PENYELESAIAN PERSAMAAN BLACK- SCHOLES DENGAN ADOMIAN DECOMPOSITION METHOD Nirmala Pratiwi, Endah Rokhmati MP dan Sentot Didik S Matematika, Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl Arief Rahman Hakim, Surabaya 6 Indonesia E-mail: endahrmp@matematikaitsacid Abstrak Adomian decomposition method (ADM) merupakan metode penyelesaian berbentuk sebuah deret pendekatan Dalam Tugas Akhir ini akan dibahas tentang solusi analitik dari Persamaan Black-Scholes pada tipe Eropa, meliputi European call option dan European put option dengan pembayaran dan diselesaikan menggunakan Adomian decomposition method, dimana solusi yang didapat akan dibandingkan dengan Persamaan difusi melalui simulasi program Matlab a Setelah didapatkan perbandingan model dari kedua metode, maka akan didapatkan model paling akurat dalam menyelesaikan Persamaan Black- Scholes Kata kunci: Adomian decomposition method, Persamaan Black-Scholes, Persamaan Difusi, Opsi Call, Opsi Put B I PENDAHULUAN erkembangnya ilmu teknologi, berdampak positif bagi perkembangan pola pikir masyarakat modern saat ini Pola pikir yang dinamis dan visioner, membuat masyarakat semakin berfikir cerdas tentang masa depan Terutama masalah financial Keuangan yang mereka miliki diolah agar mendapatkan keuntungan yang dirupakan dalam bentuk investasi Dalam investasi, seorang investor memiliki pilihan untuk membeli aset yang diperdagangkan secara langsung di pasar keuangan atau membeli aset derivative, yaitu suatu instrumen keuangan yang nilainya bergantung kepada aset yang mendasarinya Salah satu produk derivative yang banyak dikenal adalah opsi yaitu suatu bentuk perjanjian atau investasi berupa kontrak yang memberikan pemegang opsi suatu hak untuk membeli atau menjual aset tertentu dengan harga dan pada jangka waktu tertentu Berdasarkan jenis hak yang diberikan opsi dibedakan menjadi opsi beli (call option) dan opsi jual (put option) Call option adalah suatu tipe kontrak yang memberikan hak kepada pemegang opsi untuk membeli dari penjual opsi sejumlah lembar saham tertentu pada harga dan jangka waktu yang ditentukan Put option merupakan opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual saham dalam jumlah tertentu kepada pembeli opsi pada waktu dan harga yang telah ditentukan Sedangkan berdasarkan periode waktu penggunaan, opsi dapat dibedakan menjadi dua yaitu European option dan American option [3] Pada European option, hak pembelian atau penjualan kontrak hanya dapat dilaksanakan pada tanggal jatuh tempo yang telah ditentukan dalam kontrak Pada American option, pemilik kontrak dapat melaksanakan haknya kapan saja selama tanggal pelaksanaan Fisher Black dan Mayor Scholes pada tahun 973 merumuskan suatu metode untuk menetapkan harga opsi Metode tersebut dikenal dengan Persamaan Black-Scholes Persamaan Black-Scholes merupakan salah satu model matematika yang digunakan dalam penentuan harga opsi Persamaan Black-Scholes dapat diselesaikan dengan beberapa metode, antara lain Adomian decompotition method (ADM) tanpa pembagian [,], Homotophy [], Variational iteration method (VIM) [], binomial atau trinomial [7], dan metode penyelesaian melalui Persamaan Difusi [6] Pengembangan model Black-Scholes yang secara umum diselesaikan menggunakan Persamaan Difusi, akan diselesaikan menggunakan Adomian decomposition method, dan solusi yang didapatkan, dibandingkan dengan tujuan mendapatkan model penyelesaian yang paling efisien dengan asumsi pemberian II METODE PENELITIAN Langkah - langkah sistematis yang digunakan untuk menyelesaikan Tugas Akhir ini adalah: A Studi Literatur Pada tahap ini dilakukan analisis model dan metode dengan mencari dan mempelajari literaturliteratur yang terkait yang berhubungan dengan model Black-Scholes, model difusi, European option, dan Adomian decomposition method B Analisis Masalah Pada tahap ini, setelah referensi terkumpul, dan didapatkan beberapa metode penunjang, dilakukan analisis masalah dengan menyelesaikan penurunan
rumus untuk mendapatkan model matematika pada Persamaan Black-Scholes menggunakan European call option dan European put option C Penyelesaian Black-Scholes pada European option dengan Adomian decomposition method Pada tahap ini, setelah didapatkan hasil dari European call option dan European put option, selanjutnya diselesaikan menggunakan Adomian decomposition method untuk mendapatkan solusi secara eksak dalam bentuk deret D Persamaan Difusi dan membuat program simulasi Setelah didapatkan hasil penyelesaian model secara analitik, maka akan dibandingkan antara penurunan model difusi (yang telah ada) dengan model yang didapat dari penurunan Adomian decomposition method, menggunakan simulasi software Matlab a untuk mengetahui metode yang paling akurat dalam penyelesaian Persamaan Black-Scholes E Kesimpulan Setelah dilakukan analisis dan pembahasan maka pada tahap terakhir penelitian ini adalah penarikan kesimpulan dari hasil analisis dan pembahasan yang telah didapatkan pada tahap sebelumnya III HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini dibahas tentang solusi analitik dari European option meliputi call-option dan put-option yang diperoleh dari Persamaan Black-Scholes Kemudian, dilakukan simulasi program dari solusi analitik yang diperoleh antara European option dan Persamaan difusi 3 Adomian Decomposition Method pada European Option Pada tahap ini, dibahas mengenai solusi analitik dari European call option dan European put option, dimana solusi yang didapat akan diselesaikan menggunakan Adomian decomposition method 3 European Call Option dengan pembayaran Bagian ini membahas tentang penyelesaian Persamaan Black-Scholes ber untuk mendapatkan solusi dari European call option Diketahui Persamaan umum Black-Scholes dengan pembagian adalah sebagai berikut [6]: C(S(t),t) + (r δ) S(t) C(S(t),t) + t S(t) σ S(t) C(S(t),t) rc(s(t), t) = () S(t) dengan, C(S(t),t) = harga saham call pada waktu t r = suku bunga bebas resiko σ = volatilitas δ = Diberikan bentuk transformasi European call option S(t) = Ee x () t = T = T (3) σ σ C(S(t), t) = E V(x, ) () Persamaan (), ditransformasikan dengan menggunakan Persamaan (), (3) dan () untuk mendapatkan model Black-Scholes European call option Hasil transformasi tersebut disubstitusikan ke Persamaan (), sehingga diperoleh: V(x,) = V(x,) x + (k ) V(x,) kv(x, ) () x Persamaan () diselesaikan menggunakan Adomian decomposition method dengan dikenakan invers dari operator linear (L) pada kedua sisi Dimisalkan L = d dan L = ( )d, sehingga d didapat L V (x, ) = L [V xx (x, ) + (k )V x (x, ) kv(x, )] V(x, ) = V(x, ) + [V xx (x, ) + (k ) V x (x, ) kv(x, )] d (6) Solusi Persamaan (6) dimisalkan sebagai jumlahan dari fungsi-fungsi yang dicari, sehingga dapat dituliskan V(x, ) = n= V n (x, ) (7) n= V n (x, ) = V(x, ) + n=[v xx (V n (x, )) +(k )(V x (V n (x, ))) k(v n (x, ))d] (8) Agar lebih mudah mendapatkan jumlahan fungsi yang dicari dengan penjabaran Adomian decomposition method untuk nonlinear, maka nilai V(x, ) dapat dituliskan V(x, ) = V(x, ) A n (V, V,, V n )d dengan nilai A n adalah: A n = n= [V xx (V n (x, )) + (k )V x (V n (x, )) k(v n (x, ))] atau dapat dituliskan, A n (V n (x, )) = V nxx (x, ) + (k )V nx (x, ) kv n (x, ) (9) Berdasarkan sifat relasi rekursif, Persamaan (8) dapat dijabarkan V (x, ) = V(x, ) { V n+ (x, ) = [V xx (V n (x, )) + (k )(V x (V n (x, )) k(v n (x, ))] d = A n (V, V,, V n )d ()
3 Tipe opsi yang digunakan pada penelitian ini adalah European option, sehingga diberikan syarat batas untuk European call option C(S(t), T) = max (S(t) E, ) () EV(S(t), ) = max(e e x E, ), S(t) = Ee x EV(S(t), ) = max (E(e x ), ) V(S(t), ) = max (e x,) () Berdasarkan syarat batas yang diberikan, Persamaan (9) dan (), dituliskan V (x, ) = (k ) max(e x, ) k(max(e x,)) V (x, ) = (k ) max(e x, ) + (k) (max (e x,)) V 3 (x, ) = 6 (k ) 3 max(e x, ) 6 (k)3 (max (e x,)) untuk n=,, 3, dan seterusnya Sehingga, diperoleh solusi umum untuk European call option ber adalah V n (x, ) = max(e x,) + ( ) n+ n! n= (((k ) n ) max(e x, ) + (k) n max(e x,)) (3) 3 European Put Option dengan pembagian ber Pada tahap ini, sama halnya dengan call option, akan didapatkan penyelesaian Persamaan Black-Scholes ber untuk mendapatkan solusi dari European put option, dengan diketahui Persamaan umum put option adalah P(S(t),t) t + (r δ) S(t) P(S(t),t) + σ S(t) S(t) P(S(t),t) S(t) rp(s(t), t) = () Diberikan bentuk transformasi untuk European put option S(t) = Ee x t = T = T σ σ P(S(t), t) = E W(x, ) () Persamaan () ditransformasikan menggunakan Persamaan (), (3), () untuk mendapatkan model Black-Scholes European put option Hasil transformasinya disubstitusikan kedalam Persamaan (), sehingga diperoleh: W(x,) = W(x,) x + (k ) W(x,) kw(x, ) x (6) Persamaan (6) yang diperoleh, diselesaikan menggunakan Adomian decomposition method dengan dikenakan operator L = d pada kedua sisi, sehingga didapatkan L W (x, ) = L [W xx (x, ) + (k ) W x (x, ) kw(x, )] W(x, ) = W(x, ) + [W xx (x, ) + (k ) W x (x, ) kw(x, )] d (7) Solusi Persamaan (7) dimisalkan sebagai jumlahan dari fungsi-fungsi yang dicari, sehingga dapat dituliskan: W(x, ) = n= W n (x, ) (8) n= W n (x, ) = W(x, ) + n=[w xx (W n (x, )) +(k )(W x (W n (x, ))) k(w n (x, ))d] (9) Sama halnya European call option, nilai W(x, ) pada European put option dapat dituliskan W(x, ) = W(x, ) A n (W, W,, W n )d dengan nilai A n adalah: A n = n= [W xx (W n (x, )) + (k )W x (W(x, )) k(w n (x, ))] atau dapat dituliskan, A n (W n (x, )) = W nxx (x, ) + (k )W nx (x, ) kw(x, ) () Berdasarkan sifat relasi rekursif, Persamaan (9),dapat dijabarkan { W (x, ) = W(x, ) W n+ (x, ) = [W xx (W n (x, )) + (k )(W x (W n (x, )) k(w n (x, ))] d = A n (W, W,, W n )d () Diberikan syarat batas untuk European put option P(S(t), T) = max (E S(t), ) () EW(S(t), ) = max(e E e x, ), S(t) = Ee x EW(S(t), ) = max (E( e x ), ) W(S(t), ) = max ( e x, ) (3) Berdasarkan syarat batas yang diberikan, Persamaan () dan () dituliskan W (x, ) = (k ) max( e x, ) k(max ( e x, )) W (x, ) = (k ) max( e x, ) + (k) (max( e x, )) W 3 (x, ) = 6 (k ) 3 max( e x, ) 6 (k)3 (max( e x, )) untuk n=,, 3, dan seterusnya Sehingga, diperoleh
solusi umum untuk European put option dengan pembagian adalah W n (x, ) = max( e x, ) + ( ) n+ n! n= (((k ) n ) max( e x, ) + (k) n max( e x, )) () 3 Persamaan Difusi untuk model Black-Scholes Pada bagian ini akan dijabarkan tentang Persamaan difusi untuk mendapatkan model Black- Scholes Diketahui persamaaan umum difusi adalah sebagai berikut [6]: dengan u = u x, x, > () u(x, ) = π (6) Berdasarkan Persamaan (), dimisalkan untuk nilai V(S(t), t) adalah V(S(t), t) = e αx+β u(x, ), dengan α = (k ) dan f(v)e (x v) dv β = ( (k ) + k), sehingga diperoleh persamaan V(S(t), t) = e (k )x ( (k ) +k) u(x, ) (7) Apabila =, maka nilai u(x, ) adalah u(x, ) = max (e (k +)v e (k )x, ) e (x v) (8) dengan u(x, ) = f(v) Persamaan (7) dan (8) disubstitusikan ke Persamaan (6), sehingga diperoleh Persamaan u(x, ) = π π (e (k +)v e (x v) ) dv (e (k )v e (x v) ) dv atau dapat disederhanakan menjadi, u(x, ) = I I = e x(k +)+(k +) N(d ) e x(k )+(k ) N(d ) (9) Selanjutnya, Persamaan (9) disubstitusi ke Persamaan (7) dan diperoleh nilai V(S(t), t) V(S(t), t) = e x N(d ) e k N(d ) (3) Sehingga, dari transformasi call-option pada Persamaan () dan Persamaan (), model umum untuk difusi call-option adalah: P(S(t), t) = Ee r N( d ) S(t)N( d ) (3) dengan nilai d dan d adalah ) + E σ ( r δ + ) σ d = σ ) + E σ ( r δ ) σ d = σ Berdasarkan distribusi normal, maka nilai N(d ) dan N(d ) adalah: N(d ) = d π e z dz N(d ) = d π e z dz 33 Simulasi untuk Adomian Decomposition Method dan Difusi Melalui program Matlab a, berikut ditampilkan beberapa simulasi terkait dengan European option dan Persamaan Difusi, dengan parameter E = $, =, r = %, σ = 37, δ = 3 33 Difusi Call Option dengan pembagian Diberikan beberapa nilai inputan yang akan digunakan sebagai parameter pada simulasi program, dan dengan harga saham diasumsikan sebagai berikut, maka didapatkan nilai call-option adalah: Tabel 3 Nilai Difusi Call Option ber No S t Call Option No S t Call Option 93x - 788 93x - 77 3 3 3 6 736 663 6 3,3 8 7 37 6 386 6 7 7 3 33 7 8 6983 8 3 988 8 8 9683 9 939 9 9 6969 38 9 6966 669 Sehingga, berdasarkan Tabel 3, maka plot grafiknya adalah: C(S(t), t) = S(t)N(d ) Ee r N(d ) (3) Menurut sifat dari put-call parity, maka model umum untuk difusi put-option adalah:
Gambar Difusi Call-Option dengan pembayaran 33 Difusi Put Option dengan pembagian Berdasarkan nilai inputan dan harga saham yang sama dengan call option, maka diperoleh nilai put-option adalah: Tabel 3 Nilai Difusi Put Option ber No S t Put Option No S t Put Option 339 87 89 969 3 36 3 6 87 8 6 63 36 7 93 6 938 6 7 33 7 3 66 7 8 3 8 3 3978 8 8 7 9 9 9 6 9 8 3 Sehingga, dari Tabel 3, plot grafiknya adalah: No x Call No x Call - 93 x - 3 78 8-79 93 x - 38 77 3-3869 3 3 6 73 6-9883 663 88 3, 3-693 8 966 37 6-7 386 6 6869 7-8768 33 7 6937 698 3 8-333 988 8 7377 96 83 9 939 9 893 696 9 7783 3 8 86997 69 66 969 669 Sehingga, dari Tabel 33, didapat plot grafik sebagai berikut: Gambar 3 Adomian Call-Option dengan pembagian Gambar Difusi Put-Option dengan pembagian 333 Adomian Call Option ber Diasumsikan harga saham sama dengan Persamaan difusi, dan diketahui x = ln (S(t)/E) maka nilai x yang didapatkan untuk call option dikonversikan kedalam Persamaan difusi, maka nilai Adomian call option setelah konversi ditunjukkan pada Tabel 33 Tabel 33 Nilai Adomian European Call Option dengan pembagian 33 Adomian Put Option ber Sama halnya dengan Adomian call option nilai x yang diperoleh dari transformasi x = ln (S(t)/E) dikonversikan kedalam Persamaan difusi, sehingga nilai Adomian put option setelah konversi adalah Tabel 3 Nilai Adomian European Put Option dengan pembagian No x Put No x Put - 339 3 87-79 89 38 96 9 3-3869 36 3 6 8 7
6-9883 8 88 63-693 36 966 93 6-7 938 6 6869 3 3 7-8768 66 7 6937 3 8-333 3978 8 7377 7 9 9 893 7783 6 86997 8 969 3 Sehingga, dari Tabel 3, plot grafik yang didapat adalah Gambar Adomian Put-Option dengan pembagian IV KESIMPULAN Berdasarkan uraian dan hasil simulasi Matlab di atas maka dapat disimpulkan sebagai berikut : a Didapatkan solusi eksak model Black-Scholes untuk European call-option ber dengan Adomian decomposition method adalah: V n (x, ) = max(e x,) + ( ) n+ n! n= (((k ) n ) max(e x, ) + (k) n max(e x,)) Solusi eksak model Black-Scholes untuk European put-option ber dengan Adomian decomposition method adalah: dengan, ) + E σ ( r δ + ) σ d = σ N(d ) = d π e z dz Solusi eksak model Black-Scholes untuk European put-option ber dengan Difusi adalah: ) + E σ ( r δ ) σ d = σ dengan, N(d ) = d π e z dz b Grafik dari Adomian decomposition method sangat sesuai dengan grafik dari Persamaan difusi, sehingga disimpulkan bahwa Adomian decomposition method merupakan metode yang sesuai untuk menyelesaikan Persamaan Black- Scholes dengan nilai eror lebih kecil dari,% V DAFTAR PUSTAKA [] Biazar J, Goldoust F (3) Adomian Decomposition Method for the Black-Scholes Equation, Applied Mathematics and Pharmaceutical SciencesSingapore [] JFPrice 3 Optional mathemathics is not optional, Notices of the American Mathematical Society, 3: 96-97 [3] Husnan D Manajemen Keuangan Teori dan Penerapan (Keputusan Jangka Panjang) BPFEE Yogyakarta [] Rouparvar H 3 Analytical Solution of The Black Scholes Equation by using Variational Iteration Method Apply Mathematics E-Notes, 3: 3-8 [] Gu lkac W The Homotophy Pertubation Method for The Black Scholes Equation Science and Art Faculty Turkey [6] Wilmott P, dkk 996 The Mathematics of Financial Derivative Press Syndicate of The University of Cambrige, Australia [7] Muawanah N L Penurunan Model Black-Scholes dengan Metode Binomial untuk Saham Tipe Eropa Jurnal Matematika UNAND Vol II: 9-7 W n (x, ) = max( e x, ) + ( ) n+ n! n= (((k ) n ) max( e x, ) + (k) n max( e x, )) Sedangkan, untuk solusi eksak model Black- Scholes untuk European call-option ber dengan Difusi adalah: