BAB II TINJAUAN PUSTAKA

8 BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Latar Belakag Dar zama dahulu hgga zama moder orag tertark megetahu tetag umur tertgg yag g a capa. Hdup adalah suatu persoala prbad yag sukar dramalka blamaa aka berakhrya. Kadag-kadag ada orag yag dapat mecapa umur sagat tua, sepert seorag warga Negara Demark yag berama Chtste Jacobse Drakeberg yag lahr pada tahu 66, meggal pada umur 46 tahu (Iskadar, 98). Sekalpu kta tdak dapat megetahu pajagya umur seseorag secara prbad, jka kta tjau secara aggregatve atau keseluruha meurut kelompokkelompok umur da jes kelam, dapat kta lhat adaya suatu ketetua yag megkut pola-pola tertetu. Jka pada suatu saat d suatu egara adaka telah dlahrka orag lak-lak, maka berdasarka data-data tertetu dtetapka berapa bayak dar mereka at aka mecapa umur, msalya umur tahu, tahu, tahu, 4 tahu, 6 tahu da seterusya. Jka ssa mereka akhrya setelah umur seka meggal juga, maka dapat dhtug umur rata-rata dar orag yag pada saat da tempat yag sama telah dlahrka sebaga bay da telah bersama-sama megalam kejada-kejada yag sama d tempat tu sepajag hdup mereka. Keteraga-keteraga tetag jumlah yag meggal pada berbaga tgkat umur, yag bertaha hdup pada berbaga tgkat umur da tetag umur rata-rata yag mereka capa dteragka oleh apa yag dsebut tabel hayat atau lfe table. Joh Graut pada pertegaha abad ke-7 telah melakuka observas pada daftar kemata Lodo da telah meemuka gambara awal apa yag kemuda dsebut tabel hayat. Tabel hayat dalam meduga besarya agka kemata aak dlakuka dega telt, dalam tabel hayat sekarag dsebut kolom kemata da kolom yag dapat bertaha hdup. Tabel Graut setelah 4 tahu kemuda telah membuat Halley, seorag astroom, utuk meyusu tabel hayat moder pertama dar kota Breslau pada tahu 687 69 ( Coale & Demey, 983).

9 Empat puluh tahu kemuda Kresseboom meyusu tabel yag la berdasarka catata tahua kehdupa d Hollad yag terdapat pada tahu 738, da tabel yag terkeal dar Deparceu telah dpublkaska pada tahu 746. Macam-macam tabel hayat yag telah dsusu d atas merupaka dasar utuk meyusu model tabel hayat.. Tabel Hayat Tabel hayat bergua utuk meggambarka aspek kemata mausa secara sgkat da jelas serta meujukka kemata sebaga sebuah fugs dar umur (Coale & Demey, 983). Peelta tetag tabel hayat yag telah ada msalya Baredregt et al. pada tahu 996 telah meerapka tabel hayat mult-state pada bdag kesehata masyarakat. State adalah keadaa tetag kesehata, yatu tetag peyakt yag dderta secara dvdu msalya peyakt cardovascular yag dderta secara terus-meerus. Shavelle & Strauss (999), telah melakuka peelta tetag tabel hayat mult state utuk waktu yag lama dega megguaka data mcro. Metodolog tabel hayat mult state adalah megguaka asums Markov kejada sekarag tdak bergatug pada kejada sebelumya, msalya pada sstem bolog da proses pada masalah sosal. Peelta la tetag tabel hayat dlakuka oleh Muller et al. (4) yag meelt tetag meyusu tabel hayat da meduga fugs survval dar dvdudvdu yag dtada pada umur yag tdak dketahu. Peelta dlakuka pada populas batag lar, dega sampel yag dambl secara acak. Data utuk meyusu tabel hayat dperoleh dar data taggal kelahra subjek yag tdak dketahu. Model yag dperoleh merupaka ttk awal yag dapat dkembagka dalam bdag demograf. De Roos (8) telah melakuka peelta tetag aalss demograf dar perjalaa hdup dega waktu kotu. Pada peelta dlakuka pedekata komputas utuk meghtug laju pertumbuha peduduk dega parameterparameter yag sagat sestf terhadap sebara peduduk stabl da meghaslka pertumbuha peduduk yag ekspoesal. Utuk meghtug laju

pertumbuha peduduk, metode yag dguaka adalah persamaa tegral Lotka... Tabel Hayat Coale Demey Berdasarka karakterstk pola kemata pada peduduk d egara-egara Eropa, model tabel hayat dklasfkaska mejad 4 model yatu model Tmur (East model), model Utara (North model), model Selata (South model) da model Barat (West model), setap model terdr dar 4 level. Ke-4 model dpublkaska oleh Coale & Demey tahu 966. Utuk meyusu tabel hayat Coale-Demey dperluka data tetag agka kemata bay yag kemuda dbuat model agka harapa hdup. Berkut salah satu cotoh tabel hayat model Barat pada egara Jepag tahu 5 (Tabel ). Wata l Tabel Tabel hayat Jepag tahu 5 d q 5.5 998 855573 85.5 99748 34.34 9973 845773 84.73 5 99658. 99653 85997 8.8 9964 7.7 996 755484 75.84 5 99576. 9957 756838 7.87 99489 6.6 99476 655944 65.93 5 99338 3.3 993 666 6. 3 9978 37.37 996 5565763 56. 35 98966 5.53 9894 5737 5.3 4 98665 74.75 9868 457653 46.38 45 983.3 9877 48394 4.57 5 97566 7.76 9748 359437 36.84 55 96549 56.65 9643 38874 3. 6 9586 347.364 9494 6965 7.66 65 9377 499.536 983 58898 3.9 7 958 8.89 89664 7476 8.88 75 8554 338.574 84396 665 4.83 8 76839 7.898 75746 85584.3 85 6965 3586.5696 693 578 7.99 9 476 45.563 4453 36336 5.53 95 84 374.7947 8938 78555 3.77 69 7.888 5 547.54 5 88 334.43 69 37.7 3 8.5753 36. 4.759.8 L T e&

Keteraga kolom-kolom pada tabel d atas sebaga berkut:. : umur-tepat peduduk. l : bayakya orag yag dapat bertaha hdup pada umur-tepat 3. d : bayakya kemata atara umur sampa + 4. q : peluag kemata pada umur sebelum mecapa umur + 5. L : bayakya peduduk umur sampa + 6. T : total peduduk berumur sampa akhr hayatya 7. e& : agka harapa hdup pada umur Agka harapa hdup dbedaka atas pra da wata. Setelah dketahu agka harapa hdup peduduk dar suatu egara, dega megguaka tabel hayat model Coale-Demey dapat dketahu letak level tabel hayat tersebut, kemuda dapat dsusu tabel hayat. Tabel hayat model Tmur (East model) berasal dar egara Austra, Germa (sebelum tahu 9), Republk Federal Germa (setelah perag dua ke-), Itala Utara da Pusat, Polada da Czechoslovaka. Pola tabel-tabel bla dbadgka dega pola yag mayortas dguaka, terdapat peympaga. Cr dar tabel hayat model Tmur adalah tggya agka kemata bay da pegkata dega cepat agka kemata setelah umur 5 tahu, bla dgambar grafkya berbetuk huruf U ( Coale & Demey, 983). Tabel hayat model Utara (North model) damat berdasarka tabel hayat Islada (94-95), Norwega (856-88 da 946-955) da Sweda (85-89). Cr dar tabel hayat model Utara adalah agka kemata bay redah, pada aak agka kemataya tgg da umur datas 5 tahu agka kemata megkat pada musm gugur, mugk pola kemataya karea edemc tuberculoss. Model drekomedaska pada egara yag memlk kejada peyakt tuberculoss yag tgg ( Coale & Demey, 983). Tabel hayat model Selata (South model) berdasarka tabel hayat Spayol, Portugal, Itala, Itala Selata da daerah Ssla dar tahu 876 hgga tahu 957. Cr tabel hayat model Selata adalah tggya agka kemata d bawah

umur 5 tahu, umur 4 sampa 6 tahu agka kemataya redah tetap tgg utuk umur d atas 65 tahu ( Coale & Demey, 983). Tabel hayat model Barat (West model) dsusu berdasarka tabel hayat yag dkumpulka dar egara-egara yag mempuya trads pecatata kelahra da kemata, sehgga mutu data statstk dkataka memuaska. Negara-egara yag tercakup oleh tabel hayat model Barat buka haya egara-egara Barat, tetap juga egara d Tmur Tegah (Israel), d Tmur (Jepag, Tawa), d Selata (Afrka Selata) da Selada Baru ( Coale & Demey, 983). Gambar Nla q pada model Tmur, Utara, Selata da Barat ketka e& 5, e& 5 da e& 7. Pada Gambar d atas dapat dlhat perbedaa agka kemata utuk tabel hayat model Tmur, Utara, Selata da Barat, dega la q dkal. Idoesa memperoleh data kepeduduka dar sesus (setap tahu) da surve (setap 5 tahu), belum memlk data statstk yag legkap megea

3 kemata, dalam membuat tabel hayat megguaka model Barat, demka juga dega provs Bate..3 Teor Peluag Defs.3. ( Ruag Cotoh da Kejada ) Hmpua semua kemugka dar suatu percobaa acak dsebut ruag cotoh, da dotaska dega Ω. Suatu kejada A adalah hmpua baga dar ruag cotoh Ω. (Grmmet & Strzaker, 99) Defs.3. (Feld F ) Suatu hmpua F yag aggotaya terdr atas hmpua baga dar Ω dsebut feld jka memeuh syarat-syarat berkut: jka AB, F maka A B F da A B F c jka A F maka A F 3 Ø F Defs.3.3 (Meda σ) (Grmmet & Strzaker, 99) Meda σ adalah suatu hmpua F yag aggotaya terdr atas hmpua baga dar Ω yag memeuh syarat-syarat berkut: Ø F Jka A, A,... F, maka 3 Jka A F maka c A F Defs.3.4 ( Peubah Acak ) U A F (Grmmet & Strzaker, 99) Suatu peubah acak adalah suatu fugs : Ω R dega sfat { ω Ω: ( ω) } F utuk setap R. F adalah suatu feld (Grmmet & Strzaker, 99) Peubah acak dotaska dega huruf kaptal, msalya, Y, Z. Sedagka la peubah acak dotaska dega huruf kecl seper, y, z.

4 Defs.3.5 (Fugs Sebara) Fugs sebara dar suatu peubah acak adalah suatu fugs F : R [,] yag dberka oleh F( ) P( ). (Grmmet & Strzaker,99) Defs.3.6 (Fugs Kepekata Peluag) Fugs kepekata peluag adalah lmt dar peluag suatu dvdu megalam kejada pada terval pedek t ke t + Δ t persatua pajag Δ t, da dapat dekspreska sebaga, P( t T < t+δt) f() t lm Δ t Δt (Co & Oakes, 984) Defs.3.7 (Peubah Acak Kotu) Peubah acak dkataka kotu jka fugs sebaraya dapat dyataka sebaga F( ) f( u) d u R, dega f : R [, ) adalah fugs yag tertegralka. Fugs f dkataka fugs kepekata peluag dar peubah acak. (Grmmet & Strzaker, 99).4 Survval Defs.4. (Data Survval) Data Survval adalah data tetag pegamata jagka waktu dar awal pegamata sampa dega terjadya suatu perstwa, perstwa tu dapat berupa kemata, respo, tmbul gejala da la-la. (Lee, 99) Defs.4. (Fugs Survval) Fugs Survval S(t) adalah fugs yag meyataka peluag seseorag dapat bertaha hdup hgga atau lebh dar waktu t. Rumus umum dar fugs Survval ddefska sebaga berkut: St ( ) PT ( t) Ft ( ) Dega metode fugs sebara Ft () ddefska sebaga berkut:

5 t Ft () PT ( t) f( u) du Peubah acak T mempuya fugs kepekata peluag f(t) adalah ds() t f() t dt Teorema Jka fugs Survval S dega St ( ) PT ( t) maka fugs kepekata peluag dar T adalah f dega: ds() t f() t dt Bukt: St () f( ) d t t karea f ( d ) + f( d ) t maka f ( d ) St ( ) t t d[ f( ) d] dt ds() t f() t dt terbukt. d[ S( t)] dt (Collet, 994).5 Metode Kemugka Maksmum Metode kemugka maksmum merupaka salah satu metode pedugaa parameter yag meghaslka la dugaa dega memaksmumka fugs kemugka (lkelhood). Msal,..., adalah suatu cotoh acak berukura yag dtark dar suatu populas dskret atau kotu dega fugs kepekata peluagya f ( ; θ ), maka fugs kemugkaya ddefska sebaga: L( θ;,..., ) f( ; θ ).

6 yag merupaka fugs kepekata bersamaya. Utuk suatu fugs kemugka L( θ ), ˆ θ merupaka peduga kemugka maksmum bag θ (Serflg, 98). Sergkal peduga ˆ θ dperoleh dega meyelesaka sstem persamaa fugs kemugka, log L θ θ ˆ θ, (,..., k), Jka ˆ θ merupaka peduga kemugka maksmum bag θ maka utuk sembarag fugs g( θ ) peduga kemugka maksmum bag g( θ ) adalah g( ˆ θ )..6 Koefse Peetu (Determas) Nla koefse peetu (determas) yag dlambagka dega R meujukka sejauh maa peubah bebas () dapat mejelaska keragama d dalam peubah tak bebas (Y)(Agrest&Flay, 999). R ( y yˆ ) ( y y) dega y aktual, y ˆ dugaa, da y rata-rata.7 Fugs Sebara.7. Sebara Ekspoesal Sebara ekspoesal merupaka sebara yag palg sederhaa da bayak dguaka dalam masalah bertaha hdup. Sebara ekspoesal haya memlk satu parameter yatu, yag meujukka peskalaa. Fugs kepekata peluag dar sebara ekspoesal adalah f ( ) e. Dapat dbuktka bahwa fugs Survval sebara ekspoesal adalah S( ) e. Bukt: Karea F( ) f( u) du, maka S( ) F( ) u F( ) e du

7 u e e u du ( e ) S( ) e (Lee, 99) Pada Gambar dapat dlhat kurva fugs Survval sebara ekspoesal S.,5.8.6.4. 4 6 8 Umur Gambar Kurva fugs Survval sebara ekspoesal pada saat, 5 (mulus) da, 3 (putus-putus)..7. Sebara Webull Sebara Webull merupaka betuk umum dar sebara ekspoesal. Cr dar sebara Webull adalah adaya parameter yatu da. Nla meujukka kemrga kurva sebara, sedagka la meujukka peskalaa. Fugs kepekata peluag dar sebara Webull adalah ( ) f( ) e. Dapat dbuktka bahwa fugs Survval sebara Webull adalah ( ) S( ) e. Bukt : Karea F( ) f( u) d( u), maka u ( ) F( ) u e du.

8 ( ) Msal S( ) e maka Sehgga u ( ) u ds ( ) e du, u ( ) u ( ) e du ds F( ) s e ( u) ( ) e. Jad S( ) F( ) + e ( ) ( ) e. (Lee, 99) Pada Gambar 3 dapat dlhat kurva fugs Survval sebara Webull. S. 58.8.6.4. 4 6 8 Umur Gambar 3 Kurva fugs Survval sebara Webull pada saat 3 (mulus) da (putus-putus)..7.3 Sebara Log-ormal Secara sederhaa betuk sebara log-ormal dapat ddefska sebaga sebara suatu peubah dalam betuk logartma yag meyebar ormal. Sebara log-ormal memlk parameter yatu μ da σ, dega μ meujukka rata-

9 rata, σ meujukka smpaga baku dar l (). Fugs kepekata peluag dar sebara log-ormal adalah kumulatf [l( ) μ ]/( σ ) f( ) e, dega fugs sebara σ π l( ) μ F( ) Φ, maka fugs Survval sebara log-ormal adalah σ l( ) μ S ( ) Φ, dmaa Φ adalah fugs kumulatf dar sebara ormal σ baku.(http://d.wkpeda.org). Log[ ] μ σ ( t μ) /( σ ) S( ) e dt. Pada Gambar 4 dapat dlhat kurva fugs σ π Survval sebara log-ormal. S. μ 3,95.8.6.4. 4 6 8 Umur Gambar 4 Kurva fugs Survval sebara log-ormal pada saat σ,35 (mulus) da σ (putus-putus)..7.4 Sebara Log-logstk Sebara log-logstk memlk parameter θ da k. Fugs kepekata peluagya adalah ek f( ) ( + e). Fugs sebaraya adalah F( ) eky dy ( + ey) θ Msal u + e y du ke y dy du dy θ ke y k k

3 maka F( ) eky ( + ey) dy e k y d u u u k e y d u ( + e y ) + + e + e + e + e e jad F( ). + e Fugs Survval dar sebara log-logstk adalah S( ) F( ) e S( ) + θ e k + e e + e + e (Nurmauldah, 7) Pada Gambar 5 dapat dlhat kurva fugs Survval sebara log-logstk. S. θ.8.6.4. 4 6 8 Umur Gambar 5 Kurva fugs Survval sebara log-logstk pada saat σ 3 (mulus) da σ,5 (putus-putus).

3.7.5 Sebara Gompertz Sebara Gompertz memlk parameter da. Fugs kepekata peluagya adalah Fugs sebaraya + ( + ) ( e e ) f( ) e. t ( t) ( e + + e ) F( ) e dt e e ( + e ) Fugs Survval dar sebara Gompertz adalah S ( ) F ( ), e ( + e ) S( ) e. Pada Gambar 6 dapat dlhat kurva fugs Survval sebara Gompertz. S. 3,.8.6.4. 4 6 8 Umur Gambar 6 Kurva fugs Survval sebara Gompertz pada saat, (mulus) da, (putus-putus)..8 Pedugaa Parameter Pedugaa parameter dlakuka terhadap sebara ekspoesal, Webull, log-ormal, log-logstk da Gompertz dega megguaka metode kemugka maksmum (Mamum Lkelhood)..8. Metode Kemugka Maksmum Sebara Ekspoesal Sebara ekspoesal memlk fugs kepekata peluag f ( ) e. Berkut tahapa pedugaa parameter.

3 ) L( ) f( ) e ( ) ( ) ) Log L( ) log[ ] Utuk memperoleh la peduga yag memaksmumka fugs loglkelhood maka turua pertama dar L( ) terhadap harus sama dega sehgga log L( ) 3) Jad ˆ.8. Metode Kemugka Maksmum Sebara Webull Sebara Webull memlk fugs kepekata peluag ( ) f( ) ( ) e. Berkut tahapa pedugaa parameter. f e ( ) ( )( ) log[ ] ) L(, ) (, ) ) Log L(, ) log[ ] + log[ ] log[ ] + log[ ] Utuk memperoleh la peduga da yag memaksmumka fugs log-lkelhood maka turua pertama dar L(, ) terhadap da L(, ) terhadap harus sama dega, sehgga :

33 log (, ) 3) L + Jad ˆ ˆ ˆ log (, ) 4) log[ ] log[ ] log[ ] log[ ] L + + Hasl turua parsal log (, ) L tdak dapat dsajka dalam betuk aaltk/eksak, sehgga ˆ tdak dapat dperoleh secara eksplst, dega batua software Mathematca 6. dperoleh hasl secara umerk..8.3 Metode Kemugka Maksmum Sebara Log-ormal Sebara log-ormal memlk fugs kepekata peluag (l( ) ) /( ) ( ) f e μ σ σ π. Berkut tahapa pedugaa parameter.

34 ) L( μσ, ) f( μσ, ) ( μ+ log[ ]) σ e ( π) ( μ + σ log[ π] + σ log[ σ]) μlog[ ] + σ log[ ] ) Log L( μσ, ) σ σ log[ ] σ Utuk memperoleh la peduga μ daσ yag memaksmumka fugs loglkelhood maka turua pertama dar L( μ, σ ) terhadap μ da L(, ) terhadap σ harus sama dega, sehgga : μ log[ ] log L( μσ, ) 3) μ σ μ u log[ ] log[ ] log[ ] Jad uˆ. log[ ] Dega meyubsttus uˆ ke log L( μ, σ) dperoleh σ ˆ σ ( log[ ]) + log[ ]

35.8.4 Metode Kemugka Maksmum Sebara Log-logstk Sebara log-logstk memlk fugs kepekata peluag ek f( ) ( + e) ) L( θκ, ) f( θκ, ) θ e κ θ ( + e ). Berkut tahapa pedugaa parameter. + κ κ θ κ ) Log L( θκ, ) θ+ Log[ κ] Log[ ] + κ Log[ ] Log[ + e ] θ κ log L( θκ, ) e 3) θ κ + e θ Hasl turua parsal log L( θκ, ) θ tdak dapat dsajka dalam betuk aaltk/eksak, sehgga ˆ θ tdak dapat dperoleh secara eksplst, dega batua software Mathematca 6. dperoleh hasl secara umerk. log L( θκ, ) e Log[ ] 4) + Log[ ] κ κ + θ κ θ κ e Hasl turua parsal log L( θ, κ ) κ tdak dapat dsajka dalam betuk aaltk/eksak, sehgga ˆ κ tdak dapat dperoleh secara eksplst, dega batua software Mathematca 6. dperoleh hasl secara umerk..8.5 Metode Kemugka Maksmum Sebara Gompertz Sebara Gompertz memlk fugs kepekata peluag + ( + ) ( e e ) f( ) e. Berkut tahapa pedugaa parameter.

36 ) L(, ) f(, ) e + e + e + + e e ) Log L(, ) + + + e log L(, ) e 3) + Hasl turua parsal log L(, ) tdak dapat dsajka dalam betuk aaltk/eksak, sehgga ˆ tdak dapat dperoleh secara eksplst, dega batua software Mathematca 6. dperoleh hasl secara umerk. + + e log L(, ) e 4) + + + e Hasl turua parsal log L(, ) tdak dapat dsajka dalam betuk aaltk/eksak, sehgga ˆ tdak dapat dperoleh secara eksplst, dega batua software Mathematca 6. dperoleh hasl secara umerk.