MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan
2.3 Limit dan Kelengkapan Sejauh ini kita telah mendapatkan bahwa Sistem Bilangan Real yang kita konstruksi merupakan lapangan terurut. Namun sistem bilangan rasional juga merupakan lapangan terurut. Apa yang perlu kita lakukan selanjutnya adalah memastikan bahwa kita telah menutupi lubang (seperti 2) yang terdapat pada sistem bilangan rasional. Sifat yang perlu dibuktikan adalah sifat kelengkapan. (c) Hendra Gunawan (2015) 2
Barisan Bilangan Real Misalkan (x k ) adalah barisan bilangan real. Di sini, masing-masing x k adalah bilangan real (yakni, kelas ekuivalen barisan bilangan rasional Cauchy). Barisan (x k ) membentuk barisan Cauchy, yakni: untuk setiap bilangan asli n terdapat m sedemikian sehingga x j x k 1/n untuk setiap j, k m. Catatan. Ketaksamaan x j x k 1/n terdefinisi dengan baik untuk bilangan real x j dan x k. (c) Hendra Gunawan (2015) 3
Pertanyaan kita sekarang adalah: apakah barisan bilangan real (x k ) yang merupakan barisan Cauchy akan konvergen ke suatu bilangan real? Yakni, apakah ada bilangan real x sedemikian sehingga: untuk setiap bilangan asli n terdapat m sedemikian sehingga x k x < 1/n untuk setiap k m? Jika (x k ) konvergen ke x, maka x disebut sebagai limit barisan (x k ) dan ditulis x = lim x k. Jika (x k ) konvergen, maka limitnya tunggal! (c) Hendra Gunawan (2015) 4
Kembali ke Barisan Bilangan Rasional Jika (x k ) adalah barisan bilangan rasional Cauchy yang merepresentasikan bilangan real x, maka (x k ) konvergen ke x. Fakta ini dapat diperiksa sbb: Diberikan bilangan asli n sembarang, pilih m sedemikian sehingga x j x k 1/n untuk setiap j, k m. Akibatnya, x j x 1/n untuk setiap j m (ketaksamaan terbawa dari bilangan rasional x k ke bilangan real x). Ini berarti bahwa (x k ) konvergen ke x. (c) Hendra Gunawan (2015) 5
Kelengkapan Bilangan Real Teorema. Barisan bilangan real (x k ) konvergen (ke suatu bilangan real) jika dan hanya jika ia merupakan barisan Cauchy. Bukti. Jika (x k ) konvergen, katakan ke x, maka (x k ) merupakan barisan Cauchy, karena x j x k x j x + x k x. Sebaliknya, misalkan (x k ) adalah barisan Cauchy. Akan ditunjukkan bahwa (x k ) konvergen ke suatu bilangan real y. Untuk itu, kita harus menemukan suatu barisan bilangan rasional (y k ) yang merepresentasikan bilangan real y sedemikian sehingga lim x k = y. (c) Hendra Gunawan (2015) 6
Bukti (lanjutan) Gagasannya adalah memilih bilangan rasional y k yg cukup dekat ke x k, katakan sedemikian sehingga x k y k 1/k, untuk setiap k. Hal ini dimungkinkan oleh sifat kepadatan bilangan rasional. Kemudian kita pastikan bahwa (y k ) merupakan barisan Cauchy. Diberikan n, pilih m sedemikian sehingga x j x k 1/(2n) untuk j, k m. Maka, y j y k y j x j + x j x k + x k y k 1/j + 1/(2n) + 1/k 1/(2n) + 2/m, yang dapat dibuat 1/n bila kita pilih m 4n. (c) Hendra Gunawan (2015) 7
Bukti (lanjutan) Jadi (y k ) merupakan barisan bilangan rasional Cauchy yang merepresentasikan suatu bilangan real y. Selanjutnya kita buktikan bahwa (x k ) konvergen ke y. Diberikan n, pilih m sedemikian sehingga y k y 1/(2n) untuk k m. Akibatnya, x k y x k y k + y k y 1/k + 1/(2n), yang dapat dibuat 1/n untuk setiap k m, bila kita pilih m 2n. [QED] (c) Hendra Gunawan (2015) 8
Teorema. Misalkan lim x k = x dan lim y k = y. Maka a. lim (x k + y k ) = x + y dan lim (x k y k ) = xy. b. Jika diketahui y 0, maka lim (x k /y k ) = x/y. c. Jika diketahui x k y k untuk setiap k m, maka x y. Bukti. Latihan. (c) Hendra Gunawan (2015) 9
Eksistensi Akar Kuadrat Teorema. Misalkan x adalah bilangan real positif. Maka terdapat tepat sebuah bilangan real positif y sedemikian sehingga y 2 = x. [Notasi: y = x.] Ide Pembuktian. Gunakan metode bagi dua dengan meninjau dua kasus terpisah, yaitu: (1) 0 < x < 1 dan (2) x > 1. [Kasus x = 1 tidak perlu dirisaukan!] Dengan metode ini, diperoleh barisan Cauchy (y k2 ) dan (z k2 ) yang mengapit x, dengan lim y k = lim z k = y. [Penjelasan di papan tulis.] (c) Hendra Gunawan (2015) 10
Latihan 1. Buktikan jika lim x k = x dan lim y k = y, maka lim (x k + y k ) = x + y dan lim (x k y k ) = xy. 2. Buktikan bahwa setiap bilangan real mempunyai tepat sebuah akar kubik. 3. Misalkan (x k ) adalah barisan bilangan real dengan x k 1/2 k untuk setiap k. Definisikan y n := x 1 + x 2 + + x n untuk setiap n. Buktikan bahwa (y n ) konvergen. 4. Buktikan jika lim x k = x dan x k 0 untuk setiap k, maka lim x k = x. (c) Hendra Gunawan (2015) 11
2.4 Bilangan Real Versi Lainnya Bilangan Real sebagai Bilangan Desimal Dengan metode bagi sepuluh, bilangan real (yang menyatakan panjang sebuah ruas garis atau suatu kelas ekuivalen barisan bilangan rasional Cauchy) dapat dinyatakan sebagai bilangan desimal N.a 1 a 2 a 3 a 4. Barisan bilangan N.a 1, N.a 1 a 2, N.a 1 a 2 a 3, dalam hal ini merupakan barisan Cauchy istimewa: x k x m 10 -m untuk k m. (c) Hendra Gunawan (2015) 12
Aritmetika Bilangan Desimal Yang menjadi masalah dengan bilangan desimal adalah bagaimana mendefinisikan aritmetika-nya? Sebagai contoh, jika x = 1.9847240265 dan y = 0.8923848819, berapakah x + y dan xy, bila kita tidak mengetahui seluruh angka di belakang koma yang ada pada x dan y? Bahkan, pada kasus yang kita ketahui angka-angka desimalnya pun, ada masalah. Sebagai contoh: 1 + 2 = 0.9999 + 1.9999, tetapi 0.9 + 1.9 = 2.8, 0.99 + 1.99 = 2.98, dst, padahal 2.8, 2.98, 2.998, bukan uraian dari bilangan desimal 2.9999 = 3. (c) Hendra Gunawan (2015) 13
Potongan Dedekind Bilangan real versi lainnya adalah potongan Dedekind. Gagasan di balik potongan Dedekind adalah bahwa setiap bilangan real x membagi himpunan bilangan rasional menjadi dua himpunan: bilangan yang lebih kecil daripada x dan bilangan yang lebih besar daripada x. Jika x sendiri adalah bilangan rasional, maka x dapat diikutsertakan pada salah satu himpunan (biasanya digabungkan dengan himpunan bilangan yang lebih besar daripada x). (c) Hendra Gunawan (2015) 14
Himpunan bilangan rasional L yang memenuhi: 1. L tak kosong; 2. L Q; 3. Jika r ϵ L dan q < r, maka q ϵ L; dan 4. Jika r ϵ L, maka terdapat s ϵ L dengan s > r, disebut potongan Dedekind. Himpunan semua potongan Dedekind inilah yang kemudian didefinisikan sebagai Sistem Bilangan Real Dedekind. (c) Hendra Gunawan (2015) 15
Setiap bilangan rasional q dapat diidentifikasi sebagai potongan Dedekind L q = {r ϵ Q : r < q}. Lalu ada potongan Dedekind L = {r ϵ Q : r < 0 atau r 2 < 2} yang merepresentasikan bilangan 2. Penjumlahan pada potongan Dedekind mudah didefinisikan: L 1 + L 2 adalah potongan yang beranggotakan semua bilangan rasional r 1 + r 2 dengan r 1 ϵ L 1 dan r 2 ϵ L 2. Namun demikian, perkalian pada potongan Dedekind perlu didefinisikan dengan hati-hati, mengingat perkalian dua bilangan negatif menghasilkan sebuah bilangan positif. (c) Hendra Gunawan (2015) 16
Urutan pada potongan Dedekind dapat didefinisikan sbb: L 1 < L 2 apabila L 1 merupakan himpunan bagian sejati dari L 2. Dengan aritmetika dan urutan ini, Sistem Bilangan Real Dedekind merupakan lapangan terurut. Selanjutnya dapat pula dibuktikan bahwa Sistem Bilangan Real Dedekind memenuhi sifat kelengkapan, dan pada akhirnya sistem bilangan ini identik dengan sistem bilangan real yang dibangun dari barisan Cauchy yang dibahas pada subbab 2.1-2.3. (c) Hendra Gunawan (2015) 17
Latihan 1. Diberikan q ϵ Q, konstruksi barisan bilangan rasional di potongan Dedekind L q = {r ϵ Q : r < q} yang konvergen ke q. [Bilangan q dalam hal ini merupakan batas atas L q yang dapat dihampiri oleh anggota L q.] 2. Buktikan bahwa himpunan L = {r ϵ Q : r < 0 atau r 2 < 2} merupakan potongan Dedekind, dan tidak ada q ϵ Q sedemikian sehingga L = L q. [Himpunan L dalam hal ini berkorespondensi dengan bilangan real 2.] (c) Hendra Gunawan (2015) 18