KATA PENGANTAR Pertm-tm penulis mengucpkn puji dn syukur kehdirt Tuhn Yng Mh Kus ts segl limphn rhmt Ny, hingg Diktt Mtemtik Dsr ini dpt diselesikn. Mudh-mudhn diktt ini dpt membntu mhsisw STMIK Globl Informtik MDP dn AMIK MDP dlm mengikuti mt kulih Mtemtik Dsr. Penulis mengucpkn terimksih dn menympikn penghrgn yng setinggi-tingginy pd Ketu STMIK Globl Informtik MDP dn Direktur AMIK MDP yng sellu memberikn dorongn bik pd penulis mupun mupun pd rekn-rekn dosen linny untuk menyusun mteri kulih bik dlm bentuk diktt tu buku. Dorongn tersebut telh menmbh semngt penulis dlm menyelesikn tulisn ini. Ucpn terimksih jug penulis smpikn pd reknrekn dosen yng telh membntu penulis dlm menyelesikn diktt ini. Mudhnmudhn dengn dny dorongn dn kungn yng diberikn pd penulis kn dpt dihsilkn diktt lin dlm wktu singkt. Meskipun telh berhsil diterbitkn, penulis menydri bhw diktt ini msih sngt sederhn dn tentu msih bnyk kekurngn dn kelemhnny. Oleh kren itu penulis menghrpkn srn dn kritik yng membngun dri pembc seklin, sehingg dpt dihsilkn diktt yng lebih bik pd ms yng kn dtng. Srn, kritik dn koreksi dpt dismpikn pd lmt, sudidi@stmik-mdp.net Akhirny penulis mengucpkn selmt beljr kepd seluruh mhsisw STMIK Globl Informtik MDP dn AMIK MDP. Mudhn-mudhn sukses sellu menyerti sudr-sudr. Plembng, 5 September 2011 Penulis, Sudidi i
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR................................................................. i DAFTAR ISI........................................................................ ii BAB I. Sistem Bilngn........................................................... 1 1.1 Sistem Bilngn Ril................................................ 1 1.1.1 Bilngn Ril............................................... 1 1.1.2 Gris Bilngn Ril.......................................... 2 1.1.3 Hukum-hukum Bilngn Ril................................ 2 Sol-sol............................................................ 3 1.2 Bilngn Kompleks................................................. 3 1.2.1 Sift-sift Bilngn Kompleks............................... 3 1.2.2 Konjugt................................................... 3 1.2.3 Perklin Bilngn Kompleks dengn Konjugtny......... 3 1.2.4 Pembgin Du Buh Bilngn Kompleks.................. 4 Sol-sol........................................................... 4 1.3 Pertidksmn.................................................... 4 1.3.1 Sift-sift Pertidksmn................................. 5 1.3.2 Selng..................................................... 5 1.3.3 Pertidksmn Linier Stu Peubh........................ 6 1.3.4 Nili Mutlk................................................ 8 1.3.5 Pertidksmn Linier Du Peubh........................ 9 1.3.6 Sistem Pertidksmn Linier.............................. 11 1.3.7 Pertidksmn Kudrt................................... 13 Sol-sol........................................................... 14 1.4 Koordint Krtesius................................................ 14 1.5 Pertmbhn dn Jrk............................................. 16 1.5.1 Jrk Antr Du Buh Titik................................ 16 1.5.2 Titik Tengh................................................ 17 1.6 Kemiringn Gris................................................... 17 1.7 Du Gris Sejjr................................................... 18 1.8 Du Gris Tegk Lurus.............................................. 19 Sol-sol............................................................ 21 II Himpunn................................................................. 22 2.1 Definisi.............................................................. 22 2.2 Penyjin Himpunn................................................ 22 2.3 Krdinlits......................................................... 23 2.4 Himpunn Kosong.................................................. 23 2.5 Himpunn Bgin (Subset).......................................... 23 2.6 Kesmn Himpunn............................................... 24 2.7 Ekivlensi Himpunn............................................... 24 2.8 Himpunn Sling Leps............................................. 24 2.9 Himpunn Kus.................................................... 25 2.10 Opersi Himpunn.................................................. 25 2.10.1 Irisn....................................................... 25 2.10.2 Gbungn................................................. 25 2.10.3 Komplemen................................................ 26 2.10.4 Selisih...................................................... 26 2.10.5 Bed Setngkup........................................... 27 ii
2.10.6 Perklin Krtesin....................................... 27 2.10.7 Prinsip Inklusi-Ekslusi.................................... 27 2.10.8 Sift-sift opersi himpunn dn prinsip lits.......... 27 2.11 Himpunn gnd (multiset) dn opersiny........................ 28 2.11.1 Opersi Gbungn......................................... 28 2.11.2 Opersi Irisn............................................. 28 2.11.3 Opersi Selisih............................................ 28 2.11.4 Opersi Jumlh............................................ 29 2.12 Pembuktin pernytn himpunn................................. 29 2.12.1 Pembuktin dengn menggunkn digrm Venn.......... 30 2.12.2 Pembuktin dengn menggunkn tbel kenggotn...... 30 2.12.3 Pembuktin dengn menggunkn sift opersi himpunn.. 30 Sol-sol........................................................... 30 III. Fungsi.................................................................... 31 3.1 Definisi............................................................. 31 3.2 Jenis-jenis Fungsi................................................... 32 3.2.1 Menurut Jumlh Peubh Bebs............................. 32 3.2.1.1 Fungsi Peubh Bebs Tunggl..................... 32 3.2.1.2 Fungsi Peubh Bebs Bnyk..................... 32 3.2.2 Menurut Cr Penyjin................................... 32 3.2.2.1 Fungsi Eksplisit................................... 32 3.2.2.2 Fungsi Implisit.................................... 32 3.2.2.3 Fungsi Prmeter................................. 32 3.2.3 Fungsi Aljbr.............................................. 33 3.2.3.1 Fungsi Rsionl................................... 33 Sol-sol.......................................... 36 Sol-sol.......................................... 41 Sol-sol.......................................... 44 Sol-sol......................................... 46 Sol-sol......................................... 49 3.2.3.2 Fungsi Irrsionl.................................. 49 Sol-sol.......................................... 50 3.2.4 Fungsi Komposisi........................................... 50 Sol-sol.................................................. 50 3.2.5 Fungsi Stu ke Stu......................................... 50 3.2.6 Fungsi Invers.............................................. 51 Sol-sol................................................... 51 3.2.7 Fungsi Trnsenden......................................... 51 3.2.7.1 Fungsi Eksponen.................................. 51 Sol-sol.......................................... 52 3.2.7.2 Fungsi Logritm.................................. 52 Sol-sol.......................................... 54 3.2.7.3 FungsiTrigonometri............................... 54 Sol-sol.......................................... 56 Sol-sol.......................................... 59 Sol-sol.......................................... 64 Sol-sol........................................... 65 Sol-sol........................................... 66 3.2.7.4 FungsiTrigonometri Invers........................ 66 Sol-sol.......................................... 68 iii
3.2.7.5 FungsiHiperbolik................................. 68 Sol-sol.......................................... 69 3.2.7.6 FungsiHiperbolik Invers........................... 70 Sol-sol.......................................... 73 3.2.8 Fungsi Genp dn Gnjil..................................... 73 3.2.9 Fungsi Periodik............................................ 74 Sol-sol................................................... 75 IV Limit dn kekontinun..................................................... 76 4.1 Pendhulun....................................................... 76 4.2 Definisi Limit....................................................... 78 4.3 Limit Fungsi........................................................ 79 Sol-sol........................................................... 83 4.4 Limit Fungsi Trigonometri.......................................... 84 4.5 Limit Fungsi Trigonometri Invers................................... 86 Sol-sol........................................................... 86 4.6 Limit Tk Hingg................................................... 87 4.7 Asimtot............................................................. 88 4.7.1 Asimtot Tegk.............................................. 89 4.7.2 Asimtot Dtr............................................... 89 4.7.3 Asimtot Miring.............................................. 90 Sol-sol............................................................ 91 4.8 Kekontinun........................................................ 91 Sol-sol............................................................ 92 4.9 Kekontinun yng dpt dihpus dn yng tk dpt dihpus....... 92 Sol-sol............................................................ 93 V Differensisi............................................................... 94 5.1 Gris Singgung...................................................... 94 5.2 Turunn............................................................ 96 5.3 Notsi Turunn..................................................... 97 5.4 Differensibilits dn kontinuits................................... 97 5.5 Teorem............................................................ 97 5.5.1 Turunn bilngn konstn.................................. 97 5.5.2 Turunn fungsi k n......................................... 98 5.5.3 Aturn penjumlhn........................................ 98 5.5.4 Aturn perklin........................................... 99 5.5.5 Aturn pembgin.......................................... 99 5.5.6 Turunn fungsi komposisi.................................. 100 Sol-sol........................................................... 101 5.6 Turunn fungsi-fungsi trigonometri................................ 101 Sol-sol........................................................... 107 5.7 Turunn fungsi-fungsi trigonometri invers.......................... 107 5.8 Turunn fungsi eksponen........................................... 112 5.9 Turunn fungsi logritm.......................................... 113 Sol-sol........................................................... 115 5.10 Turunn fungsi hiperbolik......................................... 115 Sol-sol........................................................... 119 5.11 Turunn fungsi hiperbolik invers................................... 119 Sol-sol........................................................... 123 5.12 Turunn tingkt tinggi.............................................. 123 Sol-sol........................................................... 124 iv
5.13 Differensil........................................................ 124 Sol-sol........................................................... 125 5.14 Turunn fungsi implisit............................................ 125 Sol-sol........................................................... 126 VI Penerpn Differensisi................................................... 128 6.1 Persmn gris singgung......................................... 128 6.2 Persmn gris norml......................................... 129 Sol-sol........................................................... 130 6.3 Kelengkungn (Curvture)......................................... 130 6.3.1 Jri-jri kelengkungn.................................... 130 6.3.2 Pust kelengkungn ( Center of Curvture ).............. 132 Sol-sol.................................................. 133 6.4 Nili ekstrim...................................................... 133 6.4.1 Nili Ekstrim Lokl........................................ 135 6.4.2 Nili Ekstrim Mutlk...................................... 136 Sol-sol.................................................. 138 6.5 Kecekungn dn kecembungn..................................... 138 Sol-sol........................................................... 140 6.6 Keceptn dn Perceptn sest................................... 140 6.6.1 Keceptn................................................. 140 6.6.2 Perceptn................................................ 140 Sol....................................................... 141 VII. Integrl Tk Tentu......................................................... 142 7.1 Anti Turunn dn Integrl Tk Tentu............................... 142 7.2 Rumus-rumus Integrl Tk Tentu.................................. 142 7.3 Integrsi Dengn Substitusi........................................ 144 Sol-sol........................................................... 145 7.4 Integrsi Bgin Demi Bgin (Integrtion By Prts)................ 145 Sol-sol........................................................... 147 7.5 Integrsi Fungsi Pech............................................. 147 Sol-sol........................................................... 149 7.6 Integrsi Fungsi Trigonometri...................................... 149 7.6.1 Integrsi sin u, cos u, tn u, cot u, sec u dn cosec u........ 149 7.6.2 Integrsi Fungsi sin m u dn cos m u.......................... 150 7.6.3 Integrsi Fungsi Trigonometri sin m u cos n u................. 152 Sol-sol.................................................. 153 7.6.4 Integrsi Fungsi Trigonometri tn m u sec n u................. 153 Sol-sol.................................................. 153 7.7 Integrsi fungsi trigonometri invers................................ 154 7.8 Integrsi dengn Substitusi Trigonometri.......................... 156 7.8.1 Integrsi Fungsi Irrsionl................................ 156 7.8.2 Integrsi Fungsi 1/( 2 + 2 )............................... 159 Sol-sol.................................................. 160 7.8.3 Integrsi Fungsi (A + B)/( 2 + b + c)................... 160 7.8.4 Integrsi Fungsi Irrsionl Sejenis......................... 161 7.8.5 Jik dlh stu-stuny bentuk irrsionl pd integrn............................................ 162 7.8.6 162 v
Sol-sol................................................. 163 VIII Integrl Tentu dn Penerpnny.......................................... 164 8.1 Integrl Tentu..................................................... 164 8.2 Sift-sift Integrl Tentu............................................ 166 Sol-sol........................................................... 167 8.3 Lus Bidng........................................................ 167 Sol-sol........................................................... 170 8.4 Volume dn Lus Kulit Bend Putr................................. 170 Sol-sol........................................................... 173 IX Mtriks dn Determinn................................................... 174 9.1 Mtriks............................................................ 174 9.2 Mtriks bentuk khusus............................................. 174 9.2.1 Vektor Kolom............................................. 174 9.2.2 Vektor Bris.............................................. 175 9.2.3 Mtriks Persegi........................................... 175 9.2.4 Mtriks Segitig........................................... 175 9.2.5 Mtriks Digonl.......................................... 175 9.2.6 Mtriks Sklr............................................ 175 9.2.7 Mtriks Identits.......................................... 175 9.2.8 Mtriks Nol............................................... 175 9.2.9 Mtriks Trnspose........................................ 176 9.2.10 Mtriks Simetri dn Skew-Simetri......................... 176 9.3 Opersi Aritmtik pd Mtriks................................ 176 9.3.1 Penjumlhn............................................. 176 9.3.2 Perklin Sklr dengn Mtriks....................... 176 9.3.3 Perklin Mtriks dengn Mtriks..................... 177 9.3.4 Kombinsi linier mtriks............................... 177 9.3.5 Sift-sift Opersi Mtriks................................ 178 9.4 Mtriks yng Diperlus (Augmented mtri)....................... 178 9.5 Mtriks dlm bentuk Eselon Bris................................. 178 9.6 Mtriks dlm bentuk Eselon Bris Tereksi...................... 179 9.7 Opersi Bris Elementer....................................... 179 9.8 Determinn........................................................ 180 9.8.1 Sift-sift determinn..................................... 180 9.8.2 Kofktor............................................... 181 9.8.3 Determinn dri mtriks n n............................ 181 9.9 Adjoin Mtriks..................................................... 182 9.10 Blikn Mtriks (Inverse of Mtri)............................... 183 9.10.1 Metode Adjoint......................................... 183 9.10.2 Metode eliminsi Guss-Jordn........................... 183 Sol-sol................................................. 184 X Sistem Persmn Linier sol............................................. 186 10.1 Definisi sol...................................................... 186 10.2 Penyelesin Sistem Persmn Linier............................. 186 10.2.1 Penyelesin dengn Blikn Mtriks.................... 186 10.2.2 Penyelesin dengn Eliminsi Guss.................... 187 10.2.3 Penyelesin dengn Eliminsi Guss-Jordn.............. 188 10.2.4 Penyelesin dengn Aturn Crmer..................... 189 Sol-sol................................................ 190 vi
BAB I SISTEM BILANGAN 1.1 Sistem bilngn ril 1.1.1 Bilngn ril Sistem bilngn ril dlh himpunn bilngn ril dn opersi ljbr yitu opersi penjumlhn, pengurngn, perklin dn pembgin. Bisny bilngn ril dinytkn dengn lmbng R. Opersi pengurngn dpt digntikn dengn opersi penjumlhn. Sedngkn opersi pembgin dpt digntikn dengn opersi perklin. Jik terdpt bilngn ril dn b, mk opersi pengurngn b dpt ditulis dlm bentuk +( b). Sedngkn opersi pembgin b dpt ditulis dlm bentuk.b -1. Bilngn ril (R) Bilngn rsionl (Q) Bilngn irrsionl (I) Bilngn bult ( J) Bilngn pechn Bilngn desiml berulng Bilngn desiml terbts Bilngn negtif Bilngn cch (W) Bilngn nol Bilngn sli (N) Gmbr 1.1 Jenis-jenis bilngn Gmbr 1.1 dlh jenis-jenis bilngn ril. Untuk mendptkn pengertin yng lebih jels mengeni jenis - jenis bilngn ini, berikut diberikn rincin - rincinny Himpunn bilngn sli (N) N = { 1, 2, 3, } Himpunn bilngn cch (W) W = {0, 1, 2, 3, } Himpunn bilngn bult (J) J = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } 1
Himpunn bilngn rsionl (Q) Himpunn bilngn rsionl dlh himpunn bilngn yng mempunyi bentuk p/q tu bilngn yng dpt ditulis dlm bentuk p/q, dimn p dn q dlh nggot bilngn bult dn q 0 p Q = pdn q J, q 0 q Contoh 1.1 Buktikn bhw bilngn-bilngn 3, (4,7) dn (2,5858 ) dlh bilngn-bilngn rsionl! Bukti : ) Bilngn 3 dpt ditulis dlm bentuk p/q yitu : 3/1 tu 6/2 dn seterusny. b) Bilngn 4,7 dpt ditulis dlm bentuk : 47/10 c) Bilngn 2,5858 dpt ditulis dlm bentuk p/q dengn cr : = 2,5858 100 = 258,5858 100 = 256 256 99 = 256 = 99 Jdi bilngn-bilngn 3, (4,7) dn (2,5858 ) dlh bilngn-bilngn rsionl. 1.1.2 Gris bilngn ril Gris bilngn ril dlh tempt kekn titik-titik, dimn setip titik menunjukkn stu bilngn ril tertentu yng tersusun secr terurut. Untuk menggmbrkn gris bilngn ril,perhtikn Gmbr 1.2. Pertm -3-2 -1 0 1,5 2,5 Gmbr 1.2 Gris bilngn ril gmbrkn gris horizontl dn tentukn titik nol. Selnjutny kit tentukn titiktitik tempt kekn bilngn ril positif bult disebelh knn titik nol dengn ketentun jrk ntr titik 0 dn 1, titik 1 dn 2 tu 0 dn -1, -1 dn -2 dn seterusny dlh sm. Tempt kekn bilngn ril linny disesuikn dengn posisi bilngn-bilngn bult. 1.1.3 Hukum-hukum bilngn ril Opersi penjumlhn dn perklin bilngn ril memtuhi hukum-hukum seperti yng disebutkn berikut ini : Jik dn b dlh bilngn-bilngn ril mk berlku : ( i ) + b dlh bilngn ril ( ii ). b dlh bilngn ril ( iii ) + b = b + hukum komuttif penjumlhn ( iv). b = b. hukum komuttif perklin Jik, b dn c dlh bilngn-bilngn ril mk berlku : ( v ) ( + b ) + c = + ( b + c ) hukum sositif penjumlhn ( vi ) ( b ) c = ( bc) hukum sositif perklin ( vii ) ( b + c ) = b + c hukum distributif ( viii ) + 0 = 0 + = hukum penjumlhn nol 2
( i ). 1 = 1. = hukum perklin stu ( ). 0 = 0. = 0 hukum perklin nol ( i ) + ( - ) = - + hukum invers penjumlhn ( ii ). ( 1/ ) = 1, 1 hukum inves perklin Sol-sol Dikethui : -10, 3/2, 7, 0, -12, 2, (2,14), 4/9, 6, (2,5353 ), 10, (2,970492 ) Dri bilngn tersebut dits, tentukn bilngn-bilngn ) bult, b) cch, c) rsionl, d) irsionl, e) ril positif, f) ril negtif dn g) sli sert gmbrkn msing-msing gris bilngnny! 1.2 Bilngn kompleks Bilngn kompleks dlh bilngn yng terdiri dri unsur bilngn ril dn imjiner. Bentuk umum bilngn kompleks dlh z = + ib. Komponen disebut bgin ril dn ditulis Re(z) dn b dlh bgin imjiner dn ditulis Im(z). Bilngn dn b dlh bilngn-bilngn ril sedngkn i dlh bilngn imjiner yng besrny dlh - 1. Kren i = - 1, mk : i 2 = - 1. - 1 = -1 i 3 = i 2. i = - i - 1 i 4 = i 2. i 2 = 1 ; dn seterusny. Dri keterngn dits didpt - 2 = ( 2 )( - 1 ) = 2 i ; dn seterusny. 1.2.1 Sift-sift bilngn kompleks Misl z 1 = 1 + iy 1 dn z 2 = 2 + iy 2, mk berlku : ) z 1 = z 2 1 = 2 dn y 1 = y 2 sift kesmn b) z 1 + z 2 = ( 1 + 2) + i(y 1 + y 2) sift penjumlhn c) z 1 - z 2 = ( 1-2) + i(y 1 - y 2) sift pengurngn d) z 1. z 2 = ( 1 2 - y 1y 2) + i( 1y 2 + 2y 1) sift perklin 1.2.2 Konjugt Bil terdpt sutu bilngn kompleks z = + iy, mk konjugt bilngn kompleks tersebut dlh z = iy. Jik bilngn kompleks berbentuk z = iy, mk konjugtny dlh z = + iy. Bil kit bndingkn ke bilngn kompleks dits dengn konjugtny mk perbednny terletk pd komponen imjinerny. Jik komponen imjiner pd sutu bilng kompleks dlh +iy mk komponen imjiner pd konjugtny dlh iy. Jik komponen imjiner pd bilgn kompleks dlh iy, mk komponen imjiner pd konjugtny dlh +iy. Sedngkn komponen ril bik pd bilngn kompleks mupun pd konjugtny dlh sm. Selin ditulis dlm bentuk z, konjugt bilngn kompleks jug sering ditulis dlm bentuk z *. 1.2.3 Perklin bilngn kompleks dengn konjugtny Perklin ntr bilngn kompleks dengn konjugtny dpt dijelskn sebgi berikut. Jik terdpt sutu bilngn kompleks z = + iy mk konjugtny dlh z = iy. Jdi perklin bilngn kompleks dengn konjugtny dlh : z z = ( + iy)( iy) = 2 - iy + iy - i 2 y 2 = 2 + y 2 3
Dri hsil perklin dits kit dpt menyimpulkn bhw perklin bilngn kompleks dengn konjugtny menghsilkn bilngn ril. 1.2.4 Pembgin buh bilngn kompleks Untuk melkukn opersi pembgin buh bilngn kompleks pertm-tm kit klikn pembilng dn penyebutny (dlm hl ini z 1 dn z 2 ) dengn konjugt z 2. Sehingg didpt : = = ( i ) ( i ) ( i ) ( i ) = i i = ( i ) ( i ) ( i ) ( i ) = i Contoh 1.2 Dikethui : z 1 = -5 + 7i dn z 2 = 3 2i Tentukn : ) z 1+z 2 b) z 1-z 2 c) z 1.z 2 d) z 1/z 2 e) f) Penyelesin : Dri sol didpt bhw : = 5 = 7 = 3 = 2 ) = ( ) i( ) = ( 5 3) i(7 ( 2)) = 2 5i b) = ( ) i( ) = ( 5 3) i(7 ( 2)) = 8 9i c) = ( ) i( ) = 2 5i = ( 5)(3) (7)( 2) i(( 5)( 2) (3)(7)) = 1 31i d) = i = ( 5)(3) (7)( 2) (7)(3) ( 5)( 2) i = 29 3 ( 2) 3 ( 2) 13 i 11 13 e) = ( 5 7i)(3 2i) = 15 10i 21i 14i = 29 11i ) = ( 5 7i)(3 2i) = 15 10i 21i 14i = 29 11i Sol-sol 1. Selesikn sol-sol berikut : ) (3 + 5i) + (4 7i) d) ( 2 4i) ( 5 8i) g) (2 i)(5 + 3i) b) (1 2i) ( 3 4i) e) ( 3 2 4 5 i) (2 5 3 i) h) ( 3i)( 3 3 3 4 5 8 i) (2/3) (3/4)i c) ( 3i) ( 5i) ) (5 4i)(7 3i) i) (4/5) (2/7)i 2. Jik z 1 = 7 2i dn z 2 = 4 + 5i Tentukn : ) b) 1.3 Pertidksmn Pertidksmn dlh slh stu bentuk pernytn mtemtik yng mengnng stu peubh tu lebih yng dihubungkn oleh tnd-tnd <, >, tu. Ditinju dri jumlh 4
dn pngkt peubh mk pertksmn dpt dibgi menjdi pertidksmn linier dengn stu peubh, pertidksmn linier dengn peubh bnyk dn pertidksmn kudrt. Jik terdpt sutu himpunn bilngn ril yng unsur-unsurny dpt menggntikn peubh dri pertidksmn mk himpunn bilngn tersebut disebut himpunn penggnti. Jik sebgin dri unsur himpunn penggnti menyebbkn pertidksmn menjdi sutu pernytn yng benr mk himpunn tersebut disebut himpunn jwb. Jik himpunn jwb dimislkn A dn himpunn penggnti dimislkn B mk A B. Jik A = B mk pertidksmn dinmkn ketidksmn. Contoh 1.3 Dri pertidksmn 1/ 2 >1 impunn penggnti tu dlh { 0 } Himpunn jwb tu A dlh { 1 1, 0 Jdi } Contoh 1.4 Dri pertidksmn 1/ 2 >0 Himpunn penggnti tu B dlh { R, 0 } Himpunn jwb tu A dlh { R, 0 }. Kren A = B, mk 1/ 2 >0 disebut ketidksmn. 1.3.1 Sift-sift pertidksmn (i) Jik > b dn b > c, mk > c (ii) Jik > b, mk + c > b + c (iii) Jik > b, mk - c > b c (iv) Jik > b dn c dlh bilngn positif, mk c > bc (v) Jik > b dn c dlh bilngn negtif, mk c < bc Dengn menggnti tnd > pd sift-sift dits dengn tnd <, mk kn didpt sift-sift yng nlog sebgi berikut : (vi) Jik < b dn b < c, mk < c (vii) Jik < b, mk + c < b + c (viii) Jik < b, mk - c < b c (i) Jik < b dn c dlh bilngn positif, mk c < bc () Jik < b dn c dlh bilngn negtif, mk c > bc Sift-sift pertidksmn linny : i) c > 0 jik > 0 dn c > 0 tu jik < 0 dn c < 0 (ii) c < 0 jik < 0 dn c > 0 tu jik > 0 dn c < 0 (iii) /c > 0 jik > 0 dn c > 0 tu jik < 0 dn c < 0 (iv) /c < 0 jik < 0 dn c > 0 tu jik > 0 dn c < 0 (v) Jik > b, mk < -b (vi) Jik 1/ < 1/b, mk > b (vii) Jik < b < c, mk b > dn b < c (bentuk komposit) (viii) Jik > b > c, mk b < tu b > c ( bentuk komposit) 1.3.2 Selng ( intervl ) Selng dlh himpunn bgin dri bilngn ril yng mempunyi sift relsi tertentu. Jik bts-btsny merupkn bilngn ril mk dinmkn selng hingg. Jik bukn bilngn ril mk dinmkn selng tk hingg (). Lmbng menytkn membesr tnp bts dn lmbng - menytkn mengecil tnp bts. Contoh dri bermcm-mcm selng dpt diliht pd tbel berikut ini. 5
Notsi Definisi Grfik Keterngn b ( ) Selng terbuk (,b) { < < b} [,b] { b} [,b) { < b} b [ ] Selng tertutup b Selng setengh [ ) terbuk b Selng setengh ( ] terbuk (,b] { < b} (, ) { >} ( Selng terbuk [, ) { } [ Selng tertutup (-, b) { < b} (-, b] { b} b ) Selng terbuk b Selng tertutup ] (-, ) R Selng terbuk 1.3.3 Pertidksmn linier stu peubh Pertidksmn linier stu peubh dlh pernytn mtemtik yng memut stu peubh yng mempunyi pngkt stu dn dihubungkn dengn tnd-tnd <, >, tu. Bentuk umum dri pertidksmn linier stu peubh dlh : + b (?) 0, dimn dn b dlh konstn, sedngkn (?) dlh slh stu dri tnd-tnd <, >, tu. Contoh 1.5 Selesikn pertidksmn 7 + 9 < -5 Penyelesin : 7 + 9 < -5 semu rus dikurng 9 7 + 9 9 < -5 9 7 < -14 1/7 ( 7 ) < 1/7 ( -14 ) semu rus diklikn 1/7 < -2 <-2 Jdi himpunn penyelesinny dlh : { } ) selng terbuk -2 Gmbr 1.3 Contoh 1.6 Tentukn himpunn penyelesin dri pertidksmn 1 + 4 < 2 + 9 Penyelesin 6
1 + 4 < 2 + 9 1 + 4 (1 + 2)< 2 + 9 (1 + 2) semu rus dikurng (1+2) 2 < 8 1/2 (2) < 1/2 ( 8 ) semu rus diklikn 1/2 < 4 Himpunn penyelesinny dlh : { < 4 } ) selng terbuk 4 Gmbr 1.4 Untuk kesederhnn, penyelesin pertidksmn linier stu peubh dpt diselesikn dengn cr mengelompokkn peubh pd slh stu rus dn mengelompokkn konstn pd rus linny. Ingt, setip memindhkn suku pd rus yng berbed tndny kn berubh! Contoh 1.7 Tentukn himpunn penyelesin dri pertidksmn 3-2 8 + 5 Penyelesin : 3-2 8 + 5 3 5 8 + 2 Pidhkn 5 kerus kiri dn -2 kerus knn Kelompokkn peubh pd rus kiri dn kelompokkn konstn pd rus knn. -2 10 (-1/2)(-2)(10)(-1/2) Jik menglikn setip rus dengn bilngn negtif mk tnd pertidksmn hrus diblik (sift pertksmn v) -5 impunn pen elesinn dlh { 5 } ] selng tertutup -5 Gmbr 1.5 Contoh 1.8 entukn himpunn pen elesin dri pertidksmn 4 4 2 2 1 5 Penyelesin : 4 4 2 2 1 klikn semu rus dengn 5 5 (4)(5) (5) 4 2 (5)(2 1) 5 20 < 4 2 <10 5 Dpt dipech menjdi bgin, yitu 4 2 > 20 dn 4 2 < 10-5 (perhtikn sift pertidksmn vii, hlmn 5). Setelh dipech menjdi pertidksmn, selesikn stu perstu. 4 2 > 20 4 2 < 10-5 2 < 4 20 < 8 12 > 9 > 3/4 Jdi himpunn pen elesinn dlh { 8 3/4 } ) ( -8 3/4 selng terbuk Gmbr 1.6 7
Sol-sol Selesikn pertksmn : 1 5 3 9 3 2 1 2 5 3 5 4 1 3 (7 3) 1 5 2 9 5 2 2 1 3 2 3 5 5 7 5 1 1.3.4 Nili mutlk Nili mutlk dri dinytkn dengn dn didefinisikn sebgi : = ik 0 ik 0 Teorem-teorem Jik dn b dlh bilngn ril, mk : (i) (ii) tu (iii) (i ) tu ( ) = = tu = ( i) b = b Bukti b = (b) = b = b = b (terbukti) ( ii) b = b, b 0 Bukti b = b = b = b = b (terbukti) ( iii) b b (ketidksmn segitig) Bukti : ( b) = 2b b 2 b b = { b } ( b) { b } = b = b (terbukti) (i) b b Bukti b = ( b) b (terbukti) () b b Bukti = ( b) b b b Jik setip suku dikurngi dengn b, mk b b (terbukti) Contoh 1.9 Selesikn pertidksmn 5 4, gmbrkn gris bilngn dn selngny Penyelesin : 5 4 4 5 4 (liht teorem iii) Dengn memperhtikn sift pertidksmn vii hlmn 5, mk kit dptkn buh pertidksmn, yitu 5 4 dn 5 4. Selnjutny kit selesikn stu perstu pertidksmn tersebut. - 5-4 1 5 4 9 Jdi himpunn penyelesin pertidksmn dlh { 1 9} [ ] 1 9 selng tertutup Gmbr 1.7 Contoh 1.10 Selesikn pertidksmn 7 Penyelesin 3, gmbrkn gris bilngn dn selngny! 8
7 3 3 7 3 (liht te rem iii) Dengn memperhtikn sift pertidksmn vii hlmn 5, mk kit dptkn buh pertidksmn, yitu 7 3 7 3 Selnjutny kit selesikn stu perstu pertidksmn tersebut. 7 3 4 7 3 10 Jdi himpunn penyelesin pertidksmn dlh { 4 10} ) ( 4 10 Selng terbuk Gmbr 1.8 Sol-sol Selesikn pertidksmn : 1 8 2 3 5 12 5 2 2 7 4 3 2 5 4 5 3 7 4 3 1.3.5 Pertidksmn linier peubh Bentuk umum pertidksmn linier peubh dlh : + by + c (?) 0 ; konstnt-konstnt, b dn c dlh bilngn-bilngn ril dn 0. Tnd (?) dlh slh stu dri tnd <, >, tu. Untuk membntu mhsisw dlm menggmbrkn grfik pertidksmn linier peubh, berikut diberikn proserny. 1. Gnti tnd pertidksmn dengn tnd sm dengn dn selnjutny gmbrkn grfik persmn linier yng dimksud. Setelh digmbr kit kn meliht bhw grfik persmn linier dlh gris yng membgi bidng menjdi bgin. 2. Jik pd pertidksmn menggunkn tnd tu berrti gris tersebut termsuk pd grfik yng kn digmbrkn. Selnjutny gris tersebut digmbrkn secr penuh. Jik pertksmn menggunkn tnd < tu > berrti gris tersebut tidk termsuk pd grfik yng kn digmbrkn. Selnjutny gris tersebut digmbrkn putus-putus. 3. Pilih slh stu titik koordint pd msing-msing bidng dn kemudin substitusikn pd pertksmn. Jik substitusi tersebut menghsilkn pernytn yng benr berrti bidng tempt kekn titik tersebut dlh bidng yng dimksud. Seblikny jik substitusi menghsilkn pernytn yng slh mk bidng tempt kekn titik tersebut bukn bidng yng dimksud. Untuk kesergmn bidng yng memenuhi pertksmn dirsir. Akn menjdi lebih sederhn jik kit memilih titik koordint (0,0) slkn titik koordint tersebut tidk dillui oleh gris. Contoh 1.11 Gmbrkn grfik pertidksmn 3 2y 8 Penyelesin : Lngkh 1. Gnti tnd pertidksmn menjdi tnd sm dengn 3-2y = 8 9
Lngkh 2. Gmbrkn grfikny. y 0 Gmbr 1.9 3. Memilih titik koordint. Pilih stu titik koordint yitu (0,0) dn substitusikn ke pertidksmn. Ternyt substitusi ini menghsilkn pernytn yng slh. Berrti bidng tempt kekn titik koordint tersebut bukn bidng yng dicri. Sehingg bidng disebelhny merupkn bidng yng dicri. Selnjutny bidng tersebut dirsir. y 0 Gmbr 1.10 Contoh 1.12 Gmbrkn grfik pertidksmn 5 + 3y < 6 Penyelesin : Lngkh 1. Gnti tnd pertidksmn menjdi tnd sm dengn 5 + 3y = 6 Lngkh 2. Gmbrkn grfikny. y 0 10 Gmbr 1.11
Lngkh 3 Memilih titik koordint. Pilih stu titik koordint yitu (0,0) dn substitusikn ke pertidksmn. Ternyt substitusi ini menghsilkn pernytn yng benr. Berrti bidng tempt kekn titik koordint tersebut merupkn bidng yng dicri. Sehingg bidng disebelhny bukn bidng yng dicri. Selnjutny rsir yng dicri tersebut. y 0 Gmbr 1.12 Sol-sol Gmbrkn grfik dri pertidksmn-pertidksmn berikut! 1. + y < 3 2. y + 2 > 4 3. 4 5 y 6 4. 5y + 3 1 1.3.6 Sistem pertidksmn linier Dlm penerpnny sering terdpt lebih dri stu pertksmn yng hrus diselesikn secr serentk. Pertidksmn-pertidksmn tersebut dinmkn sistem pertidksmn linier Dlm pembhsn sistem pertidksmn linier kit hny kn membhs sistem pertidksmn linier yng mempunyi tidk lebih dri peubh. Lngkh-lngkh penyelesin sistem pertidksmn linier. 1. Gnti semu tnd pertksmn menjdi tnd sm dengn. 2. Gmbrkn grfikny. 3. Periks slh stu titik koordint pd bidng. Jik menghsilkn pernytn yng benr, berrti bidng tersebut dlh bidng yng dicri. Contoh 1.13 Gmbrkn grfik sistem pertidksmn 2y + 3 < 5 dn y 3 Penyelesin : Lngkh 1. 2y + 3 = 5 y = 3 Lngkh 2. y 0 Gmbr 1.13 11
Lngkh 3. Periks koordint (0,0). Setelh dilkukn substitusi hrg =0 dn y=0 kedlm sistem pertksmn ternyt menghsilkn pernytn yng benr. Berrti bidng tempt kekn titik tersebut dlh bidng yng dicri. Selnjutny bidng tersebut dirsir. y 0 Gmbr 1.14 Contoh 1.14 (penerpn sistem pertidksmn linier) Sebuh pbrik kendrn bermotor kn memproksi jenis kendrn yitu jenis diesel dn bensin. Biy pembutn jenis kendrn diesel dlh Rp. 100 jut/ kendrn, sedngkn untuk jenis kendrn bensin dlh Rp. 80 jut /kendrn. Jik pbrik tersebut mempunyi kemmpun proksi 120 kendrn setip buln dn dn untuk pembutn ke jenis kendrn tersebut tidk lebih dri Rp 10 milyr / buln, tentukn bentuk pertidksmn dri persoln dits dn gmbrkn grfikny. Penyelesin: Diesel (jut rupih) Bensin (jut rupih) Nili bts (jut rupih) Biy 100 80 10.000 Jumlh y 120 (100 jut)() + (80 jut)(y) 10.000 jut tu 100 + 80 y 10.000 + y 120 0 ; y 0 y 0 100 120 Gmbr 1.15 12
Sol-sol Gmbrkn grfik dri pertksmn linier berikut : 1 3 9 2 2 2 4 3 3 3 4 2 4 0 4 2 8 0 dn 0 5. Sebuh instri komputer kn memproksi sekurng-kurngny 1000 buh komputer yng terdiri dri jenis yitu jenis PC dn Lptop. Diperkirkn biy untuk memproksi sebuh PC dlh Rp 4.000.000,00 sedngkn untuk memproksi Lptop dlh Rp 6.000.000,00. Jik dn yng tersedi untuk memproksi ke jenis komputer tersebut dlh Rp 10 milyr rupih tentukn sistem pertidksmn linier dri persoln dits dn gmbrkn grfikny! 1.3.7 Pertidksmn kudrt Bentuk umum dri pertidksmn kudrt dlh : 2 + b + c (?) 0, dimn, b dn c dlh bilngn-bilngn ril dn 0 Sedngkn (?) dlh slh stu dri tnd <, >,, tu. Penyelesin dri pertidksmn dlh menentukn hrghrg peubh yng memenuhi pertidksmn. Contoh 1.15 Selesikn pertidksmn 2-7 + 12 > 0 Penyelesin : Lkukn pemktorn terhdp pertidksmn : 2-7 + 12 > 0 ( 4)( 3) > 0 Titik-titik kritis dlh 3 dn 4 Grfik pertidksmn : 4 : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + 3 : - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + ( 4)( 3) : + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + ) ( 3 4 Gmbr 1.16 Dri gmbr dits didpt bhw derh yng memenuhi pertidksmn dlh < 3 tu > 4. Contoh 1.16 entukn himpunn pen elesin dri pertidksmn Penyelesin : 10 2 2( 2) 10 2 2( 2)( 2) 10 ( 2) 2 10 2( 2) 2 2( 4) 2 10 2 2 8 2 2 8 10 2 0 2 18 2 0 2( 9) 2 0 2( 3)( 3) 0 2 Titik-titik kritis dlh -3, 2 dn 3 13