B (1) (m) = B(m 1 +1,m 2,m 3 ), B (2) (m) = B(m 1,m 2 +1,m 3 ),..., a 12. B (12) +B (3)} +a 23. B (23) +B (1)} +a 31

À Ö À ÖÓØ Ö Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø Ö ÙØ ÓÒ º ÈÓ Ö ÓÚ ËØ ÐÓÚ Å Ø Ñ Ø Ð ÁÒ Ø ØÙØ Ò ÆÊÍ À Ö Ë ÓÓÐ Ó ÓÒÓÑ ÅÓ ÓÛ ÉÙ Ð Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ ÅÁÈÌ ÓÐ ÓÔÖÙ ÒÝ Ë ÔØ Ñ Ö ½¾ ½ ¾¼½

Ä Ø A Ò B ØÛÓ Ð Ñ ÒØ Ó Ò Ó Ø Ú Ð Ö ÓÚ Ö C Û Ø ÙÒ ØÝ Iº Ä Ø ÓÖ ÓÑ a 1,a 2,a 3 C a 1 a 2 a 3 a 1 µ Ø Ö Ü Ø ÒÚ Ö (A a i I) 1 º Ï ÒØÖÓ Ù Ô Ò Ò Ó B ÓÒ Ø Ö Ö Ø Ú Ö Ð m 1,m 2,m 3 Z Ý Ñ Ò Ó ( 3 ) ( 3 1 B(m) B(m 1,m 2,m 3 ) = (A a n ) m n B (A a n ) n) m, Ò ÒÓØ n=1 B (1) (m) = B(m 1 +1,m 2,m 3 ), B (2) (m) = B(m 1,m 2 +1,m 3 ),..., Ì Ò B(m) Ó Ý Ð Ò Ö Ö Ò ÕÙ Ø ÓÒ a 12 { B (12) +B (3)} +a 23 { B (23) +B (1)} +a 31 { B (31) +B (2)} = 0 (a ij = a i a j ), Ø Ø ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ÓÑÑÙØ ØÓÖ ÒØ ØÝ a 12 { (A a1 )(A a 2 )B(A a 1 ) 1 (A a 2 ) 1 +(A a 3 )B(A a 3 ) 1} + + ÝÐ (1,2,3) = 0. n=1

Ä Ø Ù ÓÒ Ö Ò Ò Ø µ Ñ ØÖ F G... Ð ØT ÒÓØ Ø Ñ ØÖ ÜT m1,m = 1 δ m1,m 1 +1 º Ì Ò ÒÝ Ñ ØÖ Ü Ò ÛÖ ØØ Ò F = n Z f nt n Û Ö ÐÐ f n = diag{f n (m 1 )} m1 Z Ö ÓÒ Ð º º ÑÙØÙ ÐÐÝ ÓÑÑÙØ Ò Ñ ØÖ º Ï Ó Ø ØÓ Ú ÖÝ Ñ ØÖ Ü Ø ÝÑ ÓÐ F(m1,z) = n Z f n(m 1 )z n Û Ö m 1 Z z Cº Ì Ø Ò Ö ÔÖÓ ÙØ Ó Ñ ØÖ F Ò G Ò Ø ÖÑ Ó Ø Ö ÝÑ ÓÐ Ø Ø ÓÖÑ FG(n 1,z) = ζ =1 dζ 2πiζ F(n 1,zζ) ζ n 1 m 1 G(m1,z). m 1 Z ËÝÑ ÓÐ Ó Ø ÙÒ ØÝ ÓÔ Ö ØÓÖ T(n,z) = zº ÓÖ ÒÝ F Ĩ(n,z) = 1 Ò ÝÑ ÓÐ Ó Ø Ø ÓÔ Ö ØÓÖ T TFT 1 (n 1,z) = F(n 1 +1,z) ÁÒ Û Ø ÓÐÐÓÛ Û ÓÒ Ö Ø Ó Ô Ù Ó¹Ñ ØÖ Ü ÓÔ Ö ØÓÖ Ú Ò Ý Ø Ö ÝÑ ÓÐ Û Ø Ø ÓÚ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ð Ûº Ï ÑÔÓ ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø ÝÑ ÓÐ Ö Ø ÑÔ Ö ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ö Ú Ö Ð º ÇÒ Ø Ø Ó Ù ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÒ Ò Ò ¹ Ö ÒØ Ø ÓÒ F F ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö T = 0. ( F)(n,z) = F(n,z) z

Ï ÓÒ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ A Ò B ÓÔ Ö ØÓÖ Ó Ø Ò Û Ø ÝÑ ÓÐ Ã Ò Bº Ô Ò Ò Ó Ø ÝÑ ÓÐ Ó B ÓÒ m 1 B (1) = (A a 1 )B(A a 1 ) 1 Ü ØÐÝ Ø ÓÒ Ú Ò Ý Ø Ñ Ð Ö ØÝ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Û Ø ÓÔ Ö ØÓÖ T º Ì Ù Û Ò ÔÙØ A = T +a 1, º º Ã(n,z) = (z +a 1 )º Ì Ò Ô Ò Ò ÓÒ m 2,m 3 Ò B (2) = (A a 2 )B(A a 2 ) 1, B (3) = (A a 3 )B(A a 3 ) 1 B (2) = (T +a 12 )B(T +a 12 ) 1, B (3) = (T +a 13 )B(T +a 13 ) 1. Ö Ò ÓÔ Ö ØÓÖ K Û Ø ÝÑ ÓÐ K(n,z) ÒØÖÓ Ù ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ¹ÔÖÓ Ð Ñ K = KB, lim K(n,z) = 1 z ÙÒ Ö ÙÑÔØ ÓÒ Ó Ø ÙÒ ÕÙ ÓÐÚ Ð Øݺ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ý Ñ Ò Ó K (m j) = K (mj) B (mj) Ø Ø Ö ÓÑÔ Ø Ð Ý ÓÒ ØÖÙØ ÓÒº ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö K (1) = TKT 1 º Æ ÜØ (K (2) (T +a 12 )) = (K (1) (T +a 12 ))Bº ÏÖ Ø Ò K = 1+uT 1 +..., z, Û Ö u ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Ø ÝÑ ÓÐ Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ zµ Û Ø K (2) (T +a 12 ) = (T +a 12 +u (2) u (1) )K. Ò ÐÓ ÓÙ ÐÝ K (3) (T +a 13 ) = (T +a 13 +u (3) u (1) )Kº

Ä Ø Ù ÒØÖÓ Ù ϕ(n,z) = K(n,z)z n 1 (z +a 12 ) n 2 (z +a 13 ) n 3. Ì Ò Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÛÖ ØØ Ò Ò Ø ÓÖÑ ϕ (2) = ϕ (1) + ( u (2) u (1) +a 12 ) ϕ, ϕ (3) = ϕ (2) + ( u (3) u (2) +a 23 ) ϕ, ϕ (1) = ϕ (3) + ( u (1) u (3) +a 31 ) ϕ, Ó Ø Ø Ø Ä Ü Ô Ö Ú Ò Ý ÒÝ ØÛÓ Ó Ø Ñº ÓÒ Ø ÓÒ Ó ÓÑÔ Ø Ð ØÝ Ö u (12) (u (2) u (1) +a 12 )+a 12 u (3) + ÝÐ = 0, Ø Ø Ø À ÖÓØ Ö Ò ÕÙ Ø ÓÒº ÁØ Ú ÒÓÒ¹Ð Ò Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ò Ð Ð Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ B (12) a 12 +a 12 B (3) + ÝÐ = 0.

ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÛÖ Ø Ø À ÖÓØ Ö Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÑÓÖ Ñ Ð Ö ÓÖÑ Û ÒØÖÓ Ù w(m) = u(m) m 1 a 1 m 2 a 2 m 3 a 3, Ø Ø Ö ÑÓÚ ÐÐ a i ÖÓÑ Ø Ä Ü Ô Ö Ò ϕ (2) = ϕ (1) + ( v (2) v (1)) ϕ, ϕ (3) = ϕ (2) + ( v (3) v (2)) ϕ, ϕ (1) = ϕ (3) + ( v (1) v (3)) ϕ, v (12) (v (2) v (1) )+ÝÐ (1,2,3) = 0, Û Ð ÝÑÔØÓØ ÓÒ Ø ÓÒ ÒØ Ð u(m) Ý Ò º

Û Ú Ò ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ B Ö Ú Ò Ý Ñ Ò Ó B (1) = TBT 1, B (2) = (T +a 12 )B(T +a 12 ) 1, B (3) = (T +a 13 )B(T +a 13 ) 1. Ì Ñ Ò Ø Ø ÝÑ ÓÐ Ó B Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ( ) m2 ( ) m3 dζ B(m,z) = 2πiζ ζm 1 zζ +a12 zζ +a13 b(ζ,z), z +a 12 z +a 13 ζ =1 Û Ö b(ζ,z) ÓÑ ÙÒØ ÓÒº ÁØ Ò ØÙÖ Ð ØÓ ÑÔÓ ÓÒ Ø ÓÒ zζ +a 12 z +a 12 = zζ +a 13 z +a 13 = 1, Ø Ø Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ z z = a 12 a 12 ζ = a 13 a 13 ζº Ì Ò a 12 /a 12 = a 13 /a 13 Ó Û Ò ÓÓ ÐÐ a j ØÓ Ö Ðº Ì Ñ Ò Ø Ø ÙÒØ ÓÒ b(ζ,z) ÙÔÔÓÖØ ÓÒ Ø ÙÖ ζ = z/z º º Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÝÑ ÓÐ Ó B Ø ÓÖÑ ( ) m1 ( ) m2 ( ) m3 z z +a12 z +a13 B(m,z) = f(z), z z +a 12 z +a 13 Û Ö f(z) Ò Ö ØÖ ÖÝ ÙÒØ ÓÒ Ó z Cº

ËÔ Ö ÙØ ÓÒ Ó Ø À º ÓÒ Ø ÓÒ B(m,z) Ò Ô Ò ÒØ ÓÒ ÓÑ Ú Ö Ð Ð ØÓ z ÁÑ = 0 Ø Ø Ò Ð Ô Ò Ò ÓÒ ÐÐ ÓØ Ö Ú Ö Ð Ù ( ) m1 ( ) m2 ( ) m3 z z +a12 z +a13 B(m,z) = f(z). z z +a 12 z +a 13 ÆÓÒØÖ Ú Ð Ö ÙØ ÓÒ Ý B (2) = B ( 1) Ø Ø Ú ØÛÓ ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö z ÁÑ = 0 ÓÖ z Ê = a 1 a 2 = a 1 µº Ì Ù ) m1 m a1 +iz 2 ( ) m3 ÁÑ a3 +iz ÁÑ B(m,z) = a(z Ê )δ(z ÁÑ )+( b(z ÁÑ)δ(z Ê +a 1 ) a 1 iz ÁÑ a 3 iz ÁÑ ÁÒØÖÓ Ù Ò λ = z+a 1 Ò w(m 1,m 3 ) = u(m 1,m 3 ) m 1 a 1 m 3 a 3 Û Ò ÛÖ Ø Ä Ü Ô Ö (λ a 1 )ϕ ( 1) (λ+a 1 )ϕ (1) = (w ( 1) w (1) )ϕ, ϕ (3) = (λ+a 1 )ϕ (1) +(w (3) w (1) )ϕ, Ò ÕÙ Ø ÓÒ (w (1,3) w)(w (3) w (1) ) = (w ( 1,3) w)(w (3) w ( 1) ), ÓÖ (w (3) w ( 1) ) (1) w (3) w ( 1) = (w(3) w (1) ) ( 1) w (3) w (1)

À Ö À ÖÓØ Ö Ò ÕÙ Ø ÓÒº Ä Ø Ù ÒØÖÓ Ù ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ B Ý Ñ Ò Ó B (1) = (A a 1 )B(A a 1 ) 1, B (2) = (A a 2 )B(A a 2 ) 1, B (3) = (A 2 a 2 3)B(A 2 a 2 3) 1 Ä Ø i B = B (i) Bº Ì Ò Û Ú ÒØ ØÝ [ ( 1 a 1 2 a 2 ) 2 a 2 3( 1 2 ) 2] 3 B = a 12 1 2 ( a12 1 2 +2 1 a 1 2 a 2 ) B Ì Ö Ò ÓÔ Ö ØÓÖ K Ò ÓÚ K = KB lim z K(m,z) = 1 Û ÐÐ Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ m 1 Ò m 2 K (2) (T +a 12 ) = K (1) T +(u (2) u (1) +a 12 )K, ½µ ÓÖ Ø Ø Û Ø Ö Ô Ø ØÓ m 3 Û Ú ( K (3) [(T + a 1 ) 2 a 2 3] ) = K (3) [(T + a 1 ) 2 a 2 3 ]B Ó Ø Ø K(3) [(T +a 1 ) 2 a 2 3 ] = [T2 +XT +Y]K Û Ö X Ò Y Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ö Ú Ø Ñ Û Ò Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ø ÖÑ Ó ÜÔ Ò ÓÒ K = 1+uT 1 +vt 2 +..., z, Ò Ý ½µ v (2) v (1) = (u (2) u (1) +a 12 )u a 12 u (2)

ÁÒ Ø Û Ý Û Ø Ä Ü Ô Ö ϕ (2) = ϕ (1) +(u (2) u (1) )ϕ ϕ (3) = ϕ (1,2) +(u (3) u (1,2) ) ϕ(1) +ϕ (2) + 2 + [ v (3) v (1,2) 1 2 (u(1) +u (2) )(u (3) u (1,2) ) ] ϕ Ò ÕÙ Ø ÓÒ (v (1) +v (2) 2v) (3) (v (1) +v (2) 2v) (1,2) +(u (1) +u (2) )(u (3) u (1,2) ) u (1,2)[ (u (1) +u (2) ) (3) (u (1) +u (2) ) (1,2)] = 0 v (2) v (1) = (u (2) u (1) )u, Û Ö Û Ô Ö ÓÖÑ Ù Ø ØÙØ ÓÒ u(n) u(n)+a 1 n 1 +a 2 n 2 v(n) v(n)+... 1 2 (a 1n 1 +a 2 n 2 ) 2 n 3 a 2 3, n.

Ì Ý Ø Ñ Ð Ó Ñ Ø ½ ½µ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö ÙØ ÓÒ u (2) = u ( 1)... (v 1 +v 1 ) 3 +(u 1 +u 1 )u 3 (u 1 +u 1 ) 3 u = 0 v 1 v 1 = (u 1 u 1 )u, Û Ö v 1 = v (1) v, v 1 = v ( 1) v, u 3 = u (3) u,... ÙØ Ø Ð Ó Ñ Ø Ö ÙØ ÓÒ u (3) = u (u (1) +u (2) )(u (1,2) u) u (1,2)[ (u (1) +u (2) ) (1,2) (u (1) +u (2) ) ] + +(v (1) +v (2) 2v) (1,2) (v (1) +v (2) 2v) = 0 v (2) v (1) = (u (2) u (1) )u,

Ä Ñ Ø Ò º ÚÓÐÙØ ÓÒ B (1) = (A a 1 )B(A a 1 ) 1, B (2) = (A a 2 )B(A a 2 ) 1, B (3) = (A 2 a 2 3 )B(A2 a 2 3 ) 1 ÓÑ Ðй Ò ÓÖ Ò ÙÐ Ö ÓÒÐÝ a k ÓÖ ÓÑ k ÓÖ a 1 = a 2 ÓÖa 2 3 = a2 1 a 2 3 = a2 2 º Ì Ð Ñ Ø Ò Ú ÐÙ ÑÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÐÐݺ Ë Ý Ò ØØ Ð Ñ Ø a 3 a 2 3(B (3) B) [A 2,B]º Ä Ø Ù ÒØÖÓ Ù ÓÒØ ÒÙÓÙ Ú Ö Ð t 3 B t3 = [A 2,B] [(T+a 1 ) 2,B]º Ì Ò ¹ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖK Ú ( ( K t3 +K(T+a 1 ) 2) = Kt3 +K(T +a 1 ) 2) Bº Ä ÓÚ Û Ö Ú Ä Ü Ô Ö ϕ (2) = ϕ (1) +(u (2) u (1) )ϕ ϕ t3 = ϕ (1,2) +(u u (1,2) ) ϕ(1) +ϕ (2) + 2 + [ v v (1,2) 1 2 (u(1) +u (2) )(u u (1,2) ) ] ϕ Ò ÒÓÒÐ Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ t 3 ln(u (2) u (1) ) 2 = v (1) +v (2) 2v (v (1) +v (2) 2v) (1,2) +u(u (1) +u (2) ) v (2) v (1) = (u (2) u (1) )u. u (1,2)[ 2(u (1) +u (2) ) (u (1) +u (2) ) (1,2)]

Ä Ñ Ø a 2 a 1 º À Ö B (2) = B (1) +a 12 [T 1,B (1) ]+o(a 12 ) Ó Û Ò ÒØÖÓ Ù ÒÓØ Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Ú Ö Ð t 2 B t2 = [T 1,B]º Ì Ò (K t2 T +K) = (K t2 T + K)B ( 1) Ò Ò Ø Ñ Û Ý ÓÖ Û Ø Ä Ü Ô Ö ϕ t2 = (1+u t2 )ϕ ( 1) ϕ t3 = ϕ (1,1) +(u u (1,1) )ϕ (1) + ( v v (1,1) +(u (1,1) u)u (1)) ϕ, Û Ö v Ø ÓÒ Ó ÒØ Ó ÓÑÔÓ Ø ÓÒ K = 1+uT 1 +vt 2 +...º Ì ÓÑÔ Ø Ð ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÌÓ Ö Ö Ý ÓÖ t3 ln(1+u t2 ) = v ( 1) v (u (1) u ( 1) )u+(u (1,1) u)u (1) v t2 = u+(1+u t2 )u ( 1), t3 ln(1+u t2 ) = ( v (u (1,1) u)u (1)) ( 1) ( v (u (1,1) u)u (1)), v t2 = u+(1+u t2 )u ( 1).

Ï Ø ÒÓØ Ö Ò Ò Ø Ó a 2 a 1 Û ÓÒ Ö Ð Ñ Ø a 2 º ÁÒ Ø B (2) = B a 1 2 [A,B]+...º Ä Ø ÒÓÛ B t 2 = [A,B] Û Ð ÓÚ ËÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó Ý ÕÙ Ø ÓÒ Ì Ò Û Ö Ú Ä Ü Ô Ö Ò ÕÙ Ø ÓÒ B (1) = (A a 1 )B(A a 1 ) 1, ϕ t2 = ϕ (1) (u (1) u)ϕ, (B (1) B) t3 = B (1) t 2 t 2 +B t2 t 2 B t3 = [A 2,B] ϕ t3 = ϕ (1,1) (u (1,1) u)ϕ (1) +{ u (1) t 2 u t2 +(u (1) u) 2 }ϕ. (u (1) u) t3 = {u (1) t 2 +u t2 (u (1) u) 2 } t2

Ì Ò Ð Ó Ñ Ø ½ ½µ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö ÙØ ÓÒ B t3 = 0º Ì Ò Ä Ü Ô Ö Ö ϕ (1,1) (u (1,1) u)ϕ (1) +{ u (1) t 2 u t2 +(u (1) u) 2 }ϕ = z 2 ϕ, ϕ t2 = ϕ (1) (u (1) u)ϕ, Ò (u (1) +u) t2 = (u (1) u) 2.