Himpunan, Relasi, Fungsi, Proposisi, Poset, Lattice, Aljabar Boolean

Himpunan, Relasi, Fungsi, Proposisi, Poset, Lattice, Aljabar Boolean Materi Ajar Matematika Informatika FENI ANDRIANI Universitas Gunadarma

Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari Produk Cartesius A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R. 2

Contoh Relasi Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 5}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) R jika p habis membagi q maka kita peroleh R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 5) } 3

Representasi Relasi. Representasi Relasi dengan Diagram Panah A Amir Budi Cecep B IF22 IF25 IF342 IF323 P 2 3 4 Q 2 4 8 9 5 A 2 3 4 8 9 A 2 3 4 8 9 4

2. Representasi Relasi dengan Tabel Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil. Tabel Tabel 2 Tabel 3 A B P Q A A Amir IF25 2 2 2 2 Amir IF323 2 4 2 4 Budi IF22 4 4 2 8 Budi IF25 2 8 3 3 Cecep IF323 4 8 3 3 3 9 3 5 5

6 3. Representasi Relasi dengan Matriks Misalkan R adalah relasi dari A = {a, a 2,, a m } dan B = {b, b 2,, b n }. Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [m ij ], b b 2 b n M = mn m m n n m m m m m m m m m m a a a 2 2 22 2 2 2 yang dalam hal ini R b a R b a m j i j i ij ), (, ), (,

4. Representasi Relasi dengan Graf Berarah Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph) Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain. Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc) Jika (a, b) R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex). 7 Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop).

Sifat-sifat Relasi Biner Relasi biner yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat.. Refleksif (reflexive) Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) R untuk setiap a A. Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a A sedemikian sehingga (a, a) R. 8

9 Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai, atau m ii =, untuk i =, 2,, n, Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pada setiap simpulnya.

2. Transitif Relasi R pada himpunan A disebut transitif jika (a, b) R dan (b, c) R, maka (a, c) R, untuk a, b, c A.

Relasi yang bersifat transitif tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya Sifat transitif pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c.

3. Setangkup (symmetric) dan tolak-setangkup (antisymmetric) Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a, b) R, maka (b, a) R untuk a, b A. Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) R sedemikian sehingga (b, a) R. Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) R dan (b, a) R hanya jika a = b untuk a, b A disebut tolaksetangkup. Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) R dan (b, a) R. 2

Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama, atau m ij = m ji =, untuk i =, 2,, n : Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a. 3

Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jika m ij = dengan i j, maka m ji =. Dengan kata lain, matriks dari relasi tolak-setangkup adalah jika salah satu dari m ij = atau m ji = bila i j : Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolaksetangkup dicirikan oleh: jika dan hanya jika tidak pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda. 4

Relasi Inversi Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh R = {(b, a) (a, b) R } 5

Mengkombinasikan Relasi Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku. Jika R dan R 2 masing-masing adalah relasi dari himpuna A ke himpunan B, maka R R 2, R R 2, R R 2, dan R R 2 juga adalah relasi dari A ke B. 6

Komposisi Relasi Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh S R = {(a, c) a A, c C, dan untuk beberapa b B, (a, b) R dan (b, c) S } 7

Komposisi relasi R dan S lebih jelas jika diperagakan dengan diagram panah: 2 3 2 4 6 8 s t u 8

Jika relasi R dan R 2 masing-masing dinyatakan dengan matriks M R dan M R2, maka matriks yang menyatakan komposisi dari kedua relasi tersebut adalah M R2 R = M R M R2 yang dalam hal ini operator. sama seperti pada perkalian matriks biasa, tetapi dengan mengganti tanda kali dengan dan tanda tambah dengan. 9

Relasi Kesetaraan DEFINISI. Relasi R pada himpunan A disebut relasi kesetaraan (equivalence relation) jika ia refleksif, setangkup dan menghantar. 2

Secara intuitif, di dalam relasi kesetaraan, dua benda berhubungan jika keduanya memiliki beberapa sifat yang sama atau memenuhi beberapa persyaratan yang sama. Dua elemen yang dihubungkan dengan relasi kesetaraan dinamakan setara (equivalent). 2 IF25/Relasi dan Fungsi

Contoh: A = himpunan mahasiswa, R relasi pada A: (a, b) R jika a satu angkatan dengan b. R refleksif: setiap mahasiswa seangkatan dengan dirinya sendiri R setangkup: jika a seangkatan dengan b, maka b pasti seangkatan dengan a. R menghantar: jika a seangkatan dengan b dan b seangkatan dengan c, maka pastilah a seangkatan dengan c. Dengan demikian, R adalah relasi kesetaraan. 22

Relasi Pengurutan Parsial DEFINISI. Relasi R pada himpunan S dikatakan relasi pengurutan parsial (partial ordering relation) jika ia refleksif, tolak-setangkup, dan menghantar. Himpunan S bersama-sama dengan relasi R disebut himpunan terurut secara parsial (partially ordered set, atau poset), dan dilambangkan dengan (S, R). 23

Contoh: Relasi pada himpunan bilangan bulat adalah relasi pengurutan parsial. Alasan: Relasi refleksif, karena a a untuk setiap bilangan bulat a; Relasi tolak-setangkup, karena jika a b dan b a, maka a = b; Relasi menghantar, karena jika a b dan b c maka a c. 24

Contoh: Relasi habis membagi pada himpunan bilangan bulat adalah relasi pengurutan parsial. Alasan: relasi habis membagi bersifat refleksif, tolaksetangkup, dan menghantar. 25

Secara intuitif, di dalam relasi pengurutan parsial, dua buah benda saling berhubungan jika salah satunya -- lebih kecil (lebih besar) daripada, - atau lebih rendah (lebih tinggi) daripada lainnya menurut sifat atau kriteria tertentu. 26

Istilah pengurutan menyatakan bahwa benda-benda di dalam himpunan tersebut dirutkan berdasarkan sifat atau kriteria tersebut. Ada juga kemungkinan dua buah benda di dalam himpunan tidak berhubungan dalam suatu relasi pengurutan parsial. Dalam hal demikian, kita tidak dapat membandingkan keduanya sehingga tidak dapat diidentifikasi mana yang lebih besar atau lebih kecil. Itulah alasan digunakan istilah pengurutan parsial atau pengurutan tak-lengkap 27

Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B. A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. 28 Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B.

Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b. Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B. A B f a b 29

Fungsi adalah relasi yang khusus:. Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f. 2. Frasa dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B berarti bahwa jika (a, b) f dan (a, c) f, maka b = c. 3

Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama. A B a b 2 c 3 d 4 5 3

Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B. A B a b 2 c 3 d 32

Fungsi f dikatakan berkoresponden satu-ke-satu atau bijeksi (bijection) jika ia fungsi satu-ke-satu dan juga fungsi pada. Contoh f = {(, u), (2, w), (3, v)} dari A = {, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada. 33

Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f. Balikan fungsi dilambangkan dengan f. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f - (b) = a jika f(a) = b. Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada. 34

Komposisi dari dua buah fungsi. Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh (f g)(a) = f(g(a)) 35

Fungsi Rekursif Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri. Contoh: n! = 2 (n ) n = (n )! n. n! n ( n )!, n, n Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian: (a) Basis Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini juga sekaligus menghentikan definisi rekursif. 36 (b) Rekurens Bagian ini mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih dekat ke nilai awal (basis).

Contoh definisi rekursif dari faktorial: (a) basis: n! =, jika n = (b) rekurens: n! = n (n -)!, jika n > 5! dihitung dengan langkah berikut: () 5! = 5 4! (rekurens) (2) 4! = 4 3! (3) 3! = 3 2! (4) 2! = 2! (5)! =! (6)! = 37 Jadi, 5! = 2. (6 )! = (5 )! =! = = (4 ) 2! = 2! = 2 = 2 (3 ) 3! = 3 2! = 3 2 = 6 (2 ) 4! = 4 3! = 4 6 = 24 ( ) 5! = 5 4! = 5 24 = 2

Pengertian POSET : Suatu relasi biner R pada himpunan S (R: S S) dikatakan partially order (terurut sebagian) jika relasi tersebut bersifat reflektif, anti simetri dan transitif. Himpunan S bersama relasi R disebut poset. Jadi (S,R) poset jika relasi R pada S reflektif, anti simetri dan transitif.

Contoh : Relasi 'kurang dari atau sama dengan', relasi lebih dari atau sama dengan, dan relasi habis membagi pada himpunan bilangan bulat merupakan relasi yang terurut sebagian (partially ordered). Sehingga kita mempunyai poset-poset : (Z,), (Z,) dan (Z,). Secara umum notasi poset ditulis (S, ), relasi untuk mewakili semua relasi partially ordered.

Dapat dibuktikan bahwa relasi-relasi,, merupakan relasi yang bersifat reflektif, anti simetri dan transitif. KONSEP-KONSEP DI DALAM POSET: Beberapa konsep atau istilah matematika yang terkait dengan poset adalah: Upper Bound (ub) atau batas atas, supremum atau least upper bound (lub) atau batas atas terkecil, lower bound (lb) atau batas bawah, infimum atau great lower bound (glb) atau batas bawah terbesar.

Istilah dalam Poset UPPER BOUND : Misalkan (S, ) poset, H S, unsur S adalah upper bound atau batas atas dari himpunan H bila h untuk setiap h H. LOWER BOUND : Bila (S, ) poset, himpunan K S, unsur S adalah lower bound atau batas bawah dari himpunan K bila k untuk setiap k K.

Istilah dalam Poset (2) SUPREMUM : Bila (S, ) poset, H S, S adalah supremum himpunan H jika batas atas terkecil (least upper bound = lub) dari H, atau dengan kata lain : batas atas H, dan tidak ada batas atas lain H sehingga. INFIMUM : Bila (S, ) poset, himpunan K S, S adalah infimum himpunan K jika batas bawah terbesar (greatest lower bound = glb) dari K, atau dengan kata lain : batas bawah K, dan tidak ada batas bawah lain K sehingga.

CONTOH : Misalkan poset S = {, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 2, 8, 24} dengan relasi 'habis membagi' maka diagram Hasse dari poset tersebut adalah: (Coba gambarkan dan diskusikan!!)

Lattice LATTICE: Suatu poset (S, ) sehingga setiap dua unsur S mempunyai lub (least upper bound = supremum) dan glb (greatest lower baund = infimum) yang tunggal disebut lattice. Pada contoh himpunan S = {, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 2, 8, 24} dengan relasi 'habis membagi' maka poset ini bukan lattice sebab ada {3, 6} yang memiliki dua lub yaitu 2 dan 8. Latiice S dengan relasi lub dan glb dapat dipandang sebagai suatu sistem (S,, ) dengan =relasi lub & =relasi glb pada setiap dua unsur pada S.

Operasi Lattice avb = lub {a,b} dan a^b = glb {a,b} SIFAT-SIFAT Lattice: ~Komutatif avb = bva dan a^b = b^a ~Asosiatif (av b) v c = a v (b vc) dan (a ^ b) ^ c = a ^(b ^ c) ~Absorbsi a v (a ^ b) = a dan a ^(avb) = a ~Idempoten ava = a dan a ^ a = a

Macam2 Lattice.bounded lattices 2.distributive lattices 3.complemented lattices Berikan masing-masing contoh.beserta aplikasinya..

Definisi Aljabar Boolean Misalkan terdapat - Dua operator biner: + dan - Sebuah operator uner:. - B : himpunan yang didefinisikan pada operator +,, dan - dan adalah dua elemen yang berbeda dari B. Tupel (B, +,, ) disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:

. Closure: (i) a + b B (ii) a b B 2. Identitas: (i) a + = a (ii) a = a 3. Komutatif: (i) a + b = b + a (ii) a b = b. a 4. Distributif:(i) a (b + c) = (a b) + (a c) (ii) a + (b c) = (a + b) (a + c) 5. Komplemen : (i) a + a = (ii) a a =

Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan:. Elemen-elemen himpunan B, 2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner, 3. Memenuhi postulat Huntington.

Aljabar Boolean Dua-Nilai Aljabar Boolean dua-nilai: - B = {, } - operator biner, + dan - operator uner, - Kaidah untuk operator biner dan operator uner: a b a b a b a + b a a

Cek apakah memenuhi postulat Huntington:. Closure : jelas berlaku 2. Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa: (i) + = + = (ii) = = 3. Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.

4. Distributif: (i) a (b + c) = (a b) + (a c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran: b c b + c a (b + c) a b a c (a b) + (a c) a 52

(ii) Hukum distributif a + (b c) = (a + b) (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i). 5. Komplemen: jelas berlaku karena Tabel 7.3 memperlihatkan bahwa: (i) a + a =, karena + = + = dan + = + = (ii) a a =, karena = = dan = = Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {, } bersama-sama dengan operator biner + dan operator komplemen merupakan aljabar Boolean.

Ekspresi Boolean Misalkan (B, +,, ) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +,, ) adalah: (i) setiap elemen di dalam B, (ii) setiap peubah, (iii) jika e dan e 2 adalah ekspresi Boolean, maka e + e 2, e e 2, e adalah ekspresi Boolean Contoh: a b a + b a b a (b + c) a b + a b c + b, dan sebagainya

Mengevaluasi Ekspresi Boolean Contoh: a (b + c) jika a =, b =, dan c =, maka hasil evaluasi ekspresi: ( + ) = = Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan = ) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah. Contoh: a (b + c) = (a. b) + (a c)

Contoh. Perlihatkan bahwa a + a b = a + b. Penyelesaian: a b a a b a + a b a + b Perjanjian: tanda titik () dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan: (i) a(b + c) = ab + ac (ii) a + bc = (a + b) (a + c) (iii) a, bukan a

Prinsip Dualitas Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +,, dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti dengan + + dengan dengan dengan dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S. Contoh. (i) (a )( + a ) = dualnya (a + ) + ( a ) = (ii) a(a + b) = ab dualnya a + a b = a + b

Hukum-hukum Aljabar Boolean. Hukum identitas: (i) a + = a (ii) a = a 2. Hukum idempoten: (i) a + a = a (ii) a a = a 3. Hukum komplemen: (i) a + a = (ii) aa = 5. Hukum involusi: (i) (a ) = a 7. Hukum komutatif: (i) a + b = b + a (ii) ab = ba 9. Hukum distributif: (i) a + (b c) = (a + b) (a + c) (ii) a (b + c) = a b + a c 4. Hukum dominansi: (i) a = (ii) a + = 6. Hukum penyerapan: (i) a + ab = a (ii) a(a + b) = a 8. Hukum asosiatif: (i) a + (b + c) = (a + b) + c (ii) a (b c) = (a b) c. Hukum De Morgan: (i) (a + b) = a b (ii) (ab) = a + b. Hukum / (i) = (ii) =

Contoh 7.3. Buktikan (i) a + a b = a + b dan (ii) a(a + b) = ab Penyelesaian: (i) a + a b = (a + ab) + a b (Penyerapan) = a + (ab + a b) (Asosiatif) = a + (a + a )b (Distributif) = a + b (Komplemen) = a + b (Identitas) (ii) adalah dual dari (i)

Fungsi Boolean Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari B n ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai f : B n B yang dalam hal ini B n adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.

Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean. Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(x, y, z) = xyz + x y + y z Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3 (x, y, z) ke himpunan {, }. Contohnya, (,, ) yang berarti x =, y =, dan z = sehingga f(,, ) = + + = + + =.

Contoh. Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:. f(x) = x 2. f(x, y) = x y + xy + y 3. f(x, y) = x y 4. f(x, y) = (x + y) 5. f(x, y, z) = xyz Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut literal. Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz pada contoh di atas terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z.

Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z, nyatakan h dalam tabel kebenaran. Penyelesaian: x y z f(x, y, z) = xy z

Komplemen Fungsi. Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x dan x 2, adalah Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y z + yz), maka f (x, y, z) = (x(y z + yz)) = x + (y z + yz) = x + (y z ) (yz) = x + (y + z) (y + z )

2. Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas. Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f, lalu komplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut. Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y z + yz), maka dual dari f: x + (y + z ) (y + z) komplemenkan tiap literalnya: x + (y + z) (y + z ) = f Jadi, f (x, y, z) = x + (y + z)(y + z )

Bentuk Kanonik Ada dua macam bentuk kanonik:. Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP) 2. Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS) Contoh:. f(x, y, z) = x y z + xy z + xyz SOP Setiap suku (term) disebut minterm 2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z ) (x + y + z )(x + y + z) POS Setiap suku (term) disebut maxterm Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap

Minterm Maxterm x y Suku Lambang Suku Lambang x y x y xy x y m m m 2 m 3 x + y x + y x + y x + y M M M 2 M 3

Minterm Maxterm x y z Suku Lambang Suku Lambang x y z m x + y + z M x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z m m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 x + y + z x + y +z x + y +z x + y + z x + y + z x + y + z x + y + z M M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 68 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit 69 Contoh 7.. Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk kanonik SOP dan POS. Tabel 7. x y z f(x, y, z)

Penyelesaian: (a) SOP Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan adalah,, dan, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalah f(x, y, z) = x y z + xy z + xyz atau (dengan menggunakan lambang minterm), f(x, y, z) = m + m 4 + m 7 = (, 4, 7) 7

(b) POS Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan adalah,,,, dan, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik POS adalah f(x, y, z) = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z ) (x + y + z )(x + y + z) atau dalam bentuk lain, f(x, y, z) = M M 2 M 3 M 5 M 6 = (, 2, 3, 5, 6) 7 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Contoh 7.. Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y z dalam bentuk kanonik SOP dan POS. Penyelesaian: (a) SOP x = x(y + y ) = xy + xy = xy (z + z ) + xy (z + z ) = xyz + xyz + xy z + xy z y z = y z (x + x ) = xy z + x y z Jadi f(x, y, z) = x + y z = xyz + xyz + xy z + xy z + xy z + x y z = x y z + xy z + xy z + xyz + xyz 72 atau f(x, y, z) = m + m 4 + m 5 + m 6 + m 7 = (,4,5,6,7) Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

(b) POS f(x, y, z) = x + y z = (x + y )(x + z) x + y = x + y + zz = (x + y + z)(x + y + z ) x + z = x + z + yy = (x + y + z)(x + y + z) Jadi, f(x, y, z) = (x + y + z)(x + y + z )(x + y + z)(x + y + z) = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z ) atau f(x, y, z) = M M 2 M 3 = (, 2, 3) 73 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Konversi Antar Bentuk Kanonik Misalkan f(x, y, z) = (, 4, 5, 6, 7) dan f adalah fungsi komplemen dari f, f (x, y, z) = (, 2, 3) = m + m 2 + m 3 Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita dapat memperoleh fungsi f dalam bentuk POS: f (x, y, z) = (f (x, y, z)) = (m + m 2 + m 3 ) = m. m 2. m 3 = (x y z ) (x y z ) (x y z) = (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z ) = M M 2 M 3 = (,2,3) Jadi, f(x, y, z) = (, 4, 5, 6, 7) = (,2,3). 74 Kesimpulan: m j = M j Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Contoh. Nyatakan f(x, y, z)= (, 2, 4, 5) dan g(w, x, y, z) = (, 2, 5, 6,, 5) dalam bentuk SOP. Penyelesaian: f(x, y, z) = (, 3, 6, 7) g(w, x, y, z)= (, 3, 4, 7, 8, 9,, 2, 3, 4) 75 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Contoh. Carilah bentuk kanonik SOP dan POS dari f(x, y, z) = y + xy + x yz Penyelesaian: (a) SOP f(x, y, z) = y + xy + x yz = y (x + x ) (z + z ) + xy (z + z ) + x yz = (xy + x y ) (z + z ) + xyz + xyz + x yz = xy z + xy z + x y z + x y z + xyz + xyz + x yz atau f(x, y, z) = m + m + m 2 + m 4 + m 5 + m 6 + m 7 (b) POS f(x, y, z) = M 3 = x + y + z 76 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Bentuk Baku Tidak harus mengandung literal yang lengkap. Contohnya, f(x, y, z) = y + xy + x yz (bentuk baku SOP f(x, y, z) = x(y + z)(x + y + z ) (bentuk baku POS) 77 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Aplikasi Aljabar Boolean. Jaringan Pensaklaran (Switching Network) Saklar: objek yang mempunyai dua buah keadaan: buka dan tutup. Tiga bentuk gerbang paling sederhana:. a x b Output b hanya ada jika dan hanya jika x dibuka x 2. a x y b Output b hanya ada jika dan hanya jika x dan y dibuka xy 3. a x b y c 78 Output c hanya ada jika dan hanya jika x atau y dibuka x + y Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Contoh rangkaian pensaklaran pada rangkaian listrik:. Saklar dalam hubungan SERI: logika AND Lampu A B Sumber tegangan 2. Saklar dalam hubungan PARALEL: logika OR A Lampu B Sumber Tegangan 79 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

2. Rangkaian Logika x y xy x y x+ y x x' Gerbang AND Gerbang OR Gerbang NOT (inverter) 8 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Contoh. Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x y ke dalam rangkaian logika. Jawab: (a) Cara pertama x y xy x y x' x'y xy+x'y 8 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

(b) Cara kedua x y xy xy+x 'y x' x'y (c) Cara ketiga x y xy xy+x'y x' x'y 82 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Gerbang turunan x y (xy)' x y x + y Gerbang NAND Gerbang XOR x y (x+y)' x y (x + y)' Gerbang NOR Gerbang XNOR 83 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

x y (x + y)' ekivalen dengan x y x + y (x + y)' x' y' x'y' ekivalen dengan x y (x+y)' x' y' x' + y' ekivalen dengan x y (xy)' 84 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Penyederhanaan Fungsi Boolean Contoh. f(x, y) = x y + xy + y disederhanakan menjadi f(x, y) = x + y Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara:. Secara aljabar 2. Menggunakan Peta Karnaugh 3. Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi) 85 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

. Penyederhanaan Secara Aljabar Contoh:. f(x, y) = x + x y = (x + x )(x + y) = (x + y ) = x + y 2. f(x, y, z) = x y z + x yz + xy = x z(y + y) + xy = x z + xz 86 3. f(x, y, z) = xy + x z + yz = xy + x z + yz(x + x ) = xy + x z + xyz + x yz Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit = xy( + z) + x z( + y) = xy + x z

2. Peta Karnaugh a. Peta Karnaugh dengan dua peubah y m m x x y x y m 2 m 3 xy xy b. Peta dengan tiga peubah yz m m m 3 m 2 x x y z x y z x yz x yz m 4 m 5 m 7 m 6 xy z xy z xyz xyz 87 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Contoh. Diberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh. x y z f(x, y, z) yz x 88 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

b. Peta dengan empat peubah yz m m m 3 m 2 wx w x y z w x y z w x yz w x yz m 4 m 5 m 7 m 6 w xy z w xy z w xyz w xyz m 2 m 3 m 5 m 4 wxy z wxy z wxyz wxyz m 8 m 9 m m wx y z wx y z wx yz wx yz 89 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Contoh. Diberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh. w x y z f(w, x, y, z) yz wx 9 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Teknik Minimisasi Fungsi Boolean dengan Peta Karnaugh. Pasangan: dua buah yang bertetangga yz wx Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz Hasil Penyederhanaan: f(w, x, y, z) = wxy Bukti secara aljabar: 9 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz = wxy(z + z ) = wxy() = wxy

2. Kuad: empat buah yang bertetangga yz wx Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxy z + wxy z + wxyz + wxyz Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = wx 92 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Bukti secara aljabar: f(w, x, y, z) = wxy + wxy = wx(z + z) = wx() = wx yz wx 93 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Contoh lain: yz wx Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxy z + wxy z + wx y z + wx y z Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = wy 94 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

3. Oktet: delapan buah yang bertetangga wx yz Sebelum disederhanakan: f(a, b, c, d) = wxy z + wxy z + wxyz + wxyz + wx y z + wx y z + wx yz + wx yz Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = w 95 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Bukti secara aljabar: f(w, x, y, z) = wy + wy = w(y + y) = w yz wx 96 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Contoh 5.2. Andaikan suatu tabel kebenaran telah diterjemahkan ke dalam Peta Karnaugh. Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian sesederhana mungkin. yz wx Jawab: (lihat Peta Karnaugh) f(w, x, y, z) = wy + yz + w x z 97 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Contoh 5.3. Minimisasi fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini. yz wx Jawab: (lihat Peta Karnaugh) f(w, x, y, z) = w + xy z 98 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Jika penyelesaian Contoh 5.3 adalah seperti di bawah ini: yz wx maka fungsi Boolean hasil penyederhanaan adalah f(w, x, y, z) = w + w xy z (jumlah literal = 5) yang ternyata masih belum sederhana dibandingkan f(w, x, y, z) = w + xy z (jumlah literal = 4). 99 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Contoh 5.4. (Penggulungan/rolling) Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini. yz wx Jawab: f(w, x, y, z) = xy z + xyz ==> belum sederhana Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Penyelesaian yang lebih minimal: yz wx f(w, x, y, z) = xz ===> lebih sederhana Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Contoh 5.. Sederhanakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x yz + xy z + xyz + xyz. Jawab: Peta Karnaugh untuk fungsi tersebut adalah: yz x Hasil penyederhanaan: f(x, y, z) = yz + xz 2 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Contoh 5.5: (Kelompok berlebihan) Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini. yz wx Jawab: f(w, x, y, z) = xy z + wxz + wyz masih belum sederhana. 3 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Penyelesaian yang lebih minimal: yz wx f(w, x, y, z) = xy z + wyz ===> lebih sederhana 4 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Contoh 5.6. Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini. cd ab Jawab: (lihat Peta Karnaugh di atas) f(a, b, c, d) = ab + ad + ac + bcd 5 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Contoh 5.7. Minimisasi fungsi Boolean f(x, y, z) = x z + x y + xy z + yz Jawab: x z = x z(y + y ) = x yz + x y z x y = x y(z + z ) = x yz + x yz yz = yz(x + x ) = xyz + x yz f(x, y, z) = x z + x y + xy z + yz = x yz + x y z + x yz + x yz + xy z + xyz + x yz = x yz + x y z + x yz + xyz + xy z Peta Karnaugh untuk fungsi tersebut adalah: yz x Hasil penyederhanaan: f(x, y, z) = z + x yz 6 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Peta Karnaugh untuk lima peubah m m m 3 m 2 m 6 m 7 m 5 m 4 m 8 m 9 m m m 4 m 5 m 3 m 2 m 24 m 25 m 27 m 26 m 3 m 3 m 29 m 28 m 6 m 7 m 9 m 8 m 22 m 23 m 2 m 2 Garis pencerminan 7 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Contoh 5.2. (Contoh penggunaan Peta 5 peubah) Carilah fungsi sederhana dari f(v, w, x, y, z) = (, 2, 4, 6, 9,, 3, 5, 7, 2, 25, 27, 29, 3) Jawab: Peta Karnaugh dari fungsi tersebut adalah: xyz vw Jadi f(v, w, x, y, z) = wz + v w z + vy z 8 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit 9 Kondisi Don t care Tabel 5.6 w x y z desimal 2 3 4 5 6 7 8 9 don t care don t care don t care don t care don t care don t care

Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit Contoh 5.25. Diberikan Tabel 5.7. Minimisasi fungsi f sesederhana mungkin. Tabel 5.7 a b c d f(a, b, c, d) X X X X X X X X

Jawab: Peta Karnaugh dari fungsi tersebut adalah: ab cd X X X X X X X Hasil penyederhanaan: f(a, b, c, d) = bd + c d + cd Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Contoh 5.26. Minimisasi fungsi Boolean f(x, y, z) = x yz + x yz + xy z + xy z. Gambarkan rangkaian logikanya. Jawab: Rangkaian logika fungsi f(x, y, z) sebelum diminimisasikan adalah seperti di bawah ini: x y z x'yz x'yz' xy'z' xy'z 2 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Minimisasi dengan Peta Karnaugh adalah sebagai berikut: yz x Hasil minimisasi adalah f(x, y, z) = x y + xy. 3 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit 4 Contoh 5.28. Berbagai sistem digital menggunakan kode binary coded decimal (BCD). Diberikan Tabel 5.9 untuk konversi BCD ke kode Excess- 3 sebagai berikut: Tabel 5.9 Masukan BCD Keluaran kode Excess-3 w x y z f (w, x, y, z) f 2 (w, x, y,z) f 3 (w, x, y, z) f 4 (w, x, y, z) 2 3 4 5 6 7 8 9

(a) f (w, x, y, z) yz wx X X X X X X f (w, x, y, z) = w + xz + xy = w + x(y + z) (b) f 2 (w, x, y, z) yz wx X X X X X X f 2 (w, x, y, z) = xy z + x z + x y = xy z + x (y + z) 5 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

(c) f 3 (w, x, y, z) yz wx X X X X X X f 3 (w, x, y, z) = y z + yz (d) f 4 (w, x, y, z) yz wx X X X X X X f 4 (w, x, y, z) = z 6 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

w x y z f4 f3 f2 f 7 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Contoh 7.43 Minimisasi fungsi Boolean berikut (hasil penyederhanaan dalam bentuk baku SOP dan bentuk baku POS): f(w, x, y, z) = (, 3, 7,, 5) dengan kondisi don t care adalah d(w, x, y, z) = (, 2, 5) 8 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Penyelesaian: Peta Karnaugh dari fungsi tersebut adalah: yz wx X X X Hasil penyederhanaan dalam bentuk SOP f(w, x, y, z) = yz + w z (SOP) (garis penuh) dan bentuk baku POS adalah f(w, x, y, z) = z (w + y) (POS) (garis putus2) 9 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Metode Quine-McCluskey Metode Peat Karnaugh tidak mangkus untuk jumlah peubah > 6 (ukuran peta semakin besar). Metode peta Karnaugh lebih sulit diprogram dengan komputer karena diperlukan pengamatan visual untuk mengidentifikasi minterm-minterm yang akan dikelompokkan. Metode alternatif adalah metode Quine-McCluskey. Metode ini mudah diprogram. 2 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Contoh 7.46 Sederhanakan fungsi Boolean f(w, x, y, z) = (,, 2, 8,,, 4, 5). Penyelesaian: (i) Langkah sampai 5: (a) (b) (c) term w x y z term w x y z term w x y z, -,2,8, - -,2 -,8,2, - -,8-2,,4,5 - - 8 2, -,4,,5 - - 8, -, -,4-4,5-5 4,5-2 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

(i) Langkah 6 dan 7: minterm Bentuk prima 2 8 4 5,,2,8,,,4,5 * * * * * * Bentuk prima yang terpilih adalah:, yang bersesuaian dengan term w x y, 2, 8, yang bersesuaian dengan term x z,, 4, 5 yang bersesuaian dengan term wy Semua bentuk prima di atas sudah mencakup semua minterm dari fungsi Boolean semula. Dengan demikian, fungsi Boolean hasil penyederhanaan adalah f(w, x, y, z) = w x y + x z + wy. 22 Rinaldi Munir/IF25 Mat. Diskrit

Contoh 7.47 Sederhanakan fungsi Boolean f(w, x, y, z) = (,4,6,7,8,9,,,5) Penyelesaian: (i) Langkah sampai 5: (a) (b) (c) term w x y z term w x y z term w x y z,9-8,9,, - - 4 4,6-8,,9, - - 8 8,9-8, - 6 9 6,7-9, -, - 7 7,5 -,5-5 23

(i) Langkah 6 dan 7 minterm Bentuk prima 4 6 7 8 9 5,9 4,6 6,7 7,5,5 8,9,, * * * * Sampai tahap ini, masih ada dua minterm yang belum tercakup dalam bentuk prima terpilih, yaitu 7 dan 5. Bentuk prima yang tersisa (tidak terpilih) adalah (6,7), (7,5), dan (, 5). Dari ketiga kandidat ini, kita pilih bentuk prima (7,5) karena bentuk prima ini mencakup minterm 7 dan 5 sekaligus. 24

minterm Bentuk prima 4 6 7 8 9 5,9 4,6 6,7 7,5,5 8,9,, * * * * Sekarang, semua minterm sudah tercakup dalam bentuk prima terpilih. Bentuk prima yang terpilih adalah:,9 yang bersesuaian dengan term x y z 4,6 yang bersesuaian dengan term w xz 7,5 yang bersesuaian dengan term xyz 8,9,, yang bersesuaian dengan term wx Dengan demikian, fungsi Boolean hasil penyederhanaan adalah f(w, x, y, z) = x y z + w xz + xyz + wx. 25

Referensi Rinaldi munir