Negeri Bali 4
Tentukanlah luas daerah yang diarsir pada gambar berikut (a) (b) Politeknik Negeri Bali 4
4 Pada gambar berikut hitunglah R jika p = 4, cm D C N M,7 B Politeknik Negeri Bali 44
Pertemuan ke Volume dan Luas Permukaan Benda Berdimensi Politeknik Negeri Bali 4
Balok V = a.b.t t b Luas permukaan = (ab + at + bt) a Kubus V = x x Luas permukaan = 6 x x x Politeknik Negeri Bali 46
Selinder r Volume V =.r.t = ¼.d t t Luas permukaan =..r +.r.t =.r( r + t ) d Volume sebuah pipa dengan diameter luar D dan diameter dalam d dan tinggi h h V ( D d ). h 4 D Politeknik Negeri Bali 47
Kerucut. Volume V = /.r.t i t Luas selimut =.r.i Luas total permukaan =.r +.r.i i garis pelukis (hypothema) r i r t Kerucut Terpancung. i t r Volume V = /.t (R + R.r + r ) Luas selimut =. i ( R + r ) Luas total permukaan = r + R +. i ( R + r ) R Politeknik Negeri Bali 48
Piramid. t Volume V = /. t. = luas bidang alas t = tinggi. Luas total permukaan = luas bidang alas + jumlah luas segitiga. Prisma. Volume V =.t = luas bidang alas t = tinggi. Luas total permukaan = luas bidang alas + jumlah luas bidang dimensi dua Politeknik Negeri Bali 49
Bola r Volume V = 4/..r Luas permukaan = 4.r Tembereng Bola h Volume V (R h) r h h atau V (r h ) 6 R Luas permukaan = luas permukaan lengkung + luas alas =.R.h + r.atau = (r +h ) +.r Politeknik Negeri Bali 0
Contoh Gambar berikut menunjukkan paku keling dengan memotong batang berdiameter mm, lalu ditempa kepalanya (ujungnya). Berapa panjang batang yang dibutuhkan Penyelesaian 8 Benda ini ditempa dari selindris berdiameter mm. Misalkan panjang selindris = l 8 Kepala (ujungnya) merupakan kerucut terpancung h Volume ( R Rr r ) (4 4.,, ), Maka l.. l Tambahan panjang yang dibutuhkan =, 4,6 =,6, Sehingga potongannya = 8 +,6 = 0,6,6 6, Jadi panjang batang diperlukan adalah 0,6 mm Politeknik Negeri Bali
Sebuah tangki penyimpanan air panas terlihat pada gambar. Jari-jarinya 400 mm dan tingimginya 900 mm. Tentukan luasnya dalam meter persegi yang dibutuhkan untuk memutup seluruh tanggi. r h Penyelesaian Jari-jari selinder r = 400 mm = 0,4 m Tinggi tangki = 900 mm = 0,9 m r Tingginya selinder h = 0,9 m 0,4 m = 0, m Luas permukaan total = luas lingkaran + luas selimut selinder + luas permukaan setngah bola. r r r r(r r.h 4 r.h r.h h),4.0,4(.0,4.0,),76 r r Jadi luas bahan diperlukan,76 m Politeknik Negeri Bali
Latihan: Panjang 0 mm dipotong dari batang empat persegi panjang0 mm dan 40 mm. Balok kemudian dikerjakan mesin menjadi prisma 7 mm x 6 mm x 40 mm. Berapa persen dari batang terbuang oleh pengerjaan mesin. Sebuah terdiri dari batang besi 40 mm x mm yang berpenampangsegi empat dengan panjang 0 mm. Pada permukaan yang besar, 4 lubang dengan diameter 0 mm di bor lurus menenbus pelat ( mm). Berapa persen metal yang terbuang karena pengboran. Billet logam yang berdiameter 0 mm dan panjang 80 mm yang diproses menjadi potongan yang berdiameter 0 mm dan tebal mm. Perkiraran tidak ada logan yang terbuang, hitunglah jumlah potongan yang dihasilkan. Politeknik Negeri Bali
4 Bejana dengan penampang lingkaran berdiameter 0 mm, mengandung air sedalam 60 mm. Bila bola dengan diameter 40 mm, dimasukkan ke dalam air, berapakah penambahan ketinggian air dalam bejana tersebut? Tutup sebuah cabin berbentuk setengah silinder seperti ditunjukkan pada gambar berikut. a. Berapakah luas permukaan tutup kabin b. Berapa luas total tutup dan bagian luar cabin Politeknik Negeri Bali 4