BAB V. Fenomena Gelombang

BAB V Fenomena Gelombang Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Memahami gelombang berjalan dan karakteristiknya. 2. Membuat simulasi Spreadsheet untuk memahami gelombang berjalan. 3. Memahami gelombang berdiri dan karakteristiknya. 4. Membuat simulasi Spreadsheet untuk memahami gelombang berdiri 5. Memahami interferensi gelombang dan karakteristiknya. 6. Membuat simulasi dengan Spreadsheet untuk memahami interferensi gelombang. 7. Memahami peristiwa layangan gelombang dan karakteristiknya. 8. Membuat simulasi dengan Spreadsheet untuk memahami layangan gelombang dan karakteristiknya. Pendahuluan Konsep gelombang merupakan salah satu konsep yang sangat mendasar untuk memahami berbagai gejala fisika mulai dari fisika klasik, fisika modern hingga fisika kuantum. Salah satu topik yang sangat penting dalam pembahasan mengenai gelombang adalah perpindahan energi. Sebagai contoh adalah energi bunyi dan berbagai energi lain yang dipindah dari satu tempat ke tempat lain tanpa harus memindahkan materinya. Pembahasan mengenai gelombang ini menjadi sedemikian menarik karena begitu banyak aplikasi energi gelombang dalam kehidupan seperti dalam cahaya, panas, sinar x dan radiasi sinar gamma. 148

149 5.1 Persamaan Umum Gelombang Misalkan terdapat seutas tali yang direntangkan sepanjang sumbu x seperti gambar berikut. y A 0 x x Gambar 5.1 Adanya Gangguan di Titik O Menyebakan Gelombang Merambat ke Titik A Mula-mula ada suatu tali diikatkan pada titik 0 kemudian tali tersebut diberikan gangguan sehingga akan timbul gelombang transversal yang bergerak ke arah sumbu x positif ( ke kanan) dengan kecepatan v. Partikel mengalami perpindahan dalam dua arah yaitu arah vertikal (sumbu y) dan horizontal (sumbu x). Oleh karena itu perpindahan partikel dalam arah y ini dapat dinyatakan dengan persamaan y = f (t). Gelombang akan mencapai titik A setelah menempuh jarak x dari titik 0 dalam waktu x. Dengan demikian partikel pada titik A akan bergerak v lebih lambat x v detik dari partikel di titik 0 sehingga perpindahan y pada partikel dititik A setiap waktunya sama dengan perpindahan pada titik 0 x v detik lebih awal yaitu (t x ). Dengan demikian secara umum perpindahan di titik A dapat v dinyatakan dalam persamaan y = f t x v (5.1) karena gelombang merambat sepanjang tali dengan kecepatan tetap maka persamaan (5.1) dapat dituliskan sebagai y = f(vt x) (5.2)

150 jika gelombang merambat ke arah kiri (arah x negatif) maka persamaan gelombangnya dinyatakan dengan persamaan y = f(vt + x) (5.3) karena fungsi y = f(vt ± x) merupakan fungsi yang menyatakan perambatan gelombang maka kita dapat pula menuliskan persamaan gelombang dengan persamaan y = f(x ± vt) (5.4) dengan demikian secara umum kita dapat menyatakan gelombang dengan persamaan y = f 1 x vt + f 2 (x + vt) (5.5) untuk menentukan persamaan differensial persamaan (5.5) dilakukan dengan menurunkan persamaan (5.5) terhadap t secara parsial sebanyak dua kali. y t = vf 1 x vt + vf 2 x + vt 2 y t 2 = v2 f 1 x vt + v 2 f 2 x + vt (5.6) dengan cara yang sama apabila persamaan (5.5) diturunkan secara parsial terhadap x akan kita peroleh y x = vf 1 x vt + f 2 x + vt 2 y x 2 = f 1 x vt + f 2 x + vt (5.7) apabila persamaan (5.6) dibandingkan dengan persamaan (5.7) akan diperoleh 2 y t 2 = v2 2 y x 2 (5.8) berdasarkan persamaan (5.8) disimpulkan bahwa gelombang yang merambat mengalami dua perubahan yaitu sebagai fungsi jarak 2 y dan sebagai fungsi waktu 2 2 y t 2 dengan suatu tetapan v2. x

151 5.2 Gelombang Berjalan Misalkan pada waktu t = 0 terdapat sederatan gelombang merambat pada tali dengan arah perambatan ke kanan ( arah x positif) dengan persamaan y = A sin kx (5.9) dengan k = 2π λ seiring bertambahnya waktu maka gelombang telah merambat dengan kecepatan fase v, sehingga pada waktu t persamaan gelombangnya dapat dinyatakan dengan persamaan y = A sin k(x vt) (5.10) berdasarkan definisi bahwa λ = vt dan ω = 2π T maka persamaan ( 5.10) dapat dituliskan sebagai y = A sin(kx ωt) (5.11) sedangkan untuk gelombang yang merambat ke arah kiri dirumuskan y = A sin(kx + ωt) (5.12) kecepatan fasenya adalah v = λ T = ω k (5.13) jika terdapat perbedaan fase gelombangnya maka persaman simpangannya dapat dinyatakan dengan y = A sin(kx ωt φ) jika yang difokuskan adalah hanya sebuah titik maka boleh dituliskan y = A sin(ωt + φ) (5.14) (5.15) misalkan gelombang merambat ke arah kanan maka untuk menentukan kecepatan gelombangnya dapat dilakukan dengan menurunkan persamaan (5.11) terhadap waktu sehingga akan kita peroleh v = dy = d A sin(kx ωt) dt dt v = ωa cos( kx ωt) (5.16) dengan menurunkan persamaan (5.16) terhadap waktu maka akan kita peroleh persaman percepatan gelombang seperti berikut a = dv dt a = Aω 2 sin(kx ωt) (5.17)

152 dengan: a = percepatan gelombang (m/s 2 ) v = kecepatan gelombang (m/s) Contoh 5.1 Sebuah gelombang berjalan merambat ke kanan pada seutas tali dengan amplitudo 0,06 m, panjang gelombang 2 m, kecepatan 1 m/s selama 0,3 detik. Dengan menggunakan Spreadsheet analisislah simpangan, kecepatan dan percepatan gelombang tersebut. Penyelesaian Sebagai langkah awal menyelesaikan soal tersebut aadalah dengan mendeklarasikan variable-variabel persamaan gelombang berjalan seperti dalam tabel berikut. Tabel 5.1 Variabel-Variabel dalam Persamaan Gelombang Berjalan A 0.06 m dx 0.01 m xo 0 m λ 2 m v 1 m/s k 3.141592654 Langkah selanjutnya adalah mengadakan komputasi dengan Spreadsheet untuk menghasilkan tabel berikut.

153 Tabel 5.2 Simpangan, Kecepatan dan Percepatan Gelombang Berjalan x Simpangan Simpangan Kecepatan Percepatan pada pada t = 0 s pada t = 0,3 s pada t = 0,3 s t = 0,3 s 0 0.000-0.049-0.111 0.47908066 0.01 0.002-0.047-0.116 0.46791104 0.02 0.004-0.046-0.120 0.45627965 0.03 0.006-0.045-0.125 0.44419797 0.04 0.008-0.044-0.129 0.43167792 0.05 0.009-0.042-0.133 0.41873185 0.06 0.011-0.041-0.137 0.40537255 0.07 0.013-0.040-0.141 0.39161319 0.08 0.015-0.038-0.145 0.37746736 0.09 0.017-0.037-0.149 0.36294901 0.1 0.019-0.035-0.152 0.34807247 0.11 0.020-0.034-0.156 0.33285243 0.12 0.022-0.032-0.159 0.31730391 0.13 0.024-0.031-0.162 0.30144224 0.14 0.026-0.029-0.165 0.28528309 0.15 0.027-0.027-0.168 0.2688424 0.16 0.029-0.026-0.171 0.25213639 0.17 0.031-0.024-0.173 0.23518155 0.18 0.032-0.022-0.175 0.21799462 0.19 0.034-0.020-0.177 0.20059256 0.2 0.035-0.019-0.179 0.18299253 0.21 0.037-0.017-0.181 0.16521191 0.22 0.038-0.015-0.183 0.14726825 0.23 0.040-0.013-0.184 0.12917925 0.24 0.041-0.011-0.185 0.11096277 0.25 0.042-0.009-0.186 0.09263678 0.26 0.044-0.008-0.187 0.07421937 0.27 0.045-0.006-0.188 0.05572871 0.28 0.046-0.004-0.188 0.03718306 0.29 0.047-0.002-0.188 0.01860071 0.3 0.049 0.000-0.188-1.972E-16 Langkah selanjutnya adalah membuat grafik simpangan terhadap jarak yang ditempuh untuk t = 0,3 s seperti dalam grafik berikut.

Simpangan (m) 154 0.080 0.060 0.040 0.020 0.000-0.020-0.040-0.060-0.080 0 1 2 3 4 5 6 Jarak (m) y pada t = 0 y pada t = 0.3 s Grafik 5.1 Hubungan Simpangan Terhadap Jarak untuk t = 0, 3 s Berdasarkan tabel 5.2 dan grafik 5.1 secara jelas dapat kita lihat bahwa pada saat t = 0 s maka tali mempunyai persamaan simpangan y = A sin kx sedangkan pada saat t = 0,3 s gelombang telah bergerak ke arah kanan dengan persamaan simpangan y = A sin k(x vt) sehingga selama interval waktu 0,3 s ini gelombang telah bergerak ke arah kanan sejauh x = v t. Dengan demikian pada t = 0 s maka simpangan gelombangnya adalah 0 m dengan perpindahannya adalah 0 m sedangkan pada saat t = 0,3 s simpangan gelombangnya adalah 0,049 m namun pada saat ini gelombang telah bergerak ke kanan sejauh x = vt atau 0,3 m. berdasarkan grafik 5.1 tersebut dapat dapat disimpulkan bahwa antara gelombang pada saat t = 0 s dan t = 0,3 s selalu mengalami perbedaan jarak 0,3 m. Sedangkan grafik simpangan, kecepatan dan percepatan terhadap jarak ditampilkan dalam grafik berikut.

Simpangan (m) Kecepatan (m/s0 Percepatan (m/s^2) 155 0.800 0.600 0.400 0.200 0.000-0.200-0.400-0.600-0.800 0 1 2 3 4 5 6 Jarak (m) Simpangan pada t = 0.3 s Percepatan Kecepatan Grafik 5.2 Hubungan Simpangan, Kecepatan dan Percepatan terhadap Jarak untuk Gelombang Berjalan pada t = 0,3 s Berdasarkan tabel 5.2 dan grafik 5.2 dapat diketahui bahwa pada saat t = 0, 3 s maka gelombang telah merambat dengan simpangan 0,049 m, kecepatannya 0,111 m/s dan percepatannya 0,47908088 m/s 2. Pada jarak x = 0,8 m simpangan gelombang adalah maksimum yaitu 0,06 m sedangkan kecepatannya 0 m/s dan percepatannya 0,5921 m/s 2. Gelombang ini akan memiliki kecepatan maksimum setelah merambat sejauh 1, 3 m dengan nilai kecepatan maksimum 0,188 m/s sedangkan pada saat ini nilai simpangannya 0 m sedangkan percepatannya adalah 1.5053E-15 m/s 2. Gelombang ini akan memiliki percepatan maksimum setelah merambat sejauh 1, 8 m dengan nilai percepatan maksimum 0,592 m/s 2 sedangkan pada saat ini nilai simpangannya -0,06 m sedangkan kecepatannya adalah 0 m/s. 5.3.Gelombang Berdiri Misalkan dua buah gelombang yang memiliki frekuensi sama, amplitudo sama dan laju sama merambat dengan arah yang saling berlawanan sepanjang tali. Gelombang yang merambat ke arah kanan dirumuskan sebagai y 1 = A sin(kx ωt) (5.18) sedangkan gelombang yang merambat ke arah kiri dirumuskan dengan persamaan y 2 = A sin(kx + ωt) (5.19)

156 dengan A menyatakan amplitudo gelombangnya. Resultan kedua gelombang tersebut secara matematis dapat dinyatakan dalam persamaan y = y 1 + y 2 y = A sin(kx ωt) + A sin(kx + ωt) berdasarkan definisi penjumlahan sinus dua sudut (5.20) sin P + sin Q = 2 sin 1 2 P + Q cos 1 2 P Q maka persamaan (5.20) dapat kita nyatakan dengan y = 2 A sin kx cos ωt (5.21) Persamaan (5.21) merupakan persamaan gelombang berdiri. Berdasarkan persamaan (5.21) dapat diambil kesimpulan bahwa semua partikel yang melakukan gerak harmonik sederhana seiring dengan bertambahnya waktu bergetar dengan frekuensi getar yang sama. Contoh 5.2 Sebuah gelombang berdiri dihasilkan karena resultan dua buah gelombang yang merambat dalam arah berlawanan. Jika masing-masing gelombang tersebut memiliki amplitudo 3 cm, frekuensi 10 Hz dan kelajuan gelombang 6 m/s dengan menggunakan Spreadsheet analislah resultan kedua gelombang tersebut. Penyelesaian Jika persamaan gelombang yang merambat ke kanan adalah y 1 = A sin(kx ωt) sedangkan gelombang yang merambat ke arah kiri adalah y 2 = A sin(kx + ωt) maka berdasarkan soal di atas di dalam Spreadsheet kita dapat menyatakan variabel-variabel persamaannya sebagai berikut. Tabel 5.3 Variabel-Variabel dalam Persamaan Gelombang Berdiri Variabel Nilai Satuan A 0.03 m k 10.47197551 /m f 10 Hz ω 62.83185307 rad/s

157 xo 0 m t 0.3 s λ 0.6 m v 6 m/s dx 0.01 Langkah selanjutnya adalah mengadakan komputasi dengan Spreadsheet untuk menghitung simpangan masing-masing gelombang dan resultannya seperti dalam tabel berikut. Tabel 5.3 Simpangan Masing-Masing Gelombang dan Resultan Gelombang Berdiri x Y 1 =A sin (kx-ωt) Y 2 =A sin (kx+ωt) y1+y2 Y=2A sin kx cos ωt 0 2.2053E-17-2.2053E-17 0.00000 0.00000 0.01 3.1359E-03 3.1359E-03 0.00627 0.00627 0.02 6.2374E-03 6.2374E-03 0.01247 0.01247 0.03 9.2705E-03 9.2705E-03 0.01854 0.01854 0.04 1.2202E-02 1.2202E-02 0.02440 0.02440 0.05 1.5000E-02 1.5000E-02 0.03000 0.03000 0.06 1.7634E-02 1.7634E-02 0.03527 0.03527 0.07 2.0074E-02 2.0074E-02 0.04015 0.04015 0.08 2.2294E-02 2.2294E-02 0.04459 0.04459 0.09 2.4271E-02 2.4271E-02 0.04854 0.04854 0.1 2.5981E-02 2.5981E-02 0.05196 0.05196 0.11 2.7406E-02 2.7406E-02 0.05481 0.05481

Simpangan (m) 158 0.12 2.8532E-02 2.8532E-02 0.05706 0.05706 0.13 2.9344E-02 2.9344E-02 0.05869 0.05869 0.14 2.9836E-02 2.9836E-02 0.05967 0.05967 0.15 3.0000E-02 3.0000E-02 0.06000 0.06000 0.16 2.9836E-02 2.9836E-02 0.05967 0.05967 0.17 2.9344E-02 2.9344E-02 0.05869 0.05869 0.18 2.8532E-02 2.8532E-02 0.05706 0.05706 0.19 2.7406E-02 2.7406E-02 0.05481 0.05481 0.2 2.5981E-02 2.5981E-02 0.05196 0.05196 0.21 2.4271E-02 2.4271E-02 0.04854 0.04854 0.22 2.2294E-02 2.2294E-02 0.04459 0.04459 0.23 2.0074E-02 2.0074E-02 0.04015 0.04015 0.24 1.7634E-02 1.7634E-02 0.03527 0.03527 0.25 1.5000E-02 1.5000E-02 0.03000 0.03000 0.26 1.2202E-02 1.2202E-02 0.02440 0.02440 0.27 9.2705E-03 9.2705E-03 0.01854 0.01854 0.28 6.2374E-03 6.2374E-03 0.01247 0.01247 0.29 3.1359E-03 3.1359E-03 0.00627 0.00627 0.3-7.1668E-17 2.5728E-17 0.00000 0.00000... Langkah selanjutnya adalah membuat grafik hubungan simpangan terhadap jarak seperti dalam grafik berikut. 8.0000E-02 6.0000E-02 4.0000E-02 2.0000E-02 0.0000E+00-2.0000E-02 0 1 2 3 4 5-4.0000E-02-6.0000E-02-8.0000E-02 Jarak yang ditempuh (m) y1 = Asin (kx-ωt) y2= A sin (kx+ωt) y1+y2

Simpangan (m) 159 Grafik 5.3 Hubungan Simpangan Masing-Masing Gelombang Terhadap Jarak yang Ditempuh untuk t = 0,3 s 0.08000 0.06000 0.04000 0.02000 0.00000-0.02000 0 1 2 3 4 5-0.04000-0.06000-0.08000 Jarak yang ditempuh (m) Grafik 5.4 Hubungan Simpangan Resultan Gelombang terhadap Jarak yang Ditempuh untuk t = 0,3 s Berdasarkan tabel 5.3 dan grafik 5.3 dan 5.4 dapat dikemukakan beberapa hal berikut. Pada t = 0,3 s simpangan gelombang yang merambat ke arah kanan adalah 2.2053E-17 m sedangkan gelombang yang merambat ke arah kiri memiliki simpangan -2.2053E-17 m sehingga resultan gelombangnya adalah 0 m. Hasil perhitungan secara langsung dengan menjumlahkan simpangan yang merambat ke arah kanan dan ke arah kiri menunjukkan hasil yang cocok apabila dihitung dengan perhitungan dengan pendekatan trigonometri sehingga disimpulkan bahwa perhitungan ini menghasilkan resultan yang tepat. Berdasarkan grafik 5.4 kita ketahui bahwa resultan gelombangnya berupa gelombang harmonic yang memiliki titik perut dan simpul tertentu. Simpul ditunjukkan adanya satu titik yang memiliki amplitudo nol sedangkan perut ditunjukkan oleh titik dengan amplitudo A. Berdasarkan tabel 5.3 dapat diketahui

160 bahwa perut terjadi pada saat resultan gelombang telah merambat sepanjang 0,15 m, 0,45 m, 0,75 dan seterusnya. Berdasarkan nilai panjang gelombang λ= 0,6 m maka dapat disimpulkan bahwa posisi perut ini berada pada x = λ, 3λ, 5λ (2n+1)λ 4 4 4 4 (5.22) Hal ini sesuai dengan analisis secara analitik bahwa berdasarkan persamaan y = 2 A sin kx cos ωt kita tahu bahwa amplitudonya akan maksimum jika 2 A sin kx = ±2A sin kx = ±1 kx = π 2 dengan mengingat bahwa k = 2π λ (5.23) maka persamaan (5.23) dapat dinyatakan dengan persamaan x = λ, 3λ, 5λ (2n+1)λ 4 4 4 4 demikian pula berdasarkan tabel 5.4 kita dapatkan bahwa simpul terjadi pada saat resultan gelombang merambat sepanjang 0,3 m, 0,6 m, 0,9 m dan seterusnya. berdasarkan nilai panjang gelombang λ= 0,6 m maka dapat disimpulkan bahwa posisi simpul ini berada pada x = λ 3λ, λ,, 2λ nλ 2 2 2 (5.24 ) hal ini sesuai dengan analisis secara analitik bahwa berdasarkan persamaan y = 2 A sin kx cos ωt kita tahu bahwa amplitudonya akan minimum jika 2 A sin kx = 0 sin kx = 0 kx = π (5.25) dengan mengingat bahwa dengan persamaan k = 2π λ maka persamaan (5.25) dapat dinyatakan x = λ 3λ, λ,, 2λ nλ 2 2 2 dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa penentuan posisi simpul dan perut dengan analisis numerik sesuai dengan penentuan menurut analisis analitik.

161 5.4 Interferensi Gelombang Interferensi gelombang merupakan peristiwa bergabungnya dua deret gelombang atau lebih yang akan menghasilkan gelombang dengan amplitudo yang berubah-ubah. Misalkan terdapat dua gelombang dengan amplitudo dan frekuensi yang sama merambat dengan laju yang sama pada arah x positif namun berbeda fase sebesar φ. Dengan demikian persamaan kedua gelombang tersebut dapat dinyatakan dengan sebagai y 1 = A sin(kx ωt φ) (5.26) y 2 = A sin(kx ωt) (5.27) maka superposi kedua gelombang tersebut adalah y = y 1 + y 2 y = A ((sin kx ωt φ + sin kx ωt ) dengan mngingat persamaan trigonometri (5.28) sin P + sin Q = 2 sin 1 2 P + Q cos 1 2 P Q maka persamaan (5.28) dapat kita nyatakan dengan y = 2A cos φ sin (kx ωt φ ) (5.29) 2 2 berdasarkan persamaan umum gelombang y = A sin(kx ωt) maka dapat disimpulkan bahwa resultan antara gelombang y 1 dan y 2 merupakan sebuah gelombang dengan frekuensi yang sama namun amplitudonya bernilai 2A cos φ. 2 Contoh 5.4 Tentukan simpangan resultan gelombang yang disebabkan oleh interferensi dua buah gelombang yang merambat dengan frekuensi sama yaitu 10 Hz dalam arah yang sama dengan amplitudo masing-masing 3 cm dimana kedua gelombang tersebut berbeda fase π rad. Bagaimanakah simpangan resultan gelombangnya 2 jika amplido gelombangnya masing-masing 3 cm dan 5 cm? gunakan nilai x dengan nilai Increment 0.01 m. Penyelesaian

162 Sebagai langkah awal menyelesaikan soal di atas adalah dengan mendeklarasikan variable-variabel persamaannya seperti dalam tabel berikut. Tabel 5.4 Variabel-Variabel Persamaan Interferensi Gelombang Variabel Nilai Satuan A1 0.03 m A2 0.03 m π rad φ 2 ω 100 rad/s t 0.3 s xo 0 m dx 0.01 m k 10 /m Langkah selanjutnya adalah mengadakan komputasi dengan Spreadsheet untuk menghitung simpangan masing-masing gelombang dan resultannya seperi dalam tabel berikut. Tabel 5.5 Simpangan Masing-Masing Gelombang dan Resultannya Interferensi Gelombangnya x y 1 =A sin (kx-ωt-φ) y 2 =A sin (kx-ωt) y1+y2 0-0.004628 0.029641 0.025013 0.01-0.001645 0.029955 0.028310 0.02 0.001353 0.029969 0.031323 0.03 0.004339 0.029685 0.034023 0.04 0.007280 0.029103 0.036384 0.05 0.010150 0.028231 0.038381 0.06 0.012917 0.027077 0.039994 0.07 0.015556 0.025652 0.041208 0.08 0.018039 0.023971 0.042010 0.09 0.020342 0.022050 0.042392 0.1 0.022442 0.019909 0.042351 0.11 0.024317 0.017569 0.041886 0.12 0.025950 0.015054 0.041003

163 0.13 0.027323 0.012388 0.039711 0.14 0.028423 0.009598 0.038021 0.15 0.029239 0.006713 0.035952 0.16 0.029763 0.003760 0.033524 0.17 0.029990 0.000770 0.030760 0.18 0.029917-0.002228 0.027689 0.19 0.029545-0.005204 0.024342 0.2 0.028878-0.008127 0.020751 0.21 0.027923-0.010970 0.016953 0.22 0.026688-0.013702 0.012986 0.23 0.025187-0.016298 0.008888 0.24 0.023434-0.018731 0.004702 0.25 0.021447-0.020977 0.000469 0.26 0.019245-0.023013-0.003768 0.27 0.016852-0.024820-0.007968 0.28 0.014290-0.026378-0.012089 0.29 0.011585-0.027673-0.016088 0.3 0.008764-0.028691-0.019927 Langkah selanjutnya adalah membuat grafik hubungan simpangan terhadap jarak seperti dalam grafik berikut.

Simpangan (m) Simpangan (m) 164 0.040000 0.030000 0.020000 0.010000 0.000000-0.010000-0.020000-0.030000-0.040000 0 1 2 3 4 5 6 Jarak (m) y1=a sin (kx-ωt-ф) y2=a sin (kx-ωt) Grafik 5.5 Hubungan Antara Simpangan Terhadap Jarak untuk Interferensi Gelombang dengan Amplitudo Masing-Masing 0,03 m dan Berbeda Fase π 2 Radian 0.050000 0.040000 0.030000 0.020000 0.010000 0.000000-0.010000-0.020000-0.030000-0.040000-0.050000 0 1 2 3 4 5 6 Jarak (m) y1+y2 Grafik 5.6 Pola Interferensi yang Dihasilkan oleh Interferensi Gelombang dengan Amplitudo Masing-Masing 0,03 m dan Berbeda Fase π 2 Radian

Simpangan (m) 165 Berdasarkan tabel 5.4 dan grafik 5.5 dan 5.6 dapat kita simpulkan bahwa x = 0 maka besar simpangan gelombang 1 adalah 0,004628 m sedangkan simpangan gelombang 2 adalah 0,029641 m. Dengan demikian maka resultan simpangan gelombang dengan amplitudo masing-masing 0,03 m dengan beda fase π rad 2 adalah 0,025013 m. Simpangan maksimum yang diakibatkan oleh kedua gelombang tersebut adalah 0.042425 m. Sedangkan resultan gelombang yang dihasilkan oleh interferensi dua gelombang dengan amplitudo masing-masing 0,03 m dan 0,04 m dengan beda fase π rad dinyatakan dalam grafik berikut. 2 0.050000 0.040000 0.030000 0.020000 0.010000 0.000000-0.010000-0.020000-0.030000-0.040000-0.050000 0 1 2 3 4 5 6 jarak (m) y1=a sin (kx-ωt-ф) y2=a2 sin (kx-ωt) Grafik 5.7 Hubungan antara Simpangan terhadap Jarak untuk Interferensi Gelombang dengan Amplitudo 0,03 m dan 0,04 m dan Berbeda Fase π 2 Radian Berdasarkan grafik 5.7 dapat kita lihat bahwa untuk gelombang 1 akan memiliki simpangan maksimum 0,03 m sedangkan gelombang kedua akan memiliki simpangan maksimum 0,04 m. Pada saat x = 0 maka simpangan yang dialami gelombang 1 adalah -0.004628 m sedangkan simpangan gelombang 2 adalah 0.039521 m. Pengaruh adanya beda fase antara kedua gelombang tersebut mengakibatkan adanya simpangan yang berbeda antara kedua gelombang tersebut. Hal ini dapat kita lihat pada bahwa pada x = 0 maka simpangan gelombang 1 sekitar 0 m sedangkan simpangan gelombang 2 adalah maksimum yaitu 0,04 m.

Simpangan (m) 166 0.060000 0.040000 0.020000 0.000000-0.020000 0 1 2 3 4 5 6-0.040000-0.060000 Jarak (m) y1+y2 Grafik 5.8 Pola Interferensi yang Dihasilkan oleh Interferensi Gelombang dengan Amplitudo 0,03 m dan 0,04 m dan Berbeda Fase π 2 Radian Berdasarkan grafik 5.8 dapat kita simpulkan bahwa pada titik x = 0 simpangan yang dialami gelombang 1 adalah -0.004628 m sedangkan simpangan gelombang 2 adalah 0.039521 m sehingga resultan antara kedua gelombang ini menghasilkan gelombang dengan simpangan 0.034894 m pada titik x = 0 m. perpaduan kedua gelombang tersebut akan menghasilkan resultan gelombang dengan simpangan maksimum 0,05 m. Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa untuk perbedaan fase π 2 akan menghasilkan resultan gelombang yang semakin besar simpangannya jika amplitudo gelombang yang berinterferensi semakin besar.

167 5.5 Pelayangan gelombang Inteferensi dua gelombang dengan frekuensi yang hampir sama akan menghasilkan suatu fenomena menarik yang sering disebut layangan (beats). Contoh peristiwa yang menunjukkan adanya layangan adalah terdengarnya nada dengan intensitas berubah-ubah secara bergantian antara lemah dan keras layangan yang dihasilkan oleh dua gelombang bunyi dari dua garpu tala yang frekuensinya hampir sama namun tidak identik (tidak sama persis). Secara matematis, dua gelombang y 1 dan y 2 yang menjalar pada medium dengan kecepatan serta amplitudo sama dimana keduanya memiliki frekuensi f 1 dan f 2, dapat dinyatakan oleh fungsi simpanganya terhadap posisi dan waktu. Jika hanya akan ditinjau sebagai fungsi simpangan terhadap waktu, maka persamaan matematisnya dinyatakan sebagai y 1 = A cos 2πf 1 t...(5.30) y 2 = A cos 2πf 2 t...(5.31) berdasarkan prinsip superposisi maka resultan kedua gelombang tersebut akan menghasilkan gelombang baru dengan persamaan y = y 1 + y 2 = A (cos 2πf 1 t + cos 2πf 2 t)...(5.31) berdasarkan aturan cosinus yang menyatakan bahwa cos P + cos Q = 2 cos P Q P+Q cos 2 2 Maka persamaan (5.31) dapat dituliskan sebagai y = 2 A cos 2π f 1 f 2 2 t cos 2π f 1+f 2 2 t...(5.32) Berdasarkan persamaan (5.32) dapat kita simpulkan bahwa getaran yang dihasilkan akan memiliki frekuensi rata-rata f = f 1+f 2 2...(5.33)

168 Sedangkan nilai amplitudonya dinyatakan dengan 2 A cos 2π f 1 f 2 2 Berdasarkan persamaan ini, maka dapat disimpulkan bahwa amplitudo gelombang hasil resultan akan berubah terhadap waktu dengan frekuensi f modulasi = f 1 f 2 2 Jika f 1 dan f 2 hampir sama, maka nilai f modulasi kecil dan amplitudo akan berfluktuasi secara lambat. Fenomena ini tampak sebagai bentuk modulasi amplitudo yang mempunyai pita samping di dalam penerima radio AM. Sebuah t.. layangan akan terjadi jika cos 2π f 1 f 2 2 t bernilai 1 atau -1. Dengan mengingat bahwa tiap siklus hanya sekali saja cos 2π f 1 f 2 2 t bernilai 1 atau -1 maka dapat disimpulkan bahwa banyaknya layangan per detik adalah dua kali frekuensi f modulasi atau f 1 f 2 sehingga banyaknya layangan yang terjadi per detik adalah sama dengan selisih frekuensi gelombang-gelombang penyebabnya. Persamaan (5.32) maka dapat digunakan untuk memprediksi perilaku gelombang hasil superposisi dua gelombang yang memiliki amplitudo dan fase sama, namun proses itu tidak demikian halnya jika dua gelombang yang berpadu tersebut memiliki amplitudo dan fase yang berlainan. Secara analitis agak sulit menunjukkan pengaruh amplitudo dan fase gelombang terhadap perilaku gelombang hasil perpaduan, namun demikian dengan memanfaatkan Spredsheets, semua pengaruh variabel dalam resultan gelombang tersebut dapat disimulasikan dengan mudah tanpa harus memiliki kemampuan matematik yang tinggi. Selain itu dengan mempergunakan Spreadsheets Excel maka pengaruh perbedaan frekuensi antara kedua sumber gelombang terhadap perubahan fase gelombang tersebut dapat ditunjukkan secara jelas sehingga titik-titik terjadinya interferensi konstruktif dan destruktif dapat gambarkan dengan demikian pengaruh besar atau kecilnya perbedaan frekuensi terhadap cepat atau lambatnya perubahan fase kedua gelombang secara mudah dapat ditunjukkan.

169 Contoh 5.5 Dua buah garpu tala masing-masing memiliki frekuensi f 1 = 534 Hz dan f 2 = 536 Hz masing-masing digetarkan secara bersamaan sehingga menyebakan timbulnya amplitudo 2 satuan. Dengan menggunakan Spraedsheet analisislah pola layangannya dengan memvariasikan nilai amplitudo, frekuensi dan beda fasenya. Gunakan t = 0,001 s Penyelesaian: Berdasarkan soal tersebut maka persamaan simpangan gelombang masing-masing dapat dinyatakan dengan persamaan: y 1 = A cos 2πf 1 t y 1 = 2 cos 2π 534 t y 2 = A cos 2πf 2 t y 2 = 2 cos 2π 536 t Langkah awal yang perlu kita lakukan adalah mendeklarasikan variabel-variabel persamaan di atas dalam Spreadsheet seperti tabel berikut. Tabel 5.6 Variabel-Variabel Layangan Gelombang Variabel Nilai Satuan A1 2 Satuan A2 2 Satuan f1 534 Hz f2 536 Hz f1-f2 2 Hz to 0 t 0.001 s Langkah selanjutnya adalah melakukan komputasi dengan Spreadsheet untuk menentukan simpangan masing-masing gelombang dan hasil superposisinya seperti dalam tabel berikut.

170 Tabel 5.7 Simpangan Masing-Masing Gelombang dalam Layangan dan Hasil Superposisinya t y1 y2 y1+y2 0 2.00000 2.00000 4.00000 0.001-1.95454-1.94905-3.90359 0.002 1.82021 1.79881 3.61902 0.003-1.60313-1.55692-3.16006 0.004 1.31317 1.23572 2.54889 0.005-0.96351-0.85156-1.81507 0.006 0.57004 0.42401 0.99405 0.007-0.15065 0.02513-0.12552 0.008-0.27558-0.47300-0.74858 0.009 0.68929 0.89677 1.58605 0.01-1.07165-1.27485-2.34650 0.011 1.40530 1.58798 2.99328 0.012-1.67506-1.82021-3.49527 0.013 1.86866 1.95971 3.82837 0.014-1.97730-1.99937-3.97667 0.015 1.99605 1.93717 3.93322 0.016-1.92406-1.77627-3.70033 0.017 1.76458 1.52489 3.28947 0.018-1.52489-1.19581-2.72069 0.019 1.21586 0.80581 2.02167 0.02-0.85156-0.37476-1.22632 0.021 0.44854-0.07538 0.37316 0.022-0.02513 0.52168 0.49655 0.023-0.39942-0.94141-1.34083 0.024 0.80581 1.31317 2.11898 0.025-1.17557-1.61803-2.79360 0.026 1.49188 1.84046 3.33235 0.027-1.74037-1.96913-3.70950 0.028 1.90973 1.99747 3.90720 0.029-1.99227-1.92406-3.91632 0.03 1.98423 1.75261 3.73684 0.031-1.88598-1.49188-3.37786 0.032 1.70199 1.15515 2.85713 0.033-1.44062-0.75956-2.20018 0.034 1.11375 0.32527 1.43903 0.035-0.73625 0.12558-0.61067 0.036 0.32527-0.57004-0.24476 0.037 0.10049 0.98545 1.08594 0.038-0.52168-1.35067-1.87235 0.039 0.91916 1.64707 2.56622 0.04-1.27485-1.85955-3.13440

Simpangan (Satuan) Simpangan (Satuan) 171 Berdasarkan tabel 5.7 maka kita dapat membuat beberapa grafik berikut: 3.00000 2.00000 1.00000 0.00000-1.00000 0 0.02 0.04 0.06-2.00000-3.00000 Waktu (S) y1 y2 Grafik 5.9 Kurva Simpangan terhadap Waktu untuk Dua Gelombang dengan Frekuensi 534 Hz dan 536 Hz dengan Amplitudo masing-masing 2 Satuan untuk Waktu t = 0,05 s dengan Beda Fase 0 0 Berdasarkan grafik 5.9 dapat disimpulkan bahwa meskipun amplitudo dan beda fasenya sama namun jika frekuensinya berbeda akan menyebabkan pola gelombang yang dihasilkan juga berbeda. 5.00000 4.00000 3.00000 2.00000 1.00000 0.00000-1.00000-2.00000-3.00000-4.00000-5.00000 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Waktu (S) Grafik 5.10 Pola Interferensi yang Dihasilkan oleh Gelombang 1 dan 2 dengan Amplitudo Masing-Masing 2 Satuan untuk Waktu t = 0,05 s dengan Beda Fase 0 0

Simpangan (Satuan) Simpangan (Satuan) 172 5.00000 4.00000 3.00000 2.00000 1.00000 0.00000-1.00000-2.00000-3.00000-4.00000-5.00000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Waktu (S) Grafik 5.11 Pola Pelayangan Gelombang dari Superposisi Dua Gelombang dengan Frekuensi 534 Hz dan 536 Hz dengan Amplitudo Masing- Masing 2 Satuan untuk Waktu t = 1 s Pengaruh Amplitudo Pada gambar (5.12) disajikan gelombang hasil perpaduan antara dua gelombang dengan fase sama, dengan frekuensi masing-masing 534 Hz dan 536 Hz, akan tetapi amplitudonya masing-masing 2 satuan dan 4 satuan. 8.00000 6.00000 4.00000 2.00000 0.00000-2.00000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-4.00000-6.00000-8.00000 Waktu (S) Grafik 5.12 Pola Pelayangan Gelombang dari Superposisi Dua Gelombang dengan Frekuensi Masing-Masing 534 Hz dan 536 Hz dan Amplitudo Masing-Masing 2 Satuan dan 4 Satuan

Simpangan (Satuan) Simpangan (Satuan) 173 Apabila dibandingkan dengan gambar (5.12) disimpulkan bahwa pola perlayangan tidak berubah terhadap perubahan amplitudo dimana frekuensi modulasi tetap 1 Hz, namun amplitudo gelombang modulasi berubah menjadi 6 satuan. Pengaruh Fase Gelombang Gambar (5.13) dan (5.14) menunjukkan perpaduan dua gelombang, namun fasenya berbeda 30 0 dan 60 0. 10.00000 8.00000 6.00000 4.00000 2.00000 0.00000-2.00000-4.00000-6.00000-8.00000-10.00000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Waktu (S) Grafik 5.13 Pola Pelayangan Hasil Superposisi Dua Gelombang dengan Frekuensi Masing-Masing 534 Hz dan 536 Hz Amplitudo Masing- Masing 4 Satuan dan Beda Fase 30 0 10.00000 8.00000 6.00000 4.00000 2.00000 0.00000-2.00000-4.00000-6.00000-8.00000-10.00000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Waktu (S) Grafik 5.14 Pola Pelayangan Hasil Superposisi Dua Gelombang dengan Frekuensi Masing-Masing 534 Hz dan 536 Hz Amplitudo Masing- Masing 4 Satuan dan Beda Fase 60 0

Simpangan (Satuan) 174 Berdasarkan gambar (5.13) dan (5.14) dapat diambil kesimpulan bahwa beda fase antara dua gelombang yang dipadukan ternyata tidak mempengaruhi frekuensi perlayangan yang nilainya tetap sama dengan setengah kali selisih frekuensi dari kedua gelombang penyebab layangan. Dengan membandingkan gambar (5.11), (5.13) dan (5.14) juga dapat diambil kesimpulan bahwa semakin besar beda fase antara dua gelombang yang dipadukan maka semakin cepat kedua gelombang tersebut menjadi berbeda fase dan kemudian kembali sefase lagi. Pengaruh Perbedaan Selisih Frekuensi Gelombang Gambar (5.15) berikut menunjukkan grafik dari dua gelombang yang dipadukan masing-masing dengan frekuensi 534 Hz dan 538 Hz dengan amplitudo masing-masing 2 satuan. 5.00000 4.00000 3.00000 2.00000 1.00000 0.00000-1.00000-2.00000-3.00000-4.00000-5.00000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Waktu (S) Grafik 5.15 Pola Pelayangan Hasil Superposisi Dua Gelombang dengan Amplitudo masing-masing 2 satuan dan frekuensi masing-masing 534 Hz dan 538 Hz Apabila gambar (5.15) dibandingkan dengan gambar (5.11) maka dapat diambil kesimpulan bahwa pola pelayangan berubah dengan berubahnya selisih frekuensi antara dua gelombang yang dipadukan, semakin besar selisih frekuensi antara dua gelombang yang dipadukan, maka semakin cepat kedua gelombang tersebut menjadi berbeda fase dan kemudian sefase lagi.

175 Kesimpulan 1. Secara matematis persamaan gelombang dinyatakan dengan 2 y t 2 = v2 2 y x 2 2. Gelombang berjalan adalah gelombang yang amplitudonya selalu tetap. Jika gelombang merambat ke arah kanan maka simpangannya dinyatakan dengan persamaan y = A sin(kx ωt) sedangkan jika gelombang merambat kea rah kiri maka simpangannya dinyatakan dengan persamaan y = A sin(kx + ωt). 3. Gelombang berdiri ditimbulkan oleh dua buah gelombang yang memiliki frekuensi sama, amplitudo sama dan laju sama merambat dengan arah yang saling berlawanan. Secara matematis resultan simpangan gelombang berdiri dinyatakan dengan persamaan y = 2 A sin kx cos ωt. 4. Secara umum posisi perut pada gelombang berdiri dinyatakan dengan persamaan x = λ, 3λ, 5λ (2n+1)λ. 4 4 4 4 5. Secara umum posisi simpul pada gelombang berdiri dinyatakan dengan persamaan x = λ 3λ, λ,, 2λ nλ. 2 2 2 6. Interferensi gelombang merupakan peristiwa bergabungnya dua deret gelombang atau lebih yang akan menghasilkan gelombang dengan amplitudo yang berubah-ubah. 7. Jika gelombang yang menyebabkan terjadinya interferensi gelombang dinyatakan dengan persamaan y 1 = A sin(kx ωt φ) dan y 2 = A sin(kx ωt) maka persamaan gelombang interferensinya dinyatakan dengan persamaan y = 2A cos φ 2 sin (kx ωt φ 2 ). 8. Pelayangan gelombang terjadi karena interferensi jika dua gelombang yang merambat dengan arah yang sama namun frekuensi berbeda sedikit. 9. Jika gelombang yang menyebabkan pelayangan dinyatakan dengan persamaan y 1 = A cos 2πf 1 t dan y 2 = A cos 2πf 2 t maka superposisinya akan menghasilkan gelombang dengan persamaan y = 2 A cos 2π f 1 f 2 2 t cos 2π f 1+f 2 2 t.

176 Soal 1. Sebuah gelombang berjalan merambat dalam arah sumbu x negatif ( ke arah kiri ) dengan amplitudo 0,02 m dan frekuensinya 450 Hz dengan laju 340 m/s. Tentukan persamaan gelombang tersebut kemudian dengan menggunakan Spreadsheet gambarkan grafiknya. 2. Sebuah gelombang berdiri dihasilkan karena resultan dua buah gelombang yang merambat dalam arah berlawanan. Jika masing-masing gelombang tersebut memiliki amplitudo 3 cm, frekuensi 10 Hz, kelajuan gelombang 6 m/s dan berbeda fase 60 0 dengan menggunakan Spreadsheet analislah resultan kedua gelombang tersebut. 3. Sebuah tali bergetar dengan persamaan y = 0,01 sin πx cos 10 πt dimana 2 x dan y dinyatakan dalam satuan meter dan t dalam detik. Dengan menggunakan Spreadsheet dengan mengambil t = 1 s gambarkan grafiknya kemudian tentukan jarak di antara titik-titik simpulnya dan tentukan juga kecepatan partikel pada kedudukan 1 cm. Bandingkan jawaban Anda jika soal ini dikerjakan secara manual tanpa menggunakan Spreadsheet.